преобразование Ганкеля

Математическая операция

В математике преобразование Ганкеля выражает любую заданную функцию f ( r ) как взвешенную сумму бесконечного числа функций Бесселя первого рода J _ν ( kr ) . Все функции Бесселя в сумме имеют один и тот же порядок ν, но различаются масштабным множителем k по оси r . Необходимый коэффициент F _ν каждой функции Бесселя в сумме как функция масштабного множителя k составляет преобразованную функцию. Преобразование Ганкеля является интегральным преобразованием и впервые было разработано математиком Германом Ганкелем . Оно также известно как преобразование Фурье–Бесселя. Так же, как преобразование Фурье для бесконечного интервала связано с рядом Фурье по конечному интервалу, так и преобразование Ганкеля по бесконечному интервалу связано с рядом Фурье–Бесселя по конечному интервалу.

Определение

Преобразование Ганкеля порядка функции f ( r ) определяется выражением ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,\mathrm {d} r,}$

где — функция Бесселя первого рода порядка с . Обратное преобразование Ганкеля F _ν ( k ) определяется как ${\displaystyle J_{\nu }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu \geq -1/2}$

${\displaystyle f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,k\,\mathrm {d} k,}$

что можно легко проверить, используя соотношение ортогональности, описанное ниже.

Область определения

Обращение преобразования Ганкеля функции f ( r ) справедливо в каждой точке, в которой f ( r ) непрерывна, при условии, что функция определена в (0, ∞), является кусочно-непрерывной и имеет ограниченную вариацию в каждом конечном подынтервале в (0, ∞), и

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} r<\infty .}$

Однако, как и в случае преобразования Фурье, область определения может быть расширена с помощью аргумента плотности, чтобы включить некоторые функции, чей интеграл выше не является конечным, например . ${\displaystyle f(r)=(1+r)^{-3/2}}$

Альтернативное определение

Альтернативное определение гласит, что преобразование Ганкеля функции g ( r ) равно ^[1]

${\displaystyle h_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }g(r)J_{\nu }(kr)\,{\sqrt {kr}}\,\mathrm {d} r.}$

Эти два определения связаны:

Если , то ${\displaystyle g(r)=f(r){\sqrt {r}}}$ ${\displaystyle h_{\nu }(k)=F_{\nu }(k){\sqrt {k}}.}$

Это означает, что, как и в предыдущем определении, преобразование Ганкеля, определенное таким образом, также является обратным самому себе:

${\displaystyle g(r)=\int _{0}^{\infty }h_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,{\sqrt {kr}}\,\mathrm {d} k.}$

Очевидный домен теперь имеет условие

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|g(r)|\,\mathrm {d} r<\infty ,}$

но это можно расширить. Согласно ссылке, приведенной выше, мы можем взять интеграл в качестве предела, когда верхний предел стремится к бесконечности ( несобственный интеграл, а не интеграл Лебега ), и таким образом преобразование Ганкеля и его обратное работают для всех функций в L 2 (0, ∞).

Преобразование уравнения Лапласа

Преобразование Ганкеля может быть использовано для преобразования и решения уравнения Лапласа, выраженного в цилиндрических координатах. При преобразовании Ганкеля оператор Бесселя становится умножением на . ^[2] В осесимметричном случае уравнение в частных производных преобразуется как ${\displaystyle -k^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}\left\{{\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right\}=-k^{2}U+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}U,}$

где . Таким образом, лапласиан в цилиндрических координатах становится обыкновенным дифференциальным уравнением относительно преобразованной функции . ${\displaystyle U={\mathcal {H}}_{0}u}$ ${\displaystyle U}$

Ортогональность

Функции Бесселя образуют ортогональный базис относительно весового коэффициента r : ^[3]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)\,r\,\mathrm {d} r={\frac {\delta (k-k')}{k}},\quad k,k'>0.}$

Теорема Планшереля и теорема Парсеваля

Если f ( r ) и g ( r ) таковы, что их преобразования Ганкеля F _ν ( k ) и G _ν ( k ) определены корректно, то теорема Планшереля утверждает:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(r)g(r)\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)G_{\nu }(k)\,k\,\mathrm {d} k.}$

Теорема Парсеваля , которая гласит

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(r)|^{2}\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }|F_{\nu }(k)|^{2}\,k\,\mathrm {d} k,}$

является частным случаем теоремы Планшереля. Эти теоремы можно доказать, используя свойство ортогональности.

Связь с многомерным преобразованием Фурье

Преобразование Ганкеля возникает при записи многомерного преобразования Фурье в гиперсферических координатах , поэтому преобразование Ганкеля часто встречается в физических задачах с цилиндрической или сферической симметрией.

Рассмотрим функцию -мерного вектора r . Ее -мерное преобразование Фурье определяется как Чтобы переписать его в гиперсферических координатах, мы можем использовать разложение плоской волны на -мерные гиперсферические гармоники : ^[4] где и - наборы всех гиперсферических углов в -пространстве и -пространстве. Это дает следующее выражение для -мерного преобразования Фурье в гиперсферических координатах: Если мы разложим и в гиперсферических гармониках: преобразование Фурье в гиперсферических координатах упрощается до Это означает, что функции с угловой зависимостью в виде гиперсферической гармоники сохраняют ее при многомерном преобразовании Фурье, в то время как радиальная часть подвергается преобразованию Ханкеля (с точностью до некоторых дополнительных факторов, таких как ). ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\textstyle d}$ ${\textstyle d}$ $${\displaystyle F(\mathbf {k} )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,\mathrm {d} \mathbf {r} .}$$ ${\textstyle d}$ ${\displaystyle Y_{l,m}}$ $${\displaystyle e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=(2\pi )^{d/2}(kr)^{1-d/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}J_{d/2-1+l}(kr)\sum _{m}Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} })Y_{l,m}^{*}(\Omega _{\mathbf {r} }),}$$ ${\textstyle \Omega _{\mathbf {r} }}$ ${\textstyle \Omega _{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\textstyle d}$ $${\displaystyle F(\mathbf {k} )=(2\pi )^{d/2}k^{1-d/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}\sum _{m}Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} })\int _{0}^{+\infty }J_{d/2-1+l}(kr)r^{d/2}\mathrm {d} r\int f(\mathbf {r} )Y_{l,m}^{*}(\Omega _{\mathbf {r} })\mathrm {d} \Omega _{\mathbf {r} }.}$$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle F(\mathbf {k} )}$ $${\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m}f_{l,m}(r)Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {r} }),\quad F(\mathbf {k} )=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m}F_{l,m}(k)Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} }),}$$ $${\displaystyle k^{d/2-1}F_{l,m}(k)=(2\pi )^{d/2}(-i)^{l}\int _{0}^{+\infty }r^{d/2-1}f_{l,m}(r)J_{d/2-1+l}(kr)r\mathrm {d} r.}$$ ${\textstyle r^{d/2-1}}$

Особые случаи

Преобразование Фурье в двух измерениях

Если двумерную функцию f ( r ) разложить в многополюсный ряд ,

${\displaystyle f(r,\theta )=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f_{m}(r)e^{im\theta _{\mathbf {r} }},}$

тогда ее двумерное преобразование Фурье имеет вид где - преобразование Ганкеля -го порядка (в данном случае играет роль момента импульса, который в предыдущем разделе обозначался через ). $${\displaystyle F(\mathbf {k} )=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{\mathbf {k} }}F_{m}(k),}$$ $${\displaystyle F_{m}(k)=\int _{0}^{\infty }f_{m}(r)J_{m}(kr)\,r\,\mathrm {d} r}$$ ${\textstyle m}$ ${\displaystyle f_{m}(r)}$ ${\textstyle m}$ ${\textstyle l}$

Преобразование Фурье в трех измерениях

Если трехмерную функцию f ( r ) разложить в многополюсный ряд по сферическим гармоникам ,

${\displaystyle f(r,\theta _{\mathbf {r} },\varphi _{\mathbf {r} })=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m=-l}^{+l}f_{l,m}(r)Y_{l,m}(\theta _{\mathbf {r} },\varphi _{\mathbf {r} }),}$

тогда его трехмерное преобразование Фурье задается выражением, где — преобразование Ганкеля порядка . $${\displaystyle F(k,\theta _{\mathbf {k} },\varphi _{\mathbf {k} })=(2\pi )^{3/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}\sum _{m=-l}^{+l}F_{l,m}(k)Y_{l,m}(\theta _{\mathbf {k} },\varphi _{\mathbf {k} }),}$$ $${\displaystyle {\sqrt {k}}F_{l,m}(k)=\int _{0}^{+\infty }{\sqrt {r}}f_{l,m}(r)J_{l+1/2}(kr)r\mathrm {d} r.}$$ ${\displaystyle {\sqrt {r}}f_{l,m}(r)}$ ${\textstyle (l+1/2)}$

Этот вид преобразования Ганкеля полуцелого порядка также известен как сферическое преобразование Бесселя.

Преобразование Фурье вгразмеры (радиально-симметричный корпус)

Если d -мерная функция f ( r ) не зависит от угловых координат, то ее d -мерное преобразование Фурье F ( k ) также не зависит от угловых координат и определяется выражением ^[5], которое является преобразованием Ганкеля порядка с точностью до множителя . $${\displaystyle k^{d/2-1}F(k)=(2\pi )^{d/2}\int _{0}^{+\infty }r^{d/2-1}f(r)J_{d/2-1}(kr)r\mathrm {d} r.}$$ ${\displaystyle r^{d/2-1}f(r)}$ ${\textstyle (d/2-1)}$ ${\displaystyle (2\pi )^{d/2}}$

Двумерные функции внутри ограниченного радиуса

Если двумерная функция f ( r ) разложена в многополюсный ряд и коэффициенты разложения f _m достаточно гладкие вблизи начала координат и равны нулю вне радиуса R , то радиальную часть f ( r )/ r ^m можно разложить в степенной ряд 1 − ( r / R )^2 :

${\displaystyle f_{m}(r)=r^{m}\sum _{t\geq 0}f_{m,t}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t},\quad 0\leq r\leq R,}$

таким образом, что двумерное преобразование Фурье функции f ( r ) становится

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\mathbf {k} )&=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}\sum _{t}f_{m,t}\int _{0}^{R}r^{m}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t}J_{m}(kr)r\,\mathrm {d} r&&\\&=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{m,t}\int _{0}^{1}x^{m+1}(1-x^{2})^{t}J_{m}(kxR)\,\mathrm {d} x&&(x={\tfrac {r}{R}})\\&=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{m,t}{\frac {t!2^{t}}{(kR)^{1+t}}}J_{m+t+1}(kR),\end{aligned}}}$

где последнее равенство следует из §6.567.1 ^[6] Коэффициенты разложения f _m,t доступны с помощью методов дискретного преобразования Фурье : ^[7] если радиальное расстояние масштабируется с помощью

${\displaystyle r/R\equiv \sin \theta ,\quad 1-(r/R)^{2}=\cos ^{2}\theta ,}$

коэффициенты ряда Фурье-Чебышева g возникают как

${\displaystyle f(r)\equiv r^{m}\sum _{j}g_{m,j}\cos(j\theta )=r^{m}\sum _{j}g_{m,j}T_{j}(\cos \theta ).}$

Использование повторного расширения

${\displaystyle \cos(j\theta )=2^{j-1}\cos ^{j}\theta -{\frac {j}{1}}2^{j-3}\cos ^{j-2}\theta +{\frac {j}{2}}{\binom {j-3}{1}}2^{j-5}\cos ^{j-4}\theta -{\frac {j}{3}}{\binom {j-4}{2}}2^{j-7}\cos ^{j-6}\theta +\cdots }$

дает f _m,t, выраженные в виде суммы g _m,j .

Это один из видов быстрых методов преобразования Ханкеля.

Связь с преобразованиями Фурье и Абеля

Преобразование Ханкеля является одним из членов цикла FHA интегральных операторов. В двух измерениях, если мы определим A как оператор преобразования Абеля , F как оператор преобразования Фурье и H как оператор преобразования Ханкеля нулевого порядка, то частный случай теоремы о проекции-срезе для кругово-симметричных функций утверждает, что

${\displaystyle FA=H.}$

Другими словами, применение преобразования Абеля к одномерной функции, а затем применение преобразования Фурье к этому результату равнозначно применению преобразования Ханкеля к этой функции. Эту концепцию можно распространить на более высокие измерения.

Численная оценка

Простой и эффективный подход к численной оценке преобразования Ханкеля основан на наблюдении, что его можно представить в виде свертки путем логарифмической замены переменных ^[8]. В этих новых переменных преобразование Ханкеля имеет вид , где $${\displaystyle r=r_{0}e^{-\rho },\quad k=k_{0}\,e^{\kappa }.}$$ $${\displaystyle {\tilde {F}}_{\nu }(\kappa )=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {f}}(\rho ){\tilde {J}}_{\nu }(\kappa -\rho )\,\mathrm {d} \rho ,}$$ $${\displaystyle {\tilde {f}}(\rho )=\left(r_{0}\,e^{-\rho }\right)^{1-n}\,f(r_{0}e^{-\rho }),}$$ $${\displaystyle {\tilde {F}}_{\nu }(\kappa )=\left(k_{0}\,e^{\kappa }\right)^{1+n}\,F_{\nu }(k_{0}e^{\kappa }),}$$ $${\displaystyle {\tilde {J}}_{\nu }(\kappa -\rho )=\left(k_{0}\,r_{0}\,e^{\kappa -\rho }\right)^{1+n}\,J_{\nu }(k_{0}r_{0}e^{\kappa -\rho }).}$$

Теперь интеграл можно вычислить численно со сложностью, используя быстрое преобразование Фурье . Алгоритм можно еще больше упростить, используя известное аналитическое выражение для преобразования Фурье : ^[9] Оптимальный выбор параметров зависит от свойств , в частности его асимптотического поведения при и ${\textstyle O(N\log N)}$ ${\displaystyle {\tilde {J}}_{\nu }}$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\tilde {J}}_{\nu }(x)e^{-iqx}\,\mathrm {d} x={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1+n-iq}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +1-n+iq}{2}}\right)}}\,2^{n-iq}e^{iq\ln(k_{0}r_{0})}.}$$ ${\displaystyle r_{0},k_{0},n}$ ${\displaystyle f(r),}$ ${\displaystyle r\to 0}$ ${\displaystyle r\to \infty .}$

Этот алгоритм известен как «квазибыстрое преобразование Ганкеля» или просто «быстрое преобразование Ганкеля».

Поскольку он основан на быстром преобразовании Фурье в логарифмических переменных, должен быть определен на логарифмической сетке. Для функций, определенных на равномерной сетке, существует ряд других алгоритмов, включая простую квадратуру , методы, основанные на теореме о проекции-срезе , и методы, использующие асимптотическое разложение функций Бесселя. ^[10] ${\displaystyle f(r)}$

Некоторые пары преобразований Ганкеля

^[11]

K _n ( z ) -- модифицированная функция Бесселя второго рода . K ( z ) -- полный эллиптический интеграл первого рода .

Выражение

${\displaystyle {\frac {\,\mathrm {d} ^{2}F_{0}\,}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\,\mathrm {d} F_{0}\,}{\mathrm {d} k}}}$

совпадает с выражением для оператора Лапласа в полярных координатах ( k , θ ), примененного к сферически симметричной функции F ₀ ( k ).

Преобразование Ганкеля полиномов Цернике по сути является функцией Бесселя (Нолл, 1976):

${\displaystyle R_{n}^{m}(r)=(-1)^{\frac {n-m}{2}}\int _{0}^{\infty }J_{n+1}(k)J_{m}(kr)\,\mathrm {d} k}$

для четных n − m ≥ 0 .

Смотрите также

• преобразование Фурье
• Интегральное преобразование
• преобразование Абеля
• Ряд Фурье–Бесселя
• полином Неймана
• Преобразования Y и H

Ссылки

1. Луи де Бранж (1968). Гильбертовы пространства целых функций . Лондон: Prentice-Hall. С. 189. ISBN 978-0133889000.
2. Poularikas, Alexander D. (1996). Справочник по преобразованиям и приложениям . Boca Raton Fla.: CRC Press. ISBN 0-8493-8342-0. OCLC  32237017.
3. Понсе де Леон, Ж. (2015). «Возвращаясь к ортогональности функций Бесселя первого рода на бесконечном интервале». European Journal of Physics . 36 (1): 015016. Bibcode : 2015EJPh...36a5016P. doi : 10.1088/0143-0807/36/1/015016.
4. Эвери, Джеймс Эмиль. Гиперсферические гармоники и их физические приложения . ISBN 978-981-322-930-3. OCLC  1013827621.
5. Фарис, Уильям Г. (2008-12-06). "Радиальные функции и преобразование Фурье: заметки для математики 583A, осень 2008" (PDF) . Университет Аризоны, математический факультет . Получено 2015-04-25 .
6. Градштейн, И.С.; Рыжик, И.М. (2015). Цвиллингер, Даниэль (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений (восьмое изд.). Academic Press. стр. 687. ISBN 978-0-12-384933-5.
7. Секада, Хосе Д. (1999). «Численная оценка преобразования Ханкеля». Вычислить. Физ. Коммун . 116 (2–3): 278–294. Бибкод : 1999CoPhC.116..278S. дои : 10.1016/S0010-4655(98)00108-8.
8. Зигман, AE (1 июля 1977 г.). «Квазибыстрое преобразование Ханкеля». Оптические письма . 1 (1): 13. Бибкод : 1977OptL....1...13S. дои : 10.1364/ол.1.000013. ISSN  0146-9592. ПМИД  19680315.
9. Talman, James D. (октябрь 1978). «Численные преобразования Фурье и Бесселя в логарифмических переменных». Journal of Computational Physics . 29 (1): 35–48. Bibcode : 1978JCoPh..29...35T. doi : 10.1016/0021-9991(78)90107-9. ISSN  0021-9991.
10. Кри, М. Дж.; Боунс, П. Дж. (июль 1993 г.). «Алгоритмы для численной оценки преобразования Ганкеля». Компьютеры и математика с приложениями . 26 (1): 1–12. doi : 10.1016/0898-1221(93)90081-6 . ISSN  0898-1221.
11. Папулис, Афанасиос (1981). Системы и преобразования с приложениями к оптике . Флорида, США: Krieger Publishing Company. С. 140–175. ISBN 978-0898743586.
12. Kausel, E.; Irfan Baig, MM (2012). «Преобразование Лапласа произведений функций Бесселя: посещение более ранних формул» (PDF) . Quarterly of Applied Mathematics . 70 : 77–97. doi : 10.1090/s0033-569x-2011-01239-2 . hdl :1721.1/78923.

• Гаскилл, Джек Д. (1978). Линейные системы, преобразования Фурье и оптика . Нью-Йорк: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-29288-3.
• Полянин, АД; Манжиров, АВ (1998). Справочник по интегральным уравнениям . Boca Raton: CRC Press. ISBN 978-0-8493-2876-3.
• Смайт, Уильям Р. (1968). Статическое и динамическое электричество (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 179–223.
• Оффорд, AC (1935). «О преобразованиях Ганкеля». Труды Лондонского математического общества . 39 (2): 49–67. doi :10.1112/plms/s2-39.1.49.
• Eason, G.; Noble, B.; Sneddon, IN (1955). «О некоторых интегралах типа Липшица-Ганкеля, включающих произведения функций Бесселя». Philosophical Transactions of the Royal Society A. 247 ( 935): 529–551. Bibcode : 1955RSPTA.247..529E. doi : 10.1098/rsta.1955.0005. JSTOR  91565.
• Килпатрик, Дж. Э.; Кацура, Шигетоши; Иноуэ, Юджи (1967). «Вычисление интегралов произведений функций Бесселя». Математика вычислений . 21 (99): 407–412. doi : 10.1090/S0025-5718-67-99149-1 .
• Маккиннон, Роберт Ф. (1972). «Асимптотические разложения преобразований Ганкеля и связанных с ними интегралов». Математика вычислений . 26 (118): 515–527. doi : 10.1090/S0025-5718-1972-0308695-9 . JSTOR  2003243.
• Линц, Питер; Кропп, TE (1973). «Заметка о вычислении интегралов, включающих произведения тригонометрических и функций Бесселя». Математика вычислений . 27 (124): 871–872. doi : 10.2307/2005522 . JSTOR  2005522.
• Нолл, Роберт Дж. (1976). «Полиномы Цернике и атмосферная турбулентность». Журнал оптического общества Америки . 66 (3): 207–211. Bibcode : 1976JOSA...66..207N. doi : 10.1364/JOSA.66.000207.
• Зигман, А.Е. (1977). «Квазибыстрое преобразование Ханкеля». Опция Летт . 1 (1): 13–15. Бибкод : 1977OptL....1...13S. дои : 10.1364/OL.1.000013. ПМИД  19680315.
• Магни, Витторио; Черулло, Джулио; Де Сильверстри, Сандро (1992). «Высокоточное быстрое преобразование Ханкеля для распространения оптического луча». J. Опт. Соц. Являюсь. А.​ 9 (11): 2031–2033. Бибкод : 1992JOSAA...9.2031M. doi : 10.1364/JOSAA.9.002031.
• Аньези, А.; Реали, Джанкарло К.; Патрини, Дж.; Томаселли, А. (1993). «Численная оценка преобразования Ханкеля: замечания». Журнал Оптического общества Америки А. 10 (9): 1872. Бибкод : 1993JOSAA..10.1872A. дои : 10.1364/JOSAA.10.001872.
• Баракат, Ричард (1996). «Численная оценка преобразования Ганкеля нулевого порядка с использованием философии квадратуры Филона». Applied Mathematics Letters . 9 (5): 21–26. doi : 10.1016/0893-9659(96)00067-5 . MR  1415467.
• Феррари, Хосе А.; Персианте, Дэниел; Дубра, Альфредо (1999). «Быстрое преобразование Ханкеля n-го порядка». J. Опт. Соц. Являюсь. А.​ 16 (10): 2581–2582. Бибкод : 1999JOSAA..16.2581F. дои : 10.1364/JOSAA.16.002581.
• Видер, Томас (1999). «Алгоритм 794: Численное преобразование Ганкеля программой HANKEL на Фортране». ACM Trans. Math. Softw . 25 (2): 240–250. doi : 10.1145/317275.317284 .
• Knockaert, Luc (2000). «Быстрое преобразование Ганкеля с помощью быстрых преобразований синуса и косинуса: связь Меллина». IEEE Trans. Signal Process . 48 (6): 1695–1701. Bibcode : 2000ITSP...48.1695K. CiteSeerX  10.1.1.721.1633 . doi : 10.1109/78.845927. hdl : 20.500.12860/4476.
• Zhang, DW; Yuan, X.-C.; Ngo, NQ; Shum, P. (2002). «Быстрое преобразование Ганкеля и его применение для изучения распространения цилиндрических электромагнитных полей». Opt. Express . 10 (12): 521–525. Bibcode : 2002OExpr..10..521Z. doi : 10.1364/oe.10.000521 . PMID  19436390.
• Маркхэм, Джоанн; Кончелло, Хосе-Анхель (2003). «Численная оценка преобразований Ганкеля для осциллирующих функций». J. Opt. Soc. Am. A. 20 ( 4): 621–630. Bibcode : 2003JOSAA..20..621M. doi : 10.1364/JOSAA.20.000621. PMID  12683487.
• Perciante, César D.; Ferrari, José A. (2004). «Быстрое преобразование Ганкеля n-го порядка с улучшенной производительностью». J. Opt. Soc. Am. A. 21 ( 9): 1811–2. Bibcode : 2004JOSAA..21.1811P. doi : 10.1364/JOSAA.21.001811. PMID  15384449.
• Gizar-Sicairos, Manuel; Guitierrez-Vega, Julio C. (2004). «Вычисление квазидискретного преобразования Ганкеля целого порядка для распространяющихся оптических волновых полей». J. Opt. Soc. Am. A. 21 ( 1): 53–58. Bibcode : 2004JOSAA..21...53G. doi : 10.1364/JOSAA.21.000053. PMID  14725397.
• Сержан, Чарльз (2007). «Представление Цернике-Бесселя и его применение к преобразованиям Ганкеля». J. Опт. Соц. Являюсь. А.​ 24 (6): 1609–1616. Бибкод : 2007JOSAA..24.1609C. дои : 10.1364/JOSAA.24.001609. ПМИД  17491628.