Несжимаемый поток

Течение жидкости, в котором плотность остается постоянной

В механике жидкости или, в более общем смысле, механике сплошной среды , несжимаемый поток ( изохорный поток ) относится к потоку , в котором материальная плотность каждой порции жидкости — бесконечно малого объема, движущегося со скоростью потока — неизменна во времени. Эквивалентное утверждение, подразумевающее несжимаемый поток , заключается в том, что дивергенция скорости потока равна нулю (см. вывод ниже, который иллюстрирует, почему эти условия эквивалентны).

Несжимаемый поток не означает, что сама жидкость несжимаема. В выводе ниже показано, что при правильных условиях даже поток сжимаемых жидкостей может быть смоделирован в хорошем приближении как несжимаемый поток.

Вывод

Фундаментальное требование для несжимаемого потока заключается в том, что плотность, , постоянна в пределах малого элементарного объема, dV , который движется со скоростью потока u . Математически это ограничение подразумевает, что материальная производная (обсуждаемая ниже) плотности должна исчезать, чтобы обеспечить несжимаемый поток. Перед введением этого ограничения мы должны применить закон сохранения массы , чтобы получить необходимые соотношения. Масса вычисляется с помощью объемного интеграла плотности, : ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {m}={\iiint \limits _{V}\!\rho \,\mathrm {d} V}.}$

Сохранение массы требует, чтобы производная массы по времени внутри контрольного объема была равна потоку массы, J , через его границы. Математически мы можем представить это ограничение в терминах поверхностного интеграла :

${\displaystyle {\partial m \over \partial t}=-}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

Отрицательный знак в приведенном выше выражении гарантирует, что исходящий поток приводит к уменьшению массы по отношению ко времени, используя соглашение, что вектор площади поверхности указывает наружу. Теперь, используя теорему о дивергенции, мы можем вывести соотношение между потоком и частной производной по времени плотности:

${\displaystyle {\iiint \limits _{V}{\partial \rho \over \partial t}\,\mathrm {d} V}={-\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} V},}$

поэтому:

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}=-\nabla \cdot \mathbf {J} .}$

Частная производная плотности по времени не обязательно должна обращаться в нуль, чтобы обеспечить несжимаемый поток . Когда мы говорим о частной производной плотности по времени, мы имеем в виду эту скорость изменения в пределах контрольного объема фиксированного положения . Позволяя частной производной плотности по времени быть ненулевой, мы не ограничиваемся несжимаемыми жидкостями , поскольку плотность может изменяться, как наблюдается из фиксированного положения, по мере того, как жидкость протекает через контрольный объем. Этот подход сохраняет общность, и отсутствие требования, чтобы частная производная плотности по времени обращалась в нуль, иллюстрирует, что сжимаемые жидкости все еще могут подвергаться несжимаемому потоку. Нас интересует изменение плотности контрольного объема, который движется вместе со скоростью потока, u . Поток связан со скоростью потока через следующую функцию:

${\displaystyle {\mathbf {J} }={\rho \mathbf {u} }.}$

Итак, сохранение массы подразумевает, что:

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }+{\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}=0.}$

Предыдущее соотношение (где мы использовали соответствующее правило произведения ) известно как уравнение непрерывности . Теперь нам нужно следующее соотношение относительно полной производной плотности (где мы применяем цепное правило ):

${\displaystyle {\mathrm {d} \rho \over \mathrm {d} t}={\partial \rho \over \partial t}+{\partial \rho \over \partial x}{\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial y}{\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial z}{\mathrm {d} z \over \mathrm {d} t}.}$

Поэтому, если мы выберем контрольный объем, который движется с той же скоростью, что и жидкость (т.е. ( dx / dt ,  dy / dt ,  dz / dt ) =  u ), то это выражение упрощается до материальной производной :

${\displaystyle {D\rho \over Dt}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }.}$

Итак, используя уравнение непрерывности, выведенное выше, мы видим, что:

${\displaystyle {D\rho \over Dt}={-\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}.}$

Изменение плотности с течением времени означало бы, что жидкость либо сжалась, либо расширилась (или что масса, содержащаяся в нашем постоянном объеме, dV , изменилась), что мы запретили. Затем мы должны потребовать, чтобы материальная производная плотности исчезла, и, что эквивалентно (для ненулевой плотности), то же самое должно произойти и с дивергенцией скорости потока:

${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {u} }=0.}$

Итак, исходя из закона сохранения массы и ограничения, что плотность внутри движущегося объема жидкости остается постоянной, было показано, что эквивалентным условием, необходимым для несжимаемого потока, является исчезновение дивергенции скорости потока.

Отношение к сжимаемости

В некоторых областях мерой несжимаемости потока является изменение плотности в результате изменения давления. Это лучше всего выражается через сжимаемость

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} p}}.}$

Если сжимаемость приемлемо мала, поток считается несжимаемым.

Отношение к соленоидальному полю

Несжимаемый поток описывается соленоидальным полем скорости потока. Но соленоидальное поле, помимо нулевой дивергенции , также имеет дополнительный смысл, заключающийся в наличии ненулевого ротора (т.е. вращательного компонента).

В противном случае, если несжимаемый поток также имеет ротор, равный нулю, так что он также является безвихревым , то поле скорости потока фактически является лапласовым .

Отличие от материала

Как было определено ранее, несжимаемый (изохорный) поток – это поток, в котором

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0.\,}$

Это эквивалентно утверждению, что

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0}$

т. е. материальная производная плотности равна нулю. Таким образом, если следовать материальному элементу, его массовая плотность остается постоянной. Обратите внимание, что материальная производная состоит из двух членов. Первый член описывает, как плотность материального элемента изменяется со временем. Этот член также известен как нестационарный член . Второй член описывает изменения плотности по мере того, как материальный элемент перемещается из одной точки в другую. Это адвективный член (конвективный член для скалярного поля). Для того, чтобы поток учитывался как несжимаемый, аккреционная сумма этих членов должна исчезать. ${\displaystyle {\tfrac {\partial \rho }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \rho }$

С другой стороны, однородный, несжимаемый материал — это материал, который имеет постоянную плотность по всей длине. Для такого материала . Это означает, что, ${\displaystyle \rho ={\text{constant}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0}$и

${\displaystyle \nabla \rho =0}$ независимо .

Из уравнения непрерывности следует, что

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0\ \Rightarrow \ \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

Таким образом, однородные материалы всегда испытывают поток, который является несжимаемым, но обратное неверно. То есть, сжимаемые материалы могут не испытывать сжатия в потоке.

Сопутствующие ограничения потока

В гидродинамике поток считается несжимаемым, если дивергенция скорости потока равна нулю. Однако иногда можно использовать связанные формулировки, в зависимости от моделируемой системы потока. Некоторые версии описаны ниже:

1. Несжимаемый поток : . Это может предполагать либо постоянную плотность (строгая несжимаемость), либо переменную плотность потока. Набор переменной плотности принимает решения, включающие малые возмущения в полях плотности , давления и/или температуры, и может допускать стратификацию давления в области. ${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {u} =0}}$
2. Неупругий поток :. В основном используемый в области атмосферных наук , неупругое ограничение расширяет применимость несжимаемого потока до стратифицированной плотности и/или температуры, а также давления. Это позволяет термодинамическим переменным релаксировать до «атмосферного» базового состояния, наблюдаемого в нижней атмосфере при использовании в области метеорологии, например. Это условие также может использоваться для различных астрофизических систем. ^[1] ${\displaystyle {\nabla \cdot \left(\rho _{o}\mathbf {u} \right)=0}}$
3. Низкое число Маха потока , или псевдонесжимаемость :. Ограничение низкого числа Маха может быть получено из сжимаемых уравнений Эйлера с использованием масштабного анализа безразмерных величин. Ограничение, как и предыдущее в этом разделе, позволяет удалять акустические волны, но также допускает большие возмущения плотности и/или температуры. Предполагается, что поток остается в пределах числа Маха (обычно меньше 0,3) для того, чтобы любое решение, использующее такое ограничение, было действительным. Опять же, в соответствии со всеми несжимаемыми потоками отклонение давления должно быть малым по сравнению с базовым давлением. ^[2] ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta }$

Эти методы делают различные предположения о потоке, но все они учитывают общую форму ограничения для общих функций, зависящих от потока , и . ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Численные приближения

Строгий характер уравнений несжимаемого потока означает, что для их решения были разработаны специальные математические методы. Некоторые из этих методов включают:

1. Метод проекции (как приближенный, так и точный)
2. Метод искусственной сжимаемости (приблизительный)
3. Предварительное кондиционирование сжимаемости

Смотрите также

• принцип Бернулли
• Уравнения Эйлера (гидродинамика)
• Уравнения Навье–Стокса

Ссылки

1. Дюрран, ДР (1989). «Улучшение неупругого приближения» (PDF) . Журнал атмосферных наук . 46 (11): 1453–1461. Бибкод : 1989JAtS...46.1453D. doi :10.1175/1520-0469(1989)046<1453:ITAA>2.0.CO;2. ISSN  1520-0469. ^{[ мертвая ссылка ]}
2. Almgren, AS; Bell, JB; Rendleman, CA; Zingale, M. (2006). "Моделирование сверхновых звезд типа Ia при малых числах Маха. I. Гидродинамика" (PDF) . Astrophysical Journal . 637 (2): 922–936. arXiv : astro-ph/0509892 . Bibcode :2006ApJ...637..922A. doi :10.1086/498426. Архивировано из оригинала (PDF) 2008-10-31 . Получено 2008-12-04 .