Подгруппа Фраттини

Диаграмма Хассе решетки подгрупп диэдральной группы Dih ₄ . Во второй строке находятся максимальные подгруппы; их пересечение ( подгруппа Фраттини ) является центральным элементом в третьей строке. Таким образом, Dih ₄ имеет только один непорождающий элемент за пределами e .

В математике , в частности в теории групп , подгруппа Фраттини группы G является пересечением всех максимальных подгрупп группы G. В случае, когда у G нет максимальных подгрупп, например, тривиальной группы { e } или группы Прюфера , она определяется как . Она аналогична радикалу Джекобсона в теории колец и интуитивно может рассматриваться как подгруппа «малых элементов» (см. характеристику «негенератора» ниже). Она названа в честь Джованни Фраттини , который определил эту концепцию в статье, опубликованной в 1885 году. ^[1] ${\displaystyle \Phi (G)}$ ${\displaystyle \Phi (G)=G}$

Некоторые факты

• ${\displaystyle \Phi (G)}$равен множеству всех негенерирующих или негенерирующих элементов G. Негенерирующий элемент G — это элемент, который всегда может быть удален из порождающего множества ; то есть элемент a из G такой, что всякий раз, когда X является порождающим множеством G, содержащим a , он также является порождающим множеством G. ${\displaystyle X\setminus \{a\}}$
• ${\displaystyle \Phi (G)}$всегда является характеристической подгруппой группы G ; в частности, она всегда является нормальной подгруппой группы G.
• Если G конечен, то он нильпотентен . ${\displaystyle \Phi (G)}$
• Если G — конечная p -группа , то . Таким образом, подгруппа Фраттини — это наименьшая (по включению) нормальная подгруппа N такая, что фактор-группа является элементарной абелевой группой , т. е. изоморфна прямой сумме циклических групп порядка p . Более того, если фактор-группа (также называемая фактором Фраттини группы G ) имеет порядок , то k — наименьшее число образующих для G ( то есть наименьшая мощность порождающего множества для G ). В частности, конечная p -группа является циклической тогда и только тогда, когда ее фактор Фраттини является циклическим (порядка p ). Конечная p -группа является элементарной абелевой тогда и только тогда, когда ее подгруппа Фраттини является тривиальной группой , . ${\displaystyle \Phi (G)=G^{p}[G,G]}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G/\Phi (G)}$ ${\displaystyle p^{k}}$ ${\displaystyle \Phi (G)=\{e\}}$
• Если H и K конечны, то . ${\displaystyle \Phi (H\times K)=\Phi (H)\times \Phi (K)}$

Примером группы с нетривиальной подгруппой Фраттини является циклическая группа G порядка , где p — простое число, порожденная , скажем, a ; здесь . ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle \Phi (G)=\left\langle a^{p}\right\rangle }$

Смотрите также

• Подгруппа фитингов
• Аргумент Фраттини
• Цоколь

Ссылки

1. Фраттини, Джованни (1885). «Инструкция по созданию групп операций» (PDF) . Академия Линчеи, Рендиконти . (4). Я : 281–285, 455–457. ЯФМ  17.0097.01.

• Холл, Маршалл (1959). Теория групп . Нью-Йорк: Macmillan. (См. Главу 10, особенно Раздел 10.4.)