Туси пара

Математический аппарат

Анимированная модель пары Туси

Пара Туси (также известная как механизм Туси ^{[1] [2] [3]} ) — это математическое устройство, в котором малый круг вращается внутри большего круга, диаметр которого в два раза больше диаметра меньшего круга. Вращение кругов заставляет точку на окружности меньшего круга колебаться вперед и назад в линейном движении вдоль диаметра большего круга. Пара Туси — это гипоциклоида с двумя выступами .

Пара была впервые предложена персидским астрономом и математиком XIII века Насир ад-Дином ат-Туси в его работе 1247 года «Тахрир аль-Маджисти» («Комментарии к Альмагесту») в качестве решения для широтного движения нижних планет ^[4] и позднее широко использовалась в качестве замены экванта, введенного более тысячи лет назад в Альмагесте Птолемея . [ ^{5] [6]}

Оригинальное описание

Схема пары Туси, сделанная Туси, 13 век ^[7]

Две взаимные инверсии пары Туси. Обратите внимание, что, вопреки описанию, круги в нижней анимации должны вращаться в одном направлении.

Перевод копии оригинального описания геометрической модели Туси намекает по крайней мере на одну инверсию модели, которую можно увидеть на диаграммах:

Если взять две копланарные окружности, диаметр одной из которых равен половине диаметра другой, и взять точку на меньшей окружности — и пусть она будет в точке касания — и если две окружности движутся простыми движениями в противоположных направлениях таким образом, что движение меньшей [окружности] вдвое больше, чем движение большей, так что меньшая совершает два оборота за каждый оборот большей, то эта точка будет двигаться по диаметру большей окружности, которая первоначально проходит через точку касания, колеблясь между конечными точками. [ ^8]

Описание не является последовательным и, по-видимому, произвольно объединяет черты нескольких возможных и невозможных инверсий геометрической модели.

Алгебраически модель можно выразить с помощью комплексных чисел следующим образом:

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2}}\right)e^{i\theta }-{\frac {1}{2}}e^{-i\theta }=i\,\sin \theta .}$

Другие комментаторы отметили, что пару Туси можно интерпретировать как катящуюся кривую , где вращение внутреннего круга удовлетворяет условию отсутствия скольжения, поскольку его точка касания движется вдоль фиксированного внешнего круга.

Другие источники

Восприятие Коперником пары Туси. «Два круга движутся... в противоположных направлениях».

Термин «пара Туси» является современным, придуманным Эдвардом Стюартом Кеннеди в 1966 году. ^[9] Это одно из нескольких поздних исламских астрономических устройств, имеющих поразительное сходство с моделями в «О вращении небесных тел » Николая Коперника , включая его модель Меркурия и его теорию трепета . Историки подозревают, что Коперник или другой европейский автор имел доступ к арабскому астрономическому тексту, но точная цепочка передачи пока не определена, ^[10] Ученый и путешественник 16-го века Гийом Постель был предложен в качестве одного из возможных посредников. ^{[11] [12]}

Поскольку Коперник использовал пару Туси в своей переформулировке математической астрономии, растет консенсус, что он каким-то образом узнал об этой идее. Было высказано предположение ^{[13] [14]} , что идея пары Туси могла прийти в Европу, оставив мало рукописных следов, поскольку она могла возникнуть без перевода какого-либо арабского текста на латынь. Один из возможных путей передачи мог быть через византийскую науку ; Григорий Хиониадис перевел некоторые работы ат-Туси с арабского на византийский греческий . Несколько византийских греческих рукописей, содержащих пару Туси, все еще сохранились в Италии. ^[15] Другая возможность заключается в том, что он столкнулся с рукописью «Выпрямления кривых» (Sefer Meyasher 'Aqov) во время учебы в Италии. ^[16]

Существуют и другие источники этой математической модели для преобразования круговых движений в возвратно-поступательное линейное движение. Она встречается в комментарии Прокла к первой книге Евклида ^[17], и эта концепция была известна в Париже к середине XIV века. В своих вопросах о сфере (написанных до 1362 года) Николь Орем описал, как объединить круговые движения, чтобы получить возвратно-поступательное линейное движение планеты вдоль радиуса ее эпицикла. Описание Орема неясно, и неизвестно, представляет ли оно собой независимое изобретение или попытку разобраться с плохо понятым арабским текстом. ^[18]

Более поздние примеры

Хотя пара Туси была разработана в астрономическом контексте, более поздние математики и инженеры разработали похожие версии того, что стало называться гипоциклоидными прямолинейными механизмами. Математик Джероламо Кардано разработал систему, известную как движение Кардано (также известную как кардановая передача ). ^[19] Инженеры девятнадцатого века Джеймс Уайт, ^[20] Мэтью Мюррей , ^[21] а также более поздние конструкторы разработали практические приложения гипоциклоидного прямолинейного механизма.

Модификация Гудмена пары Туси с использованием 3 цилиндрических зубчатых колес

Практичная и механически простая версия пары Туси, которая избегает использования внешнего зубчатого колеса, была разработана в 2021 году Джоном Гудманом для обеспечения линейного движения. ^{[22] [ не удалось проверить ] [ сомнительно – обсудить ]} Она использует 3 стандартных прямозубых шестерни. Вращающийся (синий) рычаг установлен на центральном валу, к которому прикреплена фиксированная (желтая) шестерня. (Красная) промежуточная шестерня на рычаге зацепляется с фиксированной шестерней. Третья (зеленая) шестерня зацепляется с промежуточной. Третья шестерня имеет половину числа зубьев фиксированной шестерни. (Оранжевый) рычаг закреплен на третьей шестерне. Если длина рычага равна расстоянию между фиксированной и внешней шестернями = d, рычаг будет описывать прямую линию броска = 2d. Преимущество этой конструкции заключается в том, что, если стандартные модульные шестерни, которые не обеспечивают требуемого броска, промежуточная шестерня не должна быть коллинеарной с двумя другими шестернями

Гипотрохоидный

Эллипсы (зеленый, голубой, красный) — гипотрохоиды пары Туси.

Свойство пары Туси заключается в том, что точки на внутренней окружности, которые не находятся на окружности, описывают эллипсы . Эти эллипсы и прямая линия, очерченная классической парой Туси, являются частными случаями гипотрохоид . ^[23]

Смотрите также

• Гипоциклоидальный двигатель Мюррея , использующий пару Туси в качестве замены направляющих крейцкопфа или параллельного движения
• Планетарная передача
• Прямолинейный механизм
• Спирограф
• Геометрический токарный станок
• Гильоширование
• Дельтовидная кривая

Примечания

1. Рошди Рашед (ред.). Энциклопедия истории арабской науки.
2. Салиба, Джордж (2002-07-01). «Греческая астрономия и средневековая арабская традиция: средневековые исламские астрономы были не просто переводчиками. Они также могли сыграть ключевую роль в коперниканской революции». American Scientist . 90 (4): 360–368. doi :10.1511/2002.27.360.
3. Носоновский, Майкл (14 августа 2018 г.). «Абнер из Бургоса: недостающее звено между Насир ад-Дином ат-Туси и Николаем Коперником?». Zutot . 15 (1): 25–30. doi :10.1163/18750214-12151070. ISSN  1571-7283. S2CID  135358186.
4. Джордж Салиба (1995), «История арабской астрономии: планетарные теории в Золотой век ислама», стр. 152–155.
5. «Позднесредневековая планетарная теория», ES Kennedy, Isis 57 , № 3 (осень 1966), 365–378, JSTOR  228366.
6. Крейг Г. Фрейзер, «Космос: историческая перспектива», Greenwood Publishing Group, 2006 г., стр. 39.
7. Библиотека Ватикана, Vat. ar. 319 fol. 28 verso math19 NS.15 Архивировано 24 декабря 2014 г. в Wayback Machine , копия рукописи Туси четырнадцатого века
8. Переведено в FJ Ragep, Memoir on Astronomy II.11 [2], стр. 194, 196.
9. Э. С. Кеннеди, «Позднесредневековая планетарная теория», стр. 370.
10. Э. С. Кеннеди, «Позднесредневековая планетарная теория», стр. 377.
11. Салиба, Джордж (1996), «Написание истории арабской астрономии: проблемы и различные точки зрения», Журнал Американского восточного общества , 116 (4): 709–18, doi :10.2307/605441, JSTOR  605441, стр. 716-17.
12. Чья наука — арабская наука в Европе эпохи Возрождения? Джордж Салиба , Колумбийский университет
13. Клаудия Крен, «Вращающееся устройство», стр. 497.
14. Джордж Салиба , «Чья наука — арабская наука в Европе эпохи Возрождения?» [1]
15. Джордж Салиба (27 апреля 2006 г.). «Исламская наука и создание Европы эпохи Возрождения». Библиотека Конгресса . Получено 01.03.2008 .
16. Рут Гласнер и Авиноам Баранесс, «Выпрямление кривизны Альфонсо: еврейский геометрическо-философский трактат четырнадцатого века». Источники и исследования по истории математики и физических наук Берлин/Нью-Йорк: Springer, 2021.
17. Веселовский, ИН (1973). «Коперник и Насир ад-Дин ат-Туси». Журнал истории астрономии . 4 (2): 128–30. Bibcode : 1973JHA.....4..128V. doi : 10.1177/002182867300400205. S2CID  118453340.
18. Клаудия Крен, «Вращающееся устройство», стр. 490-2.
19. Веселовский, ИН (1973). «Коперник и Насир ад-Дин ат-Туси». Журнал истории астрономии . 4 (2): 128–130. Bibcode : 1973JHA.....4..128V. doi : 10.1177/002182867300400205. S2CID  118453340.
20. «Словарь Эпплтона по машинам, механике, машиностроению и машиностроению». 1857.
21. "Polly Model Engineering: наборы стационарных двигателей - Anthony Mount Models". Архивировано из оригинала 2019-03-27 . Получено 2016-12-30 .
22. "Уравнение времени - Введение". equal-of-time.info . Получено 2022-09-04 .
23. Brande, WT (1875), Словарь науки, литературы и искусства, Longmans, Green, and Company, стр. 181 , получено 10 апреля 2017 г.

Ссылки

• Ди Боно, Марио (1995). «Устройство Коперника, Амико, Фракасторо и Туси: наблюдения за использованием и передачей модели». Журнал истории астрономии . 26 (2): 133–154. Bibcode : 1995JHA....26..133D. doi : 10.1177/002182869502600203. S2CID  118330488.
• Кеннеди, ES (1966). «Позднесредневековая планетарная теория». Isis . 57 (3): 365–378. doi :10.1086/350144. S2CID  143569912.
• Крен, Клаудия (1971). «Вращающееся устройство Насира ад-Дина аль-Туси в De spera Николь Орем». Исида . 62 (4): 490–498. дои : 10.1086/350791. S2CID  144526697.
• Рагеп, Ф. Дж. «Две версии пары Туси» в книге « От уважительного к равному: том исследований по истории науки на древнем и средневековом Ближнем Востоке в честь Э. С. Кеннеди» , под ред. Дэвида Кинга и Джорджа Салибы, Анналы Нью-Йоркской академии наук, 500. Нью-Йоркская академия наук, 1987. ISBN 0-89766-396-9 (pbk.) 
• Рагеп, Ф. Дж. Насир ад-Дин ат-Туси «Мемуары по астрономии», Источники по истории математики и физических наук, 12. 2 тома. Берлин/Нью-Йорк: Springer, 1993. ISBN 3-540-94051-0 / ISBN 0-387-94051-0 .  

Внешние ссылки

• Деннис В. Дьюк, «Анимация древних планетарных моделей» включает две интересные ссылки:
  • Интерактивная пара Туси
  • Арабские модели для замены экванта
• Джордж Салиба, «Чья наука — арабская наука в Европе эпохи Возрождения?» Обсуждает модель Насира ад-Дина ат-Туси и взаимодействие арабских, греческих и латинских астрономов.