В гармоническом анализе и теории чисел автоморфная форма — это хорошо себя ведущая функция из топологической группы G в комплексные числа (или комплексное векторное пространство ), которая инвариантна относительно действия дискретной подгруппы топологической группы. Автоморфные формы — это обобщение идеи периодических функций в евклидовом пространстве на общие топологические группы.
Модулярные формы — это голоморфные автоморфные формы, определенные над группами SL(2, R ) или PSL(2, R ) с дискретной подгруппой, являющейся модулярной группой или одной из ее конгруэнц-подгрупп ; в этом смысле теория автоморфных форм является расширением теории модулярных форм. В более общем смысле можно использовать адельный подход как способ работы со всем семейством конгруэнц-подгрупп сразу. С этой точки зрения автоморфная форма над группой G ( A F ) для алгебраической группы G и алгебраического числового поля F является комплекснозначной функцией на G ( A F ), которая остается инвариантной относительно G ( F ) и удовлетворяет определенным условиям гладкости и роста.
Пуанкаре первым открыл автоморфные формы как обобщения тригонометрических и эллиптических функций . Благодаря гипотезам Ленглендса автоморфные формы играют важную роль в современной теории чисел. [1]
В математике понятие фактора автоморфности возникает для группы, действующей на комплексно-аналитическом многообразии . Предположим, что группа действует на комплексно-аналитическом многообразии . Тогда также действует на пространстве голоморфных функций от до комплексных чисел. Функция называется автоморфной формой, если выполняется следующее:
где — всюду ненулевая голоморфная функция. Эквивалентно, автоморфная форма — это функция, делитель которой инвариантен относительно действия .
Фактором автоморфности для автоморфной формы является функция . Автоморфная функция — это автоморфная форма, для которой является тождеством.
Автоморфная форма — это функция F на G (со значениями в некотором фиксированном конечномерном векторном пространстве V в векторнозначном случае), подчиняющаяся трем видам условий:
Это первое из них, которое делает F автоморфным , то есть удовлетворяет интересному функциональному уравнению, связывающему F ( g ) с F ( γg ) для . В векторнозначном случае спецификация может включать конечномерное групповое представление ρ, действующее на компоненты, чтобы «скручивать» их. Условие оператора Казимира гласит, что некоторые лапласианы [ требуется цитата ] имеют F в качестве собственной функции; это гарантирует, что F имеет превосходные аналитические свойства, но является ли она на самом деле комплексно-аналитической функцией, зависит от конкретного случая. Третье условие — обрабатывать случай, когда G /Γ не компактна , но имеет каспы .
Формулировка требует общего понятия фактора автоморфности j для Γ, который является типом 1- коцикла на языке групповых когомологий . Значения j могут быть комплексными числами или фактически комплексными квадратными матрицами, соответствующими возможности векторнозначных автоморфных форм. Условие коцикла, налагаемое на фактор автоморфности, можно проверить обычным образом, когда j выводится из матрицы Якоби , с помощью цепного правила .
Более простое, но технически продвинутое определение, использующее теорию полей классов , конструирует автоморфные формы и соответствующие им функции как вложения групп Галуа в их базовые глобальные расширения полей . В этой формулировке автоморфные формы являются определенными конечными инвариантами, отображающимися из группы классов иделя по закону взаимности Артина . При этом аналитическая структура ее L-функции допускает обобщения с различными алгебро-геометрическими свойствами; и результирующая программа Ленглендса . Если упрощать, автоморфные формы в этой общей перспективе являются аналитическими функционалами, количественно определяющими инвариантность числовых полей в самом абстрактном смысле, тем самым указывая на «примитивность» их фундаментальной структуры . Предоставляя мощный математический инструмент для анализа инвариантных конструкций практически любой числовой структуры.
Примеры автоморфных форм в явном неабстрагированном состоянии получить трудно, хотя некоторые из них обладают непосредственно аналитическими свойствами:
- Ряд Эйзенштейна (который является прототипической модулярной формой ) над некоторыми расширениями полей как абелевыми группами .
- Конкретные обобщения L-функций Дирихле как объектов теории поля классов .
- В общем случае любой гармонический аналитический объект как функтор над группами Галуа , инвариантный относительно своей группы классов идеалов (или иделя ).
В качестве общего принципа автоморфные формы можно рассматривать как аналитические функции на абстрактных структурах , которые инвариантны относительно обобщенного аналога их простого идеала (или абстрактного неприводимого фундаментального представления ). Как уже упоминалось, автоморфные функции можно рассматривать как обобщения модулярных форм (как, следовательно, эллиптические кривые ), построенные некоторым аналогом дзета-функции на автоморфной структуре. В простейшем смысле автоморфные формы являются модулярными формами, определенными на общих группах Ли ; из-за их свойств симметрии. Поэтому, говоря проще, общая функция, которая анализирует инвариантность структуры относительно ее простой «морфологии» .
До того, как была предложена эта очень общая установка (около 1960 г.), уже были существенные разработки автоморфных форм, отличных от модулярных форм. Случай Γ как фуксовой группы привлек внимание еще до 1900 г. (см. ниже). Модулярные формы Гильберта (также называемые формами Гильберта-Блюменталя) были предложены вскоре после этого, хотя полная теория появилась еще долго. Модулярные формы Зигеля , для которых G является симплектической группой , возникли естественным образом из рассмотрения пространств модулей и тета-функций . Послевоенный интерес к нескольким комплексным переменным сделал естественным продолжение идеи автоморфной формы в случаях, когда формы действительно являются комплексно-аналитическими. Была проделана большая работа, в частности Ильей Пятецким-Шапиро в годы около 1960 г., по созданию такой теории. Теория формулы следа Сельберга , примененная другими, показала значительную глубину теории. Роберт Ленглендс показал, как (в общем случае, поскольку известно много частных случаев) теорема Римана–Роха может быть применена к вычислению размерностей автоморфных форм; это своего рода проверка post hoc на обоснованность понятия. Он также создал общую теорию рядов Эйзенштейна , которая соответствует тому, что в терминах спектральной теории было бы «непрерывным спектром» для этой проблемы, оставив форму возврата или дискретную часть для исследования. С точки зрения теории чисел формы возврата были признаны, начиная с Шринивасы Рамануджана , как суть вопроса.
Последующее понятие «автоморфного представления» оказалось очень ценным с технической точки зрения при работе с G алгебраической группой , рассматриваемой как адельная алгебраическая группа . Оно не полностью включает в себя идею автоморфной формы, представленную выше, в том смысле, что адельный подход является способом работы со всем семейством конгруэнтных подгрупп сразу. Внутри пространства L2 для фактора адельной формы G автоморфное представление является представлением , которое является бесконечным тензорным произведением представлений p-адических групп , с конкретными охватывающими алгебраическими представлениями для бесконечного простого числа (числ). Один из способов выразить смещение акцента состоит в том, что операторы Гекке здесь фактически помещены на тот же уровень, что и операторы Казимира; что естественно с точки зрения функционального анализа [ требуется цитата ] , хотя и не так очевидно для теории чисел. Именно эта концепция является базовой для формулировки философии Ленглендса .
Одним из первых открытий Пуанкаре в математике, датируемых 1880-ми годами, были автоморфные формы. Он назвал их фуксовыми функциями в честь математика Лазаруса Фукса , поскольку Фукс был известен как хороший учитель и занимался исследованиями в области дифференциальных уравнений и теории функций. Пуанкаре фактически разработал концепцию этих функций как часть своей докторской диссертации. Согласно определению Пуанкаре, автоморфная функция — это функция, которая аналитична в своей области определения и инвариантна относительно дискретной бесконечной группы дробно-линейных преобразований. Автоморфные функции затем обобщают как тригонометрические , так и эллиптические функции .
Пуанкаре объясняет, как он открыл фуксовы функции:
Пятнадцать дней я пытался доказать, что не может быть никаких функций, подобных тем, которые я с тех пор назвал фуксовыми функциями. Я был тогда очень невежественным; каждый день я садился за свой рабочий стол, оставался час или два, пробовал огромное количество комбинаций и не достигал никаких результатов. Однажды вечером, вопреки своему обыкновению, я выпил черный кофе и не мог заснуть. Идеи возникали толпами; я чувствовал, как они сталкиваются, пока пары не сцеплялись, так сказать, создавая устойчивую комбинацию. К следующему утру я установил существование класса фуксовых функций, тех, которые происходят из гипергеометрического ряда ; мне оставалось только записать результаты, что заняло всего несколько часов.
Цитаты, связанные с автоморфной формой в Викицитатнике
Медиафайлы по теме Автоморфные формы на Wikimedia Commons
