Двоичная операция

Математическая операция с двумя операндами

Бинарная операция — это правило объединения аргументов и получения ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\circ y}$

В математике бинарная операция или диадическая операция — это правило объединения двух элементов (называемых операндами ) для получения другого элемента. Более формально , бинарная операция — это операция арности два.

Более конкретно, бинарная операция на множестве — это бинарная функция , две области определения и область значений которой являются одним и тем же множеством. Примерами служат знакомые арифметические операции сложения , вычитания и умножения . Другие примеры легко найти в различных областях математики, таких как сложение векторов , умножение матриц и сопряжение в группах .

Бинарная функция, которая включает в себя несколько множеств, иногда также называется бинарной операцией . Например, скалярное умножение векторных пространств принимает скаляр и вектор для получения вектора, а скалярное произведение принимает два вектора для получения скаляра.

Бинарные операции являются краеугольным камнем большинства структур , изучаемых в алгебре , в частности в полугруппах , моноидах , группах , кольцах , полях и векторных пространствах .

Терминология

Точнее, бинарная операция над множеством — это отображение элементов декартова произведения в : ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\times S}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \,f\colon S\times S\rightarrow S.}$

Свойство замкнутости бинарной операции выражает существование результата операции при любой паре операндов. ^[4]

Если не является функцией, а является частичной функцией , то называется частичной бинарной операцией . Например, деление действительных чисел является частичной бинарной операцией, поскольку нельзя делить на ноль : не определено для каждого действительного числа . Как в теории моделей , так и в классической универсальной алгебре бинарные операции должны быть определены для всех элементов . Однако частичные алгебры ^[5] обобщают универсальные алгебры , допуская частичные операции. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\frac {a}{0}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S\times S}$

Иногда, особенно в информатике , термин «бинарная операция» используется для любой бинарной функции .

Свойства и примеры

Типичными примерами бинарных операций являются сложение ( ) и умножение ( ) чисел и матриц, а также композиция функций на одном наборе. Например, ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \times }$

• На множестве действительных чисел — это бинарная операция, поскольку сумма двух действительных чисел является действительным числом. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(a,b)=a+b}$
• На множестве натуральных чисел — это бинарная операция, поскольку сумма двух натуральных чисел — натуральное число. Это другая бинарная операция, чем предыдущая, поскольку множества различны. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(a,b)=a+b}$
• На множестве матриц с действительными элементами — бинарная операция, поскольку сумма двух таких матриц является матрицей. ${\displaystyle M(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle f(A,B)=A+B}$ ${\displaystyle 2\times 2}$
• На множестве матриц с действительными элементами — бинарная операция, поскольку произведение двух таких матриц является матрицей. ${\displaystyle M(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle f(A,B)=AB}$ ${\displaystyle 2\times 2}$
• Для заданного множества пусть будет множеством всех функций . Определим с помощью для всех композицию двух функций и в . Тогда — бинарная операция, поскольку композиция двух функций снова является функцией на множестве (то есть членом ). ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle h\colon C\rightarrow C}$ ${\displaystyle f\colon S\times S\rightarrow S}$ ${\displaystyle f(h_{1},h_{2})(c)=(h_{1}\circ h_{2})(c)=h_{1}(h_{2}(c))}$ ${\displaystyle c\in C}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$

Многие бинарные операции, представляющие интерес как в алгебре, так и в формальной логике, являются коммутативными , удовлетворяющими для всех элементов и в , или ассоциативными , удовлетворяющими для всех , , и в . Многие также имеют тождественные элементы и обратные элементы . ${\displaystyle f(a,b)=f(b,a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S}$

Первые три примера выше являются коммутативными, а все приведенные выше примеры — ассоциативными.

На множестве действительных чисел вычитание , то есть , является бинарной операцией, которая не является коммутативной, поскольку, вообще говоря, . Она также не является ассоциативной, поскольку, вообще говоря, ; например, но . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(a,b)=a-b}$ ${\displaystyle a-b\neq b-a}$ ${\displaystyle a-(b-c)\neq (a-b)-c}$ ${\displaystyle 1-(2-3)=2}$ ${\displaystyle (1-2)-3=-4}$

На множестве натуральных чисел бинарная операция возведения в степень , , не является коммутативной, так как (ср. Уравнение x y = y x ), а также не является ассоциативной, так как . Например, при , , и , , но . При изменении множества на множество целых чисел эта бинарная операция становится частичной бинарной операцией, так как теперь она не определена, когда и является любым отрицательным целым числом. Для любого множества эта операция имеет правую тождественность (которая равна ), так как для всех в множестве, что не является тождеством (двусторонним тождеством), так как в общем случае. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(a,b)=a^{b}}$ ${\displaystyle a^{b}\neq b^{a}}$ ${\displaystyle f(f(a,b),c)\neq f(a,f(b,c))}$ ${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle b=3}$ ${\displaystyle c=2}$ ${\displaystyle f(2^{3},2)=f(8,2)=8^{2}=64}$ ${\displaystyle f(2,3^{2})=f(2,9)=2^{9}=512}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f(a,1)=a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(1,b)\neq b}$

Деление ( ), частичная бинарная операция на множестве действительных или рациональных чисел, не является коммутативной или ассоциативной. Тетрация ( ), как бинарная операция на натуральных числах, не является коммутативной или ассоциативной и не имеет единичного элемента. ${\displaystyle \div }$ ${\displaystyle \uparrow \uparrow }$

Обозначение

Бинарные операции часто записываются с использованием инфиксной нотации, такой как , или (путем сопоставления без символа), а не с помощью функциональной нотации формы . Степени обычно также записываются без оператора, но со вторым аргументом в качестве верхнего индекса . ${\displaystyle a\ast b}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle a\cdot b}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle f(a,b)}$

Бинарные операции иногда записываются с использованием префиксной или (чаще) постфиксной нотации, обе из которых обходятся без скобок. Их также называют, соответственно, польской нотацией и обратной польской нотацией . ${\displaystyle \ast ab}$ ${\displaystyle ab\ast }$

Бинарные операции как тернарные отношения

Бинарную операцию на множестве можно рассматривать как тернарное отношение на , то есть множество троек в для всех и в . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (a,b,f(a,b))}$ ${\displaystyle S\times S\times S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle S}$

Другие бинарные операции

Например, скалярное умножение в линейной алгебре . Здесь — поле , а — векторное пространство над этим полем. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$

Также скалярное произведение двух векторов отображается в , где — поле, а — векторное пространство над . От авторов зависит, будет ли это считаться бинарной операцией. ${\displaystyle S\times S}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K}$

Смотрите также

• Категория:Свойства бинарных операций
• Повторяющаяся бинарная операция  – повторное применение операции к последовательности.
• Магма (алгебра)  – алгебраическая структура с бинарной операцией
• Оператор (программирование)  – конструкция, связанная с математической операцией в компьютерных программах.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Тернарная операция  – математическая операция, которая объединяет три элемента для получения другого элемента.
• Таблица истинности § Бинарные операции
• Унарная операция  – математическая операция только с одним операндом.

Примечания

1. Ротман 1973, стр. 1
2. Харди и Уокер 2002, стр. 176, Определение 67
3. Фрейли 1976, стр. 10
4. Холл 1959, стр. 1
5. Джордж А. Гретцер (2008). Универсальная алгебра (2-е изд.). Springer Science & Business Media. Глава 2. Частичные алгебры. ISBN 978-0-387-77487-9.

Ссылки

• Фрейли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
• Холл, Маршалл-младший (1959), Теория групп , Нью-Йорк: Macmillan
• Харди, Дэрел В.; Уокер, Кэрол Л. (2002), Прикладная алгебра: коды, шифры и дискретные алгоритмы , Аппер Сэдл Ривер, Нью-Джерси: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8
• Ротман, Джозеф Дж. (1973), Теория групп: Введение (2-е изд.), Бостон: Allyn and Bacon

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Двоичная операция». MathWorld .