Хиральная аномалия

Несохранение хирального тока в физике

В теоретической физике хиральная аномалия — это аномальное несохранение хирального тока. В обыденных терминах это эквивалентно запечатанной коробке, которая содержала одинаковое количество левых и правых болтов , но при открытии обнаруживала больше левых, чем правых, или наоборот.

Такие события, как ожидается, запрещены в соответствии с классическими законами сохранения , но известно, что должны быть способы их нарушения, поскольку у нас есть доказательства несохранения заряда-четности («CP-нарушение»). Возможно, что другие дисбалансы были вызваны нарушением хирального закона такого рода. Многие физики подозревают, что тот факт, что наблюдаемая вселенная содержит больше материи, чем антиматерии, вызван хиральной аномалией. ^[1] Исследование законов нарушения хиральной симметрии является основным направлением исследований физики элементарных частиц в настоящее время. ^{[ необходима ссылка ] [ когда? ]}

Неформальное знакомство

Аномально-индуцированный нейтральный распад пиона Это однопетлевая диаграмма Фейнмана . Связь является псевдоскалярной связью; два фотона связываются как векторы. Треугольник суммирует по всем поколениям лептонов. ${\displaystyle \pi ^{0}\to \gamma \gamma ~.}$ ${\displaystyle \pi ^{0}}$

Хиральная аномалия первоначально относилась к аномальной скорости распада нейтрального пиона , вычисленной в текущей алгебре хиральной модели . Эти расчеты предполагали, что распад пиона был подавлен, что явно противоречило экспериментальным результатам. Природа аномальных расчетов была впервые объяснена в 1969 году Стивеном Л. Адлером ^[2] и Джоном Стюартом Беллом и Романом Джекивом . ^[3] Теперь это называется аномалией Адлера–Белла–Джекивом квантовой электродинамики . ^{[4] [5]} Это симметрия классической электродинамики , которая нарушается квантовыми поправками.

Аномалия Адлера–Белла–Джеккива возникает следующим образом. Если рассматривать классическую (неквантованную) теорию электромагнетизма, связанную с безмассовыми фермионами (электрически заряженными спинорами Дирака, решающими уравнение Дирака ), то можно ожидать, что будет не один, а два сохраняющихся тока : обычный электрический ток ( векторный ток ), описываемый полем Дирака, а также аксиальный ток. При переходе от классической теории к квантовой теории можно вычислить квантовые поправки к этим токам; в первом порядке это однопетлевые диаграммы Фейнмана . Они, как известно, расходятся и требуют применения регуляризации для получения перенормированных амплитуд. Для того чтобы перенормировка была осмысленной, последовательной и согласованной, регуляризованные диаграммы должны подчиняться тем же симметриям, что и амплитуды с нулевой петлей (классические). Это касается векторного тока, но не аксиального тока: его нельзя регуляризировать таким образом, чтобы сохранить аксиальную симметрию. Аксиальная симметрия классической электродинамики нарушается квантовыми поправками. Формально тождества Уорда–Такахаши квантовой теории следуют из калибровочной симметрии электромагнитного поля; соответствующие тождества для аксиального тока нарушаются. ${\displaystyle j^{\mu }={\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$ ${\displaystyle j_{5}^{\mu }={\overline {\psi }}\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\psi ~.}$

В то время, когда аномалия Адлера–Белла–Джеккива изучалась в физике, в дифференциальной геометрии происходили родственные разработки , которые, по-видимому, включали те же самые типы выражений. Они никоим образом не были связаны с квантовыми поправками любого рода, а скорее были исследованием глобальной структуры расслоений волокон и, в частности, операторов Дирака на спиновых структурах, имеющих формы кривизны, напоминающие формы электромагнитного тензора , как в четырех, так и в трех измерениях ( теория Черна–Саймонса ). После значительных раздумий стало ясно, что структура аномалии может быть описана с помощью расслоений с нетривиальной гомотопической группой , или, на физическом жаргоне, в терминах инстантонов .

Инстантоны являются формой топологического солитона ; они являются решением классической теории поля, обладая свойством, что они стабильны и не могут распадаться (например, в плоские волны ). Иными словами: традиционная теория поля построена на идее вакуума — грубо говоря, плоского пустого пространства. Классически это «тривиальное» решение; все поля исчезают. Однако можно также расположить (классические) поля таким образом, чтобы они имели нетривиальную глобальную конфигурацию. Эти нетривиальные конфигурации также являются кандидатами на вакуум, на пустое пространство; однако они больше не плоские или тривиальные; они содержат поворот, инстантон. Квантовая теория способна взаимодействовать с этими конфигурациями; когда она это делает, это проявляется как хиральная аномалия.

В математике нетривиальные конфигурации обнаруживаются при изучении операторов Дирака в их полностью обобщенной постановке, а именно, на римановых многообразиях в произвольных измерениях. Математические задачи включают в себя поиск и классификацию структур и конфигураций. Известные результаты включают теорему об индексе Атьи–Зингера для операторов Дирака. Грубо говоря, симметрии пространства-времени Минковского , лоренц-инвариантность , лапласианы , операторы Дирака и расслоения волокон U(1)xSU(2)xSU(3) можно рассматривать как частный случай гораздо более общей постановки в дифференциальной геометрии ; исследование различных возможностей объясняет большую часть волнения в таких теориях, как теория струн ; богатство возможностей объясняет определенное восприятие отсутствия прогресса.

Аномалия Адлера–Белла–Джеккива наблюдается экспериментально, в том смысле, что она описывает распад нейтрального пиона , и в частности, ширину распада нейтрального пиона на два фотона . Сам нейтральный пион был открыт в 1940-х годах; его скорость распада (ширина) была правильно оценена Дж. Штейнбергером в 1949 году. ^[6] Правильная форма аномальной дивергенции аксиального тока получена Швингером в 1951 году в двумерной модели электромагнетизма и безмассовых фермионов. ^[7] То, что распад нейтрального пиона подавляется в текущем алгебраическом анализе хиральной модели, было получено Сазерлендом и Велтманом в 1967 году. ^{[8] [9]} Анализ и разрешение этого аномального результата были предоставлены Адлером ^[2] и Беллом и Джекивом ^[3] в 1969 году. Общая структура аномалий обсуждается Бардином в 1969 году. ^[10]

Кварковая модель пиона указывает, что это связанное состояние кварка и антикварка. Однако квантовые числа , включая четность и угловой момент, принятые сохраняющимися, запрещают распад пиона, по крайней мере, в расчетах нулевой петли (просто говоря, амплитуды исчезают). Если предположить, что кварки массивны, а не безмассовы, то допускается распад, нарушающий хиральность ; однако он не имеет правильного размера. (Хиральность не является константой движения массивных спиноров; они будут менять направление по мере распространения, и поэтому масса сама по себе является членом, нарушающим хиральную симметрию. Вклад массы определяется результатом Сазерленда и Вельтмана; он называется «PCAC», частично сохраняющийся аксиальный ток .) ​​Анализ Адлера–Белла–Джеккива, представленный в 1969 году (а также более ранние формы Штейнбергера и Швингера), действительно дает правильную ширину распада для нейтрального пиона.

Помимо объяснения распада пиона, он играет вторую очень важную роль. Амплитуда одной петли включает фактор, который подсчитывает общее число лептонов, которые могут циркулировать в петле. Чтобы получить правильную ширину распада, необходимо иметь ровно три поколения кварков, а не четыре или больше. Таким образом, он играет важную роль в ограничении Стандартной модели . Он обеспечивает прямое физическое предсказание числа кварков, которые могут существовать в природе.

Современные исследования сосредоточены на подобных явлениях в различных условиях, включая нетривиальные топологические конфигурации электрослабой теории , то есть сфалероны . Другие приложения включают гипотетическое несохранение барионного числа в теориях Великого объединения и других теориях.

Общее обсуждение

В некоторых теориях фермионов с киральной симметрией квантование может привести к нарушению этой (глобальной) киральной симметрии. В этом случае заряд, связанный с киральной симметрией, не сохраняется. Несохранение происходит в процессе туннелирования из одного вакуума в другой. Такой процесс называется инстантоном .

В случае симметрии, связанной с сохранением числа фермионных частиц , можно понимать создание таких частиц следующим образом. Определение частицы различно в двух вакуумных состояниях, между которыми происходит туннелирование; поэтому состояние без частиц в одном вакууме соответствует состоянию с некоторыми частицами в другом вакууме. В частности, существует море фермионов Дирака , и когда происходит такое туннелирование, оно заставляет энергетические уровни фермионов моря постепенно смещаться вверх для частиц и вниз для античастиц, или наоборот. Это означает, что частицы, которые когда-то принадлежали морю Дирака, становятся реальными (с положительной энергией) частицами, и происходит создание частиц.

Технически, в формулировке интеграла по траекториям аномальная симметрия является симметрией действия , но не меры μ и , следовательно, не производящего функционала. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\mathcal {Z}}=\int \!{\exp(i{\mathcal {A}}/\hbar )~\mathrm {d} \mu }}$

квантованной теории ( ℏ — квант действия Планка, деленный на 2 π ). Мера состоит из части, зависящей от фермионного поля , и части, зависящей от его комплексно-сопряженного . Преобразования обеих частей при хиральной симметрии в общем случае не отменяют друг друга. Обратите внимание, что если — фермион Дирака , то хиральная симметрия может быть записана как , где — хиральная гамма-матрица, действующая на . Из формулы для также явно видно, что в классическом пределе , ℏ → 0, аномалии не вступают в игру, поскольку в этом пределе остаются релевантными только экстремумы . ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle [\mathrm {d} \psi ]}$ ${\displaystyle [\mathrm {d} {\bar {\psi }}]}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\alpha \gamma ^{5}}\psi }$ ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Аномалия пропорциональна числу инстантонов калибровочного поля, с которым связаны фермионы. (Обратите внимание, что калибровочная симметрия всегда неаномальна и соблюдается в точности, как и требуется для согласованности теории.)

Расчет

Киральная аномалия может быть точно рассчитана с помощью однопетлевых диаграмм Фейнмана , например, «треугольной диаграммы» Штейнбергера, способствующей распадам пионов , и . Амплитуда этого процесса может быть рассчитана непосредственно из изменения меры фермионных полей при киральном преобразовании. ${\displaystyle \pi ^{0}\to e^{+}e^{-}\gamma }$

Весс и Зумино разработали набор условий, определяющих, как должна вести себя функция распределения при калибровочных преобразованиях, называемый условием согласованности Весса–Зумино .

Фудзикава вывел эту аномалию, используя соответствие между функциональными детерминантами и функцией распределения , используя теорему Атьи–Зингера об индексе . См. метод Фудзикавы .

Пример: несохранение барионного числа

Стандартная модель электрослабых взаимодействий имеет все необходимые ингредиенты для успешного бариогенеза , хотя эти взаимодействия никогда не наблюдались ^[11] и могут быть недостаточными для объяснения общего числа барионов наблюдаемой Вселенной, если начальное число барионов Вселенной во время Большого взрыва равно нулю. Помимо нарушения сопряжения зарядов и нарушения CP (заряд+четность), нарушение барионного заряда проявляется через аномалию Адлера–Белла–Джеккива группы . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle CP}$ ${\displaystyle U(1)}$

Барионы не сохраняются обычными электрослабыми взаимодействиями из-за квантовой хиральной аномалии. Классический электрослабый лагранжиан сохраняет барионный заряд. Кварки всегда входят в билинейные комбинации , так что кварк может исчезнуть только при столкновении с антикварком. Другими словами, классический барионный ток сохраняется: ${\displaystyle q{\bar {q}}}$ ${\displaystyle J_{\mu }^{B}}$

${\displaystyle \partial ^{\mu }J_{\mu }^{B}=\sum _{j}\partial ^{\mu }({\bar {q}}_{j}\gamma _{\mu }q_{j})=0.}$

Однако квантовые поправки, известные как сфалероны, разрушают этот закон сохранения : вместо нуля в правой части этого уравнения появляется неисчезающий квантовый член,

${\displaystyle \partial ^{\mu }J_{\mu }^{B}={\frac {g^{2}C}{16\pi ^{2}}}G^{\mu \nu a}{\tilde {G}}_{\mu \nu }^{a},}$

где C — числовая константа, обращающаяся в нуль при ℏ =0,

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\mu \nu }^{a}={\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }G^{\alpha \beta a},}$

а напряженность калибровочного поля определяется выражением ${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}}$

${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf_{bc}^{a}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}~.}$

Электрослабые сфалероны могут изменять барионное и/или лептонное число только на 3 или кратно 3 (столкновение трех барионов в три лептона/антилептона и наоборот).

Важным фактом является то, что аномальный ток несохранения пропорционален полной производной векторного оператора (она не обращается в нуль из-за инстантонных конфигураций калибровочного поля, которые являются чисто калибровочными на бесконечности), где аномальный ток равен ${\displaystyle G^{\mu \nu a}{\tilde {G}}_{\mu \nu }^{a}=\partial ^{\mu }K_{\mu }}$ ${\displaystyle K_{\mu }}$

${\displaystyle K_{\mu }=2\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\left(A^{\nu a}\partial ^{\alpha }A^{\beta a}+{\frac {1}{3}}f^{abc}A^{\nu a}A^{\alpha b}A^{\beta c}\right),}$

которая является двойственной по Ходжу формой Черна –Саймонса .

Геометрическая форма

На языке дифференциальных форм любой самодвойственной форме кривизны мы можем приписать абелеву 4-форму . Теория Черна–Вейля показывает, что эта 4-форма локально , но не глобально точна, с потенциалом, заданным 3-формой Черна–Саймонса локально: ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle \langle F_{A}\wedge F_{A}\rangle :=\operatorname {tr} \left(F_{A}\wedge F_{A}\right)}$

${\displaystyle d\mathrm {CS} (A)=\langle F_{A}\wedge F_{A}\rangle }$.

Опять же, это верно только для одной диаграммы и неверно для глобальной формы, если только число инстантонов не обращается в нуль. ${\displaystyle \langle F_{\nabla }\wedge F_{\nabla }\rangle }$

Чтобы продолжить, мы присоединяем "точку на бесконечности" k к , чтобы получить , и используем конструкцию сцепления для построения диаграммы главных A-расслоений, с одной диаграммой в окрестности k и второй на . Утолщение вокруг k , где эти диаграммы пересекаются, тривиально, поэтому их пересечение по существу равно . Таким образом, инстантоны классифицируются третьей гомотопической группой , которая для является просто третьей 3-сферной группой . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle S^{4}}$ ${\displaystyle S^{4}-k}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \pi _{3}(A)}$ ${\displaystyle A=\mathrm {SU(2)} \cong S^{3}}$ ${\displaystyle \pi _{3}(S^{3})=\mathbb {Z} }$

Дивергенция тока барионного числа равна (без учета числовых констант)

${\displaystyle \mathbf {d} \star j_{b}=\langle F_{\nabla }\wedge F_{\nabla }\rangle }$,

и число инстантона равно

${\displaystyle \int _{S^{4}}\langle F_{\nabla }\wedge F_{\nabla }\rangle \in \mathbb {N} }$.

Смотрите также

• Аномалия (физика)
• Хиральный магнитный эффект
• Глобальная аномалия
• Гравитационная аномалия
• Сильная проблема CP

Ссылки

1. Долгов, АД (1997). «Бариогенезис, 30 лет спустя». Обзоры по физике высоких энергий . 13 (1–3): 83–117. arXiv : hep-ph/9707419 . Bibcode :1998SHEP...13...83D. doi :10.1080/01422419808240874. S2CID  119499400.
2. Adler, SL (1969). "Аксиально-векторная вершина в спинорной электродинамике". Physical Review . 177 (5): 2426–2438. Bibcode : 1969PhRv..177.2426A. doi : 10.1103/PhysRev.177.2426.
3. Белл, Дж. С.; Джекив, Р. (1969). «Загадка PCAC: π0 → γγ в σ-модели». Иль Нуово Чименто А. 60 (1): 47–61. Бибкод : 1969NCimA..60...47B. дои : 10.1007/BF02823296. S2CID  125028356.
4. Роман В. Джекив (2008) «Аксиальная аномалия», Shcolarpedia 3 (10):7302.
5. Клод Ициксон и Жан-Бернард Зубер, (1980) «Квантовая теория поля», McGraw-Hill. (См. Главу 11-5, стр. 549–560)
6. Steinberger, J. (1949-10-15). «Об использовании полей вычитания и времени жизни некоторых типов распада мезонов». Physical Review . 76 (8). Американское физическое общество (APS): 1180–1186. Bibcode : 1949PhRv...76.1180S. doi : 10.1103/physrev.76.1180. ISSN  0031-899X.
7. Швингер, Джулиан (1951-06-01). «О калибровочной инвариантности и поляризации вакуума». Physical Review . 82 (5). Американское физическое общество (APS): 664–679. Bibcode : 1951PhRv...82..664S. doi : 10.1103/physrev.82.664. ISSN  0031-899X.
8. Сазерленд, Д. Г. (1967). «Токовая алгебра и некоторые несильные мезонные распады». Nuclear Physics B. 2 ( 4). Elsevier BV: 433–440. Bibcode : 1967NuPhB...2..433S. doi : 10.1016/0550-3213(67)90180-0. ISSN  0550-3213.
9. Велтман, М. (1967-10-17). "I. Теоретические аспекты взаимодействий нейтрино высоких энергий". Труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки . 301 (1465). Королевское общество: 107–112. Bibcode : 1967RSPSA.301..107V. doi : 10.1098/rspa.1967.0193. ISSN  0080-4630. S2CID  122755742.
10. Бардин, Уильям А. (1969-08-25). «Аномальные тождества Уорда в теориях спинорного поля». Physical Review . 184 (5). Американское физическое общество (APS): 1848–1859. Bibcode : 1969PhRv..184.1848B. doi : 10.1103/physrev.184.1848. ISSN  0031-899X.
11. Eidelman, S.; Hayes, KG; Olive, KA; Aguilar-Benitez, M.; Amsler, C.; et al. (Particle Data Group) (2004). "Обзор физики элементарных частиц". Physics Letters B. 592 ( 1–4). Elsevier BV: 1–5. arXiv : astro-ph/0406663 . Bibcode : 2004PhLB..592....1P. doi : 10.1016/j.physletb.2004.06.001. ISSN  0370-2693.

Дальнейшее чтение

Опубликованные статьи

• Frampton, PH; Kephart, TW (1983). «Явная оценка аномалий в высших измерениях». Physical Review Letters . 50 (18): 1343–1346. Bibcode : 1983PhRvL..50.1343F. doi : 10.1103/PhysRevLett.50.1343.
• Frampton, PH; Kephart, TW (1983). «Анализ аномалий в высших измерениях пространства-времени». Physical Review . D28 (4): 1010–1023. Bibcode : 1983PhRvD..28.1010F. doi : 10.1103/PhysRevD.28.1010.
• Gozzi, E.; Mauro, D.; Silvestri, A. (2004). «Хиральные аномалии с помощью классических и квантовых функциональных методов». International Journal of Modern Physics A . 20 (20–21): 5009. arXiv : hep-th/0410129 . Bibcode :2005IJMPA..20.5009G. doi :10.1142/S0217751X05025085. S2CID  15616630.
• Уайт, AR (2004). "Электрослабое рассеяние высоких энергий и хиральная аномалия". Physical Review D. 69 ( 9): 096002. arXiv : hep-ph/0308287 . Bibcode : 2004PhRvD..69i6002W. doi : 10.1103/PhysRevD.69.096002. S2CID  10863873.
• Yang, J.-F. (2004). «Аномалии следов и хиральные тождества Уорда». Chinese Physics Letters . 21 (5): 792–794. arXiv : hep-ph/0403173 . Bibcode : 2004ChPhL..21..792Y. doi : 10.1088/0256-307X/21/5/008. S2CID  119021732.
• Чёрго, Т.; Вертези, Р.; Шиклай, Дж. (2010). «Косвенное наблюдение уменьшения массы η 'в среде в результате столкновений Au + Au в течение √ с _NN = 200 ГэВ». Письма о физических отзывах . 105 (18): 182301. arXiv : 0912.5526 . Бибкод : 2010PhRvL.105r2301C. doi : 10.1103/PhysRevLett.105.182301. PMID  21231099. S2CID  9011271.
• AlMasri, MW (2019). "Аксиальная аномалия в некоммутативной КЭД и регуляризация Паули–Вилларса". International Journal of Modern Physics A . 34 (26). arXiv : 1909.10280 . Bibcode :2019IJMPA..3450150A. doi :10.1142/S0217751X19501501. S2CID  202719219.

Учебники

• Фудзикава, К.; Сузуки, Х. (2004). Интегралы по траекториям и квантовые аномалии . Clarendon Press . ISBN 978-0-19-852913-2.
• Вайнберг, С. (2001). Квантовая теория полей. Том II: Современные приложения . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-55002-4.

Препринты

• Янг, Ж.-Ф. (2003). «Следовые и хиральные аномалии в КЭД и их базовая теоретическая интерпретация». arXiv : hep-ph/0309311 .