Алгебра кватернионов

Обобщение кватернионов на другие поля

В математике кватернионная алгебра над полем F — это центральная простая алгебра A над F ^{[1] [2]} , имеющая размерность 4 над F. Каждая кватернионная алгебра становится матричной алгеброй путем расширения скаляров (эквивалентно, тензоризации с расширением поля ) , то есть для подходящего расширения поля K поля F изоморфна матричной алгебре 2 × 2 над K. ${\displaystyle A\otimes _{F}K}$

Понятие кватернионной алгебры можно рассматривать как обобщение кватернионов Гамильтона на произвольное базовое поле. Кватернионы Гамильтона являются кватернионной алгеброй (в указанном выше смысле) над , и действительно единственной над , за исключением алгебры вещественных матриц 2 × 2, с точностью до изоморфизма. Когда , то бикватернионы образуют кватернионную алгебру над F . ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F=\mathbb {C} }$

Структура

Под алгеброй кватернионов здесь подразумевается нечто более общее, чем алгебра кватернионов Гамильтона . Когда поле коэффициентов F не имеет характеристики 2, каждая алгебра кватернионов над F может быть описана как 4-мерное F - векторное пространство с базисом , со следующими правилами умножения: ${\displaystyle \{1,i,j,k\}}$

${\displaystyle i^{2}=a}$

${\displaystyle j^{2}=b}$

${\displaystyle ij=k}$

${\displaystyle ji=-k}$

где a и b — любые заданные ненулевые элементы F. Из этих правил получаем:

${\displaystyle k^{2}=ijij=-iijj=-ab}$

Классическими примерами являются кватернионы Гамильтона ( a = b = −1) и расщепленные кватернионы ( a = −1, b = +1). В расщепленных кватернионах и , отличающиеся от уравнений Гамильтона. ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle k^{2}=+1}$ ${\displaystyle jk=-i}$

Алгебра, определенная таким образом, обозначается ( a , b ) _F или просто ( a , b ). ^[3] Когда F имеет характеристику 2, возможно иное явное описание в терминах базиса из 4 элементов, но в любом случае определение кватернионной алгебры над F как 4-мерной центральной простой алгебры над F применяется единообразно во всех характеристиках.

Кватернионная алгебра ( a , b ) _F является либо алгеброй с делением , либо изоморфной матричной алгебре матриц 2 × 2 над F ; последний случай называется расщеплением . ^[4] Форма нормы

${\displaystyle N(t+xi+yj+zk)=t^{2}-ax^{2}-by^{2}+abz^{2}\ }$

определяет структуру алгебры деления тогда и только тогда, когда норма является анизотропной квадратичной формой , то есть равна нулю только на нулевом элементе. Коника C ( a , b ) определяется как

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}=z^{2}\ }$

имеет точку ( x , y , z ) с координатами в F в случае разделения. ^[5]

Приложение

Алгебры кватернионов применяются в теории чисел , в частности, к квадратичным формам . Они представляют собой конкретные структуры , которые порождают элементы второго порядка в группе Брауэра F. Для некоторых полей, включая поля алгебраических чисел , каждый элемент второго порядка в своей группе Брауэра представлен кватернионной алгеброй. Теорема Александра Меркурьева подразумевает, что каждый элемент второго порядка в группе Брауэра любого поля представлен тензорным произведением кватернионных алгебр. ^[6] В частности, над p -адическими полями конструкцию кватернионных алгебр можно рассматривать как квадратичный символ Гильберта локальной теории полей классов .

Классификация

Теорема Фробениуса гласит , что существуют только две действительные кватернионные алгебры: матрицы 2 × 2 над действительными числами и действительные кватернионы Гамильтона.

Аналогично, над любым локальным полем F существует ровно две кватернионные алгебры: матрицы 2 × 2 над F и алгебра с делением. Но кватернионная алгебра с делением над локальным полем обычно не является кватернионами Гамильтона над полем. Например, над p -адическими числами кватернионы Гамильтона являются алгеброй с делением только тогда, когда p равно 2. Для нечетных простых p p -адические кватернионы Гамильтона изоморфны матрицам 2 × 2 над p -адическими числами. Чтобы увидеть, что p -адические кватернионы Гамильтона не являются алгеброй с делением для нечетных простых p , заметим, что сравнение x ² + y ² = −1 mod p разрешимо и, следовательно, по лемме Гензеля — вот где p должно быть нечетным — уравнение

х ² + у ² = −1

разрешимо в p -адических числах. Поэтому кватернион

xi + yj + к

имеет норму 0 и, следовательно, не имеет мультипликативного обратного .

Одним из способов классификации классов изоморфизма F -алгебр всех кватернионных алгебр для заданного поля F является использование взаимно-однозначного соответствия между классами изоморфизма кватернионных алгебр над F и классами изоморфизма их норменных форм .

Каждой кватернионной алгебре A можно сопоставить квадратичную форму N (называемую норменной формой ) на A такую, что

${\displaystyle N(xy)=N(x)N(y)}$

для всех x и y из A. Оказывается, что возможные формы нормы для кватернионных F -алгебр — это в точности 2-формы Пфистера .

Кватернионные алгебры над рациональными числами

Алгебры кватернионов над рациональными числами имеют арифметическую теорию, похожую на теорию квадратичных расширений ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , но более сложную .

Пусть будет кватернионной алгеброй над и пусть будет местом , с пополнением (так что это либо p -адические числа для некоторого простого p , либо действительные числа ). Определим , которая является кватернионной алгеброй над . Таким образом, есть два варианта для : матрицы 2 × 2 над или алгебра с делением . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle B_{\nu }:=\mathbb {Q} _{\nu }\otimes _{\mathbb {Q} }B}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$ ${\displaystyle B_{\nu }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$

Мы говорим, что является расщепляемым (или неразветвленным ) в , если изоморфно матрицам 2 × 2 над . Мы говорим, что B является нерасщепляемым (или разветвленным ) в , если является алгеброй деления кватернионов над . Например, рациональные кватернионы Гамильтона нерасщепляются в 2 и в и расщепляются во всех нечетных простых числах. Рациональные матрицы 2 × 2 расщепляются во всех местах. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle B_{\nu }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle B_{\nu }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$ ${\displaystyle \infty }$

Алгебра кватернионов над рациональными числами, которая расщепляется в , аналогична действительному квадратичному полю , а та, которая не расщепляется в , аналогична мнимому квадратичному полю . Аналогия исходит из квадратичного поля, имеющего действительные вложения, когда минимальный многочлен для генератора расщепляется над действительными числами, и имеющего недействительные вложения в противном случае. Одна иллюстрация силы этой аналогии касается единичных групп в порядке рациональной кватернионной алгебры: она бесконечна, если кватернионная алгебра расщепляется в ^{[ нужна цитата ]} и конечна в противном случае ^{[ нужна цитата ]} , точно так же, как единичная группа порядка в квадратичном кольце бесконечна в действительном квадратичном случае и конечна в противном случае. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$

Число мест, в которых разветвляется кватернионная алгебра над рациональными числами, всегда четно, и это эквивалентно квадратичному закону взаимности над рациональными числами. Более того, места, в которых разветвляется B , определяют B с точностью до изоморфизма как алгебру. (Другими словами, неизоморфные кватернионные алгебры над рациональными числами не разделяют один и тот же набор разветвленных мест.) Произведение простых чисел, в которых разветвляется B , называется дискриминантом B.

Смотрите также

• Композиционная алгебра
• Циклическая алгебра
• Октонионная алгебра
• Порядок кватерниона Гурвица
• кватернион Гурвица

Примечания

1. См. Пирс. Ассоциативные алгебры. Спрингер. Лемма на стр. 14.
2. См. Milies & Sehgal, Введение в групповые кольца, упражнение 17, глава 2.
3. Гилле и Самуэли (2006) стр.2
4. Гилле и Самуэли (2006) стр.3
5. Гилле и Самуэли (2006) стр.7
6. Лэм (2005) стр.139

Ссылки

• Жилль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 101. Кембридж: Cambridge University Press . doi : 10.1017/CBO9780511607219. ISBN 0-521-86103-9. Збл  1137.12001.
• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том 67. Американское математическое общество . ISBN 0-8218-1095-2. MR  2104929. Zbl  1068.11023.

Дальнейшее чтение

• Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев, Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998). Книга инволюций . Colloquium Publications. Том 44. С предисловием Дж. Титса. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0904-0. MR  1632779. Zbl  0955.16001.
• Maclachlan, Colin; Ried, Alan W. (2003). Арифметика гиперболических 3-многообразий . Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4757-6720-9. ISBN 0-387-98386-4. МР  1937957.См. главу 2 (Алгебры кватернионов I) и главу 7 (Алгебры кватернионов II).
• Чисхолм, Хью , ред. (1911). «Алгебра»  . Encyclopaedia Britannica (11-е изд.). Cambridge University Press.( См. раздел о кватернионах. )
• Алгебра кватернионов в Энциклопедии математики .