Тетрация

Арифметическая операция

Раскраска области голоморфной тетрации , где оттенок представляет аргумент функции , а яркость представляет величину ${\displaystyle {}^{z}e}$

${\displaystyle {}^{n}x}$, для n = 2, 3, 4, ... , показывая сходимость к бесконечно повторяющейся экспоненте между двумя точками

В математике тетрация (или гипер-4 ) — это операция , основанная на итеративном или повторном возведении в степень . Для тетрации нет стандартной нотации, хотя нотация Кнута со стрелкой вверх и левая экспонента ^x b являются общепринятыми. ${\displaystyle \uparrow \uparrow }$

Под определением как повторное возведение в степень подразумевается , где n копий a итерируются посредством возведения в степень справа налево, т.е. применение умножений возведения в степень . n называется «высотой» функции, а a называется «основанием», аналогично возведению в степень. Это будет читаться как « n -я тетрация a ». ${\displaystyle {^{n}a}}$ ${\displaystyle {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}}$ ${\displaystyle n-1}$

Это следующая гипероперация после возведения в степень , но перед пентацией . Слово было придумано Рубеном Луисом Гудштейном от тетра- (четыре) и итерации .

Тетрация также определяется рекурсивно как

${\displaystyle {a\uparrow \uparrow n}:={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\\a^{a\uparrow \uparrow (n-1)}&{\text{if }}n>0,\end{cases}}}$

допуская попытки распространить тетрацию на ненатуральные числа, такие как действительные , комплексные и порядковые числа .

Две обратные функции тетрации называются суперкорнем и суперлогарифмом , по аналогии с корнем n-й степени и логарифмическими функциями. Ни одна из трех функций не является элементарной .

Тетрация используется для записи очень больших чисел .

Введение

Здесь показаны первые четыре гипероперации , причем тетрация считается четвертой в серии. Унарная операция последовательность , определяемая как , считается нулевой операцией. ${\displaystyle a'=a+1}$

1. Добавление n копий 1, добавленных к объединенному по порядку. $${\displaystyle a+n=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{n}}$$
2. Умножение n копий числа a, объединенного путем сложения. $${\displaystyle a\times n=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}}$$
3. Возведение в степень n копий числа a, объединенных путем умножения. $${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}}$$
4. Тетрация n копий a , объединенных путем возведения в степень, справа налево. $${\displaystyle {^{n}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}}$$

Важно отметить, что вложенные показатели степеней интерпретируются сверху вниз: ⁠ ⁠ ${\displaystyle a^{b^{c}}}$ означает ⁠ ⁠, ${\displaystyle a^{\left(b^{c}\right)}}$ а не ⁠ ⁠ ${\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}.}$

Последовательность, , является самой базовой операцией; в то время как сложение ( ) является первичной операцией, для сложения натуральных чисел ее можно рассматривать как цепочечную последовательность последователей ; умножение ( ) также является первичной операцией, хотя для натуральных чисел ее можно аналогично рассматривать как цепочечное сложение, включающее числа . Возведение в степень можно рассматривать как цепочечное умножение, включающее числа , а тетрацию ( ) как цепочечную степень, включающую числа . Каждая из операций выше определяется путем итерации предыдущей; ^[1] однако, в отличие от операций до нее, тетрация не является элементарной функцией . ${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+1}$ ${\displaystyle a+n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\times n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ^{n}a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$

Параметр называется основанием , в то время как параметр может называться высотой . В исходном определении тетрации параметр высоты должен быть натуральным числом; например, было бы нелогично сказать «три возведенных в себя отрицательно пять раз» или «четыре возведенных в себя половину раза». Однако, так же как сложение, умножение и возведение в степень могут быть определены способами, которые допускают расширения на действительные и комплексные числа, было сделано несколько попыток обобщить тетрацию на отрицательные числа, действительные числа и комплексные числа. Одним из таких способов является использование рекурсивного определения для тетрации; для любого положительного действительного и неотрицательного целого числа мы можем определить рекурсивно как: ^[1] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle \,\!{^{n}a}}$

${\displaystyle {^{n}a}:={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0\\a^{\left(^{(n-1)}a\right)}&{\text{if }}n>0\end{cases}}}$

Рекурсивное определение эквивалентно повторному возведению в степень для естественных высот; однако это определение допускает расширения на другие высоты, такие как , , а также – многие из этих расширений являются областями активных исследований. ${\displaystyle ^{0}a}$ ${\displaystyle ^{-1}a}$ ${\displaystyle ^{i}a}$

Терминология

Существует много терминов для тетрации, каждый из которых имеет некоторую логику, но некоторые из них не стали общеупотребительными по той или иной причине. Вот сравнение каждого термина с его обоснованием и контробоснованием.

• Термин тетрация , введенный Гудстейном в его статье 1947 года «Трансфинитные ординалы в рекурсивной теории чисел» ^[2] (обобщающий рекурсивное базовое представление, используемое в теореме Гудстейна, для использования более высоких операций), получил господство. Он также был популяризирован в книге Руди Ракера « Бесконечность и разум» .
• Термин «суперэкспоненциация» был опубликован Бромером в его статье «Суперэкспоненциация» в 1987 году. ^[3] Ранее он использовался Эдом Нельсоном в его книге «Предикативная арифметика», издательство Принстонского университета, 1986 год.
• Термин гипермощность ^[4] является естественным сочетанием гипер и мощности , которое удачно описывает тетрацию. Проблема заключается в значении гипер по отношению к последовательности гиперопераций . При рассмотрении гиперопераций термин гипер относится ко всем рангам, а термин супер относится к рангу 4, или тетрации. Поэтому в этих рассуждениях гипермощность вводит в заблуждение, поскольку относится только к тетрации.
• Термин степенная башня ^[5] иногда используется в форме «степенная башня порядка n » для . Возведение в степень легко неверно истолковать: обратите внимание, что операция возведения в степень является правоассоциативной (см. ниже). Тетрация — это итеративное возведение в степень (назовем эту правоассоциативную операцию ^), начиная с верхней правой стороны выражения с экземпляром a^a (назовем это значение c). Возведение в степень следующего слева a (назовем это «следующим основанием» b) заключается в работе влево после получения нового значения b^c. Работая влево, используйте следующее a слева в качестве основания b и вычислите новое b^c. «Спуститесь вниз по башне» по очереди, с новым значением для c на следующем шаге вниз. ${\displaystyle {\ \atop {\ }}{{\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} } \atop n}}$

Отчасти из-за некоторой общей терминологии и похожей символики обозначений тетрацию часто путают с тесно связанными функциями и выражениями. Вот несколько связанных терминов:

В первых двух выражениях a — это основание , а количество появлений a — это высота (добавьте единицу для x ). В третьем выражении n — это высота , но каждое из оснований отличается.

При обращении к итерированным экспонентам следует соблюдать осторожность, поскольку выражения этой формы обычно называют итерированным возведением в степень, что неоднозначно, поскольку может означать как итерированные степени , так и итерированные экспоненты .

Обозначение

Существует много различных стилей обозначений, которые можно использовать для выражения тетрации. Некоторые обозначения также можно использовать для описания других гиперопераций , в то время как некоторые ограничиваются тетрацией и не имеют непосредственного расширения.

Одна из приведенных выше нотаций использует итеративную экспоненциальную нотацию; в общем случае она определяется следующим образом:

${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)=a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}$с н а с.

Для итерационных экспонент существует не так много обозначений, но вот несколько из них:

Примеры

Из-за чрезвычайно быстрого роста тетрации большинство значений в следующей таблице слишком велики для записи в научной нотации. В этих случаях для их выражения в базе 10 используется итерированная экспоненциальная нотация. Значения, содержащие десятичную точку, являются приблизительными.

Замечание: Если x не отличается от 10 на порядки, то для всех . Например, в приведенной выше таблице, а для следующих строк разница еще меньше. ${\displaystyle k\geq 3,~^{m}x=\exp _{10}^{k}z,~z>1~\Rightarrow ~^{m+1}x=\exp _{10}^{k+1}z'{\text{ with }}z'\approx z}$ ${\displaystyle z-z'<1.5\cdot 10^{-15}{\text{ for }}x=3=k,~m=4}$

Расширения

Тетрацию можно расширить двумя способами; в уравнении как основание a , так и высота n могут быть обобщены с использованием определения и свойств тетрации. Хотя основание и высота могут быть расширены за пределы неотрицательных целых чисел до различных областей , включая , комплексные функции, такие как , и высоты бесконечного n , более ограниченные свойства тетрации снижают возможность расширения тетрации. ${\displaystyle ^{n}a\!}$ ${\displaystyle {^{n}0}}$ ${\displaystyle {}^{n}i}$

Расширение домена для баз

База ноль

Экспонента не определена последовательно. Таким образом, тетрации не определены четко формулой, данной ранее. Однако, хорошо определена и существует: ^[10] ${\displaystyle 0^{0}}$ ${\displaystyle \,{^{n}0}}$ ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x={\begin{cases}1,&n{\text{ even}}\\0,&n{\text{ odd}}\end{cases}}}$

Таким образом, мы могли бы последовательно определить . Это аналогично определению . ${\displaystyle {}^{n}0=\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$ ${\displaystyle 0^{0}=1}$

При таком расширении правило из исходного определения по-прежнему остается в силе. ${\displaystyle {}^{0}0=1}$ ${\displaystyle {^{0}a}=1}$

Сложные базы

Тетрация по периоду

Тетрация путем побега

Поскольку комплексные числа можно возводить в степени, тетрацию можно применять к основаниям вида z = a + bi (где a и b — действительные числа). Например, в ⁿ z при z = i тетрация достигается с помощью главной ветви натурального логарифма; используя формулу Эйлера , получаем соотношение:

${\displaystyle i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}{\pi i}(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)}$

Это предполагает рекурсивное определение для ^{n +1} i = a′ + b′i при любом ⁿ i = a + bi :

${\displaystyle {\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\[2pt]b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}}$

Можно получить следующие приблизительные значения:

Решение обратного соотношения, как в предыдущем разделе, дает ожидаемые ⁰ i = 1 и ⁻¹ i = 0 , причем отрицательные значения n дают бесконечные результаты на мнимой оси. Нанесенная на комплексную плоскость , вся последовательность спиралевидно стремится к пределу 0,4383 + 0,3606 i , что можно интерпретировать как значение, при котором n бесконечно.

Такие последовательности тетрации изучались со времен Эйлера, но плохо изучены из-за их хаотического поведения. Большинство опубликованных исследований исторически были сосредоточены на сходимости бесконечно итерируемой экспоненциальной функции. Текущие исследования значительно выиграли от появления мощных компьютеров с программным обеспечением для фрактальной и символьной математики. Многое из того, что известно о тетрации, исходит из общих знаний о сложной динамике и конкретных исследований экспоненциального отображения. ^{[ необходима цитата ]}

Расширения домена для разных высот

Бесконечные высоты

${\displaystyle \textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }{}^{n}x}$бесконечно повторяющейся экспоненциальной сходимости для базисов ${\displaystyle \textstyle \left(e^{-1}\right)^{e}\leq x\leq e^{\left(e^{-1}\right)}}$

Функция на комплексной плоскости, показывающая вещественную бесконечно повторяющуюся экспоненциальную функцию (черная кривая) ${\displaystyle \left|{\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}\right|}$

Тетрация может быть расширена до бесконечной высоты; т. е. для определенных значений a и n в существует четко определенный результат для бесконечного n . Это происходит потому, что для оснований в пределах определенного интервала тетрация сходится к конечному значению, когда высота стремится к бесконечности . Например, сходится к 2, и, следовательно, можно сказать, что она равна 2. Тенденцию к 2 можно увидеть, оценив небольшую конечную башню: ${\displaystyle {}^{n}a}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.414}}}}}&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.63}}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.76}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.84}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{1.89}\\&\approx 1.93\end{aligned}}}$

В общем случае бесконечно итерированная экспонента , определяемая как предел при n , стремящемся к бесконечности, сходится при e ^{− e} ≤ x ≤ e ^{1/ e} , примерно в интервале от 0,066 до 1,44, результат, показанный Леонардом Эйлером . ^[11] Предел, если он существует, является положительным действительным решением уравнения y = x ^y . Таким образом, x = y ^{1/ y} . Предел, определяющий бесконечную экспоненту x , не существует, когда x > e ^{1/ e} , потому что максимум y ^{1/ y} равен e ^{1/ e} . Предел также не существует, когда 0 < x < e ^{− e} . ${\displaystyle x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}\!\!}$ ${\displaystyle {}^{n}x}$

Это можно распространить на комплексные числа z с определением:

${\displaystyle {}^{\infty }z=z^{z^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}={\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}~,}$

где W представляет собой функцию Ламберта W.

Поскольку предел y = ^∞ x (если он существует на положительной действительной прямой, т.е. для e ^{− e} ≤ x ≤ e ^{1/ e} ) должен удовлетворять условию x ^y = y , мы видим, что x ↦ y = ^∞ x является (нижней ветвью) обратной функцией к y ↦ x = y ^{1/ y} .

Отрицательные высоты

Мы можем использовать рекурсивное правило для тетрации,

${\displaystyle {^{k+1}a}=a^{\left({^{k}a}\right)},}$

доказать : ${\displaystyle {}^{-1}a}$

${\displaystyle ^{k}a=\log _{a}\left(^{k+1}a\right);}$

Подстановка −1 вместо k дает

${\displaystyle {}^{-1}a=\log _{a}\left({}^{0}a\right)=\log _{a}1=0}$. ^[12]

Меньшие отрицательные значения не могут быть хорошо определены таким образом. Подстановка −2 вместо k в том же уравнении дает

${\displaystyle {}^{-2}a=\log _{a}\left({}^{-1}a\right)=\log _{a}0=-\infty }$

что не очень хорошо определено. Однако иногда их можно считать множествами. ^[12]

Для , любое определение согласуется с правилом, поскольку ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \,\!{^{-1}1}}$

${\displaystyle {^{0}1}=1=1^{n}}$для любого . ${\displaystyle \,\!n={^{-1}1}}$

Настоящие высоты

В настоящее время не существует общепринятого решения общей проблемы расширения тетрации до действительных или комплексных значений n . Однако, было несколько подходов к этому вопросу, и различные подходы описаны ниже.

В общем случае задача состоит в нахождении — для любого действительного a > 0 — суперэкспоненциальной функции по действительному x > −2 , которая удовлетворяет условию ${\displaystyle \,f(x)={}^{x}a}$

• ${\displaystyle \,{}^{-1}a=0}$
• ${\displaystyle \,{}^{0}a=1}$
• ${\displaystyle \,{}^{x}a=a^{\left({}^{x-1}a\right)}}$для всех реальных ^[13] ${\displaystyle x>-1.}$

Чтобы найти более естественное расширение, обычно требуется одно или несколько дополнительных требований. Обычно это некоторая совокупность следующих:

• Требование непрерывности (обычно это просто требование непрерывности по обеим переменным для ). ${\displaystyle {}^{x}a}$ ${\displaystyle x>0}$
• Требование дифференцируемости (может быть однократно, двукратно, k раз или бесконечно дифференцируемо по x ).
• Требование регулярности (подразумевающее дважды дифференцируемость по x ):

  ${\displaystyle \left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)>0\right)}$для всех ${\displaystyle x>0}$

Четвертое требование отличается от автора к автору и между подходами. Существует два основных подхода к расширению тетрации до реальных высот; один основан на требовании регулярности , а другой — на требовании дифференцируемости . Эти два подхода кажутся настолько разными, что их невозможно примирить, поскольку они дают результаты, несовместимые друг с другом. ^{[ необходима цитата ]}

Когда определено для интервала длины один, вся функция легко следует для всех x > −2 . ${\displaystyle \,{}^{x}a}$

Линейная аппроксимация для реальных высот

${\displaystyle \,{}^{x}e}$используя линейную аппроксимацию

Линейное приближение (решение требования непрерывности, приближение требования дифференцируемости) определяется по формуле:

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left(^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+x&-1<x\leq 0\\a^{\left(^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}$

следовательно:

и так далее. Однако она дифференцируема только кусочно; при целых значениях x производная умножается на . Она непрерывно дифференцируема для тогда и только тогда, когда . Например, используя эти методы и ${\displaystyle \ln {a}}$ ${\displaystyle x>-2}$ ${\displaystyle a=e}$ ${\displaystyle {}^{\frac {\pi }{2}}e\approx 5.868...}$ ${\displaystyle {}^{-4.3}0.5\approx 4.03335...}$

Основная теорема в статье Хушманда ^[6] гласит: Пусть . Если непрерывен и удовлетворяет условиям: ${\displaystyle 0<a\neq 1}$ ${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle f(x)=a^{f(x-1)}\;\;{\text{for all}}\;\;x>-1,\;f(0)=1,}$
• ${\displaystyle f}$дифференцируема на (−1, 0) ,
• ${\displaystyle f^{\prime }}$является неубывающей или невозрастающей функцией на (−1, 0) ,
• ${\displaystyle f^{\prime }\left(0^{+}\right)=(\ln a)f^{\prime }\left(0^{-}\right){\text{ or }}f^{\prime }\left(-1^{+}\right)=f^{\prime }\left(0^{-}\right).}$

тогда однозначно определяется через уравнение ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)=\exp _{a}^{[x]}\left(a^{(x)}\right)=\exp _{a}^{[x+1]}((x))\quad {\text{for all}}\;\;x>-2,}$

где обозначает дробную часть x , а - итеративная функция функции . ${\displaystyle (x)=x-[x]}$ ${\displaystyle \exp _{a}^{[x]}}$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle \exp _{a}}$

Доказательство состоит в том, что из условий со второго по четвертое тривиально следует, что f является линейной функцией на [−1, 0] .

Линейное приближение к функции натуральной тетрации непрерывно дифференцируемо, но ее вторая производная не существует при целых значениях ее аргумента. Хушманд вывел для нее еще одну теорему единственности, которая гласит: ${\displaystyle {}^{x}e}$

Если — непрерывная функция, удовлетворяющая: ${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;{\text{for all}}\;\;x>-1,\;f(0)=1,}$
• ${\displaystyle f}$является выпуклой на (−1, 0) ,
• ${\displaystyle f^{\prime }\left(0^{-}\right)\leq f^{\prime }\left(0^{+}\right).}$

тогда . [Вот название Хушманда для линейного приближения к функции естественной тетрации.] ${\displaystyle f={\text{uxp}}}$ ${\displaystyle f={\text{uxp}}}$

Доказательство во многом такое же, как и раньше; уравнение рекурсии гарантирует, что , а затем условие выпуклости подразумевает, что является линейным на (−1, 0) . ${\displaystyle f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{+}),}$ ${\displaystyle f}$

Следовательно, линейное приближение к натуральной тетрации является единственным решением уравнения , которое выпукло на (−1, +∞) . Все остальные достаточно дифференцируемые решения должны иметь точку перегиба на интервале (−1, 0) . ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;(x>-1)}$ ${\displaystyle f(0)=1}$

Приближения более высокого порядка для реальных высот

Сравнение линейной и квадратичной аппроксимаций (красным и синим цветом соответственно) функции от x = −2 до x = 2 ${\displaystyle ^{x}0.5}$

Помимо линейных приближений, квадратичное приближение (к требованию дифференцируемости) определяется выражением:

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left({}^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+{\frac {2\ln(a)}{1\;+\;\ln(a)}}x-{\frac {1\;-\;\ln(a)}{1\;+\;\ln(a)}}x^{2}&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&x>0\end{cases}}}$

которая дифференцируема для всех , но не дважды дифференцируема. Например, если это то же самое, что и линейное приближение. ^[1] ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle {}^{\frac {1}{2}}2\approx 1.45933...}$ ${\displaystyle a=e}$

Из-за способа вычисления эта функция не «отменяется», в отличие от экспонент, где . А именно, ${\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a}$

${\displaystyle {}^{n}\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)=\underbrace {\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)}}}}}}} _{n}\neq a}$.

Так же, как существует квадратичное приближение, существуют также кубические приближения и методы обобщения до приближений степени n , хотя они гораздо более громоздки. ^{[1] [14]}

Биномиальное приближение около единицы

Используя формулу биномиального приближения

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }\approx 1+\alpha x.}$

Для малых значений x мы можем вкладывать показатели степеней столько, сколько захотим.

${\displaystyle ^{2}(1+x)=(1+x)^{(1+x)}\approx 1+x(1+x)=1+x+x^{2}}$

${\displaystyle ^{3}(1+x)=(1+x)^{((1+x)^{(1+x)})}\approx 1+x(1+x+x^{2})=1+x+x^{2}+x^{3}}$

Значение:

${\displaystyle ^{n}(1+x)\approx \sum _{k=1}^{n}x^{k}}$

Мы можем обобщить эту сумму для любого n, действительного или комплексного

${\displaystyle (x^{n-1}-1)/(x-1)}$

Сложные высоты

Рисунок аналитического расширения тетрации на комплексную плоскость. Уровни и уровни показаны толстыми кривыми. ${\displaystyle f=F(x+{\rm {i}}y)}$ ${\displaystyle |f|=1,e^{\pm 1},e^{\pm 2},\ldots }$ ${\displaystyle \arg(f)=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$

В 2017 году было доказано ^[15] , что существует единственная функция F , которая является решением уравнения F ( z + 1) = exp( F ( z )) и удовлетворяет дополнительным условиям, что F (0) = 1 и F ( z ) приближается к неподвижным точкам логарифма (примерно 0,318 ± 1,337 i ), когда z приближается к ± i ∞ , и что F голоморфна во всей комплексной z -плоскости, за исключением части действительной оси при z ≤ −2 . Это доказательство подтверждает предыдущую гипотезу . ^[16] Построение такой функции было первоначально продемонстрировано Кнезером в 1950 году. ^{[17] Комплексное} отображение этой функции показано на рисунке справа. Доказательство также работает для других оснований, помимо e , при условии, что основание больше . Последующая работа распространила построение на все комплексные основания. ^[18] ${\displaystyle e^{\frac {1}{e}}\approx 1.445}$

Требование голоморфности тетрации важно для ее уникальности. Многие функции S могут быть построены как

${\displaystyle S(z)=F\!\left(~z~+\sum _{n=1}^{\infty }\sin(2\pi nz)~\alpha _{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\Big (}1-\cos(2\pi nz){\Big )}~\beta _{n}\right)}$

где α и β — действительные последовательности, которые достаточно быстро убывают, чтобы обеспечить сходимость ряда , по крайней мере при умеренных значениях Im  z .

Функция S удовлетворяет уравнениям тетрации S ( z + 1) = exp( S ( z )) , S (0) = 1 , и если α _n и β _n достаточно быстро приближаются к 0, она будет аналитической в ​​окрестности положительной действительной оси. Однако, если некоторые элементы { α } или { β } не равны нулю, то функция S имеет множество дополнительных особенностей и линий разреза в комплексной плоскости из-за экспоненциального роста sin и cos вдоль мнимой оси; чем меньше коэффициенты { α } и { β } , тем дальше эти особенности от действительной оси.

Таким образом, расширение тетрации в комплексную плоскость необходимо для единственности; вещественно-аналитическая тетрация не является единственной.

Порядковая тетрация

Тетрацию можно определить для порядковых чисел с помощью трансфинитной индукции. Для всех α и всех β > 0 : $${\displaystyle {}^{0}\alpha =1}$$ $${\displaystyle {}^{\beta }\alpha =\sup(\{\alpha ^{{}^{\gamma }\alpha }:\gamma <\beta \})\,.}$$

Неэлементарная рекурсивность

Тетрация (ограниченная ) не является элементарной рекурсивной функцией . Можно доказать по индукции, что для каждой элементарной рекурсивной функции f существует константа c такая, что ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$

${\displaystyle f(x)\leq \underbrace {2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{x}}}}} _{c}.}$

Обозначим правую часть через . Предположим, что тетрация является элементарно рекурсивной. также является элементарно рекурсивной. Согласно неравенству выше, существует константа c такая, что . Полагая , мы имеем, что , противоречие. ${\displaystyle g(c,x)}$ ${\displaystyle g(x,x)+1}$ ${\displaystyle g(x,x)+1\leq g(c,x)}$ ${\displaystyle x=c}$ ${\displaystyle g(c,c)+1\leq g(c,c)}$

Обратные операции

Возведение в степень имеет две обратные операции: корни и логарифмы . Аналогично, обратные тетрации часто называют суперкорнем и суперлогарифмом ( на самом деле, все гипероперации, большие или равные 3, имеют аналогичные обратные); например, в функции две обратные операции — это кубический суперкорень y и суперлогарифм по основанию  y от x . ${\displaystyle {^{3}}y=x}$

Супер-корень

Сверхкорень — это операция, обратная тетрации относительно основания: если , то y — сверхкорень n-й степени из x ( или ). ${\displaystyle ^{n}y=x}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}_{s}}$

Например,

${\displaystyle ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=65{,}536}$

поэтому 2 — это 4-й суперкорень числа 65 536.

Квадратный суперкорень

График ${\displaystyle y={\sqrt {x}}_{s}}$

Суперкорень 2-го порядка , квадратный суперкорень или суперквадратный корень имеет две эквивалентные записи, и . Он является обратным и может быть представлен с помощью функции Ламберта W : ^[19] ${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}}$ ${\displaystyle ^{2}x=x^{x}}$

${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)=\exp(W(\ln x))={\frac {\ln x}{W(\ln x)}}}$

Функция также иллюстрирует рефлексивную природу корневых и логарифмических функций, поскольку приведенное ниже уравнение справедливо только тогда, когда : ${\displaystyle y=\mathrm {ssrt} (x)}$

${\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=\log _{y}x}$

Как и квадратные корни , квадратный суперкорень x может не иметь единственного решения. В отличие от квадратных корней, определение количества квадратных суперкорней x может быть сложным. В общем случае, если , то x имеет два положительных квадратных суперкорня между 0 и 1; и если , то x имеет один положительный квадратный суперкорень, больший 1. Если x положительный и меньше , то он не имеет никаких действительных квадратных суперкорней, но приведенная выше формула дает счетное бесконечное множество комплексных для любого конечного x, не равного 1. ^[19] Функция использовалась для определения размера кластеров данных . ^[20] ${\displaystyle e^{-1/e}<x<1}$ ${\displaystyle x>1}$ ${\displaystyle e^{-1/e}}$

В : ${\displaystyle x=1}$

$${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)=1+(x-1)-(x-1)^{2}+{\frac {3}{2}}(x-1)^{3}-{\frac {17}{6}}(x-1)^{4}+{\frac {37}{6}}(x-1)^{5}-{\frac {1759}{120}}(x-1)^{6}+{\frac {13279}{360}}(x-1)^{7}+{\mathcal {O}}{\left((x-1)^{8}\right)}}$$

Другие супер-корни

График ${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}_{s}}$

Одной из самых простых и быстрых формул для суперкорня третьей степени является рекурсивная формула. Если то можно использовать: ${\displaystyle y=x^{x^{x}}}$

• ${\displaystyle x_{0}=1}$
• ${\displaystyle x_{n+1}=\exp(W(W(x_{n}\ln y)))}$

Для каждого целого числа n > 2 функция ⁿ x определена и возрастает при x ≥ 1 , и n ¹ = 1 , так что n- й суперкорень x существует при x ≥ 1 . ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$

Однако если использовать линейное приближение, указанное выше, то если −1 < y ≤ 0 , то не может существовать. ${\displaystyle ^{y}x=y+1}$ ${\displaystyle ^{y}{\sqrt {y+1}}_{s}}$

Точно так же, как и квадратный суперкорень, терминология для других суперкорней может быть основана на обычных корнях : «кубические суперкорни» могут быть выражены как ; «4-й суперкорень» может быть выражен как ; и « n- й суперкорень» — это . Обратите внимание, что это может быть определено не однозначно, поскольку может быть более одного n- ^го корня. Например, x имеет один (действительный) суперкорень, если n нечетно , и до двух, если n четно . [ ^{требуется ссылка ]} ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}_{s}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}_{s}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$

Так же, как и в случае расширения тетрации до бесконечной высоты, суперкорень может быть расширен до n = ∞ , будучи хорошо определенным, если 1/ e ≤ x ≤ e . Обратите внимание, что и, таким образом, что . Следовательно, когда он хорошо определен, и, в отличие от обычной тетрации, является элементарной функцией . Например, . ${\displaystyle x={^{\infty }y}=y^{\left[^{\infty }y\right]}=y^{x},}$ ${\displaystyle y=x^{1/x}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{x}}_{s}=x^{1/x}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{2}}_{s}=2^{1/2}={\sqrt {2}}}$

Из теоремы Гельфонда–Шнайдера следует , что суперкорень для любого положительного целого числа n является либо целым числом, либо трансцендентным , и является либо целым числом, либо иррациональным. ^[21] До сих пор остается открытым вопрос, являются ли иррациональные суперкорни трансцендентными в последнем случае. ${\displaystyle {\sqrt {n}}_{s}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n}}_{s}}$

Суперлогарифм

После выбора непрерывно возрастающего (по x ) определения тетрации ^x a соответствующий суперлогарифм или определяется для всех действительных чисел x и a > 1 . ${\displaystyle \operatorname {slog} _{a}x}$ ${\displaystyle \log _{a}^{4}x}$

Функция slog _a  x удовлетворяет:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {slog} _{a}{^{x}a}&=x\\\operatorname {slog} _{a}a^{x}&=1+\operatorname {slog} _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}x&=1+\operatorname {slog} _{a}\log _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}x&\geq -2\end{aligned}}}$

Открытые вопросы

Помимо проблем с расширениями тетрации, существует несколько открытых вопросов, касающихся тетрации, особенно касающихся отношений между числовыми системами, такими как целые числа и иррациональные числа :

• Неизвестно, существует ли положительное целое число n, для которого ⁿ π для , поскольку мы не смогли достаточно точно вычислить количество цифр после запятой в . ^{[22] [ необходимы дополнительные ссылки ]} Аналогично для ⁿ e для , поскольку нам неизвестны другие методы, кроме некоторых прямых вычислений. Фактически, поскольку , то . При условии и , то для . Считается, что ⁿ e не является целым числом для любого положительного целого числа n , ввиду алгебраической независимости , учитывая гипотезу Шануэля . ^[23] ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle n\geq 5}$ ${\displaystyle \log _{10}(e)\cdot {}^{3}e=1656520.36764}$ ${\displaystyle {}^{4}e>2\cdot 10^{1656520}}$ ${\displaystyle {}^{3}\pi <1.35\cdot 10^{18}\ll 10^{1656520}}$ ${\displaystyle \pi <e^{2}}$ ${\displaystyle {}^{4}\pi <{}^{n}e}$ ${\displaystyle n\geq 5}$ ${\displaystyle e,{}^{2}e,{}^{3}e,\dots }$
• Неизвестно, является ли ⁿ q рациональным числом для любого положительного целого числа n и положительного нецелого рационального числа q . ^[21] Например, неизвестно, является ли положительный корень уравнения ⁴ x = 2 рациональным числом. ^{[ необходима ссылка ]}
• Неизвестно, являются ли ^{числа e} π или ^π e рациональными числами или нет.

Приложения

Для каждого графа H на h вершинах и каждого ε > 0 определим

${\displaystyle D=2\uparrow \uparrow 5h^{4}\log(1/\varepsilon ).}$

Тогда каждый граф G на n вершинах с не более чем n ^h /D копиями H можно сделать H -свободным, удалив не более εn ² ребер. ^[24]

Смотрите также

• Функция Аккермана
• Обозначение «Большое О»
• Двойная показательная функция
• Гипероперация
• Повторный логарифм
• Симметричная арифметика индекса уровня

Примечания

1. ⁿ x Рудольфа фон Биттера Рюккера (1982) , введенное Гансом Маурером (1901) и Рубеном Луисом Гудштейном (1947) для тетрации, не следует путать с обозначением ⁿ f ( x ) Альфреда Прингсхайма и Жюля Молька (1907) для обозначения итерированных композиций функций , а также с обозначением ⁿ x с предварительным надстрочным индексом для корней Дэвида Паттерсона Эллермана (1995) .

Ссылки

1. Нейринк, Марк. Исследование арифметических операций. Получено 9 января 2019 г.
2. RL Goodstein (1947). «Трансфинитные ординалы в рекурсивной теории чисел». Журнал символической логики . 12 (4): 123–129. doi :10.2307/2266486. JSTOR  2266486. S2CID  1318943.
3. Н. Бромер (1987). «Суперэкспоненциация». Mathematics Magazine . 60 (3): 169–174. doi :10.1080/0025570X.1987.11977296. JSTOR  2689566.
4. JF MacDonnell (1989). "Некоторые критические точки гиперстепенной функции x x … {\displaystyle x^{x^{\dots }}} ". Международный журнал математического образования . 20 (2): 297–305. doi :10.1080/0020739890200210. MR  0994348.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Power Tower». MathWorld .
6. Hooshmand, MH (2006). «Ультрастепенные и ультраэкспоненциальные функции». Интегральные преобразования и специальные функции . 17 (8): 549–558. doi :10.1080/10652460500422247. S2CID  120431576.
7. "Power Verb". J Vocabulary . J Software . Получено 28.10.2011 .
8. "Пространства" . Получено 2022-02-17 .
9. ДиМодика, Томас. Значения тетрации. Получено 15 октября 2023 г.
10. "Подъем по лестнице гипероператоров: тетрация". math.blogoverflow.com . Блог Stack Exchange Mathematics . Получено 25.07.2019 .
11. Эйлер, Л. «De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus». Акта Акад. Научный. Петрополь. 2 , 29–51, 1783. Перепечатано в книге Эйлера, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Алгебраические комментарии . Лейпциг, Германия: Тойбнер, стр. 350–369, 1921 г. (факсимиле)
12. Müller, M. "Reihenalgebra: What comes beyond exponentiation?" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2013-12-02 . Получено 2018-12-12 .
13. Траппманн, Генрик; Кузнецов, Дмитрий (2010-06-28). "5+ методов для реальной аналитической тетрации" . Получено 2018-12-05 .
14. Эндрю Роббинс. Решение аналитического кусочно-расширенного уравнения тетрации и суперлогарифма. Расширения можно найти во второй части статьи «Начало результатов».
15. Paulsen, W.; Cowgill, S. (март 2017 г.). "Решение F ( z + 1 ) = b F ( z ) {\displaystyle F(z+1)=b^{F(z)}} в комплексной плоскости" (PDF) . Advances in Computational Mathematics . 43 : 1–22. doi :10.1007/s10444-017-9524-1. S2CID  9402035.
16. Кузнецов, Д. (июль 2009 г.). "Решение F ( z + 1 ) = exp ⁡ ( F ( z ) ) {\displaystyle F(z+1)=\exp(F(z))} в комплексной z {\displaystyle z} -плоскости" (PDF) . Математика вычислений . 78 (267): 1647–1670. doi : 10.1090/S0025-5718-09-02188-7 .
17. Кнезер, Х. (1950). «Reelle Analytische Lösungen der Gleichung und verwandter Funktionalgleichungen». Журнал für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке). 187 : 56–67. ${\displaystyle \varphi {\Big (}\varphi (x){\Big )}={\rm {e}}^{x}}$
18. Paulsen, W. (июнь 2018 г.). «Тетрация для комплексных оснований». Advances in Computational Mathematics . 45 : 243–267. doi :10.1007/s10444-018-9615-7. S2CID  67866004.
19. Corless, RM; Gonnet, GH; Hare, DEG; Jeffrey, DJ; Knuth, DE (1996). "О функции Ламберта W" ( PostScript ) . Advances in Computational Mathematics . 5 : 333. arXiv : 1809.07369 . doi :10.1007/BF02124750. S2CID  29028411.
20. Кришнам, Р. (2004), «Эффективная самоорганизация больших беспроводных сенсорных сетей» – Диссертация, БОСТОНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ, ИНЖЕНЕРНЫЙ КОЛЛЕДЖ. стр. 37–40
21. Маршалл, Эш Дж. и Тан, Йирен, «Рациональное число вида aa с иррациональным», Mathematical Gazette 96, март 2012 г., стр. 106–109.
22. Бишофф, Манон (24.01.2024). «Дикое утверждение о силах числа Пи создает трансцендентальную тайну». Scientific American . Архивировано из оригинала 24.04.2024 . Получено 23.04.2024 .
23. Чэн, Чуансюнь; Дитель, Брайан; Херблот, Матильда; Хуан, Цзинцзин; Кригер, Холли; Маркес, Диего; Мейсон, Джонатан; Мереб, Мартин; Уилсон, С. Роберт (2009). «Некоторые следствия гипотезы Шануэля». Журнал теории чисел . 129 : 1464–1467. arXiv : 0804.3550 .
24. Джейкоб Фокс, Новое доказательство леммы об удалении графа, препринт arXiv (2010). arXiv:1006.1300 [math.CO]

• Дэниел Гейслер, Tetration
• Иоаннис Галидакис, О расширении hyper4 до нецелых чисел (без даты, 2006 или ранее) (Более простой и удобный для чтения обзор следующей ссылки)
• Иоаннис Галидакис, О расширении hyper4 и обозначения Кнута со стрелкой вверх на вещественные числа (без даты, 2006 или ранее).
• Роберт Мунафо, Расширение функции hyper4 на действительные числа (Неформальное обсуждение расширения тетрации на действительные числа.)
• Лоде Вандевен, Тетрация квадратного корня из двух . (2004). (Попытка распространить тетрацию на действительные числа.)
• Иоаннис Галидакис, Математика , (Окончательный список литературы по исследованию тетрации. Много информации о функции Ламберта W, римановых поверхностях и аналитическом продолжении.)
• Джозеф Макдонелл, Некоторые критические точки функции гипермощности. Архивировано 17 января 2010 г. на Wayback Machine .
• Дэйв Л. Ренфро, Веб-страницы для бесконечно повторяющихся экспонент
• Кнобель, Р. (1981). «Повторные экспоненты». American Mathematical Monthly . 88 (4): 235–252. doi :10.1080/00029890.1981.11995239.
• Ганс Маурер, «Über die Funktion für ganzzahliges Argument (Abundanzen)». Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft в Гамбурге 4 , (1901), с. 33–50. (Ссылка на использование из статьи Кнобеля.) ${\displaystyle y=x^{[x^{[x(\cdots )]}]}}$ ${\displaystyle \ {^{n}a}}$
• Четвертая операция
• Лука Морони, Странные свойства башни бесконечной силы (https://arxiv.org/abs/1908.05559)

Дальнейшее чтение

• Галидакис, Иоаннис; Вайсштейн, Эрик Вольфганг . "Power Tower". MathWorld . Получено 05.07.2019 .