Киральная аномалия

Несохранение кирального тока в физике

В теоретической физике киральная аномалия — это аномальное несохранение кирального тока. В повседневной жизни это эквивалентно запечатанной коробке, в которой содержится равное количество левых и правых болтов , но при открытии обнаруживается, что левых больше, чем правых, или наоборот.

Ожидается, что такие события будут запрещены в соответствии с классическими законами сохранения , но известно, что должны быть способы их нарушения, поскольку у нас есть доказательства несохранения зарядовой четности («нарушение CP»). Возможно, что и другие дисбалансы были вызваны нарушением такого кирального закона . Многие физики подозревают, что тот факт, что наблюдаемая Вселенная содержит больше материи, чем антиматерии, вызван киральной аномалией. ^[1] Исследование законов нарушения киральной симметрии является основным направлением исследований в области физики элементарных частиц в настоящее время.

Неофициальное знакомство

Распад нейтрального пиона, вызванный аномалией. Это однопетлевая диаграмма Фейнмана . Связь представляет собой псевдоскалярную связь; два фотона соединяются как векторы. Треугольник суммирует все поколения лептонов. ${\displaystyle \pi ^{0}\to \gamma \gamma ~.}$ ${\displaystyle \pi ^{0}}$

Киральная аномалия первоначально относилась к аномальной скорости распада нейтрального пиона , вычисленной в текущей алгебре киральной модели . Эти расчеты показали, что распад пиона подавлен, что явно противоречит экспериментальным результатам. Природа аномальных вычислений была впервые объяснена в 1969 году Стивеном Л. Адлером ^[2] и Джоном Стюартом Беллом и Романом Джекивом . ^[3] Сейчас это называется аномалией Адлера-Белла-Джекива квантовой электродинамики . ^{[4] [5]} Это симметрия классической электродинамики , которая нарушается квантовыми поправками.

Аномалия Адлера–Белла–Джекива возникает следующим образом. Если рассматривать классическую (неквантованную) теорию электромагнетизма , связанную с безмассовыми фермионами (электрически заряженными спинорами Дирака , решающими уравнение Дирака ), можно ожидать наличия не одного, а двух сохраняющихся токов : обычного электрического тока ( векторный ток ), описывается полем Дирака, а также аксиальным током . При переходе от классической теории к квантовой теории можно вычислить квантовые поправки к этим токам; в первом порядке это однопетлевые диаграммы Фейнмана . Они, как известно, расходятся и требуют применения регуляризации для получения перенормированных амплитуд. Чтобы перенормировка была значимой, последовательной и последовательной, регуляризованные диаграммы должны подчиняться той же симметрии, что и нулевые (классические) амплитуды. Это относится к векторному току, но не к аксиальному: его нельзя регуляризовать так, чтобы сохранить аксиальную симметрию. Осевая симметрия классической электродинамики нарушается квантовыми поправками. Формально тождества Уорда–Такахаши квантовой теории следуют из калибровочной симметрии электромагнитного поля; соответствующие тождества для аксиального тока нарушены. ${\displaystyle j^{\mu }={\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$ ${\displaystyle j_{5}^{\mu }={\overline {\psi }}\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\psi ~.}$

В то время, когда аномалия Адлера-Белл-Джекива исследовалась в физике, в дифференциальной геометрии происходили соответствующие разработки , которые, по-видимому, включали в себя те же виды выражений. Они никоим образом не были связаны с какими-либо квантовыми поправками, а скорее представляли собой исследование глобальной структуры расслоений и , в частности, операторов Дирака на спиновых структурах , имеющих формы кривизны , напоминающие форму электромагнитного тензора , оба в четырех и трехмерность ( теория Черна – Саймонса ). После долгих размышлений стало ясно, что структуру аномалии можно описать с помощью расслоений с нетривиальной гомотопической группой или, на жаргоне физики, в терминах инстантонов .

Инстантоны — это форма топологического солитона ; они являются решением классической теории поля, обладая тем свойством, что они стабильны и не могут распадаться ( например, на плоские волны ). Другими словами: традиционная теория поля построена на идее вакуума – грубо говоря, плоского пустого пространства. Классически это «тривиальное» решение; все поля исчезают. Однако можно также расположить (классические) поля таким образом, чтобы они имели нетривиальную глобальную конфигурацию. Эти нетривиальные конфигурации также являются кандидатами на роль вакуума, пустого пространства; однако они больше не являются плоскими или тривиальными; они содержат поворот, инстантон. Квантовая теория способна взаимодействовать с этими конфигурациями; когда это происходит, это проявляется как киральная аномалия.

В математике нетривиальные конфигурации встречаются при изучении операторов Дирака в их полностью обобщенном виде, а именно на римановых многообразиях произвольных размерностей. Математические задачи включают поиск и классификацию структур и конфигураций. Известные результаты включают теорему Атьи – Зингера об индексе для операторов Дирака. Грубо говоря, симметрии пространства-времени Минковского , лоренц-инвариантность , лапласианы , операторы Дирака и расслоения U(1)xSU(2)xSU(3) можно рассматривать как частный случай гораздо более общего положения в дифференциальной геометрии ; исследование различных возможностей является причиной большей части интереса к таким теориям, как теория струн ; богатство возможностей приводит к определенному ощущению отсутствия прогресса.

Аномалия Адлера-Белл-Джекива наблюдается экспериментально в том смысле, что она описывает распад нейтрального пиона , а конкретно, ширину распада нейтрального пиона на два фотона . Сам нейтральный пион был открыт в 1940-х годах; скорость его распада (ширина) была правильно оценена Дж. Стейнбергером в 1949 г. ^[6] Правильная форма аномальной расходимости аксиального тока получена Швингером в 1951 г. в двумерной модели электромагнетизма и безмассовых фермионов. ^[7] Тот факт, что распад нейтрального пиона подавляется в современном алгебраическом анализе киральной модели, был получен Сазерлендом и Вельтманом в 1967 году. ^{[8] [9]} Анализ и разрешение этого аномального результата предоставлены Адлером ^{[2] ]} и Беллом и Джекивом ^[3] в 1969 году. Общая структура аномалий обсуждалась Бардином в 1969 году. ^[10]

Кварковая модель пиона указывает на то, что это связанное состояние кварка и антикварка. Однако квантовые числа , включая четность и угловой момент, которые считаются сохраненными, запрещают распад пиона, по крайней мере, в расчетах с нулевой петлей (проще говоря, амплитуды исчезают). не безмассовый, то допускается распад, нарушающий хиральность ; однако он не правильного размера. (Киральность не является константой движения массивных спиноров; они будут менять направленность по мере своего распространения, и поэтому масса сама по себе является термином, нарушающим киральную симметрию. Вклад массы определяется результатом Сазерленда и Вельтмана; его называют « PCAC», частично сохраняющийся аксиальный ток .) ​​Анализ Адлера-Белла-Джеки, представленный в 1969 году (а также более ранние формы Стейнбергера и Швингера), действительно обеспечивает правильную ширину распада нейтрального пиона.

Помимо объяснения распада пиона, у него есть вторая очень важная роль. Амплитуда одной петли включает в себя коэффициент, подсчитывающий общее количество лептонов, которые могут циркулировать в петле. Чтобы получить правильную ширину распада, необходимо иметь ровно три поколения кварков, а не четыре и более. Таким образом, он играет важную роль в ограничении Стандартной модели . Это обеспечивает прямое физическое предсказание количества кварков, которые могут существовать в природе.

Современные исследования сосредоточены на подобных явлениях в различных условиях, включая нетривиальные топологические конфигурации электрослабой теории , то есть сфалероны . Другие приложения включают гипотетическое несохранение барионного числа в GUT и другие теории.

Обсуждение

В некоторых теориях фермионов с киральной симметрией квантование может привести к нарушению этой (глобальной) киральной симметрии . В этом случае заряд, связанный с киральной симметрией, не сохраняется. Несохранение происходит в процессе туннелирования из одного вакуума в другой. Такой процесс называется инстантоном .

В случае симметрии, связанной с сохранением числа фермионных частиц , возникновение таких частиц можно понять следующим образом. Определение частицы различно в двух состояниях вакуума, между которыми происходит туннелирование; поэтому состояние отсутствия частиц в одном вакууме соответствует состоянию с некоторыми частицами в другом вакууме. В частности, существует дираковское море фермионов, и когда такое туннелирование происходит, оно приводит к постепенному смещению энергетических уровней морских фермионов вверх для частиц и вниз для античастиц, или наоборот. Это означает, что частицы, которые когда-то принадлежали морю Дирака, становятся настоящими частицами (положительной энергии), и происходит создание частиц.

Технически, в формулировке интеграла по путям аномальная симметрия — это симметрия действия , но не меры µ и , следовательно, не производящего функционала. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\mathcal {Z}}=\int \!{\exp(i{\mathcal {A}}/\hbar )~\mathrm {d} \mu }}$

квантовой теории ( ℏ — квант действия Планка, деленный на 2 π ). Мера состоит из части, зависящей от фермионного поля, и части, зависящей от его комплексно-сопряженного . Преобразования обеих частей при киральной симметрии, вообще говоря, не отменяются. Обратите внимание, что если это фермион Дирака , то киральную симметрию можно записать как где – киральная гамма-матрица, действующая на . Из формулы для также ясно видно, что в классическом пределе , ℏ → 0 аномалии не вступают в игру, поскольку в этом пределе остаются актуальными только экстремумы . ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle [\mathrm {d} \psi ]}$ ${\displaystyle [\mathrm {d} {\bar {\psi }}]}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\alpha \gamma ^{5}}\psi }$ ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Аномалия пропорциональна инстантонному числу калибровочного поля, с которым связаны фермионы. (Обратите внимание, что калибровочная симметрия всегда неаномальна и точно соблюдается, что требуется для непротиворечивости теории.)

Расчет

Киральную аномалию можно точно рассчитать с помощью однопетлевых диаграмм Фейнмана , например, «треугольной диаграммы» Штейнбергера, способствующей распаду пиона , и . Амплитуда этого процесса может быть рассчитана непосредственно по изменению меры фермионных полей при киральном преобразовании. ${\displaystyle \pi ^{0}\to e^{+}e^{-}\gamma }$

Весс и Зумино разработали набор условий того, как статистическая сумма должна вести себя при калибровочных преобразованиях, называемый условием согласованности Весса – Зумино .

Фудзикава вывел эту аномалию, используя соответствие между функциональными определителями и статистической суммой с помощью теоремы об индексе Атьи-Зингера . См. метод Фудзикавы .

Пример: несохранение барионного числа.

Стандартная модель электрослабых взаимодействий имеет все необходимые ингредиенты для успешного бариогенеза , хотя эти взаимодействия никогда не наблюдались ^[11] и могут быть недостаточными для объяснения полного барионного числа наблюдаемой Вселенной, если начальное барионное число Вселенной в данный момент Большого взрыва равна нулю. Помимо нарушения зарядового сопряжения и CP-нарушения (заряд+четность), нарушение барионного заряда проявляется через аномалию группы Адлера-Белл-Джекива . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle CP}$ ${\displaystyle U(1)}$

Барионы не сохраняются в результате обычных электрослабых взаимодействий из-за квантовой киральной аномалии. Классический электрослабый лагранжиан сохраняет барионный заряд. Кварки всегда входят в билинейные комбинации , так что кварк может исчезнуть только при столкновении с антикварком. Другими словами, классический барионный ток сохраняется: ${\displaystyle q{\bar {q}}}$ ${\displaystyle J_{\mu }^{B}}$

${\displaystyle \partial ^{\mu }J_{\mu }^{B}=\sum _{j}\partial ^{\mu }({\bar {q}}_{j}\gamma _{\mu }q_{j})=0.}$

Однако квантовые поправки, известные как сфалероны , разрушают этот закон сохранения : вместо нуля в правой части этого уравнения стоит ненулевой квантовый член,

${\displaystyle \partial ^{\mu }J_{\mu }^{B}={\frac {g^{2}C}{16\pi ^{2}}}G^{\mu \nu a}{\tilde {G}}_{\mu \nu }^{a},}$

где C — числовая константа, обращающаяся в нуль при ℏ =0,

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\mu \nu }^{a}={\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }G^{\alpha \beta a},}$

а напряженность калибровочного поля определяется выражением ${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}}$

${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf_{bc}^{a}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}~.}$

Электрослабые сфалероны могут изменить барионное и/или лептонное число только на 3 или кратное 3 (столкновение трёх барионов в три лептона/антилептона и наоборот).

Важным фактом является то, что несохранение аномального тока пропорционально полной производной векторного оператора (она не обращается в нуль из-за инстантонных конфигураций калибровочного поля, которые являются чисто калибровочными на бесконечности), где аномальный ток является ${\displaystyle G^{\mu \nu a}{\tilde {G}}_{\mu \nu }^{a}=\partial ^{\mu }K_{\mu }}$ ${\displaystyle K_{\mu }}$

${\displaystyle K_{\mu }=2\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\left(A^{\nu a}\partial ^{\alpha }A^{\beta a}+{\frac {1}{3}}f^{abc}A^{\nu a}A^{\alpha b}A^{\beta c}\right),}$

которая является двойственной по Ходжу 3-форме Черна – Саймонса .

Геометрическая форма

На языке дифференциальных форм любой самодвойственной форме кривизны можно сопоставить абелеву 4-форму . Теория Черна-Вейля показывает, что эта 4-форма является локально , но не глобально точной, с потенциалом, заданным 3-формой Черна-Саймонса локально: ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle \langle F_{A}\wedge F_{A}\rangle :=\operatorname {tr} \left(F_{A}\wedge F_{A}\right)}$

${\displaystyle d\mathrm {CS} (A)=\langle F_{A}\wedge F_{A}\rangle }$.

Опять же, это верно только для одной карты и неверно для глобальной формы, если только номер инстантона не обращается в нуль. ${\displaystyle \langle F_{\nabla }\wedge F_{\nabla }\rangle }$

Чтобы продолжить, мы прикрепляем «точку в бесконечности» k к выходу и используем конструкцию сцепления , чтобы нанести на карту основные A-расслоения, причем одна карта находится в окрестности точки k , а вторая — в окрестности точки k . Утолщение вокруг k в месте пересечения этих диаграмм тривиально, поэтому их пересечение по существу равно . Таким образом, инстантоны классифицируются по третьей гомотопической группе , которая является просто третьей группой 3-сфер . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle S^{4}}$ ${\displaystyle S^{4}-k}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \pi _{3}(A)}$ ${\displaystyle A=\mathrm {SU(2)} \cong S^{3}}$ ${\displaystyle \pi _{3}(S^{3})=\mathbb {Z} }$

Дивергенция тока барионного числа равна (без учета числовых констант)

${\displaystyle \mathbf {d} \star j_{b}=\langle F_{\nabla }\wedge F_{\nabla }\rangle }$,

и номер инстантона

${\displaystyle \int _{S^{4}}\langle F_{\nabla }\wedge F_{\nabla }\rangle \in \mathbb {N} }$.

Смотрите также

• Аномалия (физика)
• Хиральный магнитный эффект
• Глобальная аномалия
• Гравитационная аномалия
• Сильная проблема с CP

Рекомендации

1. Долгов, А.Д. (1997). «Бариогенез, 30 лет спустя». Обзоры по физике высоких энергий . 13 (1–3): 83–117. arXiv : hep-ph/9707419 . Бибкод : 1998SHEP...13...83D. дои : 10.1080/01422419808240874. S2CID  119499400.
2. Адлер, СЛ (1969). «Аксиально-векторная вершина в спинорной электродинамике». Физический обзор . 177 (5): 2426–2438. Бибкод : 1969PhRv..177.2426A. doi : 10.1103/PhysRev.177.2426.
3. Белл, Дж. С.; Джекив, Р. (1969). «Загадка PCAC: π0 → γγ в σ-модели». Иль Нуово Чименто А. 60 (1): 47–61. Бибкод : 1969NCimA..60...47B. дои : 10.1007/BF02823296. S2CID  125028356.
4. Роман В. Джекив (2008) «Осевая аномалия», Shcolarpedia 3 (10):7302.
5. Клод Ицыксон и Жан-Бернар Зубер, (1980) «Квантовая теория поля», McGraw-Hill. (См. главу 11-5, стр. 549–560.)
6. Стейнбергер, Дж. (15 октября 1949). «Об использовании полей вычитания и времени жизни некоторых типов распада мезонов». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 76 (8): 1180–1186. Бибкод : 1949PhRv...76.1180S. doi : 10.1103/physrev.76.1180. ISSN  0031-899X.
7. Швингер, Джулиан (1951-06-01). «О калибровочной инвариантности и поляризации вакуума». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 82 (5): 664–679. Бибкод : 1951PhRv...82..664S. doi : 10.1103/physrev.82.664. ISSN  0031-899X.
8. Сазерленд, генеральный директор (1967). «Текущая алгебра и некоторые несильные мезонные распады». Ядерная физика Б . Эльзевир Б.В. 2 (4): 433–440. Бибкод : 1967NuPhB...2..433S. дои : 10.1016/0550-3213(67)90180-0. ISSN  0550-3213.
9. Вельтман, М. (17 октября 1967). «I. Теоретические аспекты взаимодействия нейтрино высоких энергий». Труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . Королевское общество. 301 (1465): 107–112. Бибкод : 1967RSPSA.301..107В. дои : 10.1098/rspa.1967.0193. ISSN  0080-4630. S2CID  122755742.
10. Бардин, Уильям А. (25 августа 1969). «Аномальные идентичности Уорда в теориях спинорного поля». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 184 (5): 1848–1859. Бибкод : 1969PhRv..184.1848B. doi : 10.1103/physrev.184.1848. ISSN  0031-899X.
11. Эйдельман, С.; Хейс, КГ; Олив, Калифорния; Агилар-Бенитес, М.; Амслер, К.; и другие. (Группа данных о частицах) (2004). «Обзор физики элементарных частиц». Буквы по физике Б. Эльзевир Б.В. 592 (1–4): 1–5. arXiv : astro-ph/0406663 . Бибкод : 2004PhLB..592....1P. doi :10.1016/j.physletb.2004.06.001. ISSN  0370-2693.

дальнейшее чтение

Опубликованные статьи

• Фрэмптон, штат Пенсильвания; Кефарт, ТВ (1983). «Явная оценка аномалий в более высоких измерениях». Письма о физических отзывах . 50 (18): 1343–1346. Бибкод : 1983PhRvL..50.1343F. doi : 10.1103/PhysRevLett.50.1343.
• Фрэмптон, штат Пенсильвания; Кефарт, ТВ (1983). «Анализ аномалий в высших измерениях пространства-времени». Физический обзор . Д28 (4): 1010–1023. Бибкод : 1983PhRvD..28.1010F. doi :10.1103/PhysRevD.28.1010.
• Гоцци, Э.; Мауро, Д.; Сильвестри, А. (2004). «Киральные аномалии с помощью классических и квантовых функциональных методов». Международный журнал современной физики А. 20 (20–21): 5009. arXiv : hep-th/0410129 . Бибкод : 2005IJMPA..20.5009G. дои : 10.1142/S0217751X05025085. S2CID  15616630.
• Уайт, Арканзас (2004). «Электрослабое рассеяние высоких энергий и киральная аномалия». Физический обзор D . 69 (9): 096002. arXiv : hep-ph/0308287 . Бибкод : 2004PhRvD..69i6002W. doi :10.1103/PhysRevD.69.096002. S2CID  10863873.
• Ян, Ж.-Ф. (2004). «Отслеживание аномалий и киральных идентичностей Уорда». Китайские буквы по физике . 21 (5): 792–794. arXiv : hep-ph/0403173 . Бибкод :2004ЧФЛ..21..792Г. дои : 10.1088/0256-307X/21/5/008. S2CID  119021732.
• Чёрго, Т.; Вертези, Р.; Шиклай, Дж. (2010). «Косвенное наблюдение уменьшения массы η 'в среде в результате столкновений Au + Au в течение √ с _NN = 200 ГэВ». Письма о физических отзывах . 105 (18): 182301. arXiv : 0912.5526 . Бибкод : 2010PhRvL.105r2301C. doi : 10.1103/PhysRevLett.105.182301. PMID  21231099. S2CID  9011271.
• АльМасри, MW (2019). «Осевая аномалия в некоммутативной КЭД и регуляризации Паули – Виллара». Международный журнал современной физики А. 34 (26). arXiv : 1909.10280 . Бибкод : 2019IJMPA..3450150A. дои : 10.1142/S0217751X19501501. S2CID  202719219.

Учебники

• Фудзикава, К.; Сузуки, Х. (2004). Интегралы по траекториям и квантовые аномалии . Кларендон Пресс . ISBN 978-0-19-852913-2.
• Вайнберг, С. (2001). Квантовая теория полей. Том II: Современные приложения . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-55002-4.

Препринты

• Ян, Ж.-Ф. (2003). «Следовые и киральные аномалии в КЭД и лежащая в их основе теоретическая интерпретация». arXiv : hep-ph/0309311 .