Ноль в степени ноль

Ноль в степени нуля , обозначаемый как $00$ , — это математическое выражение , которое либо определяется как 1, либо остается неопределенным в зависимости от контекста. В алгебре и комбинаторике обычно определяют $00 = 1$ . В математическом анализе выражение иногда остается неопределенным. Языки программирования и программное обеспечение также имеют различные способы обработки этого выражения.

Дискретные показатели степеней

Многие широко используемые формулы, включающие натуральные показатели , требуют, чтобы $00$ было определено как $1.$ Например, следующие три интерпретации $b 0$ имеют такой же смысл для $b = 0,$ как и для положительных целых чисел $b$ :

Интерпретация $b 0$ как пустого произведения присваивает ему значение $1$ .
Комбинаторная интерпретация b $0$ — это количество 0-кортежей элементов из $набора$ $b$ -элементов; имеется ровно один 0-кортеж.
Теоретико -множественная интерпретация b $0 —$ это число функций из пустого множества в множество из $b$ -элементов; существует ровно одна такая функция, а именно, пустая функция . ^[1]

Все три из них специализируются на выдаче $00 = 1$ .

Многочлены и степенные ряды

При оценке многочленов удобно определять $00$ как $1$ . (Действительный) многочлен — это выражение вида $a 0 x 0 + \cdot\cdot\cdot + a n x n$ , где $x$ — неопределенность, а коэффициенты $a i$ — действительные числа . Многочлены складываются почленно и умножаются с применением распределительного закона и обычных правил для экспонент. С помощью этих операций многочлены образуют кольцо $R [x]$ . Мультипликативное тождество $R [x]$ — это многочлен $x 0$ ; то есть $x 0$ умноженное на любой многочлен $p (x)$ есть просто $p (x)$ . ^[2] Кроме того, многочлены можно оценить, специализировав $x$ на действительном числе. Точнее, для любого заданного действительного числа $r$ существует единственный унитальный гомоморфизм R $-алгебры ev r : R [x] \to R$ такой, что $ev r (x) = r$ . Поскольку $ev r$ унитальна, $ev r (x 0) = 1$ . То есть, $r 0 = 1$ для каждого действительного числа $r$ , включая 0. Тот же аргумент применим к $R,$ замененному любым кольцом . ^[3]

Определение $00 = 1$ необходимо для многих полиномиальных тождеств. Например, биномиальная теорема справедлива для $x$ $= 0$ только если $0$ $0$ $= 1$ . ^[4] ${\textstyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}}$

Аналогично, кольца степенных рядов требуют , чтобы $x 0$ был определен как 1 для всех специализаций $x$ . Например, тождества типа и справедливы для $x$ $= 0$ только если $0$ $0$ $= 1$ . ^[5] ${\textstyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}$ ${\textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

Для того чтобы многочлен $x 0$ определял непрерывную функцию $R \to R$ , необходимо определить $00 = 1$ .

В исчислении правило мощности справедливо для $n$ $= 1$ при $x$ $= 0$ только если $0$ $0$ $= 1$ . ${\textstyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}$

Непрерывные показатели степеней

График $z = x y$ . Красные кривые (с постоянным $z$ ) дают разные пределы по мере того, как $(x, y)$ приближается к $(0, 0)$ . Зеленые кривые (с конечным постоянным наклоном, $y = ax$ ) все дают предел $1$ .

Пределы, включающие алгебраические операции, часто можно вычислить, заменив подвыражения их пределами; если полученное выражение не определяет исходный предел, выражение известно как неопределенная форма . ^[6] Выражение $00$ является неопределенной формой: заданы действительные функции $f (t)$ и $g (t),$ стремящиеся к $0$ (по мере того как $t$ приближается к действительному числу или $\pm\infty$ ) с $f (t) > 0$ , предел $f (t) g (t)$ может быть любым неотрицательным действительным числом или $+\infty$ , или он может расходиться в зависимости от $f$ и $g$ . Например, каждый предел ниже включает функцию $f (t) g (t)$ с $f (t), g (t) \to 0$ при $t \to 0 +$ ( односторонний предел ), но их значения различны: $\lim _{t\to 0^{+}}{t}^{t}=1,$ $\lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-1/t^{2}}\right)^{t}=0,$ $\lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-1/t^{2}}\right)^{-t}=+\infty ,$ $\lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-1/t}\right)^{at}=e^{-a}.$

Таким образом, функция двух переменных $x y$ , хотя и непрерывна на множестве ${(x, y) : x > 0}$ , не может быть расширена до непрерывной функции на ${(x, y) : x > 0} \cup {(0, 0)}$ , независимо от того, как мы определяем $00$ . ^[7]

С другой стороны, если $f$ и $g$ являются аналитическими функциями в открытой окрестности числа $c$ , то $f (t) g (t) \to 1$ при приближении $t$ $к c$ с любой стороны, с которой $f$ положительно. ^[8] Этот и более общие результаты могут быть получены путем изучения предельного поведения функции . ^[9]^[10] ${\textstyle \log(f(t)^{g(t)})=g(t)\log f(t)}$

Комплексные показатели степеней

В комплексной области функция $z w$ может быть определена для ненулевого $z$ путем выбора ветви log $z$ и определения $z$ $w$ как $e$ $w$ $log$ $z$ . Это не определяет $0$ $w ,$ поскольку нет ветви $log$ $z ,$ $определенной$ при $z$ $= 0$ , не говоря уже о окрестности $0$ . ^[11]^[12]^[13]

История

Как ценность

В 1752 году Эйлер в Introductio in analysin infinitorum написал, что $a 0 = 1$ ^[14] и прямо упомянул, что $00 = 1$ . ^[15] Аннотация, приписываемая ^[16]Маскерони в издании 1787 года книги Эйлера Institutiones calculi Differentialis^[17], предлагала «обоснование»

$0^{0}=(aa)^{nn}={\frac {(aa)^{n}}{(aa)^{n}}}=1$

а также другое более сложное обоснование. В 1830-х годах Либри ^[18]^[16] опубликовал несколько дополнительных аргументов, пытающихся оправдать утверждение $00 = 1$ , хотя они были далеки от убедительности, даже по стандартам строгости того времени. ^[19]

Как предельная форма

Эйлер, устанавливая $00 = 1$ , отметил, что, следовательно, значения функции $0 x$ совершают «огромный скачок» от $\infty$ при $x < 0$ до $1$ при $x = 0$ и до $0$ при $x > 0.$ ^[14] В 1814 году Пфафф использовал аргумент теоремы сжатия , чтобы доказать, что $x x \to 1$ при $x \to 0 +$ . ^[8]

С другой стороны, в 1821 году Коши ^[20] объяснил, почему предел $x y$ , когда положительные числа $x$ и $y$ стремятся к $0$ , будучи ограничены некоторым фиксированным отношением, может быть сделан принимающим любое значение между $0$ и $\infty,$ выбрав отношение соответствующим образом. Он вывел, что предел полной двухпеременной функции $x y$ без указанного ограничения является «неопределенным». С этим обоснованием он перечислил $00$ вместе с выражениями типа $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠0/0⁠$ в таблице неопределенных форм .

По-видимому, не зная о работе Коши, Мёбиус ^[8] в 1834 году, основываясь на аргументе Пфаффа, неверно утверждал, что $f (x) g (x) \to 1$ всякий раз, когда $f (x), g (x) \to 0$ , когда $x$ приближается к числу $c$ (предположительно, $f$ предполагается положительным вдали от $c$ ). Мёбиус свел дело к случаю $c = 0$ , но затем допустил ошибку, предположив, что каждое из $f$ и $g$ может быть выражено в виде $Px n$ для некоторой непрерывной функции $P,$ не исчезающей в $0,$ и некоторого неотрицательного целого числа $n$ , что верно для аналитических функций, но не в общем случае. Анонимный комментатор указал на неоправданный шаг; ^[21] Затем другой комментатор, подписавшийся просто как «S», привел явные контрпримеры $(e -1/ x) x \to e -1$ и $(e -1/ x) 2 x \to e -2$ при $x \to 0 +$ и выразил ситуацию, написав, что « $00$ может иметь много разных значений». ^[21]

Текущая ситуация

Некоторые авторы определяют $00$ как $1$ , потому что это упрощает многие утверждения теорем. Согласно Бенсону (1999), «Выбор определения $00$ основан на удобстве, а не на корректности. Если мы воздержимся от определения $00$ , то некоторые утверждения станут излишне неуклюжими. ... Консенсус заключается в том, чтобы использовать определение $00 = 1$ , хотя есть учебники, которые воздерживаются от определения $00$ ». ^[22] Кнут (1992) более решительно утверждает, что $00$ « должно быть $1$ »; он проводит различие между значением $00$ , которое должно быть равно $1$ , и предельной формой $00$ (сокращение для предела $f (t) g (t),$ где $f (t), g (t) \to 0$ ), которая является неопределенной формой: «И Коши, и Либри были правы, но Либри и его защитники не понимали, почему истина была на их стороне». ^[19]
Другие авторы оставляют $00$ неопределенным, поскольку $00$ является неопределенной формой: $f (t), g (t) \to 0$ не подразумевает $f (t) g (t) \to 1$ . ^[23]^[24]

Кажется, нет ни одного автора, который бы приписывал $00$ определенное значение, отличное от 1. ^[22]

Лечение на компьютерах

Стандарт IEEE с плавающей точкой

Стандарт IEEE 754-2008 с плавающей точкой используется при проектировании большинства библиотек с плавающей точкой. Он рекомендует ряд операций для вычисления степени: ^[25]

pown(показатель степени которого является целым числом) обрабатывает $00$ как $1$ ; см. § Дискретные показатели степени.
pow(чье намерение состоит в том, чтобы вернуть результат, отличный от NaN , когда показатель степени является целым числом, например pown) обрабатывает $00$ как $1$ .
powrобрабатывает $00$ как NaN (не число) из-за неопределенной формы; см. § Непрерывные показатели.

Вариант powвдохновлен функцией powиз C99 , в основном для совместимости. ^[26] Он полезен в основном для языков с единственной функцией мощности. Варианты pownи powrбыли введены из-за противоречивого использования функций мощности и различных точек зрения (как указано выше). ^[27]

Языки программирования

Стандарты C и C++ не определяют результат $00$ (может возникнуть ошибка домена). Но для C, начиная с C99 , если поддерживается нормативное приложение F, результат для вещественных типов с плавающей точкой должен быть $1,$ поскольку существуют важные приложения, для которых это значение более полезно, чем NaN ^[28] (например, с дискретными показателями); результат для сложных типов не указан, даже если поддерживается информативное приложение G. Стандарт Java , ^[29] метод .NET Framework , ^[30]Julia и Python ^[31]^[32] также рассматривают $0$ $0$ как $1.$ Некоторые языки документируют, что их операция возведения в степень соответствует функции из математической библиотеки C ; это касается оператора Lua ^[33] и оператора Perl ^[34] (где явно указано, что результат зависит от платформы). System.Math.Pow pow^**0**0

Математическое и научное программное обеспечение

R , ^[35] SageMath , ^[36] и PARI/GP ^[37] оценивают $x 0$ до $1$ . Mathematica ^[38] упрощает $x 0$ до $1 , даже если на$ $x$ не наложено никаких ограничений ; однако, если $00$ вводится напрямую, это рассматривается как ошибка или неопределенность. Mathematica ^[38] и PARI/GP ^[37]^[39] дополнительно различают целые и плавающие значения: если показатель степени равен нулю целочисленного типа, они возвращают 1 $типа$ основания; возведение в степень с плавающей точкой, имеющей значение ноль, рассматривается как неопределенная, неопределенная или ошибочная.

Смотрите также

Ссылки

^ Бурбаки, Николя (2004). "III.§3.5". Элементы математики, теория множеств . Springer-Verlag .
^ Бурбаки, Николя (1970). «§III.2 № 9». Алгебра . Спрингер . Уникальный мононом степени $0$ - это единый элемент $A$ $[($ $X$ $i$ $)$ $i$ $\in$ $I$ $]$ ; на l'identify souvent à l'élement unité $1$ de $A$
^ Бурбаки, Николя (1970). «§IV.1 №3». Алгебра . Спрингер .
^ Грэм, Рональд ; Кнут, Дональд ; Паташник, Орен (1989-01-05). "Биномиальные коэффициенты". Конкретная математика (1-е изд.). Addison-Wesley Longman Publishing Co., стр. 162. ISBN 0-201-14236-8. Некоторые учебники оставляют величину $00$ неопределенной, потому что функции $x 0$ и $0 x$ имеют разные предельные значения, когда $x$ уменьшается до 0. Но это ошибка. Мы должны определить $x 0 = 1$ для всех $x$ , если теорема о биноме должна быть справедливой, когда $x = 0$ , $y = 0$ и/или $x = - y$ . Теорема о биноме слишком важна, чтобы ее произвольно ограничивать! Напротив, функция $0 x$ совершенно не важна.
^ Вон, Герберт Э. (1970). «Выражение $0$ $0$ ». Учитель математики . 63 : 111–112.
^ Малик, SC; Арора, Савита (1992). Математический анализ . Нью-Йорк, США: Wiley. стр. 223. ISBN 978-81-224-0323-7. В общем случае предел $φ (x)/ ψ (x)$ при $x = a$ в случае, если пределы обеих функций существуют, равен пределу числителя, делённому на знаменатель. Но что происходит, когда оба предела равны нулю? Деление ( $0/0$ ) тогда становится бессмысленным. Такой случай известен как неопределённая форма. Другими такими формами являются $\infty/\infty$ , $0 \times \infty$ , $\infty - \infty$ , $00$ , $1 \infty$ и $\infty 0$ .
↑ Paige, LJ (март 1954 г.). «Заметка о неопределенных формах». American Mathematical Monthly . 61 (3): 189–190. doi :10.2307/2307224. JSTOR 2307224.
^ abc Мёбиус, AF (1834). «Beweis der Gleichung 00 = 1, nach JF Pfaff» [Доказательство уравнения $0$ $0$ $= 1$ по Дж. Ф. Пфаффу]. Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке). 1834 (12): 134–136. дои : 10.1515/crll.1834.12.134. S2CID 199547186.
^ Бэксли, Джон В.; Хаяши, Элмер К. (июнь 1978 г.). «Неопределенные формы экспоненциального типа». The American Mathematical Monthly . 85 (6): 484–486. doi :10.2307/2320074. JSTOR 2320074. Получено 23 ноября 2021 г.
^ Сяо, Цзиньсэнь; Хэ, Цзяньсюнь (декабрь 2017 г.). «О неопределенных формах экспоненциального типа». Mathematics Magazine . 90 (5): 371–374. doi :10.4169/math.mag.90.5.371. JSTOR 10.4169/math.mag.90.5.371. S2CID 125602000. Получено 23.11.2021 .
^ Кэрриер, Джордж Ф.; Крук, Макс; Пирсон, Карл Э. (2005). Функции комплексной переменной: теория и техника . стр. 15. ISBN 0-89871-595-4. Поскольку $log(0)$ не существует, $0 z$ не определено. Для $Re(z) > 0$ мы определяем его произвольно как $0$ .
^ Гонсалес, Марио (1991). Классический комплексный анализ . Chapman & Hall . стр. 56. ISBN 0-8247-8415-4. Для $z = 0$ , $w \neq 0$ , мы определяем $0 w = 0$ , в то время как $00$ не определено.
^ Мейерсон, Марк Д. (июнь 1996 г.). "The $x$ $x$ Spindle". Mathematics Magazine . Vol. 69, no. 3. pp. 198–206. doi :10.1080/0025570X.1996.11996428. ... Начнем с $x$ $= 0.$ Здесь $x$ $x$ не определено.
^ ab Euler, Leonhard (1988). "Глава 6, §97". Введение в анализ бесконечности, Книга 1. Перевод Blanton, JD Springer. стр. 75. ISBN 978-0-387-96824-7.
^ Эйлер, Леонард (1988). "Глава 6, §99". Введение в анализ бесконечности, Книга 1. Перевод Блэнтона, Дж. Д. Спрингера. стр. 76. ISBN 978-0-387-96824-7.
^ аб Либри, Гийом (1833). «Mémoire sur les fonctions прекращает свое существование». Journal für die reine und angewandte Mathematik (на французском языке). 1833 (10): 303–316. дои : 10.1515/crll.1833.10.303. S2CID 121610886.
^ Эйлер, Леонард (1787). Institutiones Calculi Differentialis, Vol. 2. Тичини. ISBN 978-0-387-96824-7.
^ Либри, Гийом (1830). «Примечание к значениям функции $0$ $0$ $x$ ». Journal für die reine und angewandte Mathematik (на французском языке). 1830 (6): 67–72. дои : 10.1515/crll.1830.6.67. S2CID 121706970.
^ ab Knuth, Donald E. (1992). «Две заметки о нотации». The American Mathematical Monthly . 99 (5): 403–422. arXiv : math/9205211 . Bibcode :1992math......5211K. doi :10.1080/00029890.1992.11995869.
^ Коши, Огюстен-Луи (1821), Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique , Oeuvres Complètes: 2 (на французском языке), том. 3, стр. 65–69.
^ аб Аноним (1834). «Bemerkungen zu dem Aufsatze überschrieben «Beweis der Gleichung 00 = 1 , nach JF Pfaff» » [Замечания к сочинению «Доказательство уравнения $0$ $0$ $= 1 по Дж. Ф. Пфаффу»].$ Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке). 1834 (12): 292–294. дои : 10.1515/crll.1834.12.292.
^ ab Benson, Donald C. (1999). Написано в Нью-Йорке, США. Момент доказательства: математические прозрения . Оксфорд, Великобритания: Oxford University Press . стр. 29. ISBN 978-0-19-511721-9.
^ Эдвардс; Пенни (1994). Исчисление (4-е изд.). Prentice-Hall . стр. 466.
^ Киди; Биттингер; Смит (1982). Алгебра Два . Эддисон-Уэсли . стр. 32.
^ Мюллер, Жан-Мишель; Бризебар, Николя; де Динешен, Флоран; Жаннерод, Клод-Пьер; Лефевр, Винсент; Мелькионд, Гийом; Револь, Натали ; Стеле, Дэмиен; Торрес, Серж (2010). Справочник по арифметике с плавающей запятой (1-е изд.). Биркхойзер . п. 216. дои : 10.1007/978-0-8176-4705-6. ISBN 978-0-8176-4704-9. LCCN 2009939668. S2CID 5693480. ISBN 978-0-8176-4705-6 (онлайн), ISBN 0-8176-4704-X (печатная версия)
^ "Больше трансцендентальных вопросов". IEEE . Архивировано из оригинала 2017-11-14 . Получено 2019-05-27 .(Примечание. Начало обсуждения степенных функций для пересмотра стандарта IEEE 754, май 2007 г.)
^ "Re: Неопределенная спецификация". IEEE . Архивировано из оригинала 2017-11-14 . Получено 2019-05-27 .(Примечание. Предложение вариантов в обсуждении степенных функций для пересмотра стандарта IEEE 754, май 2007 г.)
^ Обоснование международного стандарта — Языки программирования — C (PDF) (Отчет). Редакция 5.10. Апрель 2003 г. стр. 182.
^ "Математика (Java Platform SE 8) pow". Oracle.
^ «Метод Math.Pow библиотеки классов .NET Framework». Microsoft.
^ "Built-in Types — Python 3.8.1 documentation" . Получено 2020-01-25 . Python определяет pow(0, 0) и 0 ** 0 как $1$ , как это принято в языках программирования.
^ "math — Mathematical functions — Python 3.8.1 documentation" . Получено 2020-01-25 . Исключительные случаи следуют приложению 'F' стандарта C99, насколько это возможно. В частности, pow(1.0, x) и pow(x, 0.0) всегда возвращают 1.0, даже если x равен нулю или NaN .
^ "Lua 5.3 Справочное руководство" . Получено 2019-05-27 .
^ "perlop – Возведение в степень" . Получено 2019-05-27 .
^ Основная команда R (2023-06-11). "R: Язык и среда для статистических вычислений – Справочный указатель" (PDF) . Версия 4.3.0. стр. 25. Получено 2019-11-22 . и всегда равны 1.1 ^ yy ^ 0
^ Команда разработчиков Sage (2020). "Справочное руководство по Sage 9.2: Стандартные коммутативные кольца. Элементы кольца Z целых чисел" . Получено 21.01.2021 . Для согласованности с Python и MPFR 0^0 в Sage определено как 1.
^ ab "pari.git / commitdiff – 10- x ^ t_FRAC: вернуть точный результат, если это возможно; например, 4^(1/2) теперь равно 2" . Получено 10.09.2018 .
^ ab "Wolfram Language & System Documentation: Power". Wolfram . Получено 2018-08-02 .
^ Группа PARI (2018). "Руководство пользователя PARI/GP (версия 2.11.0)" (PDF) . стр. 10, 122 . Получено 04.09.2018 . Существует также оператор возведения в степень ^, когда показатель степени имеет тип integer; в противном случае он рассматривается как трансцендентная функция. ... Если показатель степени $n$ является целым числом, то точные операции выполняются с использованием методов бинарного (сдвиг влево) возведения в степень. ... Если показатель степени $n$ не является целым числом, возведение в степень рассматривается как трансцендентная функция $exp($ $n$ $log$ $x$ $)$ .

Внешние ссылки

FAQ по sci.math: Что такое 00?
Чему равно 00 (ноль в нулевой степени)? на AskAMathematician.com