Асимптотическое расширение

Ряды функций в математике

В математике асимптотическое разложение , асимптотический ряд или разложение Пуанкаре (в честь Анри Пуанкаре ) — это формальный ряд функций, обладающий тем свойством, что усечение ряда после конечного числа членов обеспечивает приближение к заданной функции, поскольку аргумент функции стремится к определенной, часто бесконечной, точке. Исследования Дингла (1973) показали, что расходящаяся часть асимптотического разложения имеет скрытый смысл, т. е. содержит информацию о точном значении расширенной функции.

Теория асимптотических рядов была создана Пуанкаре (и независимо от него Стилтьесом ) в 1886 году. ^[1]

Наиболее распространенным типом асимптотического разложения является степенной ряд по положительным или отрицательным степеням. Методы получения таких разложений включают формулу суммирования Эйлера–Маклорена и интегральные преобразования, такие как преобразования Лапласа и Меллина . Повторное интегрирование по частям часто приводит к асимптотическому разложению.

Поскольку сходящийся ряд Тейлора также соответствует определению асимптотического разложения, фраза «асимптотический ряд» обычно подразумевает не сходящийся ряд. Несмотря на несходимость, асимптотическое разложение полезно, когда усечено до конечного числа членов. Аппроксимация может обеспечить преимущества, будучи более математически податливой, чем расширяемая функция, или за счет увеличения скорости вычисления расширяемой функции. Обычно наилучшее приближение дается, когда ряд усекается до наименьшего члена. Этот способ оптимального усечения асимптотического разложения известен как суперасимптотика . ^[2] Тогда ошибка обычно имеет вид ~ exp(− c /ε) , где ε — параметр разложения. Таким образом, ошибка выходит за рамки всех порядков по параметру разложения. Можно улучшить суперасимптотическую ошибку, например, применяя методы пересуммирования, такие как пересуммирование Бореля до расходящегося хвоста. Такие методы часто называют гиперасимптотическими приближениями .

См. асимптотический анализ и нотацию «большое О» для обозначения, используемого в этой статье.

Формальное определение

Сначала мы определим асимптотическую шкалу, а затем дадим формальное определение асимптотического разложения.

Если — последовательность непрерывных функций в некоторой области, а если — предельная точка этой области, то последовательность представляет собой асимптотическую шкалу , если для каждого n ${\displaystyle \ \varphi _{n}\ }$ ${\displaystyle \ L\ }$

${\displaystyle \varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\quad (x\to L)\ .}$

( можно принять за бесконечность.) Другими словами, последовательность функций является асимптотической шкалой, если каждая функция в последовательности растет строго медленнее (в пределе ), чем предыдущая функция. ${\displaystyle \ L\ }$ ${\displaystyle \ x\to L\ }$

Если — непрерывная функция в области асимптотической шкалы, то f имеет асимптотическое разложение порядка относительно шкалы в виде формального ряда ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ N\ }$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}\varphi _{n}(x)}$

если

${\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=O(\varphi _{N}(x))\quad (x\to L)}$

или более слабое условие

${\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=o(\varphi _{N-1}(x))\quad (x\to L)\ }$

удовлетворяется. Здесь, это маленькая нотация o . Если одно или другое выполняется для всех , то мы пишем ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle \ N\ }$

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)\quad (x\to L)\ .}$

В отличие от сходящегося ряда для , где ряд сходится для любого фиксированного в пределе , можно рассматривать асимптотический ряд как сходящийся для фиксированного в пределе (с возможной бесконечностью). ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ x\ }$ ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle \ N\ }$ ${\displaystyle \ x\to L\ }$ ${\displaystyle \ L\ }$

Примеры

Графики абсолютного значения дробной погрешности в асимптотическом разложении гамма-функции (слева). Горизонтальная ось — количество членов в асимптотическом разложении. Синие точки соответствуют x  = 2 , а красные — x  = 3. Видно, что наименьшая погрешность возникает при 14 членах для x  = 2 и 20 членах для x  = 3 , за пределами которых погрешность расходится.

• Гамма-функция ( приближение Стирлинга ) $${\displaystyle {\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )}$$
• Экспоненциальный интеграл $${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\to \infty )}$$
• Логарифмический интеграл $${\displaystyle \operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}}$$
• Дзета-функция Римана, где — числа Бернулли , а — возрастающий факториал . Это разложение справедливо для всех комплексных s и часто используется для вычисления дзета-функции, используя достаточно большое значение N , например . $${\displaystyle \zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N}n^{-s}+{\frac {N^{1-s}}{s-1}}-{\frac {N^{-s}}{2}}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}}$$ ${\displaystyle B_{2m}}$ ${\displaystyle s^{\overline {2m-1}}}$ ${\displaystyle N>|s|}$
• Функция ошибки , где (2 n  − 1)!! — двойной факториал . $${\displaystyle {\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )}$$

Рабочий пример

Асимптотические разложения часто возникают, когда обычный ряд используется в формальном выражении, которое заставляет брать значения вне его области сходимости . Так, например, можно начать с обычного ряда

${\displaystyle {\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}.}$

Выражение слева справедливо на всей комплексной плоскости , тогда как правая часть сходится только при . Умножение на и интегрирование обеих частей дает ${\displaystyle w\neq 1}$ ${\displaystyle |w|<1}$ ${\displaystyle e^{-w/t}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du,}$

после подстановки в правой части. Интеграл в левой части, понимаемый как главное значение Коши , может быть выражен через экспоненциальный интеграл . Интеграл в правой части может быть распознан как гамма-функция . Оценивая оба, получаем асимптотическое разложение ${\displaystyle u=w/t}$

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{t}}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }n!t^{n+1}.}$

Здесь правая часть явно не сходится ни для какого ненулевого значения t . Однако, усекая ряд справа до конечного числа членов, можно получить довольно хорошее приближение к значению для достаточно малого t . Подстановка и замечание, что приводит к асимптотическому разложению, приведенному ранее в этой статье. ${\displaystyle \operatorname {Ei} \left({\tfrac {1}{t}}\right)}$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{t}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)}$

Интеграция по частям

Используя интегрирование по частям, можно получить явную формулу ^[3] Для любого фиксированного абсолютное значение остаточного члена уменьшается, затем увеличивается. Минимум достигается при , в точке . Эта граница называется «асимптотикой за пределами всех порядков». $${\displaystyle \operatorname {Ei} (z)={\frac {e^{z}}{z}}\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {k!}{z^{k}}}+e_{n}(z)\right),\quad e_{n}(z)\equiv (n+1)!\ ze^{-z}\int _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t^{n+2}}}\,dt}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |e_{n}(z)|}$ ${\displaystyle n\sim |z|}$ ${\displaystyle \vert e_{n}(z)\vert \leq {\sqrt {\frac {2\pi }{\vert z\vert }}}e^{-\vert z\vert }}$

Характеристики

Уникальность для заданного асимптотического масштаба

Для заданного асимптотического масштаба асимптотическое разложение функции единственно. ^[4] То есть коэффициенты однозначно определяются следующим образом: где — предельная точка этого асимптотического разложения (может быть ). ${\displaystyle \{\varphi _{n}(x)\}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)}{\varphi _{0}(x)}}\\a_{1}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)-a_{0}\varphi _{0}(x)}{\varphi _{1}(x)}}\\&\;\;\vdots \\a_{N}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)}{\varphi _{N}(x)}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \pm \infty }$

Неединственность для данной функции

Заданная функция может иметь множество асимптотических расширений (каждое с различным асимптотическим масштабом). ^[4] ${\displaystyle f(x)}$

Субдоминирование

Асимптотическое разложение может быть асимптотическим разложением более чем одной функции. ^[4]

Смотрите также

Связанные поля

• Асимптотический анализ
• Сингулярное возмущение

Асимптотические методы

• Лемма Ватсона
• Преобразование Меллина
• Метод Лапласа
• Приближение стационарной фазы
• Метод доминирующего баланса
• Метод наискорейшего спуска

Примечания

1. Jahnke, Hans Niels (2003). История анализа . История математики. Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. стр. 190. ISBN 978-0-8218-2623-2.
2. Бойд, Джон П. (1999), «Изобретение дьявола: асимптотические, суперасимптотические и гиперасимптотические ряды» (PDF) , Acta Applicandae Mathematicae , 56 (1): 1–98, doi :10.1023/A:1006145903624, hdl : 2027.42/41670.
3. О'Мэлли, Роберт Э. (2014), О'Мэлли, Роберт Э. (ред.), «Асимптотические приближения», Исторические разработки в области сингулярных возмущений , Cham: Springer International Publishing, стр. 27–51, doi :10.1007/978-3-319-11924-3_2, ISBN 978-3-319-11924-3, получено 2023-05-04
4. SJA Malham, «Введение в асимптотический анализ», Университет Хериот-Ватт .

Ссылки

• Ablowitz, MJ, & Fokas, AS (2003). Комплексные переменные: введение и применение . Cambridge University Press .
• Бендер, КМ и Орсзаг, СА (2013). Расширенные математические методы для ученых и инженеров I: Асимптотические методы и теория возмущений . Springer Science & Business Media .
• Блейштейн, Н., Хандельсман, Р. (1975), Асимптотические разложения интегралов , Dover Publications .
• Carrier, GF, Krook, M., & Pearson, CE (2005). Функции комплексной переменной: теория и техника . Общество промышленной и прикладной математики .
• Копсон, ET (1965), Асимптотические разложения , Cambridge University Press .
• Дингл, Р. Б. (1973), Асимптотические разложения: их вывод и интерпретация , Academic Press.
• Эрдейи, А. (1955), Асимптотические разложения , Dover Publications .
• Фручард, А., Шефке, Р. (2013), Составные асимптотические разложения , Springer.
• Харди, Г. Х. (1949), «Расходящаяся серия» , Oxford University Press .
• Олвер, Ф. (1997). Асимптотики и специальные функции . AK Peters/CRC Press.
• Пэрис, Р. Б., Камински, Д. (2001), Асимптотика и интегралы Меллина-Барнса , Cambridge University Press .
• Паскаль Реми (2024). Асимптотические разложения и суммируемость: применение к уравнениям с частными производными , Springer, LNM 2351.
• Уиттекер, Э. Т. , Уотсон, Г. Н. (1963), Курс современного анализа , четвертое издание, Cambridge University Press .

Внешние ссылки

• «Асимптотическое разложение», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Wolfram Mathworld: Асимптотические ряды