Абсолютная сходимость

Способ сходимости бесконечного ряда

В математике бесконечный ряд чисел называется абсолютно сходящимся (или абсолютно сходящимся ), если сумма абсолютных значений слагаемых конечна. Точнее, действительный или комплексный ряд называется абсолютно сходящимся, если для некоторого действительного числа Аналогично, несобственный интеграл функции называется абсолютно сходящимся , если интеграл абсолютного значения подынтегральной функции конечен, то есть, если Сходящийся ряд, который не является абсолютно сходящимся, называется условно сходящимся . ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=L}$ ${\displaystyle \textstyle L.}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx,}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|dx=L.}$

Абсолютная сходимость важна для изучения бесконечных рядов, поскольку ее определение гарантирует, что ряд будет иметь некоторые "хорошие" поведения конечных сумм, которыми обладают не все сходящиеся ряды. Например, перестановки не изменяют значение суммы, что не обязательно верно для условно сходящихся рядов.

Фон

При добавлении конечного числа членов сложение является как ассоциативным , так и коммутативным , что означает, что группировка и перестановка не изменяют конечную сумму. Например, равно и . Однако ассоциативность и коммутативность не обязательно выполняются для бесконечных сумм. Одним из примеров является знакопеременный гармонический ряд ${\displaystyle (1+2)+3}$ ${\displaystyle 1+(2+3)}$ ${\displaystyle (3+2)+1}$

${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots }$

члены которого являются дробями, которые чередуются по знаку. Этот ряд сходится и может быть оценен с помощью ряда Маклорена для функции , которая сходится для всех удовлетворяющих : ${\displaystyle \ln(1+x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -1<x\leq 1}$

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }$

Подстановка показывает, что исходная сумма равна . Сумму также можно переставить следующим образом: ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \ln 2}$

${\displaystyle S=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots }$

В этой перестановке обратная величина каждого нечетного числа группируется с обратной величиной его удвоенного значения, в то время как обратные величины каждого кратного 4 оцениваются отдельно. Однако оценка членов внутри скобок дает

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots }$

или половина исходного ряда. Нарушение ассоциативности и коммутативности сложения показывает, что знакопеременный гармонический ряд является условно сходящимся . Действительно, сумма абсолютных значений каждого члена равна , или расходящимся гармоническим рядом . Согласно теореме Римана о рядах , любой условно сходящийся ряд можно переставить так, чтобы его сумма была любым конечным действительным числом или чтобы он расходился. Когда абсолютно сходящийся ряд переставляется, его сумма всегда сохраняется. ${\textstyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots }$

Определение действительных и комплексных чисел

Сумма действительных чисел или комплексных чисел абсолютно сходится, если сумма абсолютных значений членов сходится . ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$

Суммы более общих элементов

Такое же определение можно использовать для рядов, члены которых являются не числами, а элементами произвольной абелевой топологической группы . В этом случае вместо использования абсолютного значения определение требует, чтобы группа имела норму , которая является положительной действительной функцией на абелевой группе (записанной аддитивно , с единичным элементом 0), такой что: ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\textstyle \|\cdot \|:G\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle G}$

1. Норма единичного элемента равна нулю: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \|0\|=0.}$
2. Для каждого подразумевается ${\displaystyle x\in G,}$ ${\displaystyle \|x\|=0}$ ${\displaystyle x=0.}$
3. Для каждого ${\displaystyle x\in G,}$ ${\displaystyle \|-x\|=\|x\|.}$
4. Для каждого ${\displaystyle x,y\in G,}$ ${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$

В этом случае функция индуцирует структуру метрического пространства (тип топологии ) на ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$ ${\displaystyle G.}$

Тогда -значный ряд абсолютно сходится, если ${\displaystyle G}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\|a_{n}\|<\infty .}$

В частности, эти утверждения применяются с использованием нормы ( абсолютного значения ) в пространстве действительных чисел или комплексных чисел. ${\displaystyle |x|}$

В топологических векторных пространствах

Если — топологическое векторное пространство (TVS) и — (возможно, несчетное ) семейство в , то это семейство абсолютно суммируемо , если ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$суммируемо в (то есть, если предел сети сходится в , где — направленное множество всех конечных подмножеств , направленное включением и ), и ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{H}}$ ${\displaystyle \left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal {F}}(A)}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\textstyle x_{H}:=\sum _{i\in H}x_{i}}$
2. для каждой непрерывной полунормы на семействе суммируема в ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\textstyle \left(p\left(x_{\alpha }\right)\right)_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Если — нормируемое пространство и если — абсолютно суммируемое семейство в , то обязательно все , кроме счетного набора , равны 0. ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{\alpha }}$

Абсолютно суммируемые семейства играют важную роль в теории ядерных пространств .

Отношение к конвергенции

Если является полным относительно метрики , то каждый абсолютно сходящийся ряд является сходящимся. Доказательство такое же, как и для комплекснозначных рядов: используйте полноту, чтобы вывести критерий Коши для сходимости — ряд является сходящимся тогда и только тогда, когда его хвосты можно сделать произвольно малыми по норме — и примените неравенство треугольника. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle d,}$

В частности, для рядов со значениями в любом банаховом пространстве абсолютная сходимость влечет сходимость. Обратное также верно: если абсолютная сходимость влечет сходимость в нормированном пространстве, то это пространство является банаховым пространством.

Если ряд сходится, но не абсолютно, он называется условно сходящимся . Примером условно сходящегося ряда является знакопеременный гармонический ряд . Многие стандартные тесты на расходимость и сходимость, в частности, включая тест отношения и тест корня , демонстрируют абсолютную сходимость. Это происходит потому, что степенной ряд абсолютно сходится внутри своего круга сходимости. ^[a]

Доказательство того, что любой абсолютно сходящийся ряд комплексных чисел является сходящимся

Предположим, что сходится. Тогда эквивалентно, сходится, что подразумевает, что и сходятся путем почленного сравнения неотрицательных членов. Достаточно показать, что сходимость этих рядов влечет сходимость и для тогда, сходимость последовала бы, по определению сходимости комплекснозначных рядов. ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {C} }$ ${\textstyle \sum \left[\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)^{2}+\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)^{2}\right]^{1/2}}$ ${\textstyle \sum \left|\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)\right|}$ ${\textstyle \sum \left|\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)\right|}$ ${\textstyle \sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)}$ ${\textstyle \sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right),}$ ${\textstyle \sum a_{k}=\sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)+i\sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right)}$

Предыдущее обсуждение показывает, что нам нужно только доказать, что сходимость влечет сходимость ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }$ ${\textstyle \sum a_{k}.}$

Пусть будет сходится. Так как имеем Поскольку сходится, является ограниченной монотонной последовательностью частичных сумм, и также должна сходиться. Заметив, что является разностью сходящихся рядов, заключаем, что она также является сходящимся рядом, как и требовалось. ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0\leq a_{k}+\left|a_{k}\right|\leq 2\left|a_{k}\right|,}$ $${\displaystyle 0\leq \sum _{k=1}^{n}(a_{k}+\left|a_{k}\right|)\leq \sum _{k=1}^{n}2\left|a_{k}\right|.}$$ ${\textstyle \sum 2\left|a_{k}\right|}$ ${\textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}$ ${\textstyle \sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}$ ${\textstyle \sum a_{k}=\sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)-\sum \left|a_{k}\right|}$

Альтернативное доказательство с использованием критерия Коши и неравенства треугольника

Применяя критерий Коши для сходимости комплексного ряда, мы также можем доказать этот факт как простое следствие неравенства треугольника . ^[2] По критерию Коши сходится тогда и только тогда, когда для любого существует такое, что для любого Но неравенство треугольника подразумевает, что так что для любого что в точности является критерием Коши для ${\textstyle \sum |a_{i}|}$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle N}$ ${\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}\left|a_{i}\right|\right|=\sum _{i=m}^{n}|a_{i}|<\varepsilon }$ ${\displaystyle n>m\geq N.}$ ${\textstyle {\big |}\sum _{i=m}^{n}a_{i}{\big |}\leq \sum _{i=m}^{n}|a_{i}|,}$ ${\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}a_{i}\right|<\varepsilon }$ ${\displaystyle n>m\geq N,}$ ${\textstyle \sum a_{i}.}$

Доказательство того, что любой абсолютно сходящийся ряд в банаховом пространстве является сходящимся

Приведенный выше результат можно легко обобщить на любое банахово пространство. Пусть — абсолютно сходящийся ряд в Поскольку — последовательность Коши действительных чисел, то для любых достаточно больших натуральных чисел он имеет место: ${\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|).}$ ${\textstyle \sum x_{n}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle m>n}$ $${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{m}\|x_{k}\|-\sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|\right|=\sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon .}$$

По неравенству треугольника для нормы ǁ⋅ǁ сразу получаем: что означает, что является последовательностью Коши в , следовательно, ряд сходится в ^[3] $${\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}-\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right\|=\left\|\sum _{k=n+1}^{m}x_{k}\right\|\leq \sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon ,}$$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

Перестановки и безусловная сходимость

Действительные и комплексные числа

Когда ряд действительных или комплексных чисел абсолютно сходится, любая перестановка или переупорядочивание членов этого ряда все равно будет сходиться к тому же значению. Этот факт является одной из причин, по которой абсолютно сходящиеся ряды полезны: демонстрация того, что ряд абсолютно сходится, позволяет объединять или переупорядочивать члены удобными способами, не меняя значения суммы.

Теорема о перестановке Римана показывает, что обратное также верно: любой действительный или комплексный ряд, члены которого нельзя переставить так, чтобы получить другое значение, является абсолютно сходящимся.

Ряды с коэффициентами в более общем пространстве

Термин безусловная сходимость используется для обозначения ряда, где любая перестановка его членов все еще сходится к тому же значению. Для любого ряда со значениями в нормированной абелевой группе , если она является полной, каждый ряд, который сходится абсолютно, также сходится безусловно. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Более официально:

Теорема  —  Пусть — нормированная абелева группа. Предположим, что если — любая перестановка, то ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=A\in G,\quad \sum _{i=1}^{\infty }\|a_{i}\|<\infty .}$$ ${\displaystyle \sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A.}$$

Для рядов с более общими коэффициентами обратное утверждение сложнее. Как было сказано в предыдущем разделе, для рядов с действительными и комплексными значениями безусловная сходимость всегда подразумевает абсолютную сходимость. Однако в более общем случае ряда со значениями в любой нормированной абелевой группе обратное утверждение не всегда выполняется: могут существовать ряды, которые не являются абсолютно сходящимися, но безусловно сходящимися. ${\displaystyle G}$

Например, в банаховом пространстве ℓ ^∞ один ряд, который безусловно сходится, но не абсолютно сходится, имеет вид: $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{n}}e_{n},}$$

где — ортонормированный базис. Теорема А. Дворецкого и К. А. Роджерса утверждает, что каждое бесконечномерное банахово пространство имеет безусловно сходящийся ряд, который не является абсолютно сходящимся. ^[4] ${\displaystyle \{e_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$

Доказательство теоремы

Для любого мы можем выбрать некоторые такие, что: ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ for all }}N>\kappa _{\varepsilon }&\quad \sum _{n=N}^{\infty }\|a_{n}\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\\{\text{ for all }}N>\lambda _{\varepsilon }&\quad \left\|\sum _{n=1}^{N}a_{n}-A\right\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}}$$

Пусть , где , так что — наименьшее натуральное число, такое, что список включает все члены (и, возможно, другие). $${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\varepsilon }&=\max \left\{\kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\right\}\\M_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \left\{\sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\right\}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)=\left\{\sigma ^{-1}(1),\ldots ,\sigma ^{-1}\left(N_{\varepsilon }\right)\right\}}$ ${\displaystyle M_{\sigma ,\varepsilon }}$ ${\displaystyle a_{\sigma (1)},\ldots ,a_{\sigma \left(M_{\sigma ,\varepsilon }\right)}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{N_{\varepsilon }}}$

Наконец, для любого целого числа пусть так, что и, таким образом, ${\displaystyle N>M_{\sigma ,\varepsilon }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\sigma ,\varepsilon }&=\left\{1,\ldots ,N\right\}\setminus \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\\S_{\sigma ,\varepsilon }&=\min \sigma \left(I_{\sigma ,\varepsilon }\right)=\min \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\L_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \sigma \left(I_{\sigma ,\varepsilon }\right)=\max \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|&\leq \sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \sum _{j=S_{\sigma ,\varepsilon }}^{L_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{j}\right\|&&{\text{ since }}I_{\sigma ,\varepsilon }\subseteq \left\{S_{\sigma ,\varepsilon },S_{\sigma ,\varepsilon }+1,\ldots ,L_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\&\leq \sum _{j=N_{\varepsilon }+1}^{\infty }\left\|a_{j}\right\|&&{\text{ since }}S_{\sigma ,\varepsilon }\geq N_{\varepsilon }+1\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|&=\left\|\sum _{i\in \sigma ^{-1}\left(\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\}\right)}a_{\sigma (i)}-A+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&<\left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+{\frac {\varepsilon }{2}}\\&<\varepsilon \end{aligned}}}$$

Это показывает, что это: $${\displaystyle {\text{ for all }}\varepsilon >0,{\text{ there exists }}M_{\sigma ,\varepsilon },{\text{ for all }}N>M_{\sigma ,\varepsilon }\quad \left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|<\varepsilon ,}$$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A.}$$

ЧТЭК

Продукция серии

Произведение Коши двух рядов сходится к произведению сумм, если хотя бы один из рядов сходится абсолютно. То есть, предположим, что $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A\quad {\text{ and }}\quad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}=B.}$$

Произведение Коши определяется как сумма членов, где: ${\displaystyle c_{n}}$ $${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}$$

Если либо сумма , либо сходится абсолютно, то ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}=AB.}$$

Абсолютная сходимость по множествам

Обобщение абсолютной сходимости ряда, есть абсолютная сходимость суммы функции по множеству. Сначала мы можем рассмотреть счетное множество и функцию. Ниже мы дадим определение суммы, записанной как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x).}$

Во-первых, следует отметить, что поскольку конкретное перечисление (или "индексация") еще не было указано, ряд не может быть понят с помощью более базового определения ряда. Фактически, для некоторых примеров и сумма по может быть вообще не определена, поскольку некоторая индексация может привести к условно сходящейся серии. ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Поэтому мы определяем только в случае, когда существует некоторая биекция, такая что является абсолютно сходящейся. Обратите внимание, что здесь «абсолютно сходящаяся» использует более базовое определение, применяемое к индексированному ряду. В этом случае значение суммы по [ ^5] определяется как ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$ ${\displaystyle g:\mathbb {Z} ^{+}\to X}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \sum _{x\in X}f(x):=\sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))}$$

Обратите внимание, что поскольку ряд абсолютно сходится, то каждая перестановка идентична другому выбору биекции. Поскольку все эти суммы имеют одинаковое значение, то сумма по вполне определена. ${\displaystyle g.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Еще более общо мы можем определить сумму по , когда является несчетным. Но сначала мы определим, что означает для суммы быть сходящейся. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Пусть будет любым множеством, счетным или несчетным, и функцией. Мы говорим, что сумма по сходится абсолютно, если ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \sup \left\{\sum _{x\in A}|f(x)|:A\subseteq X,A{\text{ is finite }}\right\}<\infty .}$$

Существует теорема, которая утверждает, что если сумма по абсолютно сходится, то принимает ненулевые значения на множестве, которое не более чем счетно. Поэтому ниже приведено последовательное определение суммы по , когда сумма абсолютно сходится. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \sum _{x\in X}f(x):=\sum _{x\in X:f(x)\neq 0}f(x).}$$

Обратите внимание, что в последнем ряду используется определение ряда по счетному множеству.

Некоторые авторы определяют итеративную сумму как абсолютно сходящуюся, если итеративный ряд ^[6] Это фактически эквивалентно абсолютной сходимости То есть, если сумма по сходится абсолютно, как определено выше, то итеративная сумма сходится абсолютно, и наоборот. ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}$ ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }|a_{m,n}|<\infty .}$ ${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n},}$ ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}$

Абсолютная сходимость интегралов

Говорят, что интеграл действительной или комплекснозначной функции сходится абсолютно, если также говорят, что является абсолютно интегрируемым . Вопрос абсолютной интегрируемости сложен и зависит от того, рассматривается ли интеграл Римана , Лебега или Курцвейля-Хенстока (калибровочный); для интеграла Римана это также зависит от того, рассматриваем ли мы только интегрируемость в собственном смысле ( и оба ограничены ), или допускаем более общий случай несобственных интегралов. ${\textstyle \int _{A}f(x)\,dx}$ ${\textstyle \int _{A}\left|f(x)\right|\,dx<\infty .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$

Как стандартное свойство интеграла Римана, когда — ограниченный интервал , каждая непрерывная функция ограничена и интегрируема (по Риману), и поскольку непрерывность подразумевает непрерывность, каждая непрерывная функция абсолютно интегрируема. Фактически, поскольку интегрируема по Риману на , если (собственно) интегрируема и непрерывна, следует, что интегрируема по Риману, если является. Однако это следствие не выполняется в случае несобственных интегралов. Например, функция неправильно интегрируема по Риману на своей неограниченной области, но она не является абсолютно интегрируемой: Действительно, в более общем случае, если задан любой ряд, можно рассмотреть связанную ступенчатую функцию, определенную с помощью Тогда сходится абсолютно, сходится условно или расходится в соответствии с соответствующим поведением ${\displaystyle A=[a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle |f|=|\cdot |\circ f}$ ${\displaystyle f}$ ${\textstyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} :x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}}$ $${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {1}{2}}{\bigl [}\pi -2\,\mathrm {Si} (1){\bigr ]}\approx 0.62,{\text{ but }}\int _{1}^{\infty }\left|{\frac {\sin x}{x}}\right|dx=\infty .}$$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle f_{a}:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{a}([n,n+1))=a_{n}.}$ ${\textstyle \int _{0}^{\infty }f_{a}\,dx}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$

Ситуация иная для интеграла Лебега, который не обрабатывает ограниченные и неограниченные области интегрирования по отдельности ( см. ниже ). Тот факт, что интеграл от неограничен в приведенных выше примерах, подразумевает, что также не интегрируем в смысле Лебега. Фактически, в теории интегрирования Лебега, учитывая, что является измеримым , является (по Лебегу) интегрируемым тогда и только тогда, когда является (по Лебегу) интегрируемым. Однако гипотеза о том, что является измеримым, имеет решающее значение; в общем случае неверно, что абсолютно интегрируемые функции на являются интегрируемыми (просто потому, что они могут не быть измеримыми): пусть будет неизмеримым подмножеством и рассмотрим , где — характеристическая функция от Тогда не является измеримым по Лебегу и, следовательно, не интегрируемым, но является постоянной функцией и, очевидно, интегрируемой. ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle S\subset [a,b]}$ ${\displaystyle f=\chi _{S}-1/2,}$ ${\displaystyle \chi _{S}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|\equiv 1/2}$

С другой стороны, функция может быть интегрируемой по Курцвейлу-Хенстоку (калибровочно интегрируемой), но не быть таковой. Это включает в себя случай неправильно интегрируемых по Риману функций. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|}$

В общем смысле, на любом пространстве мер интеграл Лебега действительной функции определяется через ее положительную и отрицательную части, поэтому факты: ${\displaystyle A,}$

1. ${\displaystyle f}$интегрируемое подразумевает интегрируемое ${\displaystyle |f|}$
2. ${\displaystyle f}$измеримый, интегрируемый подразумевает интегрируемый ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f}$

по сути встроены в определение интеграла Лебега. В частности, применение теории к счетной мере на множестве позволяет восстановить понятие неупорядоченного суммирования рядов, разработанное Муром–Смитом с использованием (как теперь говорят) сетей. Когда множество натуральных чисел, интегрируемость по Лебегу, неупорядоченная суммируемость и абсолютная сходимость совпадают. ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S=\mathbb {N} }$

Наконец, все вышесказанное справедливо для интегралов со значениями в банаховом пространстве. Определение банаховозначного интеграла Римана является очевидной модификацией обычного. Для интеграла Лебега нужно обойти разложение на положительную и отрицательную части с помощью более функционального аналитического подхода Даниэля, получив интеграл Бохнера .

Смотрите также

• Главное значение Коши  – Метод присвоения значений некоторым несобственным интегралам, которые в противном случае были бы неопределенными.
• Условная сходимость  – свойство бесконечных рядов
• Сходимость рядов Фурье  – Математическая задача классического гармонического анализа
• Теорема Фубини  – Условия переключения порядка интегрирования в исчислении
• Режимы конвергенции (аннотированный указатель)  – Аннотированный указатель различных режимов конвергенции
• Радиус сходимости  – Область сходимости степенного ряда
• Теорема о рядах Римана  – Безусловно сходящиеся ряды сходятся абсолютно
• Безусловная сходимость  – сходимость последовательности, не зависящая от порядка.
• 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·  – Бесконечный ряд, суммируемый до 1/3Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·  – Бесконечный ряд, суммируемый до 1Pages displaying short descriptions of redirect targets

Примечания

1. Здесь круг сходимости используется для обозначения всех точек, расстояние которых от центра ряда меньше радиуса сходимости. То есть, круг сходимости состоит из всех точек, для которых степенной ряд сходится.

Ссылки

1. Шефер и Вольф 1999, стр. 179–180.
2. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 71–72. ISBN 0-07-054235-X.
3. Меггинсон, Роберт Э. (1998), Введение в теорию банаховых пространств , Graduate Texts in Mathematics, т. 183, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 20, ISBN 0-387-98431-3(Теорема 1.3.9)
4. Дворецкий, А.; Роджерс, К. А. (1950), «Абсолютная и безусловная сходимость в нормированных линейных пространствах», Proc. Natl. Acad. Sci. USA 36 :192–197.
5. Тао, Терренс (2016). Анализ I. Нью-Дели: Hindustan Book Agency. С. 188–191. ISBN 978-9380250649.
6. Стрихартц, Роберт (2000). Путь анализа . Jones & Bartlett Learning. стр. 259, 260. ISBN 978-0763714970.

Цитируемые работы

• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.

Общие ссылки

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Уолтер Рудин, Принципы математического анализа (McGraw-Hill: Нью-Йорк, 1964).
• Питч, Альбрехт (1979). Ядерные локально выпуклые пространства . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Том. 66 (Второе изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-05644-9. OCLC  539541.
• Робертсон, А. П. (1973). Топологические векторные пространства . Cambridge England: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC  589250.
• Райан, Рэймонд А. (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств . Springer Monographs in Mathematics. Лондон, Нью-Йорк: Springer . ISBN 978-1-85233-437-6. OCLC  48092184.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wong, Yau-Chuen (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 726. Berlin New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09513-2. OCLC  5126158.