Асимптотический анализ

Описание предельного поведения функции

В математическом анализе асимптотический анализ , также известный как асимптотика , представляет собой метод описания предельного поведения.

В качестве иллюстрации предположим, что нас интересуют свойства функции f  ( n ) , когда n становится очень большим. Если f ( n ) = n ² + 3 n , то по мере того, как n становится очень большим, член 3 n становится незначительным по сравнению с n ² . Говорят, что функция f ( n ) « асимптотически эквивалентна n ² при n → ∞ ». Это часто символически записывается как f  ( n ) ~ n ² , что читается как « f ( n ) асимптотично n ² ».

Примером важного асимптотического результата является теорема о простых числах . Пусть π( x ) обозначает функцию подсчета простых чисел (которая не связана напрямую с константой pi ), т.е. π( x ) — это количество простых чисел , которые меньше или равны x . Тогда теорема утверждает, что

$${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.}$$

Асимптотический анализ обычно используется в информатике как часть анализа алгоритмов и часто выражается там в виде обозначения большого О.

Определение

Формально, учитывая функции f  ( x ) и g ( x ) , мы определяем бинарное отношение

$${\displaystyle f(x)\sim g(x)\quad ({\text{as }}x\to \infty )}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.}$$

Символ ~ — это тильда . Отношение является отношением эквивалентности на множестве функций от x ; функции f и g называются асимптотически эквивалентными . Областью определения f и g может быть любой набор , для которого определен предел: например, действительные числа, комплексные числа, положительные целые числа.

То же обозначение используется и для других способов перехода к пределу: например, x → 0 , x ↓ 0 , | х | → 0 . Способ перехода к пределу часто не указывается явно, если он ясен из контекста.

Хотя приведенное выше определение распространено в литературе, оно проблематично, если g ( x ) бесконечно часто равно нулю, когда x достигает предельного значения. По этой причине некоторые авторы используют альтернативное определение. Альтернативное определение, в обозначениях «маленького о» , состоит в том, что f ~ g тогда и только тогда, когда

$${\displaystyle f(x)=g(x)(1+o(1)).}$$

Это определение эквивалентно предыдущему определению, если g ( x ) не равно нулю в некоторой окрестности предельного значения. ^{[1] [2]}

Характеристики

Если и , то при некоторых мягких условиях ^{[ необходимо дальнейшее объяснение ]} справедливо следующее: ${\displaystyle f\sim g}$ ${\displaystyle a\sim b}$

• ${\displaystyle f^{r}\sim g^{r}}$, для каждого реального r
• ${\displaystyle \log(f)\sim \log(g)}$если ${\displaystyle \lim g\neq 1}$
• ${\displaystyle f\times a\sim g\times b}$
• ${\displaystyle f/a\sim g/b}$

Такие свойства позволяют свободно заменять асимптотически эквивалентные функции во многих алгебраических выражениях.

Примеры асимптотических формул

• Факториал
  $${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$$
  — это приближение Стирлинга
• Функция разделения
  Для положительного целого числа n статистическая сумма p ( n ) дает количество способов записи целого числа n в виде суммы положительных целых чисел, где порядок слагаемых не учитывается.
  $${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}}$$
• Функция Эйри
  Функция Эйри, Ai( x ), является решением дифференциального уравнения y″ − xy = 0 ; оно имеет множество приложений в физике.
  $${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}}$$
• Функции Ханкеля
  $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{aligned}}}$$

Асимптотическое расширение

Асимптотическое разложение функции f ( x ) на практике является выражением этой функции через ряд , частичные суммы которого не обязательно сходятся, но такие, что взятие любой начальной частичной суммы дает асимптотическую формулу для f . Идея состоит в том, что последовательные члены обеспечивают все более точное описание порядка роста f .

В символах это означает, что у нас есть но также и для каждого фиксированного k . С учетом определения символа последнее уравнение означает в маленьком обозначении o , т. е. значительно меньше, чем ${\displaystyle f\sim g_{1},}$ ${\displaystyle f-g_{1}\sim g_{2}}$ ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})}$ ${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})}$ ${\displaystyle g_{k}.}$

Отношение приобретает полный смысл, если для всех k , что означает форму асимптотической шкалы . В этом случае некоторые авторы могут оскорбительно писать для обозначения утверждения. Однако следует быть осторожным, чтобы это не было стандартным использованием символа и не соответствовало определению, данному в § Определение. ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$ ${\displaystyle g_{k+1}=o(g_{k})}$ ${\displaystyle g_{k}}$ ${\displaystyle f\sim g_{1}+\cdots +g_{k}}$ ${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).}$ ${\displaystyle \sim }$

В данной ситуации это соотношение фактически следует из объединения шагов k и k -1; путем вычитания из одного получаем т.е. ${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1})}$ ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}=g_{k-1}+o(g_{k-1})}$ ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}-g_{k-1}=g_{k}+o(g_{k}),}$ ${\displaystyle g_{k}+o(g_{k})=o(g_{k-1}),}$ ${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1}).}$

В случае, если асимптотическое разложение не сходится, для любого конкретного значения аргумента будет определенная частичная сумма, которая обеспечивает наилучшее приближение, а добавление дополнительных членов уменьшит точность. Эта оптимальная частичная сумма обычно будет содержать больше членов по мере приближения аргумента к предельному значению.

Примеры асимптотических разложений

• Гамма-функция
  $${\displaystyle {\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )}$$
• Экспоненциальный интеграл
  $${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\to \infty )}$$
• Функция ошибки
  $${\displaystyle {\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{n!(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )}$$
  где м !! это двойной факториал .

Рабочий пример

Асимптотические разложения часто возникают, когда обычный ряд используется в формальном выражении, которое вынуждает принимать значения за пределами его области сходимости. Например, мы могли бы начать с обычного ряда

$${\displaystyle {\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}}$$

Выражение слева справедливо на всей комплексной плоскости , тогда как правая часть сходится только для . Умножение и интегрирование обеих сторон дает ${\displaystyle w\neq 1}$ ${\displaystyle |w|<1}$ ${\displaystyle e^{-w/t}}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du}$$

Интеграл в левой части можно выразить через экспоненциальный интеграл . Интеграл в правой части после подстановки можно принять за гамма-функцию . Вычисляя оба, получаем асимптотическое разложение ${\displaystyle u=w/t}$

$${\displaystyle e^{-{\frac {1}{t}}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }n!\;t^{n+1}}$$

Здесь правая часть явно не сходится ни при каком ненулевом значении t . Однако, сохраняя t маленьким и усекая ряд справа до конечного числа членов, можно получить довольно хорошее приближение к значению . Подставляя и отмечая это, мы получаем асимптотическое разложение, данное ранее в этой статье. ${\displaystyle \operatorname {Ei} (1/t)}$ ${\displaystyle x=-1/t}$ ${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)}$

Асимптотическое распределение

В математической статистике асимптотическое распределение — это гипотетическое распределение, которое в некотором смысле является «предельным» распределением последовательности распределений. Распределение — это упорядоченный набор случайных величин Z _i для i = 1, …, n , для некоторого положительного целого числа n . Асимптотическое распределение позволяет i изменяться без ограничений, то есть n бесконечно.

Особым случаем асимптотического распределения является ситуация, когда последние записи стремятся к нулю, то есть Z i _{переходит} в 0, когда i стремится к бесконечности. Некоторые случаи «асимптотического распределения» относятся только к этому частному случаю.

Это основано на понятии асимптотической функции , которая четко приближается к постоянному значению ( асимптоте ), когда независимая переменная стремится к бесконечности; «чистый» в этом смысле означает, что для любой желаемой близости к эпсилону существует некоторое значение независимой переменной, после которого функция никогда не отличается от константы более чем на эпсилон.

Асимптота – это прямая линия, к которой приближается кривая, но никогда не встречается и не пересекается . Неформально можно говорить о кривой, встречающей асимптоту «на бесконечности», хотя это не точное определение. В уравнении величина y становится сколь угодно малой по мере увеличения x . ${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$

Приложения

Асимптотический анализ используется в ряде математических наук . В статистике асимптотическая теория обеспечивает предельные аппроксимации распределения вероятностей выборочной статистики , такие как статистика отношения правдоподобия и ожидаемое значение отклонения . Однако асимптотическая теория не обеспечивает метода оценки распределений выборочной статистики по конечной выборке. Неасимптотические оценки даются методами теории приближений .

Примеры приложений следующие.

• В прикладной математике асимптотический анализ используется для построения численных методов аппроксимации решений уравнений .
• В математической статистике и теории вероятностей асимптотика используется при анализе поведения случайных величин и оценок в долгосрочном периоде или на большой выборке.
• В информатике при анализе алгоритмов , учитывая производительность алгоритмов.
• Поведение физических систем , примером является статистическая механика .
• При анализе аварий при выявлении причин ДТП посредством подсчета моделирования с большим количеством подсчетов ДТП в заданном времени и пространстве.

Асимптотический анализ — ключевой инструмент для изучения обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных, которые возникают при математическом моделировании явлений реального мира. ^[3] Наглядным примером является вывод уравнений пограничного слоя из полных уравнений Навье-Стокса, управляющих потоком жидкости. Во многих случаях асимптотическое разложение осуществляется по степени малого параметра ε : в случае пограничного слоя это безразмерное отношение толщины пограничного слоя к типичному масштабу задачи. Действительно, приложения асимптотического анализа в математическом моделировании часто ^[3] сосредоточены вокруг безразмерного параметра, малость которого была показана или принята с учетом масштабов рассматриваемой проблемы.

Асимптотические разложения обычно возникают при приближении некоторых интегралов ( метод Лапласа , метод перевала , метод наискорейшего спуска ) или при приближении вероятностных распределений ( ряды Эджворта ). Графики Фейнмана в квантовой теории поля являются еще одним примером асимптотических разложений, которые часто не сходятся.

Асимптотический и численный анализ

Дебрейн иллюстрирует использование асимптотики в следующем диалоге между мисс Н.А., числовым аналитиком, и доктором А.А., асимптотическим аналитиком:

Н.А.: Я хочу оценить свою функцию для больших значений с относительной ошибкой не более 1%. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$

АА: . ${\displaystyle f(x)=x^{-1}+\mathrm {O} (x^{-2})\qquad (x\to \infty )}$

Н.А.: Извините, я не понимаю.

АА: ${\displaystyle |f(x)-x^{-1}|<8x^{-2}\qquad (x>10^{4}).}$

Н.А.: Но мое значение составляет всего 100. ${\displaystyle x}$

А.А.: Почему ты так не сказал? Мои оценки дают

${\displaystyle |f(x)-x^{-1}|<57000x^{-2}\qquad (x>100).}$

Н.А.: Для меня это не новость. Я это уже знаю . ${\displaystyle 0<f(100)<1}$

А.А.: Я могу немного выиграть от некоторых своих оценок. Теперь я нахожу это

${\displaystyle |f(x)-x^{-1}|<20x^{-2}\qquad (x>100).}$

Н.А.: Я просил 1%, а не 20%.

А.А.: Это почти лучшее, что я могу получить. Почему бы вам не взять большие значения ? ${\displaystyle x}$

НА: !!! Я думаю, лучше спросить у моей электронной вычислительной машины.

Машина: f(100) = 0,01137 42259 34008 67153

А.А.: Разве я тебе не говорил? Моя оценка в 20% была недалеко от 14% реальной ошибки.

НА: !!! . . . !

Несколько дней спустя мисс NA хочет узнать значение f(1000), но ее машине потребуется месяц вычислений, чтобы дать ответ. Она возвращается к своему асимптотическому коллеге и получает полностью удовлетворительный ответ. ^[4]

Смотрите также

• Асимптота  - предел касательной в точке, стремящейся к бесконечности.
• Асимптотическая сложность вычислений  - в теории вычисленийPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Асимптотическая плотность  - концепция теории чиселPages displaying short descriptions of redirect targets
• Асимптотическая теория (статистика)  - Исследование свойств сходимости статистических оценок.
• Асимптотология  - Работа с прикладными математическими системами в предельных случаях.
• Обозначение Big O  — описывает предельное поведение функции.
• Член ведущего порядка  - члены математического выражения с наибольшим порядком величины.
• Метод доминирующего баланса  - метод определения асимптотического поведения решений ОДУ без полного решения уравнения.
• Метод согласованных асимптотических разложений
• Лемма Ватсона  - лемма об асимптотическом поведении интегралов.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Примечания

1. «Асимптотическое равенство», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
2. Эстрада и Канвал (2002, §1.2)
3. Howison, S. (2005), Практическая прикладная математика , Издательство Кембриджского университета
4. Брюйн, Николаас Говерт де (1981). Асимптотические методы анализа . Дуврские книги по высшей математике. Нью-Йорк: Дуврское изд. п. 19. ISBN 978-0-486-64221-5.

Рекомендации

• Бальзер, В. (1994), От расходящихся степенных рядов к аналитическим функциям, Springer-Verlag , ISBN 9783540485940
• де Брейн, Н.Г. (1981), Асимптотические методы анализа, Dover Publications , ISBN 9780486642215
• Эстрада, Р.; Канвал, Р.П. (2002), Распределительный подход к асимптотике, Биркхойзер , ISBN 9780817681302
• Миллер, PD (2006), Прикладной асимптотический анализ, Американское математическое общество , ISBN 9780821840788
• Мюррей, доктор юридических наук (1984), Асимптотический анализ, Springer, ISBN 9781461211228
• Париж, РБ; Каминский, Д. (2001), Асимптотика и интегралы Меллина-Барнса, Cambridge University Press

Внешние ссылки

• Асимптотический анализ — домашняя страница журнала, издаваемого IOS Press.
• Статья об анализе временных рядов с использованием асимптотического распределения