Соленоидальное векторное поле

Вектор поля с нулевой дивергенцией

Пример соленоидального векторного поля, ${\displaystyle \mathbf {v} (x,y)=(y,-x)}$

В векторном исчислении соленоидальное векторное поле (также известное как несжимаемое векторное поле , бездивергентное векторное поле или поперечное векторное поле ) — это векторное поле v с нулевой дивергенцией во всех точках поля: Обычный способ выражения этого свойства — сказать, что поле не имеет источников или стоков. ^{[примечание 1]} $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0.}$$

Характеристики

Теорема о дивергенции дает эквивалентное интегральное определение соленоидального поля, а именно, что для любой замкнутой поверхности суммарный поток через поверхность должен быть равен нулю:

${\displaystyle \;\;\mathbf {v} \cdot \,d\mathbf {S} =0,}$

где — внешняя нормаль к каждому элементу поверхности. ${\displaystyle d\mathbf {S} }$

Основная теорема векторного исчисления гласит, что любое векторное поле может быть выражено как сумма безвихревого и соленоидального полей. Условие нулевой дивергенции выполняется всякий раз, когда векторное поле v имеет только компоненту векторного потенциала , поскольку определение векторного потенциала A как: автоматически приводит к тождеству (как можно показать, например, с помощью декартовых координат): Обратное также верно: для любого соленоидального v существует векторный потенциал A такой, что (Строго говоря, это выполняется при определенных технических условиях на v , см. разложение Гельмгольца .) $${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} }$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0.}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} .}$

Этимология

Слово «соленоидальный» происходит от греческого слова σωληνοειδές (sōlēnoeidēs), что означает «трубчатый», от σωλην (sōlēn) или труба.

Примеры

• Магнитное поле B (см. закон Гаусса для магнетизма )
• Поле скоростей потока несжимаемой жидкости
• Поле вихреобразования​
• Электрическое поле E в нейтральных областях ( ); ${\displaystyle \rho _{e}=0}$
• Плотность тока J при неизменной плотности заряда . ${\textstyle {\frac {\partial \rho _{e}}{\partial t}}=0}$
• Магнитный векторный потенциал А в кулоновской калибровке

Смотрите также

• Продольные и поперечные векторные поля
• Функция потока
• Консервативное векторное поле

Примечания

1. Это утверждение не означает, что линии поля соленоидального поля должны быть замкнутыми, или что они не могут начинаться или заканчиваться. Для подробного обсуждения предмета см. J. Slepian: "Lines of Force in Electric and Magnetic Fields", American Journal of Physics, т. 19, стр. 87-90, 1951, и L. Zilberti: "The Misconception of Closed Magnetic Flux Lines", IEEE Magnetics Letters, т. 8, ст. 1306005, 2017.

Ссылки

• Арис, Резерфорд (1989), Векторы, тензоры и основные уравнения механики жидкости, Довер, ISBN 0-486-66110-5