Дзета-функция Римана

Аналитическая функция в математике

Дзета-функция Римана ζ ( z ), построенная с использованием раскраски доменов . ^[1]

Полюс в точке и два нуля на критической линии. ${\displaystyle z=1}$

Дзета -функция Римана или дзета-функция Эйлера–Римана , обозначаемая греческой буквой ζ ( дзета ), представляет собой математическую функцию комплексной переменной , определяемую как для , и ее аналитическое продолжение в другом месте. ^[2] $${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$

Дзета-функция Римана играет ключевую роль в аналитической теории чисел и имеет приложения в физике , теории вероятностей и прикладной статистике .

Леонард Эйлер впервые ввел и изучил функцию над действительными числами в первой половине восемнадцатого века. Статья Бернхарда Римана 1859 года « О числе простых чисел, меньших заданной величины » расширила определение Эйлера на комплексную переменную, доказала ее мероморфное продолжение и функциональное уравнение , а также установила связь между ее нулями и распределением простых чисел . Эта статья также содержала гипотезу Римана — предположение о распределении комплексных нулей дзета-функции Римана, которое многие математики считают важнейшей нерешенной проблемой чистой математики . ^[3]

Значения дзета-функции Римана при четных положительных целых числах были вычислены Эйлером. Первое из них, ζ (2) , дает решение Базельской проблемы . В 1979 году Роже Апери доказал иррациональность ζ (3) . Значения при отрицательных целых числах, также найденные Эйлером, являются рациональными числами и играют важную роль в теории модулярных форм . Известно много обобщений дзета-функции Римана, таких как ряды Дирихле , L -функции Дирихле и L -функции .

Определение

Статья Бернхарда Римана О количестве простых чисел ниже заданной величины

Дзета-функция Римана ζ ( s ) является функцией комплексной переменной s = σ + it , где σ и t — действительные числа. (Обозначения s , σ и t традиционно используются при изучении дзета-функции, следуя Риману.) Когда Re( s ) = σ > 1 , функцию можно записать в виде сходящейся суммы или в виде интеграла:

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x\,,}$

где

${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\,e^{-x}\,\mathrm {d} x}$

— гамма-функция . Дзета-функция Римана определяется для других комплексных значений посредством аналитического продолжения функции, определенной для σ > 1 .

Леонард Эйлер рассмотрел указанный выше ряд в 1740 году для положительных целых значений s , а позднее Чебышев расширил определение до ^[4] ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1.}$

Вышеуказанный ряд является прототипическим рядом Дирихле , который сходится абсолютно к аналитической функции для s, такой что σ > 1 , и расходится для всех других значений s . Риман показал, что функция, определяемая рядом на полуплоскости сходимости, может быть аналитически продолжена на все комплексные значения s ≠ 1. При s = 1 ряд является гармоническим рядом , который расходится к +∞ , и Таким образом, дзета-функция Римана является мероморфной функцией на всей комплексной плоскости, которая голоморфна всюду, за исключением простого полюса при s = 1 с вычетом 1 . $${\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta (s)=1.}$$

Формула произведения Эйлера

В 1737 году связь между дзета-функцией и простыми числами была открыта Эйлером, который доказал тождество

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},}$

где, по определению, левая часть равна ζ ( s ) , а бесконечное произведение в правой части распространяется на все простые числа p (такие выражения называются произведениями Эйлера ):

${\displaystyle \prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-11^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p^{-s}}}\cdots }$

Обе части формулы произведения Эйлера сходятся при Re( s ) > 1 . Доказательство тождества Эйлера использует только формулу для геометрического ряда и основную теорему арифметики . Поскольку гармонический ряд , полученный при s = 1 , расходится, формула Эйлера (которая становится Π _p ⁠п/п − 1⁠ ) ​​подразумевает, что существует бесконечно много простых чисел . ^[5] Поскольку логарифм ⁠п/п − 1⁠ приблизительно ⁠1/п⁠ , формулу можно также использовать для доказательства более сильного результата, что сумма обратных величин простых чисел бесконечна. С другой стороны, объединение этого с решетом Эратосфена показывает, что плотность множества простых чисел внутри множества положительных целых чисел равна нулю.

Формула произведения Эйлера может быть использована для вычисления асимптотической вероятности того, что s случайно выбранных целых чисел являются взаимно простыми по множеству . Интуитивно, вероятность того, что любое число делится на простое число (или любое целое число) p , равна ⁠1/п⁠ . Следовательно, вероятность того, что все s чисел делятся на это простое число, равна ⁠1/п ^с⁠ , а вероятность того, что хотя бы один из них не является, равна 1 − ⁠1/п ^с⁠ . Теперь, для различных простых чисел, эти события делимости взаимно независимы, потому что кандидаты на делители являются взаимно простыми (число делится на взаимно простые делители n и m тогда и только тогда, когда оно делится на  nm , событие, которое происходит с вероятностью  ⁠1/нм⁠ ). Таким образом, асимптотическая вероятность того, что s чисел являются взаимно простыми, определяется произведением всех простых чисел,

${\displaystyle \prod _{p{\text{ prime}}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\left(\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\right)^{-1}={\frac {1}{\zeta (s)}}.}$

Функциональное уравнение Римана

Эта дзета-функция удовлетворяет функциональному уравнению , где Γ( s ) — гамма-функция . Это равенство мероморфных функций, действительных на всей комплексной плоскости . Уравнение связывает значения дзета-функции Римана в точках s и 1 − s , в частности связывая четные положительные целые числа с нечетными отрицательными целыми числами. Благодаря нулям синусоидальной функции функциональное уравнение подразумевает, что ζ ( s ) имеет простой ноль в каждом четном отрицательном целом числе s = −2 n , известный как тривиальные нули ζ ( s ) . Когда s — четное положительное целое число, произведение sin( ⁠ $${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\ ,}$$   π с /2⁠ ) ​​Γ(1 − s )  справа не равен нулю, посколькуΓ(1 − s )имеет простойполюс, который отменяет простой ноль синусного множителя.

Доказательство функционального уравнения Римана

Доказательство функционального уравнения происходит следующим образом: Заметим, что если то ${\displaystyle \ \sigma >0\ ,}$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{{\frac {1}{2}}s-1}e^{-n^{2}\pi x}\ \operatorname {d} x\ =\ {\frac {\ \Gamma \!\left({\frac {s}{2}}\right)\ }{\ n^{s}\ \pi ^{\frac {s}{2}}\ }}~.}$$

В результате, если то с инверсией предельных процессов, оправданной абсолютной сходимостью (отсюда и более строгое требование к ). ${\displaystyle \ \sigma >1\ }$ $${\displaystyle {\frac {\ \Gamma \!\left({\frac {s}{2}}\right)\ \zeta (s)\ }{\ \pi ^{\frac {s}{2}}\ }}\ =\ \sum _{n=1}^{\infty }\ \int _{0}^{\infty }\ x^{{s \over 2}-1}\ e^{-n^{2}\pi x}\ \operatorname {d} x\ =\ \int _{0}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}\ \operatorname {d} x\ ,}$$ ${\displaystyle \sigma }$

Для удобства пусть $${\displaystyle \psi (x)\ :=\ \sum _{n=1}^{\infty }\ e^{-n^{2}\pi x}}$$

что является частным случаем тета-функции . Тогда $${\displaystyle \zeta (s)\ =\ {\frac {\pi ^{s \over 2}}{\ \Gamma ({s \over 2})\ }}\ \int _{0}^{\infty }\ x^{{1 \over 2}{s}-1}\ \psi (x)\ \operatorname {d} x~.}$$

По формуле суммирования Пуассона имеем $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\ e^{-n^{2}\pi \ x}\ =\ {\frac {1}{\ {\sqrt {x\ }}\ }}\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }\ e^{-{\frac {\ n^{2}\pi \ }{x}}}\ ,}$$

так что $${\displaystyle \ 2\ \psi (x)+1\ =\ {\frac {1}{\ {\sqrt {x\ }}\ }}\left\{\ 2\ \psi \!\left({\frac {1}{x}}\right)+1\ \right\}~.}$$

Следовательно $${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\ \Gamma \!\left({\frac {s}{2}}\right)\ \zeta (s)\ =\ \int _{0}^{1}\ x^{{\frac {s}{2}}-1}\ \psi (x)\ \operatorname {d} x+\int _{1}^{\infty }x^{{\frac {s}{2}}-1}\psi (x)\ \operatorname {d} x~.}$$

Это эквивалентно или $${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{{\frac {s}{2}}-1}\left\{{\frac {1}{\ {\sqrt {x\ }}\ }}\ \psi \!\left({\frac {1}{x}}\right)+{\frac {1}{\ 2{\sqrt {x\ }}\ }}-{\frac {1}{2}}\ \right\}\ \operatorname {d} x+\int _{1}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\ \operatorname {d} x}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{\ s-1\ }}-{\frac {1}{\ s\ }}+\int _{0}^{1}\ x^{{\frac {s}{2}}-{\frac {3}{2}}}\ \psi \!\left({\frac {1}{\ x\ }}\right)\ \operatorname {d} x+\int _{1}^{\infty }\ x^{{\frac {s}{2}}-1}\ \psi (x)\ \operatorname {d} x~.}$$

Так $${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\ \Gamma \!\left({\frac {\ s\ }{2}}\right)\ \zeta (s)\ =\ {\frac {1}{\ s(s-1)\ }}+\int _{1}^{\infty }\ \left(x^{-{\frac {s}{2}}-{\frac {1}{2}}}+x^{{\frac {s}{2}}-1}\right)\ \psi (x)\ \operatorname {d} x}$$

которая сходится для всех s , поэтому выполняется аналитическим продолжением. Кроме того, обратите внимание, что RHS остается прежним, если s заменить на 1 − s . Следовательно

$${\displaystyle {\frac {\ \Gamma \!\left(\ {\frac {s}{2}}\ \right)\ \zeta \!\left(\ s\ \right)\ }{\ \pi ^{{\frac {s}{2}}\ }\ }}\ =\ {\frac {\ \Gamma \!\left(\ {\frac {1}{2}}-{\frac {s}{2}}\ \right)\ \zeta \!\left(\ 1-s\ \right)\ }{\ \pi ^{{\frac {1}{2}}-{\frac {s}{2}}}\ }}}$$

которое является функциональным уравнением, приписываемым Бернхарду Риману . ^[6]

Функциональное уравнение было установлено Риманом в его работе 1859 года « О числе простых чисел, меньших заданной величины » и изначально использовалось для построения аналитического продолжения.

Эквивалентности

Эквивалентное соотношение было высказано Эйлером более ста лет назад, в 1749 году, для эта-функции Дирихле (альтернирующей дзета-функции): $${\displaystyle \eta (s)\ =\ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\;(-1)^{n+1}}{\ n^{s}}}=\left(1-{2^{1-s}}\right)\ \zeta (s)~.}$$

Кстати, это соотношение дает уравнение для вычисления ζ ( s ) в области 0 < ℛ _ℯ ( s ) < 1 , т.е. где η -ряд сходится (хотя и не абсолютно ) в большей полуплоскости s > 0 (более подробный обзор истории функционального уравнения см., например, в Blagouchine ^{[7] [8]} ). $${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\;1-2^{1-s}\ }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{\;n^{s}\ }}}$$

Риман также нашел симметричную версию функционального уравнения, применяемого к ξ -функции: которая удовлетворяет: $${\displaystyle \xi (s)\ =\ {\frac {1}{2}}\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\ s(s-1)\ \Gamma \!\left({\frac {s}{2}}\right)\ \zeta (s)\ ,}$$ $${\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s)~.}$$

( Оригинальная ξ ( t ) Римана была немного иной.)

Во времена Римана этот фактор не был хорошо понят, пока Джон Тейт не опубликовал диссертацию (1950) , в которой было показано, что этот так называемый «гамма-фактор» на самом деле является локальным L-фактором, соответствующим архимедову месту , а другие факторы в разложении произведения Эйлера являются локальными L-факторами неархимедовых мест. ${\displaystyle \ \pi ^{-s/2}\ \Gamma (s/2)\ }$

Нули, критическая линия и гипотеза Римана

Дзета-спираль Римана вдоль критической линии от высоты 999000 до миллиона (от красного до фиолетового)

Дзета-функция Римана не имеет нулей справа от σ = 1 или (кроме тривиальных нулей) слева от σ = 0 (и нули не могут лежать слишком близко к этим линиям). Более того, нетривиальные нули симметричны относительно действительной оси и линии σ = ⁠1/2⁠ и, согласно гипотезе Римана , все они лежат на прямой σ = ⁠1/2⁠ .

На этом изображении показан график дзета-функции Римана вдоль критической линии для действительных значений t от 0 до 34. Первые пять нулей в критической полосе отчетливо видны как место, где спирали проходят через начало координат.

Действительная часть (красная) и мнимая часть (синяя) дзета-функции Римана вдоль критической прямой Re( s ) = 1/2. Первые нетривиальные нули можно увидеть при Im( s ) = ±14,135, ±21,022 и ±25,011.

Анимация, демонстрирующая дзета-функцию Римана вдоль критической прямой. Дзета(1/2 + I y) для y в диапазоне от 1000 до 1005.

Функциональное уравнение показывает, что дзета-функция Римана имеет нули в точках −2, −4,... . Они называются тривиальными нулями . Они тривиальны в том смысле, что их существование сравнительно легко доказать, например, из sin ⁠π с/2⁠ быть 0 в функциональном уравнении. Нетривиальные нули привлекли гораздо больше внимания, потому что их распределение не только гораздо менее изучено, но, что более важно, их изучение дает важные результаты, касающиеся простых чисел и связанных с ними объектов в теории чисел. Известно, что любой нетривиальный ноль лежит в открытой полосе, которая называется критической полосой . Множествоназывается критической прямой . Гипотеза Римана , считающаяся одной из величайших нерешенных проблем в математике, утверждает, что все нетривиальные нули находятся на критической прямой. В 1989 году Конри доказал, что более 40% нетривиальных нулей дзета-функции Римана находятся на критической прямой. ^[9] ${\displaystyle \{s\in \mathbb {C} :0<\operatorname {Re} (s)<1\}}$ ${\displaystyle \{s\in \mathbb {C} :\operatorname {Re} (s)=1/2\}}$

О дзета-функции Римана на критической прямой см. Z -функция .

Количество нулей в критической полосе

Пусть — число нулей в критической полосе , мнимые части которых лежат в интервале . Труджиан доказал, что если , то ^[12] ${\displaystyle N(T)}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1}$ ${\displaystyle 0<\operatorname {Im} (s)<T}$ ${\displaystyle T>e}$

${\displaystyle \left|N(T)-{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi e}}\right|\leq 0.112\log T+0.278\log \log T+3.385+{\frac {0.2}{T}}}$.

Гипотезы Харди–Литтлвуда

В 1914 году Г. Х. Харди доказал, что ζ ( ⁠1/2⁠ + it ) имеет бесконечно много действительных нулей. ^{[13] [14]}

Харди и Дж. Э. Литтлвуд сформулировали две гипотезы о плотности и расстоянии между нулями ζ ( ⁠1/2⁠ + it ) на интервалах больших положительных действительных чисел. В дальнейшем N ( T ) — общее число действительных нулей, а N ₀ ( T ) — общее число нулей нечетного порядка функции ζ ( ⁠1/2⁠ + it ), лежащая в интервале (0, T ] .

1. Для любого ε > 0 существует T ₀ ( ε ) > 0 такое, что при

   ${\displaystyle T\geq T_{0}(\varepsilon )\quad {\text{ and }}\quad H=T^{{\frac {1}{4}}+\varepsilon },}$

   интервал ( T , T + H ] содержит ноль нечетного порядка.
2. Для любого ε > 0 существуют T ₀ ( ε ) > 0 и c _ε > 0 такие, что выполняется неравенство

   ${\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq c_{\varepsilon }H}$

   держится, когда

   ${\displaystyle T\geq T_{0}(\varepsilon )\quad {\text{ and }}\quad H=T^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }.}$

Эти две гипотезы открыли новые направления в исследовании дзета-функции Римана.

Регион без нуля

Расположение нулей дзета-функции Римана имеет большое значение в теории чисел. Теорема о простых числах эквивалентна тому факту, что на прямой Re( s ) = 1 нет нулей дзета-функции . ^[15] Лучший результат ^[16] , который следует из эффективной формы теоремы Виноградова о среднем значении , состоит в том, что ζ ( σ + it ) ≠ 0 всякий раз, когда и | t | ≥ 3 . ${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{57.54(\log {|t|})^{\frac {2}{3}}(\log {\log {|t|}})^{\frac {1}{3}}}}}$

В 2015 году Моссингхофф и Труджиан доказали ^[17], что дзета не имеет нулей в области

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{5.573412\log |t|}}}$

для | t | ≥ 2. Это самая большая известная область без нулей в критической полосе для . ${\displaystyle 3.06\cdot 10^{10}<|t|<\exp(10151.5)\approx 5.5\cdot 10^{4408}}$

Самый сильный результат такого рода, на который можно надеяться, — это истинность гипотезы Римана, которая будет иметь множество глубоких последствий в теории чисел.

Другие результаты

Известно, что на критической прямой бесконечно много нулей. Литтлвуд показал, что если последовательность ( γ _n ) содержит мнимые части всех нулей в верхней полуплоскости в порядке возрастания, то

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\gamma _{n+1}-\gamma _{n}\right)=0.}$

Теорема о критической прямой утверждает, что положительная доля нетривиальных нулей лежит на критической прямой. (Гипотеза Римана подразумевала бы, что эта доля равна 1.)

В критической полосе нуль с наименьшей неотрицательной мнимой частью равен ⁠1/2⁠ + 14.13472514... i ( OEIS : A058303 ). Тот факт, что

${\displaystyle \zeta (s)={\overline {\zeta ({\overline {s}})}}}$

для всех комплексных s ≠ 1 подразумевает, что нули дзета-функции Римана симметричны относительно действительной оси. Объединяя эту симметрию с функциональным уравнением, кроме того, можно увидеть, что нетривиальные нули симметричны относительно критической прямой Re( s ) = ⁠1/2⁠ .

Известно также, что на прямой с действительной частью 1 не лежит ни одного нуля.

Конкретные ценности

Для любого положительного четного целого числа 2 n , где B _{2 n} — 2 n -ое число Бернулли . Для нечетных положительных целых чисел такое простое выражение неизвестно, хотя считается, что эти значения связаны с алгебраической K -теорией целых чисел; см. Специальные значения L -функций . $${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {|{B_{2n}}|(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}},}$$

Для неположительных целых чисел имеем при n ≥ 0 (используя соглашение, что B ₁ = ⁠ $${\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}}$$1/2⁠ ). В частности, ζ обращается в нуль при отрицательных четных целых числах, поскольку B _m = 0 для всех нечетных m, отличных от 1. Это так называемые «тривиальные нули» дзета-функции.

С помощью аналитического продолжения можно показать, что Это дает повод для присвоения конечного значения расходящемуся ряду 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ , который использовался в определенных контекстах ( суммирование Рамануджана ), таких как теория струн . ^[18] Аналогично, конкретное значение можно рассматривать как присвоение конечного результата расходящемуся ряду 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ . $${\displaystyle \zeta (-1)=-{\tfrac {1}{12}}}$$ $${\displaystyle \zeta (0)=-{\tfrac {1}{2}}}$$

Значение используется при расчете кинетических задач пограничного слоя линейных кинетических уравнений. ^{[19] [20]} $${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}=-1.46035450880958681288\ldots }$$

Хотя он расходится, его главное значение Коши существует и равно постоянной Эйлера–Маскерони γ = 0,5772... [ ^21] $${\displaystyle \zeta (1)=1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\cdots }$$ $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (1+\varepsilon )+\zeta (1-\varepsilon )}{2}}}$$

Демонстрация частного значения известна как Базельская проблема . Обратная величина этой суммы отвечает на вопрос: Какова вероятность того, что два числа, выбранных наугад, являются взаимно простыми ? ^[22] Значение — константа Апери . $${\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$ $${\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots =1.202056903159594285399...}$$

Принимая предел через действительные числа, получаем . Но на комплексной бесконечности на сфере Римана дзета-функция имеет существенную особенность . ^[2] ${\displaystyle s\rightarrow +\infty }$ ${\displaystyle \zeta (+\infty )=1}$

Различные свойства

Для сумм, включающих дзета-функцию при целых и полуцелых значениях, см. рациональные дзета-ряды .

Взаимный

Обратная величина дзета-функции может быть выражена в виде ряда Дирихле по функции Мёбиуса μ ( n ) :

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

для любого комплексного числа s с действительной частью больше 1. Существует ряд подобных соотношений, включающих различные известные мультипликативные функции ; они приведены в статье о рядах Дирихле .

Гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что это выражение справедливо, когда действительная часть s больше ⁠1/2⁠ .

Универсальность

Критическая полоса дзета-функции Римана обладает замечательным свойством универсальности . Эта универсальность дзета-функции утверждает, что существует некоторое место на критической полосе, которое аппроксимирует любую голоморфную функцию произвольно хорошо. Поскольку голоморфные функции являются очень общими, это свойство весьма замечательно. Первое доказательство универсальности было предоставлено Сергеем Михайловичем Ворониным в 1975 году. ^[23] Более поздние работы включали эффективные версии теоремы Воронина ^[24] и ее распространение на L-функции Дирихле . ^{[25] [26]}

Оценки максимума модуля дзета-функции

Пусть функции F ( T ; H ) и G ( s ₀ ; Δ) определяются равенствами

${\displaystyle F(T;H)=\max _{|t-T|\leq H}\left|\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)\right|,\qquad G(s_{0};\Delta )=\max _{|s-s_{0}|\leq \Delta }|\zeta (s)|.}$

Здесь T — достаточно большое положительное число, 0 < H ≪ log log T , s ₀ = σ ₀ + iT , ⁠1/2⁠ ≤ σ ₀ ≤ 1 , 0 < Δ < ⁠1/3⁠ . Оценка величин F и G снизу показывает, насколько большие (по модулю) значения ζ ( s ) может принимать на коротких интервалах критической прямой или в малых окрестностях точек, лежащих в критической полосе 0 ≤ Re( s ) ≤ 1 .

Случай H ≫ log log T изучал Канаканахалли Рамачандра ; случай Δ > c , где c — достаточно большая константа, тривиален.

Анатолий Карацуба доказал ^{[27] [28]} , в частности, что если величины H и Δ превышают некоторые достаточно малые константы, то справедливы оценки

${\displaystyle F(T;H)\geq T^{-c_{1}},\qquad G(s_{0};\Delta )\geq T^{-c_{2}},}$

где c ₁ и c ₂ — некоторые абсолютные константы.

Аргумент дзета-функции Римана

Функция

${\displaystyle S(t)={\frac {1}{\pi }}\arg {\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}}$

называется аргументом дзета-функции Римана. Здесь arg ζ ( ⁠1/2⁠ + it ) — приращение произвольной непрерывной ветви arg ζ ( s ) вдоль ломаной, соединяющей точки 2 , 2 + it и ⁠1/2⁠ + это .

Существуют некоторые теоремы о свойствах функции S ( t ) . Среди этих результатов ^{[29] [30]} есть теоремы о среднем значении для S ( t ) и ее первый интеграл

${\displaystyle S_{1}(t)=\int _{0}^{t}S(u)\,\mathrm {d} u}$

на интервалах действительной прямой, а также теорема, утверждающая, что каждый интервал ( T , T + H ] для

${\displaystyle H\geq T^{{\frac {27}{82}}+\varepsilon }}$

содержит по крайней мере

${\displaystyle H{\sqrt[{3}]{\ln T}}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}}$

точки, где функция S ( t ) меняет знак. Ранее аналогичные результаты были получены Атле Сельбергом для случая

${\displaystyle H\geq T^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }.}$

Представления

ряд Дирихле

Расширение области сходимости можно получить путем перестановки исходного ряда. ^[31] Ряд

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {n}{(n+1)^{s}}}-{\frac {n-s}{n^{s}}}\right)}$

сходится при Re( s ) > 0 , тогда как

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n(n+1)}{2}}\left({\frac {2n+3+s}{(n+1)^{s+2}}}-{\frac {2n-1-s}{n^{s+2}}}\right)}$

сходятся даже при Re( s ) > −1 . Таким образом, область сходимости может быть расширена до Re( s ) > − k для любого отрицательного целого числа − k .

Рекуррентная связь ясно видна из выражения, действительного для Re( s ) > −2, что позволяет осуществить дальнейшее расширение путем интегрирования по частям.

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)=&1+{\frac {1}{s-1}}-{\frac {s}{2!}}[\zeta (s+1)-1]\\-&{\frac {s(s+1)}{3!}}[\zeta (s+2)-1]\\&-{\frac {s(s+1)(s+2)}{3!}}\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {t^{3}dt}{(n+t)^{s+3}}}\end{aligned}}}$

Интегралы типа Меллина

Преобразование Меллина функции f ( x ) определяется как ^[32]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)x^{s}\,{\frac {\mathrm {d} x}{x}}}$

в области, где определен интеграл. Существуют различные выражения для дзета-функции как интегралы, подобные преобразованию Меллина. Если действительная часть s больше единицы, то имеем

${\displaystyle \Gamma (s)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x\quad }$и , ${\displaystyle \quad \Gamma (s)\zeta (s)={\frac {1}{2s}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{\cosh(x)-1}}\,\mathrm {d} x}$

где Γ обозначает гамма-функцию . Модифицируя контур , Риман показал, что

${\displaystyle 2\sin(\pi s)\Gamma (s)\zeta (s)=i\oint _{H}{\frac {(-x)^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x}$

для всех s ^[33] (где H обозначает контур Ганкеля ).

Мы также можем найти выражения, которые относятся к простым числам и теореме о простых числах . Если π ( x ) — функция подсчета простых чисел , то

${\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{s}-1)}}\,\mathrm {d} x,}$

для значений с Re( s ) > 1 .

Аналогичное преобразование Меллина включает функцию Римана J ( x ) , которая подсчитывает степени простых чисел p ⁿ с весом ⁠1/н⁠ , так что

${\displaystyle J(x)=\sum {\frac {\pi \left(x^{\frac {1}{n}}\right)}{n}}.}$

Сейчас

${\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }J(x)x^{-s-1}\,\mathrm {d} x.}$

Эти выражения можно использовать для доказательства теоремы о простых числах с помощью обратного преобразования Меллина. С функцией подсчета простых чисел Римана работать проще, и π ( x ) можно восстановить из нее с помощью обращения Мёбиуса .

Тета-функции

Дзета-функция Римана может быть задана преобразованием Меллина ^[34]

${\displaystyle 2\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\theta (it)-1{\bigr )}t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t,}$

в терминах тета-функции Якоби

${\displaystyle \theta (\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau }.}$

Однако этот интеграл сходится только если действительная часть s больше 1, но его можно регуляризовать. Это дает следующее выражение для дзета-функции, которая хорошо определена для всех s, кроме 0 и 1:

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s}}+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(\theta (it)-t^{-{\frac {1}{2}}}\right)t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t+{\frac {1}{2}}\int _{1}^{\infty }{\bigl (}\theta (it)-1{\bigr )}t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t.}$

Серия Лорана

Дзета-функция Римана является мероморфной с единственным полюсом порядка один при s = 1. Поэтому ее можно разложить в ряд Лорана около s = 1 ; тогда разложение ряда будет ^[35]

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\gamma _{n}}{n!}}(1-s)^{n}.}$

Константы γ _n здесь называются константами Стилтьеса и могут быть определены пределом

${\displaystyle \gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left(\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}\right)-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right)}.}$

Постоянный член γ ₀ — это постоянная Эйлера–Маскерони .

Интеграл

Для всех s ∈ ℂ , s ≠ 1 , интегральное соотношение (ср. формулу Абеля–Плана )

${\displaystyle \ \zeta (s)\ =\ {\frac {1}{\ s-1\ }}+{\frac {\ 1\ }{2}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(\ s\ \arctan t\ )}{\ \left(1+t^{2}\right)^{s/2}\left(e^{2\pi t}-1\right)\ }}\ \operatorname {d} t\ }$

справедливо, что может быть использовано для численной оценки дзета-функции.

Растущий факторный

Другое развитие ряда с использованием растущего факториала , действительного для всей комплексной плоскости, — ^[31]

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (s+n)-1{\bigr )}{\frac {s(s+1)\cdots (s+n-1)}{(n+1)!}}.}$

Это можно использовать рекурсивно для расширения определения ряда Дирихле на все комплексные числа.

Дзета-функция Римана также появляется в форме, аналогичной преобразованию Меллина в интеграле по оператору Гаусса–Кузмина–Вирсинга, действующему на x ^{s − 1} ; этот контекст приводит к разложению в ряд по убывающему факториалу . ^[36]

продукт Адамара

На основе теоремы Вейерштрасса о факторизации Адамар дал бесконечное разложение произведения

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {e^{\left(\log(2\pi )-1-{\frac {\gamma }{2}}\right)s}}{2(s-1)\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)e^{\frac {s}{\rho }},}$

где произведение ведется по нетривиальным нулям ρ функции ζ , а буква γ снова обозначает постоянную Эйлера–Маскерони . Более простое разложение бесконечного произведения имеет вид

${\displaystyle \zeta (s)=\pi ^{\frac {s}{2}}{\frac {\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)}{2(s-1)\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}.}$

Эта форма ясно показывает простой полюс при s = 1 , тривиальные нули при −2, −4, ... из-за члена гамма-функции в знаменателе и нетривиальные нули при s = ρ . (Чтобы обеспечить сходимость в последней формуле, произведение следует брать по «совпадающим парам» нулей, т. е. множители для пары нулей вида ρ и 1 − ρ следует объединить.)

Глобально сходящиеся ряды

Глобально сходящийся ряд для дзета-функции, справедливый для всех комплексных чисел s, за исключением s = 1 + ⁠2π я/в 2⁠ n для некоторого целого числа n , была выдвинута Конрадом Кноппом в 1926 году ^[37] и доказана Гельмутом Хассе в 1930 году ^[38] (ср. суммирование Эйлера ):

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s}}}.}$

Серия появилась в приложении к статье Хассе и была опубликована во второй раз Джонатаном Сондовом в 1994 году. ^[39]

Хассе также доказал глобально сходящийся ряд

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s-1}}}}$

в той же публикации. ^[38] Исследования Ярослава Благушина ^{[40] [37]} показали, что похожая, эквивалентная серия была опубликована Джозефом Сером в 1926 году. ^[41]

В 1997 году К. Маслянка дал еще один глобально сходящийся (за исключением s = 1 ) ряд для дзета-функции Римана:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\biggl (}\prod _{i=1}^{k}(i-{\frac {s}{2}}){\biggl )}{\frac {A_{k}}{k!}}={\frac {1}{s-1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\biggl (}1-{\frac {s}{2}}{\biggl )}_{k}{\frac {A_{k}}{k!}}}$

где действительные коэффициенты определяются как: ${\displaystyle A_{k}}$

${\displaystyle A_{k}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {k}{j}}(2j+1)\zeta (2j+2)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {B_{2j+2}\pi ^{2j+2}}{\left(2\right)_{j}\left({\frac {1}{2}}\right)_{j}}}}$

Здесь числа Бернулли и обозначает символ Похгаммера. ^{[42] [43]} ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle (x)_{k}}$

Обратите внимание, что это представление дзета-функции по сути является интерполяцией с узлами, где узлы являются точками , т.е. именно теми, где значения дзета точно известны, как показал Эйлер. Элегантное и очень короткое доказательство этого представления дзета-функции, основанное на теореме Карлсона, было представлено Филиппом Флажоле в 2006 году. ^[44] ${\displaystyle s=2,4,6,\ldots }$

Асимптотическое поведение коэффициентов весьма любопытно: при растущих значениях наблюдаются регулярные колебания с почти экспоненциально убывающей амплитудой и медленно убывающей частотой (примерно как ). Используя метод перевала, можно показать, что ${\displaystyle A_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{-2/3}}$

${\displaystyle A_{k}\sim {\frac {4\pi ^{3/2}}{\sqrt {3\kappa }}}\exp {\biggl (}-{\frac {3\kappa }{2}}+{\frac {\pi ^{2}}{4\kappa }}{\biggl )}\cos {\biggl (}{\frac {4\pi }{3}}-{\frac {3{\sqrt {3}}\kappa }{2}}+{\frac {{\sqrt {3}}\pi ^{2}}{4\kappa }}{\biggl )}}$

где означает: ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \kappa :={\sqrt[{3}]{\pi ^{2}k}}}$

( подробнее см. ^{[45] ).}

На основе этого представления в 2003 году Луис Баэс-Дуарте предложил новый критерий для гипотезы Римана. ^{[46] [47] [48]} А именно, если мы определим коэффициенты как ${\displaystyle c_{k}}$

${\displaystyle c_{k}:=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {k}{j}}{\frac {1}{\zeta (2j+2)}}}$

тогда гипотеза Римана эквивалентна

${\displaystyle c_{k}={\mathcal {O}}{\biggl (}k^{-3/4+\varepsilon }{\biggl )}\qquad (\forall \varepsilon >0)}$

Быстро сходящийся ряд

Питер Борвейн разработал алгоритм, который применяет полиномы Чебышева к эта-функции Дирихле для получения очень быстро сходящегося ряда, подходящего для высокоточных численных вычислений . ^[49]

Представление ряда в положительных целых числах через изначальный ряд

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}}\qquad k=2,3,\ldots .}$

Здесь p _n # — изначальная последовательность, а J _k — функция тотиента Жордана . ^[50]

Представление ряда неполными числами поли-Бернулли

Функция ζ может быть представлена ​​при Re( s ) > 1 бесконечным рядом

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\geq 2}^{(s)}{\frac {(W_{k}(-1))^{n}}{n!}},}$

где k ∈ {−1, 0} , W _k — k- я ветвь W -функции Ламберта , а B^{( μ )}
_{n , ≥2}является неполным поли-числом Бернулли. ^[51]

Преобразование Меллина карты Энгеля

Функция повторяется для нахождения коэффициентов, появляющихся в разложениях Энгеля . ^[52] ${\displaystyle g(x)=x\left(1+\left\lfloor x^{-1}\right\rfloor \right)-1}$

Преобразование Меллина карты связано с дзета-функцией Римана формулой ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}g(x)x^{s-1}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {1}{n+1}}^{\frac {1}{n}}(x(n+1)-1)x^{s-1}\,dx\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{-s}(s-1)+(n+1)^{-s-1}(n^{2}+2n+1)+n^{-s-1}s-n^{1-s}}{(s+1)s(n+1)}}\\[6pt]&={\frac {\zeta (s+1)}{s+1}}-{\frac {1}{s(s+1)}}\end{aligned}}}$

Последовательность Туэ-Морса

Определенные линейные комбинации рядов Дирихле, коэффициенты которых являются членами последовательности Туэ-Морса, приводят к тождествам, включающим дзета-функцию Римана (Tóth, 2022 ^[53] ). Например:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {5t_{n-1}+3t_{n}}{n^{2}}}&=4\zeta (2)={\frac {2\pi ^{2}}{3}},\\\sum _{n\geq 1}{\frac {9t_{n-1}+7t_{n}}{n^{3}}}&=8\zeta (3),\end{aligned}}}$

где - член последовательности Туэ-Морса. Фактически, для всех с действительной частью, большей , мы имеем ${\displaystyle (t_{n})_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle n^{\rm {th}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle (2^{s}+1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n-1}}{n^{s}}}+(2^{s}-1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n}}{n^{s}}}=2^{s}\zeta (s).}$

В n-ном измерении

Дзета-функцию также можно представить в виде n-го количества интегралов:

${\displaystyle \zeta (n)=\int _{\cdots }\iint _{[0,1]^{n}}{\frac {dz_{1}\,dz_{2}\ldots \,dz_{n}}{1-z_{1}\,z_{2}\ldots \,z_{n}}}}$

и это работает только для ${\displaystyle n\in \mathbb {N} /\{1\}}$

Числовые алгоритмы

Классический алгоритм, использовавшийся примерно до 1930 года, заключается в применении формулы Эйлера-Маклорена для получения для n и m положительных целых чисел:

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{j=1}^{n-1}j^{-s}+{\tfrac {1}{2}}n^{-s}+{\frac {n^{1-s}}{s-1}}+\sum _{k=1}^{m}T_{k,n}(s)+E_{m,n}(s)}$

где, обозначив указанное число Бернулли , ${\displaystyle B_{2k}}$

${\displaystyle T_{k,n}(s)={\frac {B_{2k}}{(2k)!}}n^{1-s-2k}\prod _{j=0}^{2k-2}(s+j)}$

и ошибка удовлетворяет

${\displaystyle |E_{m,n}(s)|<\left|{\frac {s+2m+1}{\sigma +2m+1}}T_{m+1,n}(s)\right|,}$

с σ = Re( s ). ^[54]

Современный численный алгоритм — алгоритм Одлыцко–Шенхаге .

Приложения

Дзета-функция встречается в прикладной статистике , включая закон Ципфа , закон Ципфа–Мандельброта и закон Лотки .

Регуляризация дзета-функции используется как одно из возможных средств регуляризации расходящихся рядов и расходящихся интегралов в квантовой теории поля . В одном примечательном примере дзета-функция Римана явно проявляется в одном из методов вычисления эффекта Казимира . Дзета-функция также полезна для анализа динамических систем . ^[55]

Музыкальная настройка

В теории музыкальных настроек дзета-функция может быть использована для нахождения равных делений октавы (EDO), которые близко приближаются к интервалам гармонического ряда . Для увеличения значений значение ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \left\vert \zeta \left({\frac {1}{2}}+{\frac {2\pi {i}}{\ln {(2)}}}t\right)\right\vert }$

пики около целых чисел, которые соответствуют таким EDO. ^[56] Примеры включают популярные варианты, такие как 12, 19 и 53. ^[57]

Бесконечный ряд

Дзета-функция, вычисленная при равноудаленных положительных целых числах, появляется в бесконечных рядах представлений ряда констант. ^[58]

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\bigl (}\zeta (n)-1{\bigr )}=1}$

На самом деле четные и нечетные члены дают две суммы

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (2n)-1{\bigr )}={\frac {3}{4}}}$

и

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (2n+1)-1{\bigr )}={\frac {1}{4}}}$

Параметризованные версии приведенных выше сумм имеют вид

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n)-1)\,t^{2n}={\frac {t^{2}}{t^{2}-1}}+{\frac {1}{2}}\left(1-\pi t\cot(t\pi )\right)}$

и

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n+1)-1)\,t^{2n}={\frac {t^{2}}{t^{2}-1}}-{\frac {1}{2}}\left(\psi ^{0}(t)+\psi ^{0}(-t)\right)-\gamma }$

с и где и — полигамма-функция и постоянная Эйлера соответственно, а также ${\displaystyle |t|<2}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \gamma }$

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\,t^{2n}=\log \left({\dfrac {1-t^{2}}{\operatorname {sinc} (\pi \,t)}}\right)}$

все из которых непрерывны при . Другие суммы включают ${\displaystyle t=1}$

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}=1-\gamma }$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}\left(\left({\tfrac {3}{2}}\right)^{n-1}-1\right)={\frac {1}{3}}\ln \pi }$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (4n)-1{\bigr )}={\frac {7}{8}}-{\frac {\pi }{4}}\left({\frac {e^{2\pi }+1}{e^{2\pi }-1}}\right).}$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}\operatorname {Im} {\bigl (}(1+i)^{n}-1-i^{n}{\bigr )}={\frac {\pi }{4}}}$

где Im обозначает мнимую часть комплексного числа.

Еще больше формул можно найти в статье Гармоническое число.

Обобщения

Существует ряд родственных дзета-функций , которые можно считать обобщениями дзета-функции Римана. К ним относятся дзета-функция Гурвица

${\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+q)^{s}}}}$

(представление сходящегося ряда было дано Гельмутом Хассе в 1930 году, ^[38] см. Дзета-функция Гурвица ), которая совпадает с дзета-функцией Римана при q = 1 (нижний предел суммирования в дзета-функции Гурвица равен 0, а не 1), L -функциями Дирихле и дзета-функцией Дедекинда . О других связанных функциях см. статьи дзета-функция и L -функция .

Полилогарифм определяется как

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{s}}}}$

что совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1. Функция Клаузена Cl _s ( θ ) может быть выбрана как действительная или мнимая часть Li _s ( e ^iθ ) .

Трансцендент Лерха определяется как

${\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}$

что совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 и q = 1 (нижний предел суммирования в трансценденте Лерха равен 0, а не 1).

Множественные дзета-функции определяются как

${\displaystyle \zeta (s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})=\sum _{k_{1}>k_{2}>\cdots >k_{n}>0}{k_{1}}^{-s_{1}}{k_{2}}^{-s_{2}}\cdots {k_{n}}^{-s_{n}}.}$

Можно аналитически продолжить эти функции в n -мерное комплексное пространство. Специальные значения, принимаемые этими функциями при положительных целых аргументах, называются теоретиками чисел множественными дзета-значениями и связаны со многими различными разделами математики и физики.

Смотрите также

• 1 + 2 + 3 + 4 + ···
• Арифметическая дзета-функция
• Обобщенная гипотеза Римана
• пара Лемера
• Основная дзета-функция
• Функция Римана Xi
• Перенормировка
• Тета-функция Римана–Зигеля
• ZetaGrid

Ссылки

1. "Jupyter Notebook Viewer". Nbviewer.ipython.org . Получено 4 января 2017 г. .
2. Steuding, Jörn; Suriajaya, Ade Irma (1 ноября 2020 г.). "Value-Distribution of the Riemann Zeta-Function Along Its Julia Lines". Computational Methods and Function Theory . 20 (3): 389–401. doi : 10.1007/s40315-020-00316-x . hdl : 2324/4483207 . ISSN  2195-3724. S2CID  216323223. Теорема 2 подразумевает, что ζ имеет существенную особенность на бесконечности
3. Бомбьери, Энрико. «Гипотеза Римана – официальное описание проблемы» (PDF) . Clay Mathematics Institute . Архивировано из оригинала (PDF) 22 декабря 2015 г. . Получено 8 августа 2014 г. .
4. Девлин, Кит (2002). Проблемы тысячелетия: семь величайших нерешенных математических головоломок нашего времени . Нью-Йорк: Barnes & Noble. С. 43–47. ISBN 978-0-7607-8659-8.
5. Сэндифер, Чарльз Эдвард (2007). Как Эйлер это сделал . Математическая ассоциация Америки. стр. 193. ISBN 978-0-88385-563-8.
6. Титчмарш, EC (1986). Теория дзета-функции Римана (2-е изд.). Оксфорд , Великобритания: Oxford Science Publications. стр. 21–22. ISBN 0-19-853369-1.
7. Благушин, И.В. (1 марта 2018 г.). История функционального уравнения дзета-функции. Семинар по истории математики. Санкт-Петербург, RU: Математический институт им. В.А. Стеклова; "online PDF". Архивировано из оригинала 2 мая 2018 г. Получено 2 мая 2018 г.
8. Blagouchine, IV (2014). «Повторное открытие интегралов Мальмстена, их оценка методами контурного интегрирования и некоторые связанные с этим результаты». The Ramanujan Journal . 35 (1): 21–110. doi :10.1007/s11139-013-9528-5. S2CID  120943474.
   Blagouchine, IV (2017). «Addendum». The Ramanujan Journal . 42 : 777–781. doi :10.1007/s11139-015-9763-z. S2CID  125198685. Архивировано из оригинала 2 мая 2018 г. Получено 2 мая 2018 г.
9. Conrey, JB (1989). «Более двух пятых нулей дзета-функции Римана находятся на критической прямой». J. Reine Angew. Math . 1989 (399): 1–26. doi :10.1515/crll.1989.399.1. MR  1004130. S2CID  115910600.
10. Эрик Вайсштейн . "Нули дзета-функции Римана" . Получено 24 апреля 2021 г.
11. База данных L-функций и модульных форм. «Нули ζ(s)».
12. Труджиан, Тимоти С. (2014). «Улучшенная верхняя граница аргумента дзета-функции Римана на критической прямой II». J. Number Theory . 134 : 280–292. arXiv : 1208.5846 . doi : 10.1016/j.jnt.2013.07.017.
13. Харди, GH (1914). «Сюр ле нули функции ζ(s)». Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 158 . Французская академия наук : 1012–1014.
14. Харди, GH; Фекете, M.; Литтлвуд, JE (1 сентября 1921 г.). «Нули дзета-функции Римана на критической прямой». Журнал Лондонского математического общества . s1-1 : 15–19. doi :10.1112/jlms/s1-1.1.15.
15. Даймонд, Гарольд Г. (1982). «Элементарные методы изучения распределения простых чисел». Бюллетень Американского математического общества . 7 (3): 553–89. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15057-1 . MR  0670132.
16. Форд, К. (2002). «Интеграл Виноградова и оценки для дзета-функции Римана». Proc. London Math. Soc . 85 (3): 565–633. arXiv : 1910.08209 . doi :10.1112/S0024611502013655. S2CID  121144007.
17. Mossinghoff, Michael J.; Trudgian, Timothy S. (2015). «Неотрицательные тригонометрические полиномы и область, свободная от нуля, для дзета-функции Римана». J. Number Theory . 157 : 329–349. arXiv : 1410.3926 . doi : 10.1016/J.JNT.2015.05.010. S2CID  117968965.
18. Полчински, Джозеф (1998). Введение в бозонную струну . Теория струн. Том I. Cambridge University Press. стр. 22. ISBN 978-0-521-63303-1.
19. Kainz, AJ; Titulaer, UM (1992). "Точный двухпотоковый моментный метод для кинетических задач пограничного слоя линейных кинетических уравнений". J. Phys. A: Math. Gen. 25 ( 7): 1855–1874. Bibcode : 1992JPhA...25.1855K. doi : 10.1088/0305-4470/25/7/026.
20. Дополнительные цифры и ссылки для этой константы доступны в OEIS : A059750 .
21. Sondow, Jonathan (1998). "An antisymmetric formula for Euler's constant". Mathematics Magazine . 71 (3): 219–220. doi :10.1080/0025570X.1998.11996638. Архивировано из оригинала 4 июня 2011 г. Получено 29 мая 2006 г.
22. Огилви, CS ; Андерсон, JT (1988). Экскурсии в теорию чисел . Dover Publications. стр. 29–35. ISBN 0-486-25778-9.
23. Воронин, СМ (1975). «Теорема об универсальности дзета-функции Римана». Изв. АН СССР, Сер. Матем . 39 : 475–486.Перепечатано в Матем. изв. СССР (1975) 9 : 443–445.
24. Рамунас Гарункштис; Антанас Лауринчикас; Коджи Мацумото; Йорн Штойдинг; Раса Стейдинг (2010). «Эффективное равномерное приближение дзета-функцией Римана». Публикации Matemàtiques . 54 (1): 209–219. дои : 10.5565/PUBLMAT_54110_12. JSTOR  43736941.
25. Бхаскар Багчи (1982). «Совместная теорема универсальности для L-функций Дирихле». Mathematische Zeitschrift . 181 (3): 319–334. дои : 10.1007/bf01161980. ISSN  0025-5874. S2CID  120930513.
26. Штеудинг, Йорн (2007). Value-Distribution of L-Functions . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1877. Berlin: Springer. p. 19. arXiv : 1711.06671 . doi :10.1007/978-3-540-44822-8. ISBN 978-3-540-26526-9.
27. Карацуба, А.А. (2001). "Нижние оценки максимального модуля ζ ( s ) в малых областях критической полосы". Матем. Заметки . 70 (5): 796–798.
28. Карацуба, А.А. (2004). «Нижние оценки максимального модуля дзета-функции Римана на коротких отрезках критической прямой». Изв. РАН, Сер. Матем . 68 (8): 99–104. Bibcode :2004IzMat..68.1157K. doi :10.1070/IM2004v068n06ABEH000513. S2CID  250796539.
29. Карацуба, А.А. (1996). «Теорема плотности и поведение аргумента дзета-функции Римана». Матем. Заметки (60): 448–449.
30. Карацуба, А.А. (1996). «О функции S ( t ) ». Изв. РАН, Сер. Матем . 60 (5): 27–56.
31. Knopp, Konrad (1947). Теория функций, часть вторая. Нью-Йорк, Dover Publications. стр. 51–55.
32. Риман, Бернхард (1859). « О числе простых чисел меньше заданной величины ». Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin .переведено и перепечатано в Edwards, HM (1974). Дзета-функция Римана . Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 0-12-232750-0. Збл  0315.10035.
33. Тривиальные исключения значений s , вызывающие устранимые особенности, в данной статье не учитываются.
34. Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Спрингер. п. 422. ИСБН 3-540-65399-6.
35. Хашимото, Ясуфуми; Иидзима, Ясуюки; Курокава, Нобусигэ; Вакаяма, Масато (2004). «Константы Эйлера для дзета-функций Сельберга и Дедекинда». Бюллетень Бельгийского математического общества, Саймон Стевин . 11 (4): 493–516. дои : 10.36045/bbms/1102689119 . МР  2115723.
36. "Представление ряда для дзета-функции Римана, полученное из оператора Гаусса-Кузмина-Вирсинга" (PDF) . Linas.org . Получено 4 января 2017 г. .
37. Blagouchine, Iaroslav V. (2018). "Три заметки о представлениях Ser и Hasse для дзета-функций". INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory . 18A : 1–45. arXiv : 1606.02044 . Bibcode :2016arXiv160602044B.
38. Хассе, Гельмут (1930). « Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ -Reihe» [Метод суммирования для ζ-ряда Римана]. Mathematische Zeitschrift (на немецком языке). 32 (1): 458–464. дои : 10.1007/BF01194645. S2CID  120392534.
39. Сондов, Джонатан (1994). «Аналитическое продолжение дзета-функции Римана и значений при отрицательных целых числах с помощью преобразования Эйлера для рядов» (PDF) . Труды Американского математического общества . 120 (2): 421–424. doi : 10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7 .
40. Blagouchine, Iaroslav V. (2016). «Разложения обобщенных констант Эйлера в ряды полиномов от π ⁻² и в формальные обволакивающие ряды только с рациональными коэффициентами». Journal of Number Theory . 158 : 365–396. arXiv : 1501.00740 . doi :10.1016/j.jnt.2015.06.012.
41. Сер, Джозеф (1926). «Sur une выражение de la fonction ζ(s) де Римана» [По выражению для ζ-функции Римана]. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (на французском языке). 182 : 1075–1077.
42. Маслянка, Кшиштоф (1997). «Красота небытия». Acta Cosmologica . XXIII–I: 13–17.
43. Баэс-Дуарте, Луис (2010). «О представлении Масланки для дзета-функции Римана». Международный журнал математики и математических наук . 2010 : 1–9. arXiv : math/0307214 . doi : 10.1155/2010/714147 .
44. Флажоле, Филипп; Вепстас, Линас (2008). «О различиях значений дзета». Журнал вычислительной и прикладной математики . 220 (1-2 октября): 58–73. arXiv : math/0611332 . Bibcode : 2008JCoAM.220...58F. doi : 10.1016/j.cam.2007.07.040.
45. Maślanka, Krzysztof; Koleżyński, Andrzej (2022). «Высокоточный численный расчет констант Стилтьеса. Простой и быстрый алгоритм». Вычислительные методы в науке и технике . 28 (2): 47–59. arXiv : 2210.04609 . doi :10.12921/cmst.2022.0000014. S2CID  252780397.
46. Баэс-Дуарте, Луис (2003). "Новое необходимое и достаточное условие для гипотезы Римана". Теория чисел . arXiv : math/0307215 . Bibcode :2003math......7215B.
47. Maślanka, Krzysztof (2006). "Критерий Баэса-Дуарте для гипотезы Римана и интегралов Райса". Теория чисел . arXiv : math/0603713v2 . Bibcode :2006math......3713M.
48. Вольф, Марек (2014). «Некоторые замечания о критерии Баеза-Дуарте для гипотезы Римана». Вычислительные методы в науке и технике . 20 (2): 39–47. doi : 10.12921/cmst.2014.20.02.39-47 .
49. Борвейн, Питер (2000). "Эффективный алгоритм для дзета-функции Римана" (PDF) . В Théra, Мишель А. (ред.). Конструктивный, экспериментальный и нелинейный анализ . Труды конференции, Канадское математическое общество. Том 27. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , от имени Канадского математического общества . стр. 29–34. ISBN 978-0-8218-2167-1. Архивировано из оригинала (PDF) 26 июля 2011 . Получено 25 ноября 2017 .
50. Мезё, Иштван (2013). «Первичная функция и дзета-функция Римана». The American Mathematical Monthly . 120 (4): 321.
51. Комацу, Такао; Мезё, Иштван (2016). «Неполные поли-Бернуллиевые числа, связанные с неполными числами Стирлинга». Publicationes Mathematicae Debrecen . 88 (3–4): 357–368. arXiv : 1510.05799 . doi :10.5486/pmd.2016.7361. S2CID  55741906.
52. "A220335 - OEIS". oeis.org . Получено 17 апреля 2019 г. .
53. Tóth, László (2022). "Линейные комбинации рядов Дирихле, связанных с последовательностью Туэ-Морса". Целые числа . 22 (статья 98). arXiv : 2211.13570 .
54. Одлыжко, AM ; Шёнхаге, A. (1988). «Быстрые алгоритмы для множественных оценок дзета-функции Римана». Trans. Amer. Math. Soc . 309 (2): 797–809. doi : 10.2307/2000939 . JSTOR  2000939. MR  0961614..
55. "Работа над спиновыми цепями А. Кнауфа и др.". Empslocal.ex.ac.uk . Получено 4 января 2017 г. .
56. Джин Уорд Смит. "Ближайшее целое число к местам все более крупных пиков abs(zeta(0.5 + i*2*Pi/log(2)*t)) для возрастающего вещественного t". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Получено 4 марта 2022 г.
57. Уильям А. Сетарес (2005). Настройка, тембр, спектр, гамма (2-е изд.). Springer-Verlag London. стр. 74. ...существует много разных способов оценить качество, приемлемость, пригодность или качество гаммы... По некоторым меркам победителем является 12-тет, по другим — 19-тет, 53-тет часто оказывается среди победителей...
58. Большинство формул в этом разделе взяты из § 4 работы JM Borwein et al. (2000)

Источники

• Апостол, ТМ (2010). "Дзета и родственные функции". В Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.). Справочник NIST по математическим функциям . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19225-5. МР  2723248..
• Borwein, Jonathan ; Bradley, David M.; Crandall, Richard (2000). "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function" (PDF) . J. Comput. Appl. Math . 121 (1–2): 247–296. Bibcode :2000JCoAM.121..247B. doi : 10.1016/S0377-0427(00)00336-8 . Архивировано из оригинала (PDF) 13 декабря 2013 г. – через University of Exeter (maths.ex.ac.uk).
• Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (2002). "Интегральные представления дзета-функции Римана для нечетно-целых аргументов". J. Comput. Appl. Math . 142 (2): 435–439. Bibcode :2002JCoAM.142..435C. doi : 10.1016/S0377-0427(02)00358-8 . MR  1906742.
• Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (1997). "Разложения в непрерывные дроби для дзета-функции Римана и полилогарифмов". Proc. Amer. Math. Soc . 125 (9): 2543–2550. doi : 10.1090/S0002-9939-97-04102-6 .
• Эдвардс, Х. М. (1974). Дзета-функция Римана . Academic Press. ISBN 0-486-41740-9– через archive.org.Содержит английский перевод статьи Римана.
• Адамар, Жак (1896). «Sur laраспределение нулей функции ζ(s) et ses conséquences arithmétiques» [Относительно распределения нулей функции ζ ( s ) и арифметических последствий]. Бюллетень математического общества Франции (на французском языке). 14 : 199–220. дои : 10.24033/bsmf.545 .
• Харди, Г. Х. (1949). Дивергентная серия . Оксфорд, Великобритания: Clarendon Press.
• Хассе, Гельмут (1930). « Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ -Reihe » [Метод суммирования для ζ-ряда Римана ] . Математика. З. (на немецком языке). 32 : 458–464. дои : 10.1007/BF01194645. MR  1545177. S2CID  120392534.(Выражение глобально сходящегося ряда.)
• Ивич, Александр (1985). Дзета-функция Римана . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-80634-X.
• Мотохаши, И. (1997). Спектральная теория дзета-функции Римана . Cambridge University Press. ISBN 0521445205.
• Карацуба, А.А. ; Воронин, С.М. (1992). Дзета-функция Римана . Берлин, Германия: В. де Грюйтер.
• Мезё, Иштван; Дил, Айхан (2010). «Гипергармонический ряд с участием дзета-функции Гурвица». Журнал теории чисел . 130 (2): 360–369. дои : 10.1016/j.jnt.2009.08.005. HDL : 2437/90539 . МР  2564902. S2CID  122707401.
• Монтгомери, Хью Л.; Воган , Роберт К. (2007). Мультипликативная теория чисел. I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. Том 97. Cambridge University Press. Глава 10. ISBN 978-0-521-84903-6.
• Ньюман, Дональд Дж. (1998). Аналитическая теория чисел . Тексты для аспирантов по математике . Т. 177. Springer-Verlag. Гл. 6. ISBN 0-387-98308-2.
• Рао, Го (1996). «Распределение логарифмической производной дзета-функции Римана». Труды Лондонского математического общества . S3–72: 1–27. doi :10.1112/plms/s3-72.1.1.
• Риман, Бернхард (1859). «Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse». Monatsberichte der Berliner Akademie (на немецком и английском языках) – через Тринити-колледж, Дублин (maths.tcd.ie).Также доступно у Римана, Бернхарда (1953) [1892]. Gesammelte Werke [ Собрание сочинений ] (на немецком языке) (переиздание). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк / Лейпциг, Делавэр: Дувр (1953) / Тойбнер (1892).
• Sondow, Jonathan (1994). "Аналитическое продолжение дзета-функции Римана и значений при отрицательных целых числах с помощью преобразования Эйлера для рядов" (PDF) . Труды Американского математического общества . 120 (2): 421–424. doi : 10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7 – через Американское математическое общество (ams.org).
• Титчмарш, EC (1986). Хит-Браун (ред.). Теория дзета-функции Римана (2-е перераб. изд.). Oxford University Press.
• Уиттекер, ET ; Уотсон, GN (1927). Курс современного анализа (4-е изд.). Cambridge University Press. Глава 13.
• Чжао, Цзяньцян (1999). «Аналитическое продолжение множественных дзета-функций». Труды Американского математического общества . 128 (5): 1275–1283. doi : 10.1090/S0002-9939-99-05398-8 . MR  1670846.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с дзета-функцией Римана на Wikimedia Commons
• «Дзета-функция». Энциклопедия математики . EMS Press . 2001 [1994].
• Дзета-функция Римана в Wolfram Mathworld — объяснение с более математическим подходом
• Таблицы выбранных нулей Архивировано 17 мая 2009 г. на Wayback Machine
• Простые числа женятся. Общее, нетехническое описание значимости дзета-функции по отношению к простым числам.
• Рентген дзета-функции. Визуально-ориентированное исследование того, является ли дзета реальной или чисто мнимой.
• Формулы и тождества для дзета-функции Римана functions.wolfram.com
• Дзета-функция Римана и другие суммы обратных степеней, раздел 23.2 Абрамовица и Стигана
• Френкель, Эдвард . «Математическая задача на миллион долларов» (видео) . Брэди Харан . Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 г. . Получено 11 марта 2014 г.
• Преобразование Меллина и функциональное уравнение дзета-функции Римана — Вычислительные примеры методов преобразования Меллина, включающих дзета-функцию Римана
• Визуализация дзета-функции Римана и аналитическое продолжение видео от 3Blue1Brown