Шум Джонсона-Найквиста

Электронный шум, вызванный тепловой вибрацией внутри проводника

Рисунок 1. Эксперимент Джонсона 1927 года показал , что если тепловой шум от сопротивления при температуре ограничен полосой пропускания , то его среднеквадратичное напряжение в общем случае равно , где - постоянная Больцмана . ${\displaystyle {\text{R}}}$ ${\displaystyle {\text{T}}}$ ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle (V_{\text{rms}})}$ ${\displaystyle {\sqrt {4k_{\text{B}}{\text{T}}\,{\text{R}}\,\Delta f}}}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}}$

Шум Джонсона-Найквиста ( тепловой шум , шум Джонсона или шум Найквиста ) — это электронный шум, создаваемый тепловым возбуждением носителей заряда (обычно электронов ) внутри электрического проводника в состоянии равновесия, которое происходит независимо от приложенного напряжения . Тепловой шум присутствует во всех электрических цепях , а в чувствительном электронном оборудовании (например, радиоприемниках ) может заглушать слабые сигналы и может быть ограничивающим фактором чувствительности электроизмерительных приборов. Тепловой шум пропорционален абсолютной температуре , поэтому некоторое чувствительное электронное оборудование, такое как приемники радиотелескопов, охлаждают до криогенных температур для улучшения отношения сигнал/шум . Общий статистический физический вывод этого шума называется теоремой флуктуации-диссипации , где обобщенный импеданс или обобщенная восприимчивость используются для характеристики среды.

Рисунок 2. Шум Джонсона-Найквиста имеет почти постоянную спектральную плотность мощности 4 кБ Т Р на единицу частоты , но спадает до нуля из-за квантовых эффектов на высоких частотах ( терагерц для комнатной температуры). Горизонтальная ось этого графика использует логарифмическую шкалу , так что _каждая вертикальная линия соответствует десятой степени частоты в герцах .

Тепловой шум в идеальном резисторе приблизительно белый , что означает, что его спектральная плотность мощности почти постоянна по всему спектру частот (рисунок 2). При ограничении конечной полосы пропускания и рассмотрении во временной области (как показано на рисунке 1) тепловой шум имеет почти гауссово распределение амплитуды . ^[1]

В общем случае это определение применимо к носителям заряда в любом типе проводящей среды (например, ионы в электролите ), а не только к резисторам . Тепловой шум отличается от дробового шума , который состоит из дополнительных колебаний тока, которые возникают, когда прикладывается напряжение и начинает течь макроскопический ток.

История теплового шума

В 1905 году в одной из статей Annus mirabilis Альберта Эйнштейна теория броуновского движения была впервые решена в терминах тепловых флуктуаций. В следующем году во второй статье о броуновском движении Эйнштейн предположил, что те же явления могут быть применены для получения тепловых токов, но не выполнил расчет, поскольку посчитал его непроверяемым. ^[2]

Гертруда де Хаас-Лоренц , дочь Хендрика Лоренца , в своей докторской диссертации 1912 года расширила стохастическую теорию Эйнштейна и впервые применила ее к изучению электронов, выведя формулу для среднеквадратичного значения теплового тока. ^{[2] [3]}

Уолтер Х. Шоттки изучал эту проблему в 1918 году, изучая тепловой шум с использованием теорий Эйнштейна, и экспериментально открыл другой вид шума — дробовой шум . ^[2]

Фриц Цернике, работая в области электрометрологии, обнаружил необычные случайные отклонения при работе с высокочувствительными гальванометрами . Он отверг идею о том, что шум был механическим, и пришел к выводу, что он имел тепловую природу. В 1927 году он ввел идею автокорреляции в электрические измерения и вычислил предел обнаружения по времени. Его работа совпала с предсказанием де Гааза-Лоренца. ^[2]

В том же году, работая независимо, не имея никаких знаний о работе Зернике, Джон Б. Джонсон, работавший в Bell Labs, обнаружил тот же тип шума в системах связи, но описал его в терминах частот. ^{[4] [5] [2]} Он описал свои выводы Гарри Найквисту , также работавшему в Bell Labs, который использовал принципы термодинамики и статистической механики для объяснения результатов, опубликованных в 1928 году ^{. [6]}

Шум идеальных резисторов для умеренных частот

Рисунок 3. В то время как тепловой шум имеет почти постоянную спектральную плотность мощности , полосовой фильтр с полосой пропускания пропускает только затененную область высотой и шириной . Примечание: практические фильтры не имеют отсечек типа «кирпичная стена» , поэтому левый и правый края этой области не идеально вертикальны. ${\displaystyle 4k_{\text{B}}TR}$ ${\displaystyle \Delta f{=}f_{\text{upper}}{-}f_{\text{lower}}}$ ${\displaystyle 4k_{\text{B}}TR}$ ${\displaystyle \Delta f}$

Эксперимент Джонсона (рисунок 1) показал, что тепловой шум от сопротивления при температуре Кельвина и полосе пропускания, ограниченной полосой частот ( рисунок 3), имеет среднеквадратичное напряжение: ^[5] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Delta f}$

${\displaystyle {\overline {V_{n}^{2}}}=4k_{\text{B}}TR\,\Delta f}$

где - постоянная Больцмана ( ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$1,380 649 × 10 ⁻²³ джоулей на кельвин ). Хотя это уравнение применимо к идеальным резисторам (т. е. чистым сопротивлениям без какой-либо зависимости от частоты) при неэкстремальных частотах и ​​температурах, более точная общая форма учитывает сложные импедансы и квантовые эффекты. Традиционная электроника обычно работает в более ограниченной полосе пропускания , поэтому уравнение Джонсона часто оказывается удовлетворительным.

Спектральная плотность мощности

Среднеквадратичное напряжение на герц полосы пропускания может быть названо спектральной плотностью мощности (рисунок 2). ^{[примечание 1]} Его квадратный корень при комнатной температуре (около 300 К) приблизительно равен 0,13 в единицах ⁠ ${\displaystyle 4k_{\text{B}}TR}$ ${\displaystyle {\sqrt {R}}}$нановольты/√ герц⁠ . Например, резистор сопротивлением 10 кОм будет иметь приблизительно 13  ⁠нановольты/√ герц⁠ при комнатной температуре.

Среднеквадратичное шумовое напряжение

Рисунок 4. Эти схемы эквивалентны:

(A) Резистор при ненулевой температуре с внутренним тепловым шумом;

(B) Его эквивалентная схема Тевенена : бесшумный резистор последовательно с источником шумового напряжения ;

(C) Его эквивалентная схема Нортона : бесшумное сопротивление параллельно с источником шумового тока .

Квадратный корень из среднеквадратичного напряжения дает среднеквадратичное (RMS) напряжение, наблюдаемое в полосе пропускания : ${\displaystyle \Delta f}$

${\displaystyle V_{\text{rms}}={\sqrt {\overline {V_{n}^{2}}}}={\sqrt {4k_{\text{B}}TR\,\Delta f}}\,.}$

Резистор с тепловым шумом можно представить с помощью эквивалентной схемы Тевенена (рисунок 4B), состоящей из бесшумного резистора, последовательно соединенного с источником гауссовского шумового напряжения с указанным выше среднеквадратичным напряжением.

При комнатной температуре сопротивление 3 кОм обеспечивает почти один микровольт среднеквадратичного шума на частотах свыше 20 кГц ( диапазон слышимости человека ), а сопротивление 60 Ом·Гц соответствует почти одному нановольту среднеквадратичного шума. ${\displaystyle R\,\Delta f}$

Среднеквадратичное значение тока шума

Резистор с тепловым шумом также можно преобразовать в эквивалентную схему Нортона (рисунок 4C), состоящую из резистора без шума, соединенного параллельно с источником тока гауссовского шума со следующим среднеквадратичным током:

${\displaystyle I_{\text{rms}}={V_{\text{rms}} \over R}={\sqrt {{4k_{\text{B}}T\Delta f} \over R}}.}$

Тепловой шум на конденсаторах

Идеальные конденсаторы , как устройства без потерь, не имеют теплового шума. Однако комбинация резистора и конденсатора ( RC-цепь , обычный фильтр нижних частот ) имеет то, что называется шумом kTC . Ширина полосы шума RC-цепи равна ^[7] Когда это подставляется в уравнение теплового шума, результат имеет необычайно простую форму, поскольку значение сопротивления ( R ) выпадает из уравнения. Это происходит потому, что более высокое R уменьшает полосу пропускания так же сильно, как и увеличивает шум. ${\displaystyle \Delta f{=}{\tfrac {1}{4RC}}.}$

Среднеквадратичное и среднеквадратичное напряжение шума, генерируемое в таком фильтре, составляют: ^[8]

${\displaystyle {\overline {V_{n}^{2}}}={4k_{\text{B}}TR \over 4RC}={k_{\text{B}}T \over C}}$

${\displaystyle V_{\text{rms}}={\sqrt {4k_{\text{B}}TR \over 4RC}}={\sqrt {k_{\text{B}}T \over C}}.}$

Шумовой заряд равен емкости , умноженной на напряжение: ${\displaystyle Q_{n}}$

${\displaystyle Q_{n}=C\,V_{n}=C{\sqrt {k_{\text{B}}T \over C}}={\sqrt {k_{\text{B}}TC}}}$

${\displaystyle {\overline {Q_{n}^{2}}}=C^{2}\,{\overline {V_{n}^{2}}}=C^{2}{k_{\text{B}}T \over C}=k_{\text{B}}TC}$

Этот шум заряда является источником термина « шум kTC ». Хотя он не зависит от номинала резистора, 100% шума kTC возникает в резисторе. Поэтому было бы неправильно дважды учитывать как тепловой шум резистора, так и связанный с ним шум kTC ^[7] , и следует использовать только температуру резистора, даже если резистор и конденсатор находятся при разных температурах. Некоторые значения приведены в таблице ниже:

Сбросить шум

Крайним случаем является предел нулевой полосы пропускания, называемый шумом сброса, оставленным на конденсаторе при размыкании идеального переключателя . Хотя сопротивление разомкнутого состояния идеального переключателя бесконечно, формула все еще применима. Однако теперь среднеквадратичное напряжение должно интерпретироваться не как среднее по времени, а как среднее по многим таким событиям сброса, поскольку напряжение постоянно, когда полоса пропускания равна нулю. В этом смысле шум Джонсона RC-цепи можно рассматривать как неотъемлемый, эффект термодинамического распределения числа электронов на конденсаторе, даже без участия резистора.

Шум вызван не самим конденсатором, а термодинамическими флуктуациями количества заряда на конденсаторе. После того, как конденсатор отсоединяется от проводящей цепи, термодинамическая флуктуация замораживается на случайном значении со стандартным отклонением , как указано выше. Шум сброса емкостных датчиков часто является ограничивающим источником шума, например, в датчиках изображения .

Любая система, находящаяся в тепловом равновесии, имеет переменные состояния со средней энергией ⁠кТ/2⁠ на степень свободы . Используя формулу для энергии на конденсаторе ( E  = ⁠1/2⁠ CV ² ), можно увидеть, что средняя энергия шума на конденсаторе также равна ⁠1/2⁠ С ⁠кТ/С⁠ = ⁠кТ/2⁠ . Тепловой шум конденсатора можно вывести из этого соотношения, без учета сопротивления.

Термометрия

Шум Джонсона-Найквиста применяется в точных измерениях, где его обычно называют «шумовой термометрией Джонсона». ^[9]

Например, в 2017 году NIST использовал шумовую термометрию Джонсона для измерения постоянной Больцмана с погрешностью менее 3 ppm . Это было достигнуто с помощью стандарта напряжения Джозефсона и квантового резистора Холла , удерживаемого при температуре тройной точки воды . Напряжение измеряется в течение 100 дней и интегрируется. ^[10]

Это было сделано в 2017 году, когда тройная точка температуры воды по определению составляла 273,16 К, а постоянная Больцмана была экспериментально измерена. Поскольку акустическая газовая термометрия достигла 0,2 ppm погрешности, а шум Джонсона 2,8 ppm, это выполнило предпосылки для переопределения. После переопределения 2019 года кельвин был определен так, что постоянная Больцмана составила 1,380649×10−23 ^Дж⋅К − ¹ , и тройная точка воды стала экспериментально измеренной. ^{[11] [12] [13]}

Тепловой шум на индукторах

Индукторы являются аналогом конденсаторов. Аналогично шуму kTC, резистор с индуктивностью приводит к появлению шумового тока , который не зависит от сопротивления: ^[14] ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\overline {I_{n}^{2}}}={k_{\text{B}}T \over L}\,.}$

Максимальная передача мощности шума

Шум, генерируемый резистором, может передаваться в оставшуюся цепь. Максимальная передача мощности происходит, когда эквивалентное сопротивление Тевенина оставшейся цепи совпадает . ^[14] В этом случае каждый из двух резисторов рассеивает шум как в себе, так и в другом резисторе. Поскольку только половина напряжения источника падает на любом из этих резисторов, эта максимальная передача мощности шума составляет: ${\displaystyle R_{\text{S}}}$ ${\displaystyle R_{\rm {L}}}$ ${\displaystyle R_{\text{S}}}$

${\displaystyle P_{\text{max}}=k_{\text{B}}\,T\Delta f\,.}$

Этот максимум не зависит от сопротивления и называется доступной мощностью шума от резистора. ^[14]

Доступная мощность шума в децибел-милливаттах

Мощность сигнала часто измеряется в дБм ( децибелах относительно 1 милливатт ). Таким образом, доступная мощность шума будет в дБм. При комнатной температуре (300 К) доступная мощность шума может быть легко аппроксимирована как дБм для полосы пропускания в герцах. ^{[14] [15] : 260} Некоторые примеры доступной мощности шума в дБм приведены в таблице ниже: ${\displaystyle 10\ \log _{10}({\tfrac {k_{\text{B}}T\Delta f}{\text{1 mW}}})}$ ${\displaystyle 10\ \log _{10}(\Delta f)-173.8}$

Вывод Найквиста шума идеального резистора

Рисунок 5. Схема мысленного эксперимента Найквиста 1928 года ^{[6] [2]} с использованием двух шумовых резисторов (каждый представлен здесь как резистор без шума, соединенный последовательно с источником шумового напряжения), соединенных через длинную линию передачи без потерь длиной . Шумовой сигнал каждого резистора распространяется по линии со скоростью . Все импедансы идентичны, поэтому оба сигнала поглощаются противоположным резистором вместо того, чтобы отражаться . Затем Найквист представил себе закорачивание обоих концов линии, тем самым удерживая энергию в полете на линии. Поскольку вся энергия в полете теперь полностью отражается (из-за теперь несогласованного импеданса), энергию в полете можно представить как сумму синусоидальных стоячих волн . Для полосы частот существуют моды колебаний . ^{[примечание 3]} Каждая мода обеспечивает энергии в среднем, из которых электрическая и магнитная, поэтому общая энергия в этой полосе пропускания в среднем составляет Каждый резистор вносит вклад (половина этой общей энергии). Но поскольку до замыкания изначально не было отражений, значение этой общей энергии в полете также равно объединенной энергии, которая была передана от обоих резисторов к линии в течение интервала времени прохождения . Деление средней энергии , переданной от каждого резистора к линии, на интервал времени прохождения дает общую мощность , переданную по полосе пропускания в среднем от каждого резистора. ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle {\text{v}}}$

${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle 2l\,\Delta f/{\text{v}}}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}T}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}T/2}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}T/2}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}T\cdot 2l\,\Delta f/{\text{v}}.}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}T\cdot l\,\Delta f/{\text{v}}}$

${\displaystyle l/{\text{v}}}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}T\,\Delta f}$ ${\displaystyle \Delta f}$

В статье Найквиста 1928 года "Тепловое возбуждение электрического заряда в проводниках" ^[6] использовались концепции потенциальной энергии и гармонических осцилляторов из закона равнораспределения Больцмана и Максвелла ^[16] для объяснения экспериментального результата Джонсона. Мысленный эксперимент Найквиста суммировал энергетический вклад каждой моды стоячей волны колебаний на длинной линии передачи без потерь между двумя равными резисторами ( ). Согласно заключению на рисунке 5, общая средняя мощность, переданная по полосе пропускания и поглощенная ею, была определена как: ${\displaystyle R_{1}{=}R_{2}}$ ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$

${\displaystyle {\overline {P_{1}}}=k_{\rm {B}}T\,\Delta f\,.}$

Простое применение закона Ома гласит, что ток от (тепловой шум напряжения только ) через объединенное сопротивление равен , поэтому мощность, передаваемая от к , равна квадрату этого тока, умноженному на , что упрощается до: ^[6] ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\textstyle I_{1}{=}{\tfrac {V_{1}}{R_{1}+R_{2}}}{=}{\tfrac {V_{1}}{2R_{1}}}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle R_{2}}$

${\displaystyle P_{\text{1}}=I_{1}^{2}R_{2}=I_{1}^{2}R_{1}=\left({\frac {V_{1}}{2R_{1}}}\right)^{2}R_{1}={\frac {V_{1}^{2}}{4R_{1}}}\,.}$

Приравнивая это выражение к предыдущему выражению средней мощности, можно вычислить среднее значение по этой полосе пропускания: ${\textstyle P_{\text{1}}}$ ${\textstyle {\overline {P_{1}}}}$ ${\textstyle V_{1}^{2}}$

${\displaystyle {\overline {V_{1}^{2}}}=4k_{\text{B}}T{R_{1}}\,\Delta f\,.}$

Найквист использовал схожие рассуждения, чтобы предоставить обобщенное выражение, которое применимо также к неравным и комплексным импедансам. И хотя Найквист выше использовал классическую теорию , Найквист завершил свою статью, попытавшись использовать более сложное выражение, включающее постоянную Планка (из новой теории квантовой механики ). ^[6] ${\displaystyle k_{\rm {B}}T}$ ${\displaystyle h}$

Обобщенные формы

Описанный выше шум напряжения является частным случаем чисто резистивного компонента для низких и средних частот. В целом, тепловой электрический шум продолжает быть связанным с резистивным откликом во многих более обобщенных электрических случаях, как следствие теоремы о флуктуации-диссипации . Ниже отмечены различные обобщения. Все эти обобщения имеют общее ограничение, заключающееся в том, что они применимы только в случаях, когда рассматриваемый электрический компонент является чисто пассивным и линейным. ${\displaystyle 4k_{\text{B}}TR}$

Комплексные импедансы

В оригинальной статье Найквиста также был представлен обобщенный шум для компонентов, имеющих частично реактивный отклик, например, источников, содержащих конденсаторы или катушки индуктивности. ^[6] Такой компонент может быть описан частотно-зависимым комплексным электрическим импедансом . Формула для спектральной плотности мощности последовательного шумового напряжения имеет вид ${\displaystyle Z(f)}$

${\displaystyle S_{v_{n}v_{n}}(f)=4k_{\text{B}}T\eta (f)\operatorname {Re} [Z(f)].}$

Функция приблизительно равна 1, за исключением очень высоких частот или частот, близких к абсолютному нулю (см. ниже). ${\displaystyle \eta (f)}$

Действительная часть импеданса, , в общем случае зависит от частоты, поэтому шум Джонсона–Найквиста не является белым шумом. Среднеквадратичное напряжение шума в диапазоне частот можно найти, извлекая квадратный корень из интегрирования спектральной плотности мощности: ${\displaystyle \operatorname {Re} [Z(f)]}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$

${\displaystyle V_{\text{rms}}={\sqrt {\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{v_{n}v_{n}}(f)df}}}$.

В качестве альтернативы для описания шума Джонсона можно использовать параллельный шумовой ток, спектральная плотность мощности которого равна

${\displaystyle S_{i_{n}i_{n}}(f)=4k_{\text{B}}T\eta (f)\operatorname {Re} [Y(f)].}$

где электрическая проводимость ; обратите внимание, что ${\displaystyle Y(f){=}{\tfrac {1}{Z(f)}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} [Y(f)]{=}{\tfrac {\operatorname {Re} [Z(f)]}{|Z(f)|^{2}}}\,.}$

Квантовые эффекты при высоких частотах или низких температурах

При надлежащем учете квантовых эффектов (которые имеют значение для очень высоких частот или очень низких температур вблизи абсолютного нуля ) упомянутый ранее множитель в общем случае определяется по формуле: ^[17] ${\displaystyle \eta (f)}$

${\displaystyle \eta (f)={\frac {hf/k_{\text{B}}T}{e^{hf/k_{\text{B}}T}-1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {hf}{k_{\text{B}}T}}\,.}$

На очень высоких частотах ( ) функция начинает экспоненциально уменьшаться до нуля. При комнатной температуре этот переход происходит в терагерцах, далеко за пределами возможностей обычной электроники, и поэтому его можно установить для работы обычной электроники. ${\displaystyle f\gtrsim {\tfrac {k_{\text{B}}T}{h}}}$ ${\displaystyle \eta (f)}$ ${\displaystyle \eta (f)=1}$

Связь с законом Планка

Формула Найквиста по сути та же самая, что была выведена Планком в 1901 году для электромагнитного излучения абсолютно черного тела в одном измерении, т. е. это одномерная версия закона Планка об излучении абсолютно черного тела . ^[18] Другими словами, горячий резистор будет создавать электромагнитные волны на линии передачи так же, как горячий объект будет создавать электромагнитные волны в свободном пространстве.

В 1946 году Роберт Х. Дикке подробно остановился на этой взаимосвязи ^[19] и связал ее со свойствами антенн, в частности, с тем фактом, что средняя апертура антенны по всем направлениям не может быть больше , где λ — длина волны. Это происходит из-за различной частотной зависимости трехмерного и одномерного закона Планка. ${\displaystyle {\tfrac {\lambda ^{2}}{4\pi }}}$

Многопортовые электрические сети

Ричард К. Твисс распространил формулы Найквиста на многопортовые пассивные электрические сети, включая невзаимные устройства, такие как циркуляторы и изоляторы . ^[20] Тепловой шум появляется на каждом порту и может быть описан как случайные последовательные источники напряжения последовательно с каждым портом. Случайные напряжения на разных портах могут быть коррелированы, а их амплитуды и корреляции полностью описываются набором функций кросс-спектральной плотности , связывающих различные шумовые напряжения,

${\displaystyle S_{v_{m}v_{n}}(f)=2k_{\text{B}}T\eta (f)(Z_{mn}(f)+Z_{nm}(f)^{*})}$

где — элементы матрицы импеданса . Опять же, альтернативное описание шума — это использование параллельных источников тока, применяемых к каждому порту. Их кросс-спектральная плотность определяется как ${\displaystyle Z_{mn}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$

${\displaystyle S_{i_{m}i_{n}}(f)=2k_{\text{B}}T\eta (f)(Y_{mn}(f)+Y_{nm}(f)^{*})}$

где - матрица проводимости . ${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {Z} ^{-1}}$

Примечания

1. В этой статье используется «односторонняя» (только положительная частота), а не «двусторонняя» частота.
2. Заряд одного электрона равен e− (отрицательный элементарный заряд ). Таким образом, каждое число слева от e− представляет собой общее число электронов, составляющих шумовой заряд.
3. Возникает стоячая волна с частотой, равной каждому целому кратному . Линия достаточно длинная, чтобы сделать число мод в пределах полосы пропускания очень большим, так что моды будут достаточно близки по частоте, чтобы аппроксимировать непрерывный частотный спектр. ${\displaystyle {\tfrac {\text{v}}{2l}}}$

Смотрите также

• Теорема флуктуации-диссипации
• Шум выстрела
• Розовый шум
• Уравнение Ланжевена
• Подъем над термическим

Ссылки

1. Джон Р. Барри; Эдвард А. Ли; Дэвид Г. Мессершмитт (2004). Цифровые коммуникации. Sprinter. стр. 69. ISBN 9780792375487.
2. Dörfel, G. (2012-08-15). «Ранняя история теплового шума: долгий путь к смене парадигмы». Annalen der Physik . 524 (8): 117–121. doi :10.1002/andp.201200736. ISSN  0003-3804.
3. Ван дер Зиль, А. (1980-01-01), Мартон, Л.; Мартон, К. (ред.), История исследований шума, Достижения в электронике и электронной физике, т. 50, Academic Press, стр. 351–409, doi :10.1016/s0065-2539(08)61066-5, ISBN 978-0-12-014650-5, получено 2024-03-16
4. Аноним (1927). «Протоколы Филадельфийского собрания 28, 29, 30 декабря 1926 г.». Physical Review . 29 (2): 350–373. Bibcode : 1927PhRv...29..350.. doi : 10.1103/PhysRev.29.350.
5. Джонсон, Дж. (1928). «Тепловое возбуждение электричества в проводниках». Physical Review . 32 (97): 97–109. Bibcode : 1928PhRv...32...97J. doi : 10.1103/physrev.32.97.
6. Найквист, Х. (1928). «Тепловое возбуждение электрического заряда в проводниках». Physical Review . 32 (110): 110–113. Bibcode :1928PhRv...32..110N. doi :10.1103/physrev.32.110.
7. Lundberg, Kent H. «Источники шума в объемных КМОП» (PDF) . стр. 10.
8. Сарпешкар, Р.; Дельбрук, Т.; Мид, Калифорния (ноябрь 1993 г.). «Белый шум в МОП-транзисторах и резисторах» (PDF) . Журнал IEEE Circuits and Devices . 9 (6): 23–29. doi :10.1109/101.261888. S2CID  11974773.
9. Уайт, DR; Галлеано, R; Актис, A; Брикси, H; Гроот, M De; Дуббелдам, J; Ризинк, AL; Эдлер, F; Сакурай, H; Шепард, RL; Галлоп, JC (август 1996 г.). «Состояние термометрии шума Джонсона». Metrologia . 33 (4): 325–335. doi :10.1088/0026-1394/33/4/6. ISSN  0026-1394.
10. Цюй, Цзифэн; Бенц, Сэмюэл П; Кокли, Кевин; Рогалла, Хорст; Тью, Уэстон Л; Уайт, Род; Чжоу, Куньли; Чжоу, Чжэньюй (2017-08-01). «Улучшенное электронное определение постоянной Больцмана с помощью термометрии шума Джонсона». Metrologia . 54 (4): 549–558. doi :10.1088/1681-7575/aa781e. ISSN  0026-1394. PMC 5621608 . PMID  28970638. 
11. «Шум, температура и новая система единиц измерения». NIST (пресс-релиз). 2016-11-15.
12. "NIST 'Noise Thermometry' Yields exact new Measurements of Boltzmann Constant". NIST (пресс-релиз). 29-06-2017.
13. Фишер, Дж; Феллмут, Б; Гайзер, С; Зандт, Т; Питре, Л; Спараски, Ф; Плиммер, доктор медицины; де Подеста, М; Андервуд, Р.; Саттон, Дж; Мачин, Г; Гавиозо, РМ; Рипа, Д. Мадонна; Стер, PPM; Цюй, Дж (2018). «Проект Больцмана». Метрология . 55 (2): 10.1088/1681–7575/aaa790. дои : 10.1088/1681-7575/aaa790. ISSN  0026-1394. ПМК 6508687 . ПМИД  31080297. 
14. Пирс, Дж. Р. (1956). «Физические источники шума». Труды IRE . 44 (5): 601–608. doi :10.1109/JRPROC.1956.275123. S2CID  51667159.
15. Визмюллер, Питер (1995), Руководство по проектированию радиочастот , Artech House, ISBN 0-89006-754-6
16. Томаси, Уэйн (1994). Электронная связь. Prentice Hall PTR. ISBN 9780132200622.
17. Каллен, Герберт Б.; Велтон, Теодор А. (1951-07-01). «Необратимость и обобщенный шум». Physical Review . 83 (1): 34–40. doi :10.1103/PhysRev.83.34.
18. Урик, В. Дж.; Уильямс, Кит Дж.; МакКинни, Джейсон Д. (2015-01-30). Основы микроволновой фотоники. John Wiley & Sons. стр. 63. ISBN 9781119029786.
19. Дикке, Р. Х. (1946-07-01). «Измерение теплового излучения на микроволновых частотах». Обзор научных приборов . 17 (7): 268–275. Bibcode :1946RScI...17..268D. doi : 10.1063/1.1770483 . PMID  20991753. S2CID  26658623.
20. Twiss, RQ (1955). «Обобщенные теоремы Найквиста и Тевенина для невзаимных линейных сетей». Журнал прикладной физики . 26 (5): 599–602. Bibcode : 1955JAP....26..599T. doi : 10.1063/1.1722048.

 В этой статье использованы материалы из Федерального стандарта 1037C. Администрация общих служб . Архивировано из оригинала 2022-01-22. (в поддержку MIL-STD-188 ).

Внешние ссылки

• Шум усилителя в радиочастотных системах
• Тепловой шум (бакалавриат) с подробной математикой