Количество или сумма – это свойство, которое может существовать как множество или величина , что иллюстрирует прерывность и непрерывность . Количества можно сравнивать с точки зрения «больше», «меньше» или «равно» или путем присвоения числового значения, кратного единице измерения . Масса , время , расстояние , тепло и угол являются одними из известных примеров количественных свойств.
Количество относится к основным классам вещей наряду с качеством , субстанцией , изменением и отношением. Некоторые количества являются таковыми по своей внутренней природе (как число), тогда как другие функционируют как состояния (свойства, размеры, атрибуты) таких вещей, как тяжелое и легкое, длинное и короткое, широкое и узкое, маленькое и большое или большое и малое.
Под именем множества понимается то, что прерывисто, дискретно и в конечном счете делится на неделимое, как-то: армия, флот, стадо, правительство, компания, партия, народ, беспорядок (военный), хор, толпа и число ; все это падежи собирательных существительных . Под именем величины понимается то, что непрерывно, едино и делится только на более мелкие, делимые, как-то: материя, масса, энергия, жидкость, материал — все случаи несобирательных существительных.
Наряду с анализом ее сущности и классификации , вопросы количества затрагивают такие тесно связанные темы, как размерность, равенство, пропорция, измерения величин, единицы измерения, число и системы счисления, виды чисел и их отношения друг к другу, как числовые соотношения.
В математике понятие количества является древним, восходящим ко временам Аристотеля и ранее. Аристотель считал количество фундаментальной онтологической и научной категорией. В онтологии Аристотеля количество или квант было разделено на два разных типа, которые он охарактеризовал следующим образом:
Квант означает то, что делится на две или более составные части, каждая из которых по своей природе является единицей и этим . Квант является множеством, если он исчислим, величиной, если он измерим. Множественность означает то, что потенциально делится на несплошные части, величина — то, что делится на непрерывные части; по величине то, что непрерывно в одном измерении, — это длина; в две ширины, в три глубины. Из них ограниченное множество — это число, ограниченная длина — линия, ширина — поверхность, глубина — твердое тело.
— Аристотель, «Метафизика» , книга V, гл. 11-14
В своих «Началах » Евклид развил теорию отношений величин, не изучая природу величин, как Архимед, но дав следующие существенные определения:
Величина есть часть величины, меньшая из большей, когда она измеряет большую; Отношение — это своего рода соотношение размеров между двумя величинами одного и того же вида.
— Евклид, Элементы
Для Аристотеля и Евклида отношения понимались как целые числа (Michell, 1993). Позже Джон Уоллис представил отношения величин как действительные числа :
Когда производится сравнение в терминах отношения, результирующее отношение часто (а именно, за исключением самого «числового рода») выходит из рода сравниваемых величин и переходит в числовой род, каким бы родом сравниваемых величин ни был .
- Джон Уоллис, Mathesis Universalis
То есть отношение величин любой величины, будь то объём, масса, теплота и так далее, есть число. После этого Ньютон определил число и связь между количеством и числом в следующих терминах:
Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-либо величины к другой величине того же рода, которую мы принимаем за единицу.
- Ньютон, 1728 г.
Непрерывные величины обладают особой структурой, которая впервые была явно охарактеризована Гёльдером (1901) как набор аксиом, определяющих такие особенности, как тождества и отношения между величинами. В науке количественная структура является предметом эмпирического исследования и не может предполагаться априорно существующим для какого-либо данного свойства. Линейный континуум представляет собой прототип непрерывной количественной структуры, описанной Гельдером (1901) (перевод в Michell & Ernst, 1996). Фундаментальной особенностью любого вида величин является то, что отношения равенства или неравенства в принципе могут быть установлены в сравнениях между отдельными величинами, в отличие от качества, которое характеризуется сходством, сходством и различием, разнообразием. Еще одной фундаментальной особенностью является аддитивность. Аддитивность может включать в себя конкатенацию, например, добавление двух длин A и B для получения третьей A + B. Аддитивность, однако, не ограничивается обширными величинами, но может также влечь за собой отношения между величинами, которые могут быть установлены посредством экспериментов, которые позволяют проверить гипотетические наблюдаемые величины . проявления аддитивных отношений величин. Другой особенностью является непрерывность, о которой Мичелл (1999, стр. 51) говорит о длине как типе количественного атрибута: «Непрерывность означает, что если любая произвольная длина а выбрана в качестве единицы, то для каждой положительной реальной длины числа r , существует длина b такая, что b = r a". Дальнейшее обобщение даёт теория совместного измерения , независимо разработанная французским экономистом Жераром Дебре (1960) и американским математическим психологом Р. Дунканом Люсом и статистиком Джоном Тьюки (1964).
Величина (сколько) и множество (сколько), два основных типа величин, далее делятся на математические и физические. Формально величины — их отношения, пропорции, порядок и формальные отношения равенства и неравенства — изучаются математикой. Существенная часть математических величин состоит из набора переменных , каждая из которых принимает набор значений. Это может быть набор одной величины, называемой скаляром , когда она представлена действительными числами, или иметь несколько величин, как векторы и тензоры , два вида геометрических объектов.
Математическое использование величины может тогда варьироваться и поэтому зависит от ситуации. Величины могут использоваться как бесконечно малые , аргументы функции , переменные в выражении (независимые или зависимые) или вероятностные, как в случайных и стохастических величинах. В математике величины и множества также являются не только двумя различными видами величин, но, кроме того, связаны друг с другом.
Теория чисел охватывает темы дискретных величин как чисел: системы счисления с их видами и отношениями. Геометрия изучает проблемы пространственных величин: прямых линий, изогнутых линий, поверхностей и твердых тел, все с соответствующими измерениями и отношениями.
Традиционная реалистическая философия математики Аристотеля , берущая свое начало от Аристотеля и остававшаяся популярной до восемнадцатого века, утверждала, что математика — это «наука о количестве». Считалось, что количество делится на дискретное (изучаемое арифметикой) и непрерывное (изучаемое геометрией, а затем и исчислением ). Теория достаточно хорошо соответствует элементарной или школьной математике, но хуже соответствует абстрактным топологическим и алгебраическим структурам современной математики. [1]
Установление количественной структуры и отношений между различными величинами является краеугольным камнем современной науки, особенно, но не ограничиваясь физическими науками. Физика по своей сути является количественной наукой; химия, биология и другие становятся все более актуальными. Их прогресс достигается главным образом за счет перевода абстрактных качеств материальных сущностей в физические величины, постулируя, что все материальные тела, отмеченные количественными свойствами или физическими размерами, подлежат некоторым измерениям и наблюдениям. Устанавливая единицы измерения, физика охватывает такие фундаментальные величины, как пространство (длина, ширина и глубина) и время, масса и сила, температура, энергия и кванты .
Также было проведено различие между интенсивным количеством и экстенсивным количеством как двумя типами количественного свойства, состояния или отношения. Величина интенсивной величины не зависит от размера или протяженности объекта или системы, свойством которой является величина, тогда как величины экстенсивной величины аддитивны для частей объекта или подсистем. Таким образом, в случае обширного количества величина действительно зависит от размера объекта или системы. Примерами интенсивных величин являются плотность и давление , а примерами экстенсивных величин — энергия , объём и масса .
В человеческих языках, включая английский , число — это синтаксическая категория , наряду с лицом и полом . Количество выражается определителями, определенными и неопределенными, и кванторами , определенными и неопределенными, а также тремя видами существительных : 1. счетными единицами существительными или исчисляемыми; 2. массовые существительные , неисчисляемые, обозначающие неопределенные, неопознанные суммы; 3. существительные множества ( собирательные существительные ). Слово «число» принадлежит существительному множества, обозначающему либо одну сущность, либо отдельных лиц, составляющих целое. Сумма вообще выражается особым классом слов, называемых идентификаторами, неопределенными и определенными, и кванторами, определенными и неопределенными. [ необходимы разъяснения ] Сумма может выражаться в форме единственного числа и множественного числа, порядковых числительных перед счетным существительным в единственном числе (первый, второй, третий...), указательных падежах; определенные и неопределенные числа и измерения (сто/сотни, миллион/миллионы) или количественные числа перед счетными существительными. Набор языковых кванторов охватывает «несколько, большое количество, много, несколько (для счетных названий); немного, немного, меньше, много (количество), много (для массовых названий); все, много». из, много, достаточно, больше, большинство, некоторые, любой, оба, каждый, либо, ни, всякий, нет». В сложном случае неидентифицированных количеств части и примеры массы указываются относительно: меры массы (два килограмма риса и двадцать бутылок молока или десять листов бумаги); кусок или часть массы (часть, элемент, атом, предмет, предмет, капля); или форма емкости (корзина, коробочка, футляр, чашка, бутылка, сосуд, банка).
Еще несколько примеров величин:
Безразмерная величина (также известная как голая величина, чистая величина, а также величина единичного измерения) [2] — это величина, которой не присвоено физическое измерение . Безразмерные величины широко используются во многих областях, таких как математика , физика , химия , техника и экономика . Безразмерные величины отличаются от величин, имеющих связанные с ними измерения, например время (измеряемое, например, в секундах ).
Соответствующей единицей измерения является единица (символ 1), [3] [4] , которая явно не указана. Для любой системы единиц цифра один считается базовой единицей . [5] Безразмерные единицы — это специальные названия, которые служат единицами измерения для выражения других безразмерных величин. Например, в системе СИ радианы (рад) и стерадианы (ср) — это безразмерные единицы для плоских и телесных углов соответственно. [3] Например, оптическая протяженность определяется как единица измерения в метрах, умноженная на стерадианы. [6]
Некоторые безразмерные величины называются безразмерными числами или характеристическими числами; они являются результатом произведения или частного других общих величин (например, характерных длин ) и служат параметрами в уравнениях и моделях. Характеристические числа часто содержат в своих названиях термин «число» (например, « число Рейнольдса ») и могут быть математически обозначены двухбуквенной аббревиатурой с заглавной буквы (например, « Re » или «Re», выделенной курсивом или нет). [7] Некоторые такие числа определены как часть Международной системы величин (ISQ), стандартизированной в ISO 80000-11 . [8]
Безразмерные физические константы (например, постоянная тонкой структуры ) и безразмерные константы материала (например, показатель преломления ) представляют собой безразмерные величины, имеющие фиксированное значение для всей Вселенной или для данного материала соответственно.
