Аффинное пространство

В математике аффинное пространство — это геометрическая структура , которая обобщает некоторые свойства евклидовых пространств таким образом, что они не зависят от понятий расстояния и меры углов , сохраняя только свойства, связанные с параллельностью и отношением длин параллельных отрезков . Аффинное пространство — это среда для аффинной геометрии .

Как и в евклидовом пространстве, фундаментальные объекты в аффинном пространстве называются точками , которые можно рассматривать как местоположения в пространстве без какого-либо размера или формы: нульмерные . Через любую пару точек можно провести бесконечную прямую линию , одномерный набор точек; через любые три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести двумерную плоскость ; и, в общем случае, через $k + 1$ точку в общем положении можно провести $k$ -мерное плоское или аффинное подпространство. Аффинное пространство характеризуется понятием пар параллельных линий, которые лежат в одной плоскости, но никогда не встречаются друг с другом (непараллельные линии в одной плоскости пересекаются в точке). Для любой линии можно провести парную ей линию через любую точку в пространстве, и говорят, что класс эквивалентности параллельных линий имеет общее направление .

В отличие от векторов в векторном пространстве , в аффинном пространстве нет выделенной точки, которая служит началом координат . Не существует предопределенной концепции сложения или умножения точек или умножения точки на скалярное число. Однако для любого аффинного пространства связанное векторное пространство может быть построено из разностей между начальной и конечной точками, которые называются свободными векторами , векторами смещения , векторами переноса или просто переносами . ^[1] Аналогично, имеет смысл добавить вектор смещения к точке аффинного пространства, что приведет к новой точке, перемещенной из начальной точки этим вектором. Хотя точки не могут быть произвольно сложены вместе, имеет смысл брать аффинные комбинации точек: взвешенные суммы с числовыми коэффициентами, дающими в сумме 1, что приводит к другой точке. Эти коэффициенты определяют барицентрическую систему координат для плоскости через точки.

Любое векторное пространство можно рассматривать как аффинное пространство; это равносильно «забыванию» особой роли, которую играет нулевой вектор . В этом случае элементы векторного пространства можно рассматривать либо как точки аффинного пространства, либо как векторы смещения или переноса . При рассмотрении в качестве точки нулевой вектор называется началом координат . Добавление фиксированного вектора к элементам линейного подпространства (векторного подпространства) векторного пространства создает аффинное подпространство векторного пространства. Обычно говорят, что это аффинное подпространство было получено путем переноса (от начала координат) линейного подпространства вектором переноса (вектором, добавленным ко всем элементам линейного пространства). В конечных измерениях такое аффинное подпространство является множеством решений неоднородной линейной системы. Векторы смещения для этого аффинного пространства являются решениями соответствующей однородной линейной системы, которая является линейным подпространством. Линейные подпространства, напротив, всегда содержат начало координат векторного пространства.

Размерность аффинного пространства определяется как размерность векторного пространства его трансляций. Аффинное пространство размерности один является аффинной прямой . Аффинное пространство размерности 2 является аффинной плоскостью . Аффинное подпространство размерности $n$ $- 1$ в аффинном пространстве или векторном пространстве размерности $n$ является аффинной гиперплоскостью .

Неформальное описание

Следующая характеристика может быть более понятной, чем обычное формальное определение: аффинное пространство — это то, что осталось от векторного пространства после того, как кто-то забыл, какая точка является началом координат (или, по словам французского математика Марселя Берже , «Аффинное пространство — это не более чем векторное пространство, о начале координат которого мы пытаемся забыть, добавляя переносы к линейным картам» ^[2] ). Представьте, что Алиса знает, что определенная точка является фактическим началом координат, но Боб считает, что другая точка — назовем ее $p$ — является началом координат. Два вектора, $a$ и $b$ , должны быть сложены. Боб рисует стрелку из точки $p$ в точку $a$ и еще одну стрелку из точки $p$ в точку $b$ , и завершает параллелограмм, чтобы найти то, что Боб думает как $a + b$ , но Алиса знает, что он на самом деле вычислил

п + (а - п) + (б - п)

Аналогично, Алиса и Боб могут оценить любую линейную комбинацию a $и$ $b$ или любого конечного набора векторов и, как правило , получат разные ответы. Однако, если сумма коэффициентов в линейной комбинации равна 1, то Алиса и Боб придут к одному и тому же ответу.

Если Алиса отправится в

λ а + (1 - λ) б

то Боб может аналогичным образом отправиться в

п + λ(а - п) + (1 - λ)(б - п) знак равно λ а + (1 - λ) б

При этом условии для всех коэффициентов $λ + (1 - λ) = 1$ Алиса и Боб описывают одну и ту же точку одной и той же линейной комбинацией, несмотря на использование разных начал координат.

В то время как только Алиса знает «линейную структуру», и Алиса, и Боб знают «аффинную структуру», т. е. значения аффинных комбинаций , определяемых как линейные комбинации, в которых сумма коэффициентов равна 1. Множество с аффинной структурой является аффинным пространством.

Определение

Хотя аффинное пространство можно определить аксиоматически (см. § Аксиомы ниже), аналогично определению евклидова пространства, подразумеваемому в «Началах » Евклида , для удобства большинство современных источников определяют аффинные пространства в терминах хорошо развитой теории векторных пространств.

Аффинное пространство — это множество $A$ вместе с векторным пространством и транзитивным и свободным действием аддитивной группы на множестве $A.$ ^[3] Элементы аффинного пространства $A$ называются точками . Говорят, что векторное пространство связано с аффинным пространством, а его элементы называются векторами , трансляциями или иногда свободными векторами . ${\overrightarrow {A}}$ ${\overrightarrow {A}}$ ${\overrightarrow {A}}$

Явно, определение выше означает, что действие представляет собой отображение, обычно обозначаемое как сложение,

{\begin{aligned}A\times {\overrightarrow {A}}&\to A\\(a,v)\;&\mapsto a+v,\end{aligned}}

который имеет следующие свойства. ^[4]^[5]^[6]

Правильная идентичность :
$\forall a\in A,\;a+0=a$ , где $0$ — нулевой вектор в ${\overrightarrow {A}}$
Ассоциативность :
$\forall v,w\in {\overrightarrow {A}},\forall a\in A,\;(a+v)+w=a+(v+w)$ (здесь последний $+$ — это дополнение в ) ${\overrightarrow {A}}$
Свободное и транзитивное действие :
Для каждого отображение является биекцией . $a\in A$ ${\overrightarrow {A}}\to A\colon v\mapsto a+v$

Первые два свойства просто определяют свойства (правильного) группового действия. Третье свойство характеризует свободные и транзитивные действия, характер on вытекает из транзитивности, а затем инъективный характер следует из того, что действие является свободным. Есть четвертое свойство, которое следует из 1, 2 выше:

Наличие индивидуальных переводов

Для всех отображение является биекцией.

v\in {\overrightarrow {A}}

A\to A\colon a\mapsto a+v

Свойство 3 часто используется в следующей эквивалентной форме (5-е свойство).

Вычитание:

Для каждого

a, b

из

A

существует единственное , обозначаемое

b

-

a

, такое, что .

v\in {\overrightarrow {A}}

b=a+v

Другой способ выразить определение состоит в том, что аффинное пространство является главным однородным пространством для действия аддитивной группы векторного пространства. Однородные пространства, по определению, наделены транзитивным групповым действием, а для главного однородного пространства такое транзитивное действие, по определению, свободно.

Вычитание и аксиомы Вейля

Свойства действия группы позволяют определить вычитание для любой заданной упорядоченной пары $(b, a)$ точек в $A$ , производя вектор . Этот вектор, обозначаемый или , определяется как уникальный вектор в , такой что ${\overrightarrow {A}}$ $b-a$ ${\overrightarrow {ab}}$ ${\overrightarrow {A}}$

a+(b-a)=b.

Существование следует из транзитивности действия, а уникальность следует из того, что действие свободно.

Это вычитание имеет два следующих свойства, называемых аксиомами Вейля : ^[7]

$\forall a\in A,\;\forall v\in {\overrightarrow {A}}$ , существует единственная точка такая, что $b\in A$ $b-a=v.$
$\forall a,b,c\in A,\;(c-b)+(b-a)=c-a.$

Свойство параллелограмма выполняется в аффинных пространствах, где оно выражается как: для четырех точек равенства и эквивалентны. Это следует из второй аксиомы Вейля, поскольку $a,b,c,d,$ $b-a=d-c$ $c-a=d-b$ $d-a=(d-b)+(b-a)=(d-c)+(c-a).$

Аффинные пространства могут быть эквивалентно определены как множество точек $A$ вместе с векторным пространством и вычитанием, удовлетворяющим аксиомам Вейля. В этом случае добавление вектора к точке определяется из первой аксиомы Вейля. ${\overrightarrow {A}}$

Аффинные подпространства и параллелизм

Аффинное подпространство (также называемое в некоторых контекстах линейным многообразием , плоским или, над действительными числами , линейным многообразием ) $B$ аффинного пространства $A$ — это подмножество A , такое что для заданной точки множество векторов является линейным подпространством . Это свойство, которое не зависит от выбора $a$ $,$ подразумевает, что $B$ является аффинным пространством, которое имеет в качестве своего связанного векторного пространства. $a\in B$ ${\overrightarrow {B}}=\{b-a\mid b\in B\}$ ${\overrightarrow {A}}$ ${\overrightarrow {B}}$

Аффинные подпространства $A$ — это подмножества $A$ вида

a+V=\{a+w:w\in V\},

где $a$ — точка $A$ , а $V$ — линейное подпространство . ${\overrightarrow {A}}$

Линейное подпространство, связанное с аффинным подпространством, часто называют егонаправлении , а два подпространства, имеющие одно и то же направление, называютсяпараллельными.

Это подразумевает следующее обобщение аксиомы Плейфера : если задано направление $V$ , то для любой точки $a$ из $A$ существует одно и только одно аффинное подпространство направления $V$ , которое проходит через $a$ , а именно подпространство $a + V.$

Каждый перевод отображает любое аффинное подпространство в параллельное подпространство. $A\to A:a\mapsto a+v$

Термин «параллельный» также используется для двух аффинных подпространств, направление одного из которых включено в направление другого.

Аффинное отображение

Даны два аффинных пространства $A$ и $B,$ ассоциированные векторные пространства которых являются и , аффинное отображение или аффинный гомоморфизм из $A$ в $B$ является отображением ${\overrightarrow {A}}$ ${\overrightarrow {B}}$

f:A\to B

такой что

{\begin{aligned}{\overrightarrow {f}}:{\overrightarrow {A}}&\to {\overrightarrow {B}}\\b-a&\mapsto f(b)-f(a)\end{aligned}}

является хорошо определенным линейным отображением. Под хорошо определенным подразумевается, что $b$ $-$ $a$ $=$ $d$ $-$ $c$ подразумевает $f$ $($ $b$ $) -$ $f$ $($ $a$ $) =$ $f$ $($ $d$ $) -$ $f$ $($ $c$ $)$ . $f$

Это означает, что для точки и вектора имеем $a\in A$ $v\in {\overrightarrow {A}}$

f(a+v)=f(a)+{\overrightarrow {f}}(v).

Следовательно, поскольку для любого заданного $b$ в $A$ , $b = a + v$ для единственного $v$ , $f$ полностью определяется своим значением в одной точке и связанным с ней линейным отображением . ${\overrightarrow {f}}$

Эндоморфизмы

Аффинное преобразование или эндоморфизм аффинного пространства — это аффинное отображение из этого пространства в себя. Одним из важных семейств примеров являются переносы: если задан вектор , то отображение переноса , которое отправляет для каждого в , является аффинным отображением. Другим важным семейством примеров являются линейные отображения с центром в начале координат: если задана точка и линейное отображение , можно определить аффинное отображение как для каждого в . $A$ ${\overrightarrow {v}}$ $T_{\overrightarrow {v}}:A\rightarrow A$ $a\mapsto a+{\overrightarrow {v}}$ $a$ $A$ $b$ $M$ $L_{M,b}:A\rightarrow A$ $L_{M,b}(a)=b+M(a-b)$ $a$ $A$

После выбора начала координат любое аффинное отображение может быть записано однозначно как комбинация переноса и линейного отображения с центром в точке . $b$ $b$

Векторные пространства как аффинные пространства

Каждое векторное пространство $V$ можно рассматривать как аффинное пространство над собой. Это означает, что каждый элемент $V$ можно рассматривать либо как точку, либо как вектор. Это аффинное пространство иногда обозначается $(V, V),$ чтобы подчеркнуть двойную роль элементов V. $При$ рассмотрении в качестве точки нулевой вектор обычно обозначается $o$ (или $O$ , когда для точек используются заглавные буквы) и называется началом координат .

Если $A$ — другое аффинное пространство над тем же векторным пространством (то есть ), выбор любой точки $a$ в $A$ определяет уникальный аффинный изоморфизм, который является тождеством $V$ и отображает $a$ в $o$ . Другими словами, выбор начала координат $a$ в $A$ позволяет нам отождествить $A$ и $($ $V$ $,$ $V$ $)$ с точностью до канонического изоморфизма . Обратной стороной этого свойства является то, что аффинное пространство $A$ может быть отождествлено с векторным пространством $V ,$ в котором «место начала координат забыто». $V={\overrightarrow {A}}$

Связь с евклидовыми пространствами

Определение евклидовых пространств

Евклидовы пространства (включая одномерную прямую, двумерную плоскость и трехмерное пространство, обычно изучаемые в элементарной геометрии, а также их многомерные аналоги) являются аффинными пространствами.

Действительно, в большинстве современных определений евклидово пространство определяется как аффинное пространство, такое, что связанное векторное пространство является вещественным внутренним произведением пространства конечной размерности, то есть векторным пространством над вещественными числами с положительно определенной квадратичной формой $q (x)$ . Внутреннее произведение двух векторов $x$ и $y$ является значением симметричной билинейной формы

x\cdot y={\frac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y)).

Обычное евклидово расстояние между двумя точками $A$ и $B$ равно

d(A,B)={\sqrt {q(B-A)}}.

В более старом определении евклидовых пространств через синтетическую геометрию векторы определяются как классы эквивалентности упорядоченных пар точек при равномощности (пары $(A, B)$ и $(C, D)$ равномощны , если точки $A, B, D, C$ (в этом порядке) образуют параллелограмм ). Легко проверить, что векторы образуют векторное пространство, квадрат евклидова расстояния является квадратичной формой на пространстве векторов, и два определения евклидовых пространств эквивалентны.

Аффинные свойства

В евклидовой геометрии распространенная фраза « аффинное свойство » относится к свойству, которое может быть доказано в аффинных пространствах, то есть его можно доказать без использования квадратичной формы и связанного с ней скалярного произведения. Другими словами, аффинное свойство — это свойство, которое не включает в себя длины и углы. Типичными примерами являются параллельность и определение касательной . Непримером является определение нормали .

Эквивалентно, аффинное свойство — это свойство, которое инвариантно относительно аффинных преобразований евклидова пространства.

Аффинные комбинации и барицентр

Пусть $a 1, ..., a n$ — набор из $n$ точек в аффинном пространстве, а — $n$ элементов основного поля . $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$

Предположим, что . Для любых двух точек $o$ и $o'$ имеем $\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=0$

\lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}=\lambda _{1}{\overrightarrow {o'a_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {o'a_{n}}}.

Таким образом, эта сумма не зависит от выбора начала координат, а результирующий вектор можно обозначить

\lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}.

При , получаем определение вычитания точек. $n=2,\lambda _{1}=1,\lambda _{2}=-1$

Теперь предположим, что элементы поля удовлетворяют . Для некоторого выбора начала координат $o$ обозначим через единственную точку, такую, что $\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1$ $g$

\lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}={\overrightarrow {og}}.

Можно показать, что не зависит от выбора $o$ . Поэтому, если $g$

\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1,

можно написать

g=\lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}.

Точка называется барицентром для весов . Говорят также, что это аффинная комбинация с коэффициентами . $g$ $a_{i}$ $\lambda _{i}$ $g$ $a_{i}$ $\lambda _{i}$

Примеры

Когда дети находят ответы на такие задачи, как $4 + 3$ или $4 - 2$ , считая справа или слева на числовой прямой , они рассматривают числовую прямую как одномерное аффинное пространство.
Время можно смоделировать как одномерное аффинное пространство. Конкретные точки времени (например, дата в календаре) являются точками в аффинном пространстве, тогда как длительности (например, количество дней) являются смещениями.
Пространство энергий является аффинным пространством для , поскольку часто не имеет смысла говорить об абсолютной энергии, но имеет смысл говорить о разнице энергий. Вакуумная энергия , когда она определена, выбирает каноническое происхождение. $\mathbb {R}$
Физическое пространство часто моделируется как аффинное пространство для в нерелятивистских условиях и в релятивистских условиях. Чтобы отличить их от векторного пространства, их иногда называют евклидовыми пространствами и . $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{1,3}$ ${\text{E}}(3)$ ${\text{E}}(1,3)$
Любой смежный класс подпространства $V$ векторного пространства является аффинным пространством над этим подпространством.
В частности, прямая на плоскости, которая не проходит через начало координат, является аффинным пространством, которое не является векторным пространством относительно операций, от которых оно наследуется , хотя ему можно придать каноническую структуру векторного пространства, выбрав точку, ближайшую к началу координат, в качестве нулевого вектора; аналогично в более высоких измерениях и для любого нормированного векторного пространства. $\mathbb {R} ^{2}$
Если $T$ — матрица и $b$ лежит в ее столбцовом пространстве , то множество решений уравнения $T x = b$ является аффинным пространством над подпространством решений $T x = 0$ .
Решения неоднородного линейного дифференциального уравнения образуют аффинное пространство над решениями соответствующего однородного линейного уравнения.
Обобщая все вышесказанное, если $T : V \to W$ — линейное отображение и $y$ лежит в его образе , то множество решений $x \in V$ уравнения $T x = y$ является смежным классом ядра $T$ и, следовательно , является аффинным пространством над $Ker T.$
Пространство (линейных) дополнительных подпространств векторного подпространства $V$ в векторном пространстве $W$ является аффинным пространством над $Hom(W / V, V)$ . То есть, если $0 \to V \to W \to X \to 0$ является короткой точной последовательностью векторных пространств, то пространство всех разбиений точной последовательности естественным образом несет структуру аффинного пространства над $Hom(X, V)$ .
Пространство связностей (рассматриваемое из векторного расслоения , где — гладкое многообразие ) является аффинным пространством для векторного пространства значных 1-форм . Пространство связностей (рассматриваемое из главного расслоения ) является аффинным пространством для векторного пространства -значных 1-форм , где — ассоциированное присоединенное расслоение . $E\xrightarrow {\pi } M$ $M$ ${\text{End}}(E)$ $P\xrightarrow {\pi } M$ ${\text{ad}}(P)$ ${\text{ad}}(P)$

Аффинный диапазон и базы

Для любого непустого подмножества $X$ аффинного пространства $A$ существует наименьшее аффинное подпространство, которое его содержит, называемое аффинной оболочкой $X.$ Это пересечение всех аффинных подпространств, содержащих $X$ $,$ а его направление является пересечением направлений аффинных подпространств, содержащих X.

Аффинная проекция $X$ — это множество всех (конечных) аффинных комбинаций точек $X$ , а ее направление — это линейная проекция x $-$ $y$ для $x$ и $y$ в $X.$ Если выбрать конкретную точку $x$ $0$ $,$ направление аффинной проекции $X$ также будет линейной проекцией $x$ $-$ $x$ $0$ для $x$ $в$ X .

Говорят также, что аффинная оболочка X порождается $X$ и что $X$ является $порождающим$ множеством своей аффинной оболочки.

Множество $X$ точек аффинного пространства называетсяаффинно независимым или, просто, $независимым$ ,если аффинная оболочка любогострогого подмножестваXявляется строгим подмножеством аффиннойоболочки $X.$ Аффинный базис илибарицентрический фрейм(см. § Барицентрические координаты ниже) аффинного пространства — это порождающий набор, который также является независимым (то естьминимальным порождающим набором).

Напомним, что размерность аффинного пространства — это размерность его связанного векторного пространства. Базисы аффинного пространства конечной размерности $n$ — это независимые подмножества из $n + 1$ элементов или, что эквивалентно, порождающие подмножества из $n + 1$ элементов. Эквивалентно, ${x 0, ..., x n$ } является аффинным базисом аффинного пространства тогда и только тогда, когда ${x 1 - x 0, ..., x n - x 0$ } является линейным базисом связанного векторного пространства.

Координаты

Существуют два тесно связанных вида систем координат , которые могут быть определены на аффинных пространствах.

Барицентрические координаты

Пусть $A$ — аффинное пространство размерности $n$ над полем $k$ , а — аффинный базис $A.$ Из свойств аффинного базиса следует, что для каждого $x$ в $A$ существует уникальный $($ $n$ $+ 1)$ -кортеж элементов $k$ такой , что $\{x_{0},\dots ,x_{n}\}$ $(\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n})$

\lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1

x=\lambda _{0}x_{0}+\dots +\lambda _{n}x_{n}.

Называются барицентрическими координатами x над аффинным базисом . Если рассматривать $x$ $i$ $как$ тела, имеющие вес (или массу) , то точка $x$ является барицентром x $i$ $, и$ это объясняет происхождение термина барицентрические координаты . $\lambda _{i}$ $\{x_{0},\dots ,x_{n}\}$ $\lambda _{i}$

Барицентрические координаты определяют аффинный изоморфизм между аффинным пространством $A$ и аффинным подпространством $k n + 1$ , определяемым уравнением . $\lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1$

Для аффинных пространств бесконечной размерности применяется то же определение, использующее только конечные суммы. Это означает, что для каждой точки только конечное число координат ненулевые.

Аффинные координаты

Аффинный фрейм — это координатный фрейм аффинного пространства, состоящий из точки, называемой началом координат , и линейного базиса связанного с ней векторного пространства. Точнее, для аффинного пространства $A$ с связанным с ней векторным пространством начало координат $o$ принадлежит $A$ , а линейный базис — это базис $($ $v$ $1$ $, ...,$ $v$ $n$ $)$ ( для простоты обозначений мы рассматриваем только случай конечной размерности, общий случай аналогичен). ${\overrightarrow {A}}$ ${\overrightarrow {A}}$

Для каждой точки $p$ множества $A$ существует уникальная последовательность элементов основного поля такая, что $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$

p=o+\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n},

или эквивалентно

{\overrightarrow {op}}=\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n}.

Они называются аффинными координатами точки $p$ в аффинной системе отсчета $($ $o$ $,$ $v1$ $,$ $...$ $,$ $vn$ $)$ . $\lambda _{i}$

Пример: В евклидовой геометрии декартовы координаты являются аффинными координатами относительно ортонормированной системы отсчета , то есть аффинной системы отсчета $(o, v1, ..., vn),$ такой $что$ $($ $v1$ $,$ $...$ $,$ $vn$ $)$ $является$ ортонормированным базисом .

Связь между барицентрическими и аффинными координатами

Барицентрические координаты и аффинные координаты тесно связаны и могут считаться эквивалентными.

Фактически, учитывая барицентрическую систему отсчета

(x_{0},\dots ,x_{n}),

сразу выводится аффинная рамка

(x_{0},{\overrightarrow {x_{0}x_{1}}},\dots ,{\overrightarrow {x_{0}x_{n}}})=\left(x_{0},x_{1}-x_{0},\dots ,x_{n}-x_{0}\right),

и, если

\left(\lambda _{0},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right)

— барицентрические координаты точки в барицентрической системе отсчета, тогда аффинные координаты этой же точки в аффинной системе отсчета равны

\left(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right).

И наоборот, если

\left(o,v_{1},\dots ,v_{n}\right)

является аффинным фреймом, тогда

\left(o,o+v_{1},\dots ,o+v_{n}\right)

является барицентрической системой отсчета. Если

\left(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right)

— аффинные координаты точки в аффинной системе отсчета, тогда ее барицентрические координаты в барицентрической системе отсчета равны

\left(1-\lambda _{1}-\dots -\lambda _{n},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right).

Поэтому барицентрические и аффинные координаты почти эквивалентны. В большинстве приложений аффинные координаты являются предпочтительными, так как они включают меньше независимых координат. Однако в ситуациях, когда важные точки изучаемой проблемы являются аффинно независимыми, барицентрические координаты могут привести к более простым вычислениям, как в следующем примере.

Пример треугольника

Вершины неплоского треугольника образуют аффинный базис евклидовой плоскости . Барицентрические координаты позволяют легко характеризовать элементы треугольника, которые не включают углы или расстояния:

Вершины — это точки с барицентрическими координатами $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ и $(0, 0, 1)$ . Линии, поддерживающие ребра, — это точки с нулевой координатой. Сами ребра — это точки с одной нулевой координатой и двумя неотрицательными координатами. Внутренняя часть треугольника — это точки, все координаты которых положительны. Медианы — это точки с двумя равными координатами, а центроид — это точка с координатами $( .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/3⁠ , ⁠1/3⁠ , ⁠1/3⁠ )$ .

Изменение координат

Случай барицентрических координат

Барицентрические координаты легко меняются от одного базиса к другому. Пусть и будут аффинными базисами $A$ . Для каждого $x$ в $A$ существует некоторый кортеж , для которого $\{x_{0},\dots ,x_{n}\}$ $\{x'_{0},\dots ,x'_{n}\}$ $\{\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n}\}$

x=\lambda _{0}x_{0}+\dots +\lambda _{n}x_{n}.

Аналогично, для каждого из первого базиса, теперь мы имеем во втором базисе $x_{i}\in \{x_{0},\dots ,x_{n}\}$

x_{i}=\lambda _{i,0}x'_{0}+\dots +\lambda _{i,j}x'_{j}+\dots +\lambda _{i,n}x'_{n}

для некоторого кортежа . Теперь мы можем переписать наше выражение в первом базисе как единицу во втором с $\{\lambda _{i,0},\dots ,\lambda _{i,n}\}$

\,x=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}x_{i}=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\sum _{j=0}^{n}\lambda _{i,j}x'_{j}=\sum _{j=0}^{n}{\biggl (}\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\lambda _{i,j}{\biggr )}x'_{j}\,,

что дает нам координаты во втором базисе в виде кортежа . ${\textstyle {\bigl \{}\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,0},\,\dots ,\,{}}$ ${\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,n}{\bigr \}}}$

Случай аффинных координат

Аффинные координаты также легко меняются от одного базиса к другому. Пусть , и , будут аффинными рамками $A$ . Для каждой точки $p$ из $A$ существует уникальная последовательность элементов основного поля такая, что $o$ $\{v_{1},\dots ,v_{n}\}$ $o'$ $\{v'_{1},\dots ,v'_{n}\}$ $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$

p=o+\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n},

и аналогично, для каждого из первого базиса, мы теперь имеем во втором базисе $v_{i}\in \{v_{1},\dots ,v_{n}\}$

o=o'+\lambda _{o,1}v'_{1}+\dots +\lambda _{o,j}v'_{j}+\dots +\lambda _{o,n}v'_{n}\,

v_{i}=\lambda _{i,1}v'_{1}+\dots +\lambda _{i,j}v'_{j}+\dots +\lambda _{i,n}v'_{n}

для кортежа и кортежей . Теперь мы можем переписать наше выражение в первом базисе как единицу во втором с $\{\lambda _{o,1},\dots ,\lambda _{o,n}\}$ $\{\lambda _{i,1},\dots ,\lambda _{i,n}\}$

{\begin{aligned}\,p&=o+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}={\biggl (}o'+\sum _{j=1}^{n}\lambda _{o,j}v'_{j}{\biggr )}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i,j}v'_{j}\\&=o'+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}\lambda _{o,j}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\lambda _{i,j}{\biggr )}v'_{j}\,,\end{aligned}}

что дает нам координаты во втором базисе в виде кортежа . ${\textstyle {\bigl \{}\lambda _{o,1}+\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,1},\,\dots ,\,{}}$ ${\textstyle \lambda _{o,n}+\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,n}{\bigr \}}}$

Свойства аффинных гомоморфизмов

Матричное представление

Аффинное преобразование выполняется на проективном пространстве с помощью матрицы 4 на 4 со специальным ^[8] четвертым столбцом: $T$ $\mathbb {P} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&0\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&0\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}T(1,0,0)&0\\T(0,1,0)&0\\T(0,0,1)&0\\T(0,0,0)&1\end{bmatrix}}$

Преобразование является аффинным, а не линейным из-за включения точки , преобразованный выход которой выявляет аффинный сдвиг. $(0,0,0)$

Изображение и волокна

Позволять

f\colon E\to F

быть аффинным гомоморфизмом, причем

{\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}

его ассоциированное линейное отображение. Образ f является аффинным подпространством $F$ $,$ которое имеет в качестве ассоциированного векторного пространства. Поскольку аффинное пространство не имеет нулевого элемента , аффинный гомоморфизм не имеет ядра . Однако линейное отображение имеет , и если мы обозначим его ядром, то для любой точки $x$ из , обратный образ x $является$ аффинным подпространством $E$ $,$ направление которого равно . Это аффинное подпространство называется слоем x . $f(E)=\{f(a)\mid a\in E\}$ ${\overrightarrow {f}}({\overrightarrow {E}})$ ${\overrightarrow {f}}$ $K=\{v\in {\overrightarrow {E}}\mid {\overrightarrow {f}}(v)=0\}$ $f(E)$ $f^{-1}(x)$ $K$

Проекция

Важным примером является проекция, параллельная некоторому направлению на аффинное подпространство. Важность этого примера заключается в том, что евклидовы пространства являются аффинными пространствами, и что эти виды проекций являются фундаментальными в евклидовой геометрии .

Точнее, если задано аффинное пространство $E$ с ассоциированным векторным пространством , пусть $F$ будет аффинным подпространством направления , а $D$ будет дополнительным подпространством в (это означает, что каждый вектор из может быть разложен единственным образом как сумма элемента из и элемента из $D$ ). Для каждой точки $x$ из $E$ ее проекция на $F,$ параллельная $D,$ является единственной точкой $p$ $($ $x$ $)$ в $F$ такой, что ${\overrightarrow {E}}$ ${\overrightarrow {F}}$ ${\overrightarrow {F}}$ ${\overrightarrow {E}}$ ${\overrightarrow {E}}$ ${\overrightarrow {F}}$

p(x)-x\in D.

Это аффинный гомоморфизм, связанное с которым линейное отображение определяется как ${\overrightarrow {p}}$

{\overrightarrow {p}}(x-y)=p(x)-p(y),

для $x$ и $y$ в $E.$

Образ этой проекции — $F$ , а ее слои — подпространства направления $D.$

Факторное пространство

Хотя ядра не определены для аффинных пространств, факторпространства определены. Это следует из того факта, что «принадлежность к одному и тому же слою аффинного гомоморфизма» является отношением эквивалентности.

Пусть $E$ — аффинное пространство, а $D$ — линейное подпространство связанного векторного пространства . Частное $E$ $/$ $D$ от $E$ по $D$ — это частное E по отношению эквивалентности, $такому$ , что $x$ и $y$ эквивалентны, если ${\overrightarrow {E}}$

x-y\in D.

Это фактор-пространство является аффинным пространством, имеющим в качестве ассоциированного векторное пространство. ${\overrightarrow {E}}/D$

Для любого аффинного гомоморфизма образ изоморфен фактору $E$ по ядру соответствующего линейного отображения. Это первая теорема об изоморфизме для аффинных пространств. $E\to F$

Аксиомы

Аффинные пространства обычно изучаются аналитической геометрией с использованием координат или, что эквивалентно, векторных пространств. Их также можно изучать как синтетическую геометрию , записывая аксиомы, хотя этот подход гораздо менее распространен. Существует несколько различных систем аксиом для аффинного пространства.

Коксетер (1969, стр. 192) аксиоматизирует частный случай аффинной геометрии над действительными числами как упорядоченную геометрию вместе с аффинной формой теоремы Дезарга и аксиомой, утверждающей, что на плоскости существует не более одной прямой, проходящей через данную точку и не пересекающей данную прямую.

Аффинные плоскости удовлетворяют следующим аксиомам (Кэмерон 1991, глава 2): (в которых две прямые называются параллельными, если они равны или не пересекаются):

Любые две различные точки лежат на одной прямой.
Для данной точки и прямой существует единственная прямая, которая содержит точку и параллельна прямой
Существуют три неколлинеарные точки.

Наряду с аффинными плоскостями над полями (или делениями колец ) существует также много недезарговых плоскостей, удовлетворяющих этим аксиомам. (Cameron 1991, глава 3) дает аксиомы для аффинных пространств более высокой размерности.

Чисто аксиоматическая аффинная геометрия является более общей, чем аффинные пространства, и рассматривается в отдельной статье .

Отношение к проективным пространствам

Аффинные пространства содержатся в проективных пространствах . Например, аффинная плоскость может быть получена из любой проективной плоскости путем удаления одной прямой и всех точек на ней, и наоборот, любая аффинная плоскость может быть использована для построения проективной плоскости как замыкания путем добавления бесконечно удаленной прямой , точки которой соответствуют классам эквивалентности параллельных прямых . Аналогичные построения справедливы и в более высоких размерностях.

Далее, преобразования проективного пространства, которые сохраняют аффинное пространство (эквивалентно, которые оставляют гиперплоскость на бесконечности инвариантной как множество ), дают преобразования аффинного пространства. Обратно, любое аффинное линейное преобразование однозначно продолжается до проективного линейного преобразования , поэтому аффинная группа является подгруппой проективной группы . Например, преобразования Мёбиуса (преобразования комплексной проективной прямой или сферы Римана ) являются аффинными (преобразованиями комплексной плоскости ) тогда и только тогда, когда они фиксируют точку на бесконечности .

Аффинная алгебраическая геометрия

В алгебраической геометрии аффинное многообразие (или, в более общем смысле, аффинное алгебраическое множество ) определяется как подмножество аффинного пространства, которое является множеством общих нулей набора так называемых полиномиальных функций над аффинным пространством . Для определения полиномиальной функции над аффинным пространством необходимо выбрать аффинную систему отсчета . Тогда полиномиальная функция — это функция, такая, что изображение любой точки является значением некоторой многомерной полиномиальной функции координат точки. Поскольку изменение аффинных координат может быть выражено линейными функциями (точнее, аффинными функциями) координат, это определение не зависит от конкретного выбора координат.

Выбор системы аффинных координат для аффинного пространства размерности $n$ над полем $k$ индуцирует аффинный изоморфизм между и аффинным координатным пространством $k$ $n$ . Это объясняет, почему для упрощения многие учебники пишут , и вводят аффинные алгебраические многообразия как общие нули полиномиальных функций над $k$ $n$ . ^[9] $\mathbb {A} _{k}^{n}$ $\mathbb {A} _{k}^{n}$ $\mathbb {A} _{k}^{n}=k^{n}$

Поскольку все аффинное пространство представляет собой множество общих нулей нулевого многочлена , аффинные пространства являются аффинными алгебраическими многообразиями.

Кольцо полиномиальных функций

Согласно определению выше, выбор аффинного фрейма аффинного пространства позволяет отождествить полиномиальные функции на с полиномами от $n$ переменных, причем i -я переменная представляет функцию, которая отображает точку в ее $i$ -ю координату. Отсюда следует, что множество полиномиальных функций над представляет собой k -алгебру , обозначаемую , которая изоморфна кольцу полиномов . $\mathbb {A} _{k}^{n}$ $\mathbb {A} _{k}^{n}$ $\mathbb {A} _{k}^{n}$ $k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]$ $k\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]$

При изменении координат изоморфизм между и изменяется соответственно, и это индуцирует автоморфизм , который отображает каждую неопределенность в многочлен степени один. Из этого следует, что полная степень определяет фильтрацию , которая не зависит от выбора координат. Полная степень определяет также градуировку , но она зависит от выбора координат, поскольку изменение аффинных координат может отображать неопределенности на неоднородные многочлены . $k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]$ $k[X_{1},\dots ,X_{n}]$ $k\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]$ $k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]$

топология Зарисского

Аффинные пространства над топологическими полями , такими как действительные или комплексные числа, имеют естественную топологию . Топология Зарисского, которая определена для аффинных пространств над любым полем, позволяет использовать топологические методы в любом случае. Топология Зарисского — это уникальная топология на аффинном пространстве, замкнутые множества которого являются аффинными алгебраическими множествами (то есть множествами общих нулей полиномиальных функций над аффинным множеством). Поскольку над топологическим полем полиномиальные функции непрерывны, каждое замкнутое по Зарисскому множество замкнуто для обычной топологии, если таковая имеется. Другими словами, над топологическим полем топология Зарисского грубее естественной топологии.

Существует естественная инъективная функция из аффинного пространства в множество простых идеалов (то есть спектр ) его кольца полиномиальных функций. Когда аффинные координаты выбраны, эта функция отображает точку координат в максимальный идеал . Эта функция является гомеоморфизмом (для топологии Зарисского аффинного пространства и спектра кольца полиномиальных функций) аффинного пространства на образ функции. $\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)$ $\left\langle X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}\right\rangle$

Случай алгебраически замкнутого основного поля особенно важен в алгебраической геометрии, поскольку в этом случае гомеоморфизм, указанный выше, является отображением между аффинным пространством и множеством всех максимальных идеалов кольца функций (это Nullstellensatz Гильберта ).

Это исходная идея теории схем Гротендика , которая заключается в том, чтобы для изучения алгебраических многообразий рассматривать в качестве «точек» не только точки аффинного пространства, но и все простые идеалы спектра. Это позволяет склеивать алгебраические многообразия подобно тому, как для многообразий склеиваются карты для построения многообразия.

Когомологии

Как и все аффинные многообразия, локальные данные на аффинном пространстве всегда можно глобально склеить: когомологии аффинного пространства тривиальны. Точнее, для всех когерентных пучков F и целых чисел . Это свойство также присуще всем другим аффинным многообразиям . Но также все этальные группы когомологий на аффинном пространстве тривиальны. В частности, каждое линейное расслоение тривиально. В более общем смысле, теорема Квиллена–Суслина подразумевает, что каждое алгебраическое векторное расслоение над аффинным пространством тривиально. $H^{i}\left(\mathbb {A} _{k}^{n},\mathbf {F} \right)=0$ $i>0$

Смотрите также

Аффинная оболочка – наименьшее аффинное подпространство, содержащее подмножество
Комплексное аффинное пространство – Аффинное пространство над комплексными числами
Анализ размеров § Геометрия: положение против смещения
Экзотическое аффинное пространство – Действительное аффинное пространство четной размерности, которое не изоморфно комплексному аффинному пространству.
Пространство (математика) – математическое множество с некоторой добавленной структурой.
Барицентрическая система координат – система координат, которая определяется точками вместо векторов.

Примечания

^ Слово «перемещение» обычно предпочитают использовать вместо слова «вектор смещения» , что может привести к путанице, поскольку смещения включают в себя также вращения .
^ Бергер 1987, стр. 32
^ Бергер, Марсель (1984), «Аффинные пространства», Проблемы геометрии , Springer, стр. 11, ISBN 9780387909714
^ Бергер 1987, стр. 33
^ Снаппер, Эрнст; Тройер, Роберт Дж. (1989), Метрическая аффинная геометрия , стр. 6
^ Таррида, Агусти Р. (2011), «Аффинные пространства», Аффинные отображения, евклидовы движения и квадрики, Springer, стр. 1–2, ISBN 9780857297105
^ Номидзу и Сасаки 1994, стр. 7
^ Стрэнг, Гилберт (2009). Введение в линейную алгебру (4-е изд.). Уэллсли: Wellesley-Cambridge Press. стр. 460. ISBN 978-0-9802327-1-4.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
^ Хартсхорн 1977, Гл. I, § 1.

Ссылки

Бергер, Марсель (1984), «Аффинные пространства», Проблемы геометрии , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90971-4
Бергер, Марсель (1987), Геометрия I , Берлин: Springer, ISBN 3-540-11658-3
Кэмерон, Питер Дж. (1991), Проективные и полярные пространства, QMW Maths Notes, т. 13, Лондон: Школа математических наук колледжа королевы Марии и Вестфилда, MR 1153019
Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50458-0, МР 0123930
Долгачев, И.В .; Широков, А.П. (2001) [1994], "Аффинное пространство", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90244-9. Збл 0367.14001.
Номидзу, К.; Сасаки , С. (1994), Аффинная дифференциальная геометрия (новое издание), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3
Снаппер, Эрнст ; Тройер, Роберт Дж. (1989), Metric Affine Geometry (издание Dover, впервые опубликовано в изд. 1989 г.), Dover Publications, ISBN 0-486-66108-3
Ревентос Таррида, Агусти (2011), «Аффинные пространства», Аффинные карты, евклидовы движения и квадрики, Springer, ISBN 978-0-85729-709-9