В области математики , называемой абстрактной алгеброй , алгебра с делением — это, грубо говоря, алгебра над полем , в которой деление , за исключением деления на ноль, всегда возможно.
Формально мы начинаем с ненулевой алгебры D над полем . Мы называем D алгеброй с делением , если для любого элемента a в D и любого ненулевого элемента b в D существует ровно один элемент x в D с a = bx и ровно один элемент y в D такой, что a = yb .
Для ассоциативных алгебр определение можно упростить следующим образом: ненулевая ассоциативная алгебра над полем является алгеброй с делением тогда и только тогда, когда она имеет мультипликативный единичный элемент 1 и каждый ненулевой элемент a имеет мультипликативный обратный (т. е. элемент x с ax = xa = 1 ).
Наиболее известными примерами ассоциативных алгебр с делением являются конечномерные действительные алгебры (то есть алгебры над полем R действительных чисел , которые конечномерны как векторное пространство над действительными числами). Теорема Фробениуса утверждает, что с точностью до изоморфизма существует три таких алгебры: сами действительные числа (размерность 1), поле комплексных чисел (размерность 2) и кватернионы (размерность 4).
Малая теорема Веддерберна утверждает, что если D — конечная алгебра с делением, то D — конечное поле . [1]
Над алгебраически замкнутым полем K (например, комплексных чисел C ) не существует конечномерных ассоциативных алгебр с делением, за исключением самого K. [2]
Ассоциативные алгебры с делением не имеют ненулевых делителей нуля . Конечномерная унитальная ассоциативная алгебра (над любым полем) является алгеброй с делением тогда и только тогда, когда она не имеет ненулевых делителей нуля.
Если A — ассоциативная унитальная алгебра над полем F , а S — простой модуль над A , то кольцо эндоморфизмов S является алгеброй с делением над F ; всякая ассоциативная алгебра с делением над F возникает таким образом.
Центр ассоциативной алгебры с делением D над полем K — это поле, содержащее K. Размерность такой алгебры над ее центром, если она конечна, является полным квадратом : она равна квадрату размерности максимального подполя D над центром. Для данного поля F классы эквивалентности Брауэра простых (содержащих только тривиальные двусторонние идеалы) ассоциативных алгебр с делением, центр которых — F и которые конечномерны над F, можно превратить в группу, группу Брауэра поля F.
Один из способов построения конечномерных ассоциативных алгебр с делением над произвольными полями дается кватернионными алгебрами (см. также кватернионы ).
Для бесконечномерных ассоциативных алгебр с делением наиболее важными являются случаи, когда пространство имеет некоторую разумную топологию . См., например, нормированные алгебры с делением и банаховы алгебры .
Если алгебра деления не предполагается ассоциативной, обычно вместо этого накладывается более слабое условие (например, альтернативность или ассоциативность мощности ). Список таких условий см . в алгебре над полем .
Над вещественными числами существуют (с точностью до изоморфизма) только две унитарные коммутативные конечномерные алгебры с делением: сами вещественные числа и комплексные числа. Они, конечно, оба ассоциативны. Для неассоциативного примера рассмотрим комплексные числа с умножением, определяемым взятием комплексно-сопряженного обычного умножения:
Это коммутативная, неассоциативная алгебра с делением размерности 2 над вещественными числами, и не имеет единичного элемента. Существует бесконечно много других неизоморфных коммутативных, неассоциативных, конечномерных вещественных алгебр с делением, но все они имеют размерность 2.
Фактически, каждая конечномерная вещественная коммутативная алгебра с делением является либо 1-, либо 2-мерной. Это известно как теорема Хопфа и было доказано в 1940 году. Доказательство использует методы из топологии . Хотя позднее было найдено доказательство с использованием алгебраической геометрии , прямого алгебраического доказательства не известно. Основная теорема алгебры является следствием теоремы Хопфа.
Отбросив требование коммутативности, Хопф обобщил свой результат: любая конечномерная вещественная алгебра с делением должна иметь размерность, равную степени 2.
Более поздние работы показали, что на самом деле любая конечномерная вещественная алгебра с делением должна иметь размерность 1, 2, 4 или 8. Это было независимо доказано Мишелем Кервером и Джоном Милнором в 1958 году, снова используя методы алгебраической топологии , в частности K-теорию . Адольф Гурвиц показал в 1898 году, что тождество справедливо только для размерностей 1, 2, 4 и 8. [3] (См. теорему Гурвица .) Задача построения алгебры с делением трех измерений была предпринята несколькими ранними математиками. Кеннет О. Мэй рассмотрел эти попытки в 1966 году. [4]
Любая действительная конечномерная алгебра с делением над действительными числами должна быть
О размерности конечномерной алгебры с делением A над полем K известно следующее :
Мы можем сказать, что алгебра A имеет мультипликативные обратные элементы , если для любого ненулевого существует элемент с . Ассоциативная алгебра имеет мультипликативные обратные элементы тогда и только тогда, когда она является алгеброй с делением. Однако это неверно для неассоциативных алгебр. Седенионы являются неассоциативной алгеброй над действительными числами, которая имеет мультипликативные обратные элементы, но не является алгеброй с делением. С другой стороны, мы можем построить алгебру с делением без мультипликативных обратных элементов, взяв кватернионы и изменив произведение, установив для некоторого малого ненулевого действительного числа , оставив остальную часть таблицы умножения неизменной. Тогда элемент имеет как правые, так и левые обратные элементы, но они не равны.
