Группа классов отображения поверхности

Понятие в математике

В математике, а точнее в топологии , группа классов отображений поверхности , иногда называемая модулярной группой или модулярной группой Тейхмюллера , — это группа гомеоморфизмов поверхности, рассматриваемой с точностью до непрерывной (в компактно -открытой топологии ) деформации. Она имеет фундаментальное значение для изучения 3-многообразий через их вложенные поверхности, а также изучается в алгебраической геометрии в связи с проблемами модулей для кривых.

Группа классов отображений может быть определена для произвольных многообразий (в действительности, для произвольных топологических пространств), но двумерная ситуация является наиболее изученной в теории групп .

Группа классов отображения поверхностей связана с различными другими группами, в частности с группами кос и группами внешних автоморфизмов .

История

Группа классов отображений появилась в первой половине двадцатого века. Ее истоки лежат в изучении топологии гиперболических поверхностей, и особенно в изучении пересечений замкнутых кривых на этих поверхностях. Самыми ранними авторами были Макс Ден и Якоб Нильсен : Ден доказал конечную порожденность группы, ^[1] а Нильсен дал классификацию классов отображений и доказал, что все автоморфизмы фундаментальной группы поверхности могут быть представлены гомеоморфизмами (теорема Дена–Нильсена–Бэра).

Теория Дена–Нильсена была переосмыслена в середине семидесятых годов Терстоном , который придал этому предмету более геометрический оттенок ^[2] и с большим успехом использовал эту работу в своей программе изучения трехмерных многообразий.

В последнее время группа классов отображений сама по себе стала центральной темой в геометрической теории групп , где она обеспечивает испытательный полигон для различных гипотез и методов.

Определение и примеры

Группа классов отображения ориентируемых поверхностей

Пусть будет связной , замкнутой , ориентируемой поверхностью и группой сохраняющих ориентацию или положительных гомеоморфизмов . Эта группа имеет естественную топологию, компактно-открытую топологию. Ее можно легко определить с помощью функции расстояния: если нам дана метрика при индуцировании ее топологии, то функция, определяемая формулой ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \delta (f,g)=\sup _{x\in S}\left(d(f(x),g(x))\right)}$

— расстояние, индуцирующее компактно-открытую топологию на . Связная компонента тождества для этой топологии обозначается . По определению она равна гомеоморфизмам , которые изотопны тождеству. Это нормальная подгруппа группы положительных гомеоморфизмов, а группа классов отображений — это группа ${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} _{0}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)=\operatorname {Homeo} ^{+}(S)/\operatorname {Homeo} _{0}(S)}$.

Это счетная группа.

Если мы изменим определение, включив в него все гомеоморфизмы, мы получим расширенную группу классов отображений , которая содержит группу классов отображений как подгруппу индекса 2. ${\displaystyle \operatorname {Mod} ^{\pm }(S)}$

Это определение можно также сделать в дифференцируемой категории: если мы заменим все примеры «гомеоморфизма» выше на « диффеоморфизм », мы получим ту же самую группу, то есть включение индуцирует изоморфизм между факторами по их соответствующим компонентам тождества. ${\displaystyle \operatorname {Diff} ^{+}(S)\subset \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$

Группы классов отображения сферы и тора

Предположим, что — единичная сфера в . Тогда любой гомеоморфизм изотопен либо тождеству, либо ограничению на симметрии в плоскости . Последнее не сохраняет ориентацию, и мы видим, что группа классов отображений сферы тривиальна, а ее расширенная группа классов отображений — это , циклическая группа порядка 2. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Группа классов отображений тора естественным образом отождествляется с модулярной группой . Легко построить морфизм : каждый индуцирует диффеоморфизм из через . Действие диффеоморфизмов на первой группе гомологий из дает левообратный к морфизму (доказывая, в частности, что он инъективен), и можно проверить, что является инъективным, так что являются обратными изоморфизмами между и . ^[3] Таким же образом, расширенная группа классов отображений из есть . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Phi :\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \operatorname {Mod} (\mathbb {T} ^{2})}$ ${\displaystyle A\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle x+\mathbb {Z} ^{2}\mapsto Ax+\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi ,\Phi }$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (\mathbb {T} ^{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

Группа классов отображения поверхностей с границей и проколами

В случае, когда — компактная поверхность с непустой границей , то определение группы классов отображений должно быть более точным. Группа гомеоморфизмов относительно границы — это подгруппа , которая ограничивается тождеством на границе, а подгруппа — это связная компонента тождества. Группа классов отображений тогда определяется как ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S,\partial S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} _{0}(S,\partial S)}$

${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)=\operatorname {Homeo} ^{+}(S,\partial S)/\operatorname {Homeo} _{0}(S,\partial S)}$.

Поверхность с проколами — это компактная поверхность с конечным числом удаленных точек («проколов»). Группа классов отображения такой поверхности определяется, как указано выше (обратите внимание, что классам отображения разрешено переставлять проколы, но не граничные компоненты).

Группа классов отображения кольца

Любое кольцо гомеоморфно подмножеству . Диффеоморфизм можно определить по следующей формуле: ${\displaystyle A_{0}=\{1\leq |z|\leq 2\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \tau _{0}}$

${\displaystyle \tau _{0}(z)=e^{2i\pi |z|}z}$

которая является тождественной на обоих граничных компонентах . Группа классов отображения затем генерируется классом . ${\displaystyle \{|z|=1\},\{|z|=2\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \tau _{0}}$

Группы кос и группы классов картографирования

Группы кос можно определить как группы классов отображения диска с проколами. Точнее, группа кос на n нитях естественно изоморфна группе классов отображения диска с n проколами. ^[4]

Теорема Дена–Нильсена–Бэра

Если замкнуто и является гомеоморфизмом , то мы можем определить автоморфизм фундаментальной группы следующим образом: зафиксируем путь между и и для цикла на основе представления элемента определим как элемент фундаментальной группы, связанной с циклом . Этот автоморфизм зависит от выбора , но только с точностью до сопряжения. Таким образом, мы получаем хорошо определенное отображение из во внешнюю группу автоморфизмов . Это отображение является морфизмом, и его ядром является в точности подгруппа . Теорема Дена–Нильсена–Бэра утверждает, что оно вдобавок сюръективно. ^[5] В частности, это подразумевает, что: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(S,x_{0})}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x_{0})}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle [\alpha ]\in \pi _{1}(S,x_{0})}$ ${\displaystyle f_{*}([\alpha ])}$ ${\displaystyle {\bar {\gamma }}*f(\alpha )*\gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} (S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Out} (\pi _{1}(S,x_{0}))}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} _{0}(S)}$

Группа расширенного класса отображений изоморфна группе внешних автоморфизмов . ${\displaystyle \operatorname {Mod} ^{\pm }(S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Out} (\pi _{1}(S))}$

Образ группы классов отображений представляет собой подгруппу индекса 2 внешней группы автоморфизмов, которую можно охарактеризовать ее действием на гомологии.

Заключение теоремы не выполняется, когда имеет непустую границу (за исключением конечного числа случаев). В этом случае фундаментальная группа является свободной группой, а внешняя группа автоморфизмов Out(Fn) строго больше, чем образ группы классов отображения посредством морфизма, определенного в предыдущем абзаце. Образ — это в точности те внешние автоморфизмы, которые сохраняют каждый класс сопряженности в фундаментальной группе, соответствующей компоненте границы. ${\displaystyle S}$

Точная последовательность Бирмана

Это точная последовательность, связывающая группу классов отображения поверхностей с тем же родом и границей, но разным числом проколов. Это фундаментальный инструмент, который позволяет использовать рекурсивные аргументы при изучении групп классов отображения. Это было доказано Джоан Бирман в 1969 году. ^[6] Точное утверждение следующее. ^[7]

Пусть — компактная поверхность и . Существует точная последовательность ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in S}$

${\displaystyle 1\to \pi _{1}(S,x)\to \operatorname {Mod} (S\setminus \{x\})\to \operatorname {Mod} (S)\to 1}$.

В случае, когда сама имеет проколы, группа классов отображений должна быть заменена конечноиндексной подгруппой классов отображений, фиксирующей . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S\setminus \{x\})}$ ${\displaystyle x}$

Элементы группы классов сопоставления

Ден крутит

Если — ориентированная простая замкнутая кривая на и выбирается замкнутая трубчатая окрестность , то существует гомеоморфизм из в каноническое кольцо, определенное выше, отправляющее в окружность с ориентацией против часовой стрелки . Это используется для определения гомеоморфизма следующим образом: на нем есть тождество, а на нем равно . Класс в группе классов отображений не зависит от выбора , сделанного выше, и полученный элемент называется скручиванием Дена вокруг . Если не является гомотопным нулю, то этот класс отображений нетривиален, и, в более общем случае, скручивания Дена, определенные двумя негомотопными кривыми, являются различными элементами в группе классов отображений. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \tau _{c}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\setminus A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f^{-1}\circ \tau _{0}\circ f}$ ${\displaystyle \tau _{c}}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

В группе классов отображений тора, отождествленных с твистами Дена, соответствуют унипотентные матрицы. Например, матрица ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

соответствует скручиванию Дена вокруг горизонтальной кривой в торе.

Классификация Нильсена–Терстона

Существует классификация классов отображения на поверхности, первоначально предложенная Нильсеном и переоткрытая Терстоном, которую можно сформулировать следующим образом. Элемент — это либо: ${\displaystyle g\in \operatorname {Mod} (S)}$

• конечного порядка (т.е. существует такое, что является тождеством), ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle g^{n}}$
• приводимым: существует множество непересекающихся замкнутых кривых, на которых сохраняется действие ; ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g}$
• или псевдо-Аносов.

Основное содержание теоремы заключается в том, что класс отображений, который не является ни конечным порядком, ни приводимым, должен быть псевдоаносовским, что может быть явно определено динамическими свойствами. ^[8]

Псевдо-Аносовские диффеоморфизмы

Изучение псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхности является фундаментальным. Это наиболее интересные диффеоморфизмы, поскольку классы отображений конечного порядка изотопны изометриям и, таким образом, хорошо изучены, а изучение приводимых классов действительно по сути сводится к изучению классов отображений на меньших поверхностях, которые сами могут быть либо конечного порядка, либо псевдоаносовскими.

Классы отображения псевдо-Аносова являются "универсальными" в группе классов отображения различными способами. Например, случайное блуждание по группе классов отображения закончится на элементе псевдо-Аносова с вероятностью, стремящейся к 1 по мере роста числа шагов.

Действия группы классов сопоставления

Действие в пространстве Тейхмюллера

При наличии проколотой поверхности (обычно без границы) пространство Тейхмюллера является пространством отмеченных комплексных (эквивалентно, конформных или полных гиперболических) структур на . Они представлены парами , где — риманова поверхность и гомеоморфизм, по модулю подходящего отношения эквивалентности. Существует очевидное действие группы на таких парах, которое сводится к действию на пространстве Тейхмюллера. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:S\to X}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

Это действие имеет много интересных свойств; например, оно является собственно прерывистым (хотя и не свободным ). Оно совместимо с различными геометрическими структурами (метрическими или комплексными), которыми может быть наделено. В частности, метрика Тейхмюллера может быть использована для установления некоторых крупномасштабных свойств группы классов отображения, например, что максимальные квазиизометрически вложенные плоскости в имеют размерность . ^[9] ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ ${\displaystyle 3g-3+k}$

Действие распространяется на границу Тёрстона пространства Тейхмюллера, и классификацию классов отображений Нильсена-Тёрстона можно увидеть в динамических свойствах действия на пространстве Тейхмюллера вместе с его границей Тёрстона. А именно: ^[10]

• Элементы конечного порядка фиксируют точку внутри пространства Тейхмюллера (более конкретно это означает, что любой класс отображений конечного порядка в может быть реализован как изометрия для некоторой гиперболической метрики на ); ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ ${\displaystyle S}$
• Псевдоаносовские классы фиксируют две точки на границе, соответствующие их устойчивому и неустойчивому слоению, а действие минимально (имеет плотную орбиту) на границе;
• Приводимые классы не действуют минимально на границе.

Действие на кривой комплекса

Комплекс кривых поверхности — это комплекс, вершины которого являются изотопическими классами простых замкнутых кривых на . Действие групп классов отображения на вершинах переносится на полный комплекс. Действие не является собственно разрывным (стабилизатор простой замкнутой кривой — бесконечная группа). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

Это действие, вместе с комбинаторными и геометрическими свойствами комплекса кривых, можно использовать для доказательства различных свойств группы классов отображений. ^[11] В частности, оно объясняет некоторые гиперболические свойства группы классов отображений: хотя, как упоминалось в предыдущем разделе, группа классов отображений не является гиперболической группой, она обладает некоторыми свойствами, напоминающими эти.

Другие комплексы с картографическим классом группового действия

Штаны комплексные

Комплекс штанов компактной поверхности — это комплекс, вершинами которого являются разложения штанов (изотопические классы максимальных систем непересекающихся простых замкнутых кривых). Действие продолжается до действия на этом комплексе. Этот комплекс квазиизометричен пространству Тейхмюллера, снабженному метрикой Вейля–Петерссона . ^[12] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

Маркировка сложная

Стабилизаторы действия группы классов отображения на комплексах кривой и брюк довольно велики. Комплекс разметки — это комплекс, вершины которого являются разметками , на которые действует группа классов отображения и которые имеют тривиальные стабилизаторы в ней . Это (в противоположность комплексу кривой или брюк) локально конечный комплекс, который квазиизометричен группе классов отображения. ^[13] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

Маркировка ^[a] определяется разложением штанов и набором поперечных кривых таким образом, что каждая из пересекает не более одной из , и это «минимально» (это техническое условие, которое можно сформулировать следующим образом: если содержатся в подповерхности, гомеоморфной тору, то они пересекаются один раз, а если поверхность представляет собой сферу с четырьмя отверстиями, то они пересекаются дважды). Две различные маркировки соединяются ребром, если они отличаются «элементарным ходом», а полный комплекс получается путем сложения всех возможных симплексов более высокой размерности. ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{\xi }}$ ${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{\xi }}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i},\beta _{i}}$

Генераторы и отношения для отображения групп классов

Теорема Дена–Ликориша

Группа классов отображения генерируется подмножеством твистов Дена относительно всех простых замкнутых кривых на поверхности. Теорема Дена–Ликориша утверждает, что достаточно выбрать конечное число из них, чтобы сгенерировать группу классов отображения. ^[14] Это обобщает тот факт, что генерируется матрицами ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}}$.

В частности, группа классов отображений поверхности является конечно порожденной группой .

Наименьшее число скручиваний Дена, которые могут генерировать группу классов отображений замкнутой поверхности рода , равно ; это было доказано позднее Хамфрисом. ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle 2g+1}$

Конечная презентабельность

Можно доказать, что все соотношения между скручиваниями Дена в порождающем наборе для группы классов отображений могут быть записаны как комбинации конечного числа из них. Это означает, что группа классов отображений поверхности является конечно представленной группой .

Один из способов доказать эту теорему — вывести ее из свойств действия группы классов отображения на комплексе штанов: стабилизатор вершины, как видно, конечно представлен, а действие коконечно. Поскольку комплекс связный и односвязный, следует, что группа классов отображения должна быть конечно порождена. Существуют и другие способы получения конечных представлений, но на практике единственный, который дает явные соотношения для всех генов, — это тот, который описан в этом параграфе с немного другим комплексом вместо комплекса кривой, называемого комплексом системы разрезов . ^[15]

Примером соотношения между скручиваниями Дена, встречающимся в этой презентации, является соотношение фонаря .

Другие системы генераторов

Существуют и другие интересные системы генераторов для группы классов отображения, помимо твистов Дена. Например, может быть сгенерирована двумя элементами ^[16] или инволюциями. ^[17] ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

Когомологии группы классов отображений

Если — поверхность рода с граничными компонентами и проколами, то виртуальная когомологическая размерность равна . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ ${\displaystyle 4g-4+b+k}$

Первая гомология группы классов отображений конечна ^[18] , и отсюда следует, что первая группа когомологий также конечна.

Подгруппы групп классов отображения

Подгруппа Торелли

Поскольку сингулярные гомологии функториальны, группа классов отображений действует автоморфизмами на первой группе гомологий . Это свободная абелева группа ранга , если замкнута рода . Таким образом, это действие дает линейное представление . ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ ${\displaystyle H_{1}(S)}$ ${\displaystyle 2g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)\to \operatorname {GL} _{2g}(\mathbb {Z} )}$

Это отображение на самом деле является сюръекцией с образом, равным целым точкам симплектической группы . Это происходит из того факта, что число пересечений замкнутых кривых индуцирует симплектическую форму на первой гомологии, которая сохраняется действием группы классов отображения. Сюръективность доказывается путем демонстрации того, что образы твистов Дена порождают . ^[19] ${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$

Ядро морфизма называется группой Торелли группы . Это конечно порожденная подгруппа без кручения ^[20] , и ее изучение имеет фундаментальное значение как для структуры самой группы классов отображений (поскольку арифметическая группа сравнительно хорошо изучена, многие факты о ней сводятся к утверждению о ее подгруппе Торелли), так и для приложений к трехмерной топологии и алгебраической геометрии. ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)\to \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

Остаточная конечность и подгруппы конечного индекса

Примером применения подгруппы Торелли является следующий результат:

Группа классов отображений является остаточно конечной .

Доказательство проводится сначала с использованием конечной остаточной линейной группы , а затем для любого нетривиального элемента группы Торелли путем построения геометрическими средствами подгрупп конечного индекса, которые его не содержат. ^[21] ${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$

Интересный класс подгрупп конечного индекса задается ядрами морфизмов:

${\displaystyle \Phi _{n}:\operatorname {Mod} (S)\to \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )\to \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$

Ядро группы обычно называют конгруэнц-подгруппой группы . Это группа без кручения для всех (это легко следует из классического результата Минковского о линейных группах и того факта, что группа Торелли не имеет кручения). ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ ${\displaystyle n\geq 3}$

Конечные подгруппы

Группа классов отображений имеет только конечное число классов конечных групп, как следует из того факта, что подгруппа конечного индекса не имеет кручения, как обсуждалось в предыдущем абзаце. Более того, это также подразумевает, что любая конечная подгруппа из является подгруппой конечной группы . ${\displaystyle \ker(\Phi _{3})}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)/\ker(\Phi _{3})\cong \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} /3)}$

Граница порядка конечных подгрупп может быть также получена геометрическими средствами. Решение проблемы реализации Нильсена подразумевает, что любая такая группа реализуется как группа изометрий гиперболической поверхности рода . Граница Гурвица тогда подразумевает, что максимальный порядок равен . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 84(g-1)}$

Общие сведения о подгруппах

Группы классов отображений удовлетворяют альтернативе Титса : то есть любая ее подгруппа либо содержит неабелеву свободную подгруппу, либо она виртуально разрешима (фактически абелева). ^[22]

Любая подгруппа, которая не является приводимой (то есть не сохраняет множество изотопических классов непересекающихся простых замкнутых кривых), должна содержать псевдоаносовский элемент. ^[23]

Линейные представления

Остается открытым вопрос, является ли группа классов отображения линейной группой или нет. Помимо симплектического представления на гомологии, объясненного выше, существуют другие интересные конечномерные линейные представления, возникающие из топологической квантовой теории поля . Образы этих представлений содержатся в арифметических группах, которые не являются симплектическими, и это позволяет построить гораздо больше конечных факторов . ^[24] ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

В другом направлении существует нижняя граница для размерности (предполагаемого) верного представления, которая должна быть не менее . ^[25] ${\displaystyle 2{\sqrt {g-1}}}$

Примечания

1. Здесь мы описываем только «чистые, полные» (в терминологии Мазура и Мински (2000)) отметины.

Цитаты

1. Acta Math. 1938, стр. 135–206.
2. Bull. Amer. Math. Soc. 1988, стр. 417–431.
3. Фарб и Маргалит, 2012, Теорема 2.5.
4. Бирман 1974.
5. Фарб и Маргалит, 2012, Теорема 8.1.
6. Бирман 1969, стр. 213–238.
7. Фарб и Маргалит, 2012, Теорема 4.6.
8. Фатхи, Лауденбах и Поэнару, 2012, Глава 9.
9. Эскин, Мазур и Рафи 2017.
10. Фатхи, Лауденбах и Поэнару, 2012.
11. Изобрет. Математика. 1999, стр. 103–149.
12. Брок 2002.
13. Мазур и Мински 2000.
14. Фарб и Маргалит, 2012, Теорема 4.1.
15. Хэтчер и Терстон 1980.
16. Топология 1996, стр. 377–383.
17. Журнал алгебры 2004.
18. Proc. Amer. Math. Soc. 2010, стр. 753–758.
19. Фарб и Маргалит, 2012, Теорема 6.4.
20. Фарб и Маргалит, 2012, Теорема 6.15 и Теорема 6.12.
21. Фарб и Маргалит, 2012, Теорема 6.11.
22. Иванов 1992, Теорема 4.
23. Иванов 1992, Теорема 1.
24. Геом. Тополь. 2012, стр. 1393–1411.
25. Duke Math. J. 2001, стр. 581–597.

Источники

• Бирман, Джоан (1969). «Отображение групп классов и их связь с группами кос». Сообщения по чистой и прикладной математике . 22 (2): 213–238. doi :10.1002/cpa.3160220206. MR  0243519.
• Бирман, Джоан С. (1974). Косы, связи и группы классов отображения . Annals of Mathematics Studies. Том 82. Princeton University Press.
• Брендл, Тара Э .; Фарб, Бенсон ( 2004). «Каждая группа классов отображений порождается 3 элементами кручения и 6 инволюциями». J. Algebra . 278. arXiv : math/0307039 . doi :10.1016/j.jalgebra.2004.02.019. S2CID  14784932.
• Брок, Джефф (2002). «Разложения штанов и метрика Вейля–Петерссона». Комплексные многообразия и гиперболическая геометрия . Американское математическое общество. MR  1940162.
• Ден, Макс (1938). «Die Gruppe der Abbildungsklassen: Das arithmetische Feld auf Flächen». Acta Mathematica (на немецком языке). 69 : 135–206. дои : 10.1007/bf02547712, переведено в Dehn 1987.
• Dehn, Max (1987). Статьи по теории групп и топологии . Переведено и представлено Джоном Стиллвеллом. Springer-Verlag. ISBN 978-038796416-4.
• Эскин, Алекс; Мазур, Ховард; Рафи, Касра (2017). «Крупномасштабный ранг пространства Тейхмюллера». Duke Mathematical Journal . 166 (8). arXiv : 1307.3733 . doi : 10.1215/00127094-0000006X. S2CID  15393033.
• Фарб, Бенсон; Любоцкий, Александр; Минский, Яир (2001). «Явления ранга 1 для отображения групп классов». Duke Mathematical Journal . 106 (3): 581–597. doi :10.1215/s0012-7094-01-10636-4. MR  1813237.
• Farb, Benson ; Margalit, Dan (2012). Учебник по отображению групп классов . Princeton Mathematical Series. Princeton University Press. ISBN 978-069114794-9.
• Fathi, Albert; Laudenbach, François; Poénaru, Valentin (2012). Работа Терстона о поверхностях . Математические заметки. Том 48. перевод с французского оригинала 1979 года Джуна М. Кима и Дэна Маргалита. Princeton University Press. стр. xvi+254. ISBN 978-0-691-14735-2.
• Хэтчер, Аллен ; Терстон, Уильям (1980). "Представление для группы классов отображений замкнутой ориентируемой поверхности". Топология . 19 (3): 221–237. doi : 10.1016/0040-9383(80)90009-9 .
• Иванов, Николай (1992). Подгруппы модулярных групп Тейхмюллера . Переводы математических монографий. Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-4526-3.
• Масбаум, Грегор; Рид, Алан В. (2012). «Все конечные группы участвуют в группе классов отображения». Геометрия и топология . 16 (3): 1393–1411. arXiv : 1106.4261 . doi :10.2140/gt.2012.16.1393. MR  2967055. S2CID  17330187.
• Masur, Howard A.; Minsky, Yair N. (1999). «Геометрия комплекса кривых. I. Гиперболичность». Inventiones Mathematicae . 138 (1): 103–149. arXiv : math/9804098 . Bibcode : 1999InMat.138..103M. doi : 10.1007/s002220050343. MR  1714338. S2CID  16199015.
• Masur, Howard A.; Minsky, Yair N. (2000). «Геометрия комплекса кривых II: Иерархическая структура». Геометрический и функциональный анализ . 10 (4): 902–974. arXiv : math/9807150 . doi :10.1007/pl00001643. S2CID  14834205.
• Путман, Энди (2010). «Заметка об абелианизациях подгрупп конечного индекса группы классов отображений». Труды Американского математического общества . 138 (2): 753–758. arXiv : 0812.0017 . doi :10.1090/s0002-9939-09-10124-7. MR  2557192. S2CID  2047111.
• Терстон, Уильям П. (1988). «О геометрии и динамике диффеоморфизмов поверхностей». Бюллетень Американского математического общества . 19 (2): 417–431. doi : 10.1090/s0273-0979-1988-15685-6 . MR  0956596.
• Wajnryb, B. (1996). "Группа классов отображения поверхности порождается двумя элементами". Топология . 35 (2): 377–383. doi : 10.1016/0040-9383(95)00037-2 .