Стек частного

В алгебраической геометрии фактор -стек — это стек , который параметризует эквивариантные объекты. Геометрически он обобщает фактор схемы или многообразия по группе : фактор-многообразие, скажем, будет грубым приближением фактор-стека.

Это понятие имеет фундаментальное значение в изучении стеков: стек, возникающий в природе, часто либо сам является факторным стеком, либо допускает стратификацию факторными стеками (например, стек Делиня–Мамфорда ). Факторный стек также используется для построения других стеков, таких как классификационные стеки .

Определение

Фактор-стек определяется следующим образом. Пусть G — аффинная гладкая групповая схема над схемой S , а X — S - схема , на которой действует G. Пусть фактор-стек — это категория над категорией S -схем, где ${\displaystyle [X/G]}$

• объект над T является главным G -расслоением вместе с эквивариантным отображением ; ${\displaystyle P\to T}$ ${\displaystyle P\to X}$
• морфизм из в является отображением расслоения (т.е. образует коммутативную диаграмму), которое совместимо с эквивариантными отображениями и . ${\displaystyle P\to T}$ ${\displaystyle P'\to T'}$ ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle P'\to X}$

Предположим, что фактор существует как алгебраическое пространство (например, по теореме Киля–Мори ). Каноническое отображение ${\displaystyle X/G}$

${\displaystyle [X/G]\to X/G}$,

который отправляет расслоение P над T в соответствующую точку T , ^[1] не обязательно должен быть изоморфизмом стеков; то есть пространство "X/G" обычно грубее. Каноническое отображение является изоморфизмом тогда и только тогда, когда стабилизаторы тривиальны (в этом случае существует.) ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle X/G}$

В общем случае — это стек Артина (также называемый алгебраическим стеком). Если стабилизаторы геометрических точек конечны и редуцированы, то это стек Делиня–Мамфорда . ${\displaystyle [X/G]}$

Берт Тотаро  (2004) показал: пусть X будет нормальным нётеровым алгебраическим стеком, группы стабилизаторов которого в замкнутых точках являются аффинными. Тогда X является фактор-стеком тогда и только тогда, когда он обладает свойством разрешения ; т. е. каждый когерентный пучок является фактором векторного расслоения. Ранее Роберт Уэйн Томасон доказал, что фактор-стек обладает свойством разрешения.

Примеры

Эффективный фактор -орбифолд , например, где действие имеет только конечные стабилизаторы на гладком пространстве , является примером фактор-стека. ^[2] ${\displaystyle [M/G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$

Если с тривиальным действием (часто является точкой), то называется классифицирующим стеком ( по аналогии с классифицирующим пространством ) и обычно обозначается . Теорема Бореля описывает кольцо когомологий классифицирующего стека. ${\displaystyle X=S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [S/G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$

Модули линейных пучков

Одним из основных примеров факторных стеков является стек модулей линейных расслоений над , или над для тривиального -действия над . Для любой схемы (или -схемы) , -точки стека модулей являются группоидом главных -расслоений . ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle [*/\mathbb {G} _{m}]}$ ${\displaystyle {\text{Sch}}}$ ${\displaystyle [S/\mathbb {G} _{m}]}$ ${\displaystyle {\text{Sch}}/S}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle P\to X}$

Модули линейных расслоений с n-сечениями

Существует еще один тесно связанный стек модулей, заданный , который является стеком модулей линейных расслоений с -сечениями. Это следует непосредственно из определения стеков факторизации, вычисленных по точкам. Для схемы , -точки являются группоидом, объекты которого заданы множеством ${\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/\mathbb {G} _{m}]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/\mathbb {G} _{m}](X)=\left\{{\begin{matrix}P&\to &\mathbb {A} ^{n}\\\downarrow &&\\X\end{matrix}}:{\begin{aligned}&P\to \mathbb {A} ^{n}{\text{ is }}\mathbb {G} _{m}{\text{ equivariant and}}\\&P\to X{\text{ is a principal }}\mathbb {G} _{m}{\text{-bundle}}\end{aligned}}\right\}}$

Морфизм в верхней строке соответствует -секциям ассоциированного линейного расслоения над . Это можно найти, заметив, что задание -эквивариантного отображения и ограничение его до волокна дает те же данные, что и секция расслоения. Это можно проверить, посмотрев на карту и отправив точку на карту , заметив, что набор -эквивариантных отображений изоморфен . Затем эта конструкция глобализуется путем склеивания аффинных карт вместе, давая глобальную секцию расслоения. Поскольку -эквивариантное отображение в эквивалентно -кортежу -эквивариантных отображений в , результат сохраняется. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \phi :P\to \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle P|_{x}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \phi _{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle P|_{x}\to \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

Модули формальных групповых законов

Пример: ^[3] Пусть L — кольцо Лазара ; т.е. . Тогда фактор-стек по , ${\displaystyle L=\pi _{*}\operatorname {MU} }$ ${\displaystyle [\operatorname {Spec} L/G]}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G(R)=\{g\in R[\![t]\!]|g(t)=b_{0}t+b_{1}t^{2}+\cdots ,b_{0}\in R^{\times }\}}$,

называется стеком модулей формальных групповых законов и обозначается как . ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{FG}}}$

Смотрите также

• Гомотопический фактор
• Стек модулей главных расслоений (который, грубо говоря, является бесконечным произведением классифицирующих стеков).
• Действие групповой схемы
• Модули алгебраических кривых

Ссылки

1. Точка Т получается путем заполнения диаграммы . ${\displaystyle T\leftarrow P\to X\to X/G}$
2. "Определение 1.7". Орбифолды и струнная топология . Кембриджские трактаты по математике. стр. 4.
3. Взято с http://www.math.harvard.edu/~lurie/252xnotes/Lecture11.pdf

• Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969), «Неприводимость пространства кривых данного рода», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (36): 75–109, CiteSeerX  10.1.1.589.288 , doi :10.1007/BF02684599, MR  0262240
• Тотаро, Берт (2004). «Свойство разрешения схем и стеков». Журнал для королевы и математики . 577 : 1–22. arXiv : математика/0207210 . дои : 10.1515/crll.2004.2004.577.1. МР  2108211.

Некоторые другие ссылки:

• Беренд, Кай (1991). Формула следа Лефшеца для стека модулей главных расслоений (PDF) (Диссертация). Калифорнийский университет, Беркли.
• Эдидин, Дэн. «Заметки о построении пространства модулей кривых» (PDF) .