p-адическое число

Система счисления, расширяющая рациональные числа

3-адические целые числа с выбранными соответствующими символами в их двойственной группе Понтрягина

В теории чисел , если задано простое число p , p -адические числа образуют расширение рациональных чисел , которое отличается от действительных чисел , хотя и обладает некоторыми схожими свойствами; p -адические числа можно записать в форме, похожей на (возможно, бесконечные ) десятичные дроби , но с цифрами, основанными на простом числе p, а не на десяти, и расширяющимися влево, а не вправо.

Например, сравнивая разложение рационального числа по основанию 3 с 3- адическим разложением, ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\tfrac {1}{5}}&{}=0.01210121\ldots \ ({\text{base }}3)&&{}=0\cdot 3^{0}+0\cdot 3^{-1}+1\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}+\cdots \\[5mu]{\tfrac {1}{5}}&{}=\dots 121012102\ \ ({\text{3-adic}})&&{}=\cdots +2\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}.\end{alignedat}}}$

Формально, если дано простое число p , p -адическое число можно определить как ряд

${\displaystyle s=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{k}p^{k}+a_{k+1}p^{k+1}+a_{k+2}p^{k+2}+\cdots }$

где k — целое число (возможно, отрицательное), а каждое — целое число, такое что A p -адическое целое число — это p -адическое число, такое что ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle 0\leq a_{i}<p.}$ ${\displaystyle k\geq 0.}$

В общем случае ряд, представляющий p -адическое число, не является сходящимся в обычном смысле, но он сходится для p -адического абсолютного значения , где k — наименьшее целое число i, такое что (если все числа равны нулю, то получается нулевое p -адическое число, абсолютное значение которого равно 0 ). ${\displaystyle |s|_{p}=p^{-k},}$ ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle a_{i}}$

Каждое рациональное число может быть однозначно выражено как сумма ряда, как указано выше, относительно p -адического абсолютного значения. Это позволяет рассматривать рациональные числа как специальные p -адические числа, и альтернативно определять p -адические числа как пополнение рациональных чисел для p -адического абсолютного значения, точно так же, как действительные числа являются пополнением рациональных чисел для обычного абсолютного значения.

p -адические числа были впервые описаны Куртом Гензелем в 1897 году ^[1], хотя, оглядываясь назад, некоторые из ранних работ Эрнста Куммера можно интерпретировать как неявно использующие p -адические числа. ^{[примечание 1]}

Мотивация

Грубо говоря, модульная арифметика по модулю положительного целого числа n состоит в «приближении» каждого целого числа к остатку от его деления на n , называемому его вычетом по модулю n . Главное свойство модульной арифметики заключается в том, что остаток по модулю n результата последовательности операций над целыми числами совпадает с результатом той же последовательности операций над остатками по модулю n . Если известно, что абсолютное значение результата меньше n/2 , это позволяет вычислить результат, который не включает в себя никаких целых чисел больше n .

Для получения более крупных результатов старый метод, который до сих пор широко используется, состоит в использовании нескольких малых модулей, которые попарно взаимно просты, и применении китайской теоремы об остатках для восстановления результата по модулю произведения модулей.

Другой метод, открытый Куртом Гензелем, состоит в использовании простого модуля p и применении леммы Гензеля для итеративного восстановления результата по модулю. Если процесс продолжается бесконечно, это в конечном итоге дает результат, который является p -адическим числом. ${\displaystyle p^{2},p^{3},\ldots ,p^{n},\ldots }$

Основные леммы

Теория p -адических чисел в своей основе основана на двух следующих леммах:

Каждое ненулевое рациональное число можно записать так, где v , m и n — целые числа, и ни m, ни n не делятся на p . ${\textstyle p^{v}{\frac {m}{n}},}$ Показатель v однозначно определяется рациональным числом и называется его p -адической оценкой (это определение является частным случаем более общего определения, данного ниже). Доказательство леммы следует непосредственно из основной теоремы арифметики .

Каждое ненулевое рациональное число r оценки v может быть однозначно записано , где s — рациональное число оценки, большее v , а a — целое число, такое что ${\displaystyle r=ap^{v}+s,}$ ${\displaystyle 0<a<p.}$

Доказательство этой леммы следует из модульной арифметики : По приведенной выше лемме, где m и n — целые числа, взаимно простые с p . Модульное обратное число n — это целое число q, такое что для некоторого целого числа h . Следовательно, имеем и Евклидово деление на p дает , где поскольку mq не делится на p . Итак, ${\textstyle r=p^{v}{\frac {m}{n}},}$ ${\displaystyle nq=1+ph}$ ${\textstyle {\frac {1}{n}}=q-p{\frac {h}{n}},}$ ${\textstyle r=p^{v}mq-p^{v+1}{\frac {hm}{n}}.}$ ${\displaystyle mq}$ ${\displaystyle mq=pk+a}$ ${\displaystyle 0<a<p,}$

${\displaystyle r=ap^{v}+p^{v+1}{\frac {kn-hm}{n}},}$

что является желаемым результатом.

Это можно повторить, начав с s вместо r , что даст следующее.

При наличии ненулевого рационального числа r оценки v и положительного целого числа k существует рациональное число неотрицательной оценки и k однозначно определенных неотрицательных целых чисел, меньших p, таких, что и ${\displaystyle s_{k}}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{k-1}}$ ${\displaystyle a_{0}>0}$

${\displaystyle r=a_{0}p^{v}+a_{1}p^{v+1}+\cdots +a_{k-1}p^{v+k-1}+p^{v+k}s_{k}.}$

P -адические числа по существу получаются путем бесконечного продолжения этого ряда .

п-адический ряд

P -адические числа обычно определяются с помощью p - адических рядов.

Ряд p -адический — это формальный степенной ряд вида

${\displaystyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i},}$

где — целое число, а — рациональные числа, которые либо равны нулю, либо имеют неотрицательное значение (то есть знаменатель не делится на p ). ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$

Каждое рациональное число можно рассматривать как p -адический ряд с единственным ненулевым членом, состоящий из его факторизации вида, где n и d взаимно просты с p . ${\displaystyle p^{k}{\tfrac {n}{d}},}$

Два p -адических ряда и эквивалентны , если существует целое число N такое, что для каждого целого числа рациональное число ${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i}}$ ${\textstyle \sum _{i=w}^{\infty }s_{i}p^{i}}$ ${\displaystyle n>N,}$

${\displaystyle \sum _{i=v}^{n}r_{i}p^{i}-\sum _{i=w}^{n}s_{i}p^{i}}$

равен нулю или имеет p -адическое значение больше n .

Ряд p -адический нормализован , если либо все являются целыми числами, такими что и , либо все равны нулю. В последнем случае ряд называется нулевым рядом . ${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }a_{i}p^{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle 0\leq a_{i}<p,}$ ${\displaystyle a_{v}>0,}$ ${\displaystyle a_{i}}$

Каждый p -адический ряд эквивалентен ровно одному нормализованному ряду. Этот нормализованный ряд получается последовательностью преобразований, которые являются эквивалентностями рядов; см. § Нормализация p-адического ряда ниже.

Другими словами, эквивалентность p -адических рядов является отношением эквивалентности , и каждый класс эквивалентности содержит ровно один нормализованный p -адический ряд.

Обычные операции рядов (сложение, вычитание, умножение, деление) совместимы с эквивалентностью p -адических рядов. То есть, обозначая эквивалентность как ~ , если S , T и U являются ненулевыми p -адическими рядами такими, что имеем ${\displaystyle S\sim T,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S\pm U&\sim T\pm U,\\SU&\sim TU,\\1/S&\sim 1/T.\end{aligned}}}$

P -адические числа часто определяются как классы эквивалентности p -адических рядов, аналогично определению действительных чисел как классов эквивалентности последовательностей Коши . Свойство единственности нормализации позволяет однозначно представить любое p -адическое число соответствующим нормализованным p -адическим рядом. Совместимость эквивалентности рядов почти сразу приводит к основным свойствам p -адических чисел:

• Сложение , умножение и мультипликативное обратное p - адических чисел определяются как для формальных степенных рядов с последующей нормализацией результата.
• С помощью этих операций p -адические числа образуют поле , которое является полем расширения рациональных чисел.
• Оценка ненулевого p -адического числа x , обычно обозначаемая как показатель степени p в первом ненулевом члене соответствующего нормализованного ряда; оценка нуля равна ${\displaystyle v_{p}(x)}$ ${\displaystyle v_{p}(0)=+\infty }$
• Абсолютное значение p - адического числа x , отличного от нуля , равно для нулевого p -адического числа, имеем ${\displaystyle |x|_{p}=p^{-v(x)};}$ ${\displaystyle |0|_{p}=0.}$

Нормализацияп-адический ряд

Начиная с ряда, первая из приведенных выше лемм позволяет получить эквивалентный ряд, такой что p -адическая оценка равна нулю. Для этого рассматривается первый ненулевой Если его p -адическая оценка равна нулю, достаточно заменить v на i , то есть начать суммирование с v . В противном случае p -адическая оценка равна и где оценка равна нулю; таким образом, можно получить эквивалентный ряд, изменив на 0 и на Повторяя этот процесс, можно в конечном итоге, возможно, после бесконечного числа шагов, получить эквивалентный ряд, который либо является нулевым рядом, либо является рядом, таким что оценка равна нулю. ${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i},}$ ${\displaystyle r_{v}}$ ${\displaystyle r_{i}.}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle j>0,}$ ${\displaystyle r_{i}=p^{j}s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{i+j}}$ ${\displaystyle r_{i+j}+s_{i}.}$ ${\displaystyle r_{v}}$

Затем, если ряд не нормализован, рассмотрим первый ненулевой ряд , который не является целым числом в интервале. Вторая из приведенных выше лемм позволяет записать это так: можно получить n эквивалентных рядов, заменив их на и прибавив к. Повторение этого процесса, возможно, бесконечное число раз, в конечном итоге дает желаемый нормализованный p -адический ряд. ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle [0,p-1].}$ ${\displaystyle r_{i}=a_{i}+ps_{i};}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle a_{i},}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle r_{i+1}.}$

Определение

Существует несколько эквивалентных определений p -адических чисел. Приведенное здесь относительно элементарно, поскольку не включает в себя никаких других математических понятий, кроме введенных в предыдущих разделах. Другие эквивалентные определения используют пополнение дискретного кольца оценки (см. § p-адические целые числа), пополнение метрического пространства (см. § Топологические свойства) или обратные пределы (см. § Модульные свойства).

P -адическое число можно определить как нормализованный p -адический ряд . Поскольку существуют и другие эквивалентные определения, которые обычно используются, часто говорят, что нормализованный p -адический ряд представляет p -адическое число, вместо того, чтобы говорить, что это p -адическое число .

Можно также сказать, что любой p -адический ряд представляет p -адическое число, поскольку каждый p -адический ряд эквивалентен уникальному нормализованному p -адическому ряду. Это полезно для определения операций (сложения, вычитания, умножения, деления) p -адических чисел: результат такой операции получается путем нормализации результата соответствующей операции над рядами. Это хорошо определяет операции над p -адическими числами, поскольку операции над рядами совместимы с эквивалентностью p -адических рядов.

С помощью этих операций p -адические числа образуют поле, называемое полем p -адических чисел и обозначаемое или Существует единственный гомоморфизм поля из рациональных чисел в p -адические числа, который отображает рациональное число в его p -адическое расширение. Образ этого гомоморфизма обычно отождествляют с полем рациональных чисел. Это позволяет рассматривать p -адические числа как поле расширения рациональных чисел, а рациональные числа как подполе p -адических чисел. ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}.}$

Оценка ненулевого p -адического числа x , обычно обозначаемая как показатель степени p в первом ненулевом члене каждого p -адического ряда, представляющего x . По соглашению, оценка нуля равна Эта оценка является дискретной оценкой . Ограничением этой оценки на рациональные числа является p -адическая оценка , то есть показатель степени v в факторизации рационального числа как с n и d, взаимно простыми с p . ${\displaystyle v_{p}(x),}$ ${\displaystyle v_{p}(0)=\infty ;}$ ${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{d}}p^{v},}$

п-адические целые числа

Целые p -адические числа — это p -адические числа с неотрицательной оценкой.

Целое p -адическое число можно представить в виде последовательности

${\displaystyle x=(x_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )}$

остатков x _e mod p ^e для каждого целого числа e , удовлетворяющих соотношениям совместимости для i < j . ${\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})}$

Каждое целое число является p -адическим целым числом (включая ноль, так как ). Рациональные числа вида с d взаимно просты с p и также являются p -адическими целыми числами (по той причине, что d имеет обратное mod p ^e для каждого e ). ${\displaystyle 0<\infty }$ ${\textstyle {\tfrac {n}{d}}p^{k}}$ ${\displaystyle k\geq 0}$

Целые p -адические числа образуют коммутативное кольцо , обозначаемое или , которое обладает следующими свойствами. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}$

• Это область целостности , поскольку она является подкольцом поля, или поскольку первый член представления ряда произведения двух ненулевых p -адических рядов является произведением их первых членов.
• Единицами (обратимыми элементами) являются p -адические числа нулевой оценки . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$
• Это область главных идеалов , в которой каждый идеал порождается степенью числа p .
• Это локальное кольцо размерности Крулля один, поскольку его единственными простыми идеалами являются нулевой идеал и идеал, порожденный p , единственный максимальный идеал .
• Это кольцо дискретной оценки , поскольку это следует из предыдущих свойств.
• Это завершение локального кольца , которое является локализацией в простом идеале ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}=\{{\tfrac {n}{d}}\mid n,d\in \mathbb {Z} ,\,d\not \in p\mathbb {Z} \},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p\mathbb {Z} .}$

Последнее свойство дает определение p -адических чисел, эквивалентное приведенному выше: поле p -адических чисел — это поле дробей пополнения локализации целых чисел в простом идеале, порожденном p .

Топологические свойства

P - адическое оценивание позволяет определить абсолютное значение p -адических чисел : p -адическое абсолютное значение ненулевого p -адического числа x равно

${\displaystyle |x|_{p}=p^{-v_{p}(x)},}$

где — p -адическая оценка x . P -адическая абсолютная величина равна Это абсолютная величина, которая удовлетворяет сильному неравенству треугольника , поскольку для каждых x и y выполняется ${\displaystyle v_{p}(x)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle |0|_{p}=0.}$

• ${\displaystyle |x|_{p}=0}$если и только если ${\displaystyle x=0;}$
• ${\displaystyle |x|_{p}\cdot |y|_{p}=|xy|_{p}}$
• ${\displaystyle |x+y|_{p}\leq \max(|x|_{p},|y|_{p})\leq |x|_{p}+|y|_{p}.}$

Более того, если у кого-то есть ${\displaystyle |x|_{p}\neq |y|_{p},}$ ${\displaystyle |x+y|_{p}=\max(|x|_{p},|y|_{p}).}$

Это делает p -адические числа метрическим пространством и даже ультраметрическим пространством с p -адическим расстоянием , определяемым как ${\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}.}$

Как метрическое пространство, p -адические числа образуют пополнение рациональных чисел, снабженное p -адическим абсолютным значением. Это дает другой способ определения p -адических чисел. Однако общая конструкция пополнения может быть упрощена в этом случае, поскольку метрика определяется дискретным оцениванием (короче говоря, можно извлечь из каждой последовательности Коши подпоследовательность, такую, что разности между двумя последовательными членами имеют строго убывающие абсолютные значения; такая подпоследовательность является последовательностью частичных сумм p -адического ряда , и, таким образом, уникальный нормализованный p -адический ряд может быть связан с каждым классом эквивалентности последовательностей Коши; поэтому для построения пополнения достаточно рассмотреть нормализованные p -адические ряды вместо классов эквивалентности последовательностей Коши).

Поскольку метрика определяется из дискретной оценки, каждый открытый шар также закрыт . Точнее, открытый шар равен закрытому шару , где v — наименьшее целое число, такое что Аналогично, где w — наибольшее целое число, такое что ${\displaystyle B_{r}(x)=\{y\mid d_{p}(x,y)<r\}}$ ${\displaystyle B_{p^{-v}}[x]=\{y\mid d_{p}(x,y)\leq p^{-v}\},}$ ${\displaystyle p^{-v}<r.}$ ${\displaystyle B_{r}[x]=B_{p^{-w}}(x),}$ ${\displaystyle p^{-w}>r.}$

Это означает, что p -адические числа образуют локально компактное пространство , а p -адические целые числа, то есть шар, образуют компактное пространство . ${\displaystyle B_{1}[0]=B_{p}(0)}$

п-адическое разложение рациональных чисел

Десятичное разложение положительного рационального числа — это его представление в виде ряда ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}10^{-i},}$

где — целое число, а каждое — также целое число, такое что Это разложение можно вычислить путем деления числителя на знаменатель в столбик, что само по себе основано на следующей теореме: Если — рациональное число, такое что существует целое число, такое что и при этом Десятичное разложение получается путем многократного применения этого результата к остатку , который в итерации принимает на себя роль исходного рационального числа . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle 0\leq a_{i}<10.}$ ${\displaystyle r={\tfrac {n}{d}}}$ ${\displaystyle 10^{k}\leq r<10^{k+1},}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0<a<10,}$ ${\displaystyle r=a\,10^{k}+r',}$ ${\displaystyle r'<10^{k}.}$ ${\displaystyle r'}$ ${\displaystyle r}$

P - адическое разложение рационального числа определяется аналогично, но с другим шагом деления. Точнее, если задано фиксированное простое число , каждое ненулевое рациональное число может быть однозначно записано как , где — (возможно, отрицательное) целое число, и — взаимно простые целые числа, оба взаимно простые с , и — положительное. Целое число — это p -адическое значение числа , обозначаемое , а — его p -адическое абсолютное значение , обозначаемое (абсолютное значение мало, когда оценка велика). Шаг деления состоит в записи ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{d}},}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle v_{p}(r),}$ ${\displaystyle p^{-k}}$ ${\displaystyle |r|_{p}}$

${\displaystyle r=a\,p^{k}+r'}$

где — целое число, такое что и — либо ноль, либо рациональное число, такое что (то есть ). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0\leq a<p,}$ ${\displaystyle r'}$ ${\displaystyle |r'|_{p}<p^{-k}}$ ${\displaystyle v_{p}(r')>k}$

Адическое разложение — это формальный степенной ряд ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}}$

полученный путем повторения указанного выше шага деления на последовательные остатки. В p -адическом расширении все являются целыми числами, такими что ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle 0\leq a_{i}<p.}$

Если при , процесс в конечном итоге останавливается с нулевым остатком; в этом случае ряд завершается конечными членами с нулевым коэффициентом и представляет собой представление в системе счисления с основанием p . ${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{1}}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle r}$

Существование и вычисление p -адического разложения рационального числа вытекает из тождества Безу следующим образом. Если, как и выше, и и взаимно просты, то существуют целые числа и такие, что Так что ${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{d}},}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle td+up=1.}$

${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{d}}(td+up)=p^{k}nt+p^{k+1}{\frac {un}{d}}.}$

Тогда евклидово деление на дает ${\displaystyle nt}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle nt=qp+a,}$

с Это дает шаг деления как ${\displaystyle 0\leq a<p.}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}r&=&p^{k}(qp+a)+p^{k+1}{\frac {un}{d}}\\&=&ap^{k}+p^{k+1}\,{\frac {qd+un}{d}},\\\end{array}}}$

так что в итерации

${\displaystyle r'=p^{k+1}\,{\frac {qd+un}{d}}}$

новое рациональное число.

Единственность шага деления и всего p -адического разложения проста: если есть Это означает, что делит Поскольку и должно быть верно следующее: и Таким образом, получается и поскольку делит , то должно быть так, что ${\displaystyle p^{k}a_{1}+p^{k+1}s_{1}=p^{k}a_{2}+p^{k+1}s_{2},}$ ${\displaystyle a_{1}-a_{2}=p(s_{2}-s_{1}).}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a_{1}-a_{2}.}$ ${\displaystyle 0\leq a_{1}<p}$ ${\displaystyle 0\leq a_{2}<p,}$ ${\displaystyle 0\leq a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}<p.}$ ${\displaystyle -p<a_{1}-a_{2}<p,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a_{1}-a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}=a_{2}.}$

P - адическое разложение рационального числа — это ряд, который сходится к рациональному числу, если применить определение сходящегося ряда с p -адическим абсолютным значением. В стандартной p -адической записи цифры записываются в том же порядке, что и в стандартной системе с основанием p , а именно, с увеличением степеней основания слева. Это означает, что построение цифр происходит в обратном порядке, и предел происходит с левой стороны.

P -адическое разложение рационального числа в конечном итоге является периодическим . Наоборот , ряд с сходится (для p -адического абсолютного значения) к рациональному числу тогда и только тогда, когда он в конечном итоге является периодическим; в этом случае ряд является p -адическим разложением этого рационального числа. Доказательство аналогично доказательству аналогичного результата для повторяющихся десятичных дробей . ${\textstyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i},}$ ${\displaystyle 0\leq a_{i}<p}$

Пример

Давайте вычислим 5-адическое расширение тождества Безу для 5 и знаменателя 3 (для более крупных примеров это можно вычислить с помощью расширенного алгоритма Евклида ). Таким образом ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}.}$ ${\displaystyle 2\cdot 3+(-1)\cdot 5=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+5({\frac {-1}{3}}).}$

Для следующего шага необходимо расширить (множитель 5 следует рассматривать как « сдвиг » p -адической оценки, подобно основе любого числового расширения, и, таким образом, он сам не должен расширяться). Чтобы расширить , мы начинаем с того же тождества Безу и умножаем его на , что дает ${\displaystyle -1/3}$ ${\displaystyle -1/3}$ ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle -{\frac {1}{3}}=-2+{\frac {5}{3}}.}$

"Целая часть" не находится в правильном интервале. Поэтому нужно использовать евклидово деление для получения, что дает ${\displaystyle -2}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle -2=3-1\cdot 5,}$

${\displaystyle -{\frac {1}{3}}=3-5+{\frac {5}{3}}=3-{\frac {10}{3}}=3+5({\frac {-2}{3}}),}$

и расширение на первом этапе становится

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+5\cdot (3+5\cdot ({\frac {-2}{3}}))=2+3\cdot 5+{\frac {-2}{3}}\cdot 5^{2}.}$

Аналогично, есть

${\displaystyle -{\frac {2}{3}}=1-{\frac {5}{3}},}$

и

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+3\cdot 5+1\cdot 5^{2}+{\frac {-1}{3}}\cdot 5^{3}.}$

Поскольку «остаток» уже найден, процесс можно легко продолжить, дав коэффициенты для нечетных степеней пятерки и для четных степеней. Или в стандартной 5-адической нотации ${\displaystyle -{\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=\ldots 1313132_{5}}$

с многоточием слева. ${\displaystyle \ldots }$

Позиционная нотация

Можно использовать позиционную запись, аналогичную той, которая используется для представления чисел в системе счисления с основанием p .

Пусть будет нормализованным p -адическим рядом, т.е. каждое является целым числом в интервале Можно предположить, что, положив для (если ), и добавив полученные нулевые члены к ряду. ${\textstyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle [0,p-1].}$ ${\displaystyle k\leq 0}$ ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle 0\leq i<k}$ ${\displaystyle k>0}$

Если позиционная запись состоит из последовательной записи, упорядоченной по убыванию значений i , часто с p, появляющимся справа в качестве индекса: ${\displaystyle k\geq 0,}$ ${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle \ldots a_{n}\ldots a_{1}{a_{0}}_{p}}$

Итак, расчет приведенного выше примера показывает, что

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=\ldots 1313132_{5},}$

и

${\displaystyle {\frac {25}{3}}=\ldots 131313200_{5}.}$

Когда разделительная точка добавляется перед цифрами с отрицательным индексом, и, если индекс p присутствует, он появляется сразу после разделительной точки. Например, ${\displaystyle k<0,}$

${\displaystyle {\frac {1}{15}}=\ldots 3131313._{5}2,}$

и

${\displaystyle {\frac {1}{75}}=\ldots 1313131._{5}32.}$

Если p -адическое представление конечно слева (то есть для больших значений i ), то оно имеет значение неотрицательного рационального числа вида с целыми числами. Эти рациональные числа являются в точности неотрицательными рациональными числами, имеющими конечное представление по основанию p . Для этих рациональных чисел два представления одинаковы. ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle np^{v},}$ ${\displaystyle n,v}$

Модульные свойства

Кольцо частных можно отождествить с кольцом целых чисел по модулю Это можно показать, заметив, что каждое p -адическое целое число, представленное его нормализованным p -адическим рядом, сравнимо по модулю со своей частичной суммой , значение которой является целым числом в интервале Прямая проверка показывает, что это определяет изоморфизм колец от до ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p^{n}.}$ ${\displaystyle p^{n}}$ ${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}p^{i},}$ ${\displaystyle [0,p^{n}-1].}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$

Обратный предел колец определяется как кольцо, образованное последовательностями такими, что и для каждого i . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$ ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} }$ ${\textstyle a_{i}\equiv a_{i+1}{\pmod {p^{i}}}}$

Отображение, которое отображает нормализованный p -адический ряд в последовательность его частичных сумм, является кольцевым изоморфизмом из в обратный предел Это дает еще один способ определения p -адических целых чисел ( с точностью до изоморфизма). ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}.}$

Это определение p -адических целых чисел особенно полезно для практических вычислений, поскольку позволяет строить p -адические целые числа путем последовательных приближений.

Например, для вычисления p -адического (мультипликативного) обратного числа целого числа можно использовать метод Ньютона , начиная с обратного по модулю p ; затем каждый шаг Ньютона вычисляет обратное по модулю из обратного по модулю ${\textstyle p^{n^{2}}}$ ${\textstyle p^{n}.}$

Тот же метод можно использовать для вычисления p -адического квадратного корня целого числа, которое является квадратичным вычетом по модулю p . Это, по-видимому, самый быстрый известный метод проверки того, является ли большое целое число квадратом: достаточно проверить, является ли данное целое число квадратом значения, найденного в . Применение метода Ньютона для нахождения квадратного корня требует, чтобы оно было больше, чем удвоенное заданное целое число, что быстро удовлетворяется. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$ ${\textstyle p^{n}}$

Подъем Гензеля — это похожий метод, который позволяет «поднять» факторизацию по модулю p полинома с целыми коэффициентами до факторизации по модулю для больших значений n . Это обычно используется алгоритмами факторизации полиномов . ${\textstyle p^{n}}$

Обозначение

Существует несколько различных соглашений для записи p -адических расширений . До сих пор в этой статье использовалась нотация для p -адических расширений, в которой степени p увеличиваются справа налево. С этой нотацией справа налево 3-адическое расширение, например, записывается как ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}},}$

${\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots 121012102_{3}.}$

При выполнении арифметических действий в этой нотации цифры переносятся влево. Также возможно записать p -адические разложения так, чтобы степени p увеличивались слева направо, а цифры переносились вправо. При такой записи слева направо 3-адическое разложение имеет вид ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{5}}=2.01210121\dots _{3}{\mbox{ or }}{\frac {1}{15}}=20.1210121\dots _{3}.}$

p -адические расширения могут быть записаны с другими наборами цифр вместо {0, 1, ...,  p  − 1 }. Например, 3 -адическое расширение может быть записано с использованием сбалансированных троичных цифр { 1 , 0, 1 }, где 1 представляет отрицательную единицу, как ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots {\underline {1}}11{\underline {11}}11{\underline {11}}11{\underline {1}}_{\text{3}}.}$

Фактически любой набор целых чисел p , которые находятся в различных классах остатков по модулю p, может быть использован как p -адические цифры. В теории чисел представители Тейхмюллера иногда используются как цифры. ^[2]

Кавычковая нотация — это вариантp-адического представлениярациональных чисел, предложенный в 1979 годуЭриком ХенеромиНайджелом Хорспуломдля реализации на компьютерах (точной) арифметики с этими числами.^[3]

Мощность

Оба и несчетны и имеют мощность континуума . ^[4] Ибо это следует из p -адического представления, которое определяет биекцию на множестве степеней Ибо это следует из его выражения как счетного бесконечного объединения копий : ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \{0,\ldots ,p-1\}^{\mathbb {N} }.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\bigcup _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{i}}}\mathbb {Z} _{p}.}$

Алгебраическое замыкание

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$содержит и является полем характеристики 0 . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Поскольку 0 можно записать как сумму квадратов, ^[5] нельзя превратить в упорядоченное поле . ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Поле действительных чисел имеет только одно собственное алгебраическое расширение : комплексные числа . Другими словами, это квадратичное расширение уже алгебраически замкнуто . Напротив, алгебраическое замыкание , обозначенное имеет бесконечную степень, ^[6] то есть имеет бесконечно много неэквивалентных алгебраических расширений. Также контрастируя со случаем действительных чисел, хотя существует единственное расширение p -адической оценки, последнее не является (метрически) полным. ^{[7] [8]} Его (метрическое) завершение называется или . ^{[8] [9]} Здесь достигается конец, так как является алгебраически замкнутым. ^{[8] [10]} Однако в отличие от этого поле не является локально компактным . ^[9] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}},}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ ${\displaystyle \Omega _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$и изоморфны как кольца, ^[11] поэтому мы можем считать, что наделены экзотической метрикой. Доказательство существования такого изоморфизма полей опирается на аксиому выбора и не дает явного примера такого изоморфизма (то есть оно не является конструктивным ). ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Если — любое конечное расширение Галуа группы , то группа Галуа разрешима . Таким образом, группа Галуа проразрешима . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} \left(K/\mathbb {Q} _{p}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} \left({\overline {\mathbb {Q} _{p}}}/\mathbb {Q} _{p}\right)}$

Мультипликативная группа

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$содержит n -ое циклотомическое поле ( n > 2 ) тогда и только тогда, когда n  | p − 1 . ^[12] Например, n -ое циклотомическое поле является подполем тогда и только тогда, когда n = 1, 2, 3, 4, 6 или 12 . В частности, нет мультипликативного p - кручения в , если p > 2 . Кроме того, −1 является единственным нетривиальным элементом кручения в . ${\displaystyle \mathbb {Q} _{13}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{2}}$

Для данного натурального числа k индекс мультипликативной группы k -х степеней ненулевых элементов in конечен. ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }}$

Число e , определяемое как сумма обратных величин факториалов , не является членом какого-либо p -адического поля; но для . Для p = 2 необходимо взять по крайней мере четвертую степень. ^[13] (Таким образом, число с аналогичными свойствами, как e , а именно корень степени p из e ^p , является членом для всех p .) ${\displaystyle e^{p}\in \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle p\neq 2}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Локально-глобальный принцип

Локально-глобальный принцип Хельмута Хассе считается справедливым для уравнения, если его можно решить над рациональными числами , если и только если его можно решить над действительными числами и над p -адическими числами для каждого простого числа  p . Этот принцип справедлив, например, для уравнений, заданных квадратичными формами , но не выполняется для высших многочленов от нескольких неизвестных.

Рациональная арифметика с поднятием Гензеля

Обобщения и связанные с ними концепции

Действительные числа и p -адические числа являются пополнениями рациональных чисел; также возможно пополнить другие поля, например, общие алгебраические числовые поля , аналогичным образом. Это будет описано сейчас.

Предположим, что D — дедекиндова область , а E — ее поле дробей . Выберите ненулевой простой идеал P в D. Если x — ненулевой элемент E , то xD — дробный идеал и может быть однозначно разложен на множители как произведение положительных и отрицательных степеней ненулевых простых идеалов D. Мы записываем ord _P ( x ) для показателя степени P в этой факторизации, и для любого выбора числа c, большего 1, мы можем установить

${\displaystyle |x|_{P}=c^{-\!\operatorname {ord} _{P}(x)}.}$

Завершение относительно этого абсолютного значения |⋅| _P дает поле E _P , соответствующее обобщение поля p -адических чисел для этой установки. Выбор c не меняет завершения (разные выборы дают одно и то же понятие последовательности Коши, поэтому одно и то же завершение). Удобно, когда поле вычетов D / P конечно, брать для c размер D / P .

Например, когда E является числовым полем , теорема Островского гласит, что каждое нетривиальное неархимедово абсолютное значение на E возникает как некоторый |⋅| _P. Остальные нетривиальные абсолютные значения на E возникают из различных вложений E в действительные или комплексные числа. (На самом деле, неархимедовы абсолютные значения можно рассматривать просто как различные вложения E в поля C _p , тем самым помещая описание всех нетривиальных абсолютных значений числового поля на общую основу.)

Часто необходимо одновременно отслеживать все вышеупомянутые дополнения, когда E является числовым полем (или, в более общем смысле, глобальным полем ), которые рассматриваются как кодирование «локальной» информации. Это достигается с помощью колец аделей и групп иделей .

p -адические целые числа могут быть расширены до p -адических соленоидов . Существует отображение из в группу окружностей , волокнами которой являются p -адические целые числа , по аналогии с тем, как существует отображение из в окружность, волокнами которой являются . ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Смотрите также

• Неархимедов
• p-адическая квантовая механика
• p-адическая теория Ходжа
• p-адическая теория Тейхмюллера
• p-адический анализ
• p-адическая оценка
• 1 + 2 + 4 + 8 + ...
• k- адическая нотация
• C-минимальная теория
• Лемма Гензеля
• Локально компактное поле
• Теорема Малера
• Проконечное целое число
• Интеграл Фолькенборна
• Дополнение до двух

Сноски

Примечания

1. Введение переводчика, стр. 35: «Действительно, оглядываясь назад, становится очевидным, что за концепцией идеальных чисел Куммера стоит дискретная оценка ». (Дедекинд и Вебер 2012, стр. 35)

Цитаты

1. (Хензель 1897)
2. (Хазевинкель 2009, стр. 342)
3. (Хенер и Хорспул 1979, стр. 124–134)
4. (Роберт 2000, Глава 1 Раздел 1.1)
5. Согласно лемме Гензеля содержит квадратный корень из −7 , так что и если p > 2 , то также по лемме Гензеля содержит квадратный корень из 1 − p , таким образом ${\displaystyle \mathbb {Q} _{2}}$ ${\displaystyle 2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+\left({\sqrt {-7}}\right)^{2}=0,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle (p-1)\times 1^{2}+\left({\sqrt {1-p}}\right)^{2}=0.}$
6. (Гувеа 1997, следствие 5.3.10)
7. (Гувеа 1997, теорема 5.7.4)
8. (Касселс 1986, стр. 149)
9. (Коблиц 1980, стр. 13)
10. (Гувеа 1997, предложение 5.7.8)
11. Два алгебраически замкнутых поля изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую характеристику и степень трансцендентности (см., например, Алгебру X Лэнга §1), и оба имеют характеристику ноль и мощность континуума. ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
12. (Гувеа 1997, предложение 3.4.2)
13. (Роберт 2000, Раздел 4.1)

Ссылки

• Касселс, JWS (1986), Локальные поля , Лондонское математическое общество, студенческие тексты, т. 3, Cambridge University Press , ISBN 0-521-31525-5, Збл  0595.12006
• Дедекинд, Ричард ; Вебер, Генрих (2012), Теория алгебраических функций одной переменной , История математики, т. 39, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-8330-3. - Перевод на английский язык Джона Стиллвелла « Теории алгебраических функций» (1882).
• Gouvêa, FQ (март 1994), «Удивительное доказательство», American Mathematical Monthly , 101 (3): 203–222, doi :10.2307/2975598, JSTOR  2975598
• Гувеа, Фернандо К. (1997),p -адические числа: Введение (2-е изд.), Springer, ISBN 3-540-62911-4, ЗБЛ  0874.11002
• Хазевинкель, М., ред. (2009), Справочник по алгебре, т. 6, Северная Голландия, стр. 342, ISBN 978-0-444-53257-2
• Хенер, Эрик CR ; Хорспул, Р. Найджел (1979), «Новое представление рациональных чисел для быстрой простой арифметики», SIAM Journal on Computing , 8 (2): 124–134, CiteSeerX  10.1.1.64.7714 , doi : 10.1137/0208011
• Хензель, Курт (1897), «Über eine neue Begründung der Theorie der алгебраического Zahlen», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 6 (3): 83–88
• Келли, Джон Л. (2008) [1955], Общая топология , Нью-Йорк: Ishi Press, ISBN 978-0-923891-55-8
• Коблиц, Нил (1980),p -адический анализ: краткий курс по последним работам , Серия лекций Лондонского математического общества, том 46, Cambridge University Press , ISBN 0-521-28060-5, Збл  0439.12011
• Роберт, Ален М. (2000), Курс p -адического анализа , Springer, ISBN 0-387-98669-3

Дальнейшее чтение

• Бахман, Джордж (1964), Введение в p -адические числа и теорию оценки , Academic Press, ISBN 0-12-070268-1
• Боревич, З.И .; Шафаревич, И.Р. (1986), Теория чисел, чистая и прикладная математика, т. 20, Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN 978-0-12-117851-2, МР  0195803
• Коблиц, Нил (1984),p -адические числа, p -адический анализ и дзета-функции , Graduate Texts in Mathematics , т. 58 (2-е изд.), Springer, ISBN 0-387-96017-1
• Малер, Курт (1981), p-адические числа и их функции , Cambridge Tracts in Mathematics, т. 76 (2-е изд.), Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 0-521-23102-7, Збл  0444.12013
• Стин, Линн Артур (1978), Контрпримеры в топологии , Дувр, ISBN 0-486-68735-X

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "p-адическое число". MathWorld .
• p-адическое число в Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics