Амплитуда вероятности

Комплексное число, квадрат абсолютного значения которого является вероятностью

Волновая функция одного электрона на 5d- орбитали атома водорода . Твердое тело показывает места, где плотность вероятности электрона превышает определенное значение (здесь 0,02 нм ^-3 ): оно рассчитывается на основе амплитуды вероятности. Оттенок цветной поверхности показывает сложную фазу волновой функции .

В квантовой механике амплитуда вероятности — это комплексное число, используемое для описания поведения систем. Квадрат модуля этой величины представляет собой плотность вероятности .

Амплитуды вероятности обеспечивают связь между квантовым вектором состояния системы и результатами наблюдений этой системы. Эта связь была впервые предложена Максом Борном в 1926 году. Интерпретация значений волновой функции как амплитуды вероятности является основой теории Копенгагенская интерпретация квантовой механики. Фактически, свойства пространства волновых функций использовались для физических предсказаний (например, излучения атомов с определенными дискретными энергиями) до того, как была предложена какая-либо физическая интерпретация конкретной функции. За это понимание Борн был удостоен половины Нобелевской премии по физике 1954 года , и вычисленную таким образом вероятность иногда называют «вероятностью Борна». Эти вероятностные концепции, а именно плотность вероятности и квантовые измерения , в то время активно оспаривались первыми физиками, работавшими над этой теорией, такими как Шрёдингер и Эйнштейн . Это источник загадочных последствий и философских трудностей в интерпретации квантовой механики — тем, которые продолжают обсуждаться даже сегодня.

Физический обзор

Если пренебречь некоторыми техническими сложностями, то проблема квантового измерения заключается в поведении квантового состояния, для которого значение наблюдаемой измеряемой Q является неопределенным . Такое состояние считается когерентной суперпозицией собственных состояний наблюдаемой , состояний, в которых значение наблюдаемой определяется однозначно, для различных возможных значений наблюдаемой.

Когда производится измерение Q , система (в соответствии с Копенгагенской интерпретацией ) переходит в одно из собственных состояний , возвращая собственное значение, принадлежащее этому собственному состоянию. Систему всегда можно описать линейной комбинацией или суперпозицией этих собственных состояний с неравными «весами» . Интуитивно понятно, что с большей «вероятностью» будут созданы собственные состояния с более тяжелыми «весами». Действительно, в какое из вышеперечисленных собственных состояний переходит система, задается вероятностным законом: вероятность перехода системы в это состояние пропорциональна абсолютному значению квадрата соответствующего числового веса. Эти числовые веса называются амплитудами вероятности, и это соотношение, используемое для расчета вероятностей из заданных чистых квантовых состояний (таких как волновые функции), называется правилом Борна .

Ясно, что сумма вероятностей, равная сумме абсолютных квадратов амплитуд вероятностей, должна равняться 1. Это требование нормализации.

Если известно, что система находится в некотором собственном состоянии Q (например, после наблюдения соответствующего собственного значения Q ), вероятность наблюдения этого собственного значения становится равной 1 (определенно) для всех последующих измерений Q (при условии, что нет других важных силы действуют между измерениями). Другими словами, амплитуды вероятности равны нулю для всех остальных собственных состояний и остаются равными нулю для будущих измерений. Если набор собственных состояний, к которым система может перейти при измерении Q , тот же, что и набор собственных состояний для измерения R , то последующие измерения либо Q , либо R всегда дают одни и те же значения с вероятностью 1, независимо от порядка. в которых они применяются. На амплитуды вероятности ни одно из измерений не влияет, и говорят, что наблюдаемые коммутируют .

Напротив, если собственные состояния Q и R различны, то измерение R приводит к переходу в состояние, которое не является собственным состоянием Q. Следовательно, если известно, что система находится в некотором собственном состоянии Q (все амплитуды вероятности равны нулю, за исключением одного собственного состояния), то при наблюдении R амплитуды вероятности изменяются. Второе, последующее наблюдение Q уже не обязательно дает собственное значение, соответствующее начальному состоянию. Другими словами, амплитуды вероятности для второго измерения Q зависят от того, происходит ли оно до или после измерения R , и две наблюдаемые не коммутируют .

Математическая формулировка

В формальной установке состояние изолированной физической системы в квантовой механике представляется в фиксированный момент времени вектором состояния |Ψ⟩, принадлежащим сепарабельному комплексному гильбертовому пространству . Используя обозначение Бракета, связь между вектором состояния и « базисом положения » гильбертова пространства можно записать как ^[1] ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \{|x\rangle \}}$

${\displaystyle \psi (x)=\langle x|\Psi \rangle }$.

Его связь с наблюдаемой можно выяснить, обобщив квантовое состояние на измеримую функцию и область его определения на данное σ -конечное пространство с мерой . Это позволяет уточнить теорему Лебега о разложении , разлагая µ на ​​три взаимно сингулярные части. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$

${\displaystyle \mu =\mu _{\mathrm {ac} }+\mu _{\mathrm {sc} }+\mu _{\mathrm {pp} }}$

где µac абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, µsc _{сингулярна} относительно меры Лебега и безатомна, а _µpp – _чисто точечная мера. ^{[2] [3]}

Непрерывные амплитуды

Обычным представлением амплитуды вероятности является представление волновой функции, принадлежащей пространству L ² ( классов эквивалентности ) суммируемых с квадратом функций , т. е. принадлежащей L ² ( X ) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \|\psi \|^{2}=\int _{X}|\psi (x)|^{2}\,dx<\infty }$.

Если норма равна 1 и такая, что ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$

${\displaystyle \int _{X}|\psi (x)|^{2}\,dx\equiv \int _{X}\,d\mu _{ac}(x)=1}$,

то это функция плотности вероятности для измерения положения частицы в данный момент времени, определяемая как производная Радона – Никодима по мере Лебега (например, на множестве R всех действительных чисел ). Поскольку вероятность — безразмерная величина, | ψ ( Икс ) | ² должен иметь размерность, обратную размерности переменной интегрирования x . Например, вышеуказанная амплитуда имеет размерность [L ^-1/2 ], где L представляет длину . ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$

В то время как гильбертово пространство является сепарабельным тогда и только тогда, когда оно допускает счетный ортонормированный базис, диапазон непрерывной случайной величины представляет собой несчетное множество (т.е. вероятность того, что система находится «в позиции » всегда будет равна нулю ). Таким образом, собственные состояния наблюдаемой не обязательно должны быть измеримыми функциями, принадлежащими L ² ( X ) (см. условие нормализации ниже). Типичным примером является оператор позиции, определяемый как ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}}$

${\displaystyle \langle x|{\hat {\mathrm {x} }}|\Psi \rangle ={\hat {\mathrm {x} }}\langle x|\Psi \rangle =x_{0}\psi (x),\quad x\in \mathbb {R} ,}$

чьи собственные функции являются дельта-функциями Дирака

${\displaystyle \psi (x)=\delta (x-x_{0})}$

которые явно не принадлежат L ² ( X ) . Однако при замене пространства состояний подходящим оснащенным гильбертовым пространством сохраняется строгое понятие собственных состояний из спектральной теоремы , а также спектрального разложения . ^[4]

Дискретные амплитуды

Пусть будет атомарным (т.е. множество в является атомом ); определяя меру любой дискретной переменной x ∈ A , равную 1 . Амплитуды состоят из вектора состояния |Ψ⟩ , индексированного A ; его компоненты обозначены ψ ( x ) для единообразия с предыдущим случаем. Если ℓ 2 -норма |Ψ⟩ равна 1, то | ψ ( Икс ) | ² — функция вероятностной массы . ${\displaystyle \mu _{pp}}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Удобное конфигурационное пространство X таково, что каждая точка x дает некоторое уникальное значение наблюдаемой Q. Для дискретного X это означает , что все элементы стандартного базиса являются собственными векторами Q . Тогда амплитуда вероятности собственного состояния | Икс ⟩ . Если оно соответствует невырожденному собственному значению Q , то дает вероятность соответствующего значения Q для начального состояния |Ψ⟩ . ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$

| ψ ( Икс ) | = 1 тогда и только тогда, когда | x ⟩ — то же квантовое состояние, что и |Ψ⟩ . ψ ( x ) = 0 тогда и только тогда, когда | x ⟩ и | Ψ⟩ ортогональны . В противном случае модуль ψ ( x ) находится в диапазоне от 0 до 1.

Дискретную амплитуду вероятности можно рассматривать как основную частоту в частотно-вероятностной области ( сферические гармоники ) в целях упрощения вычислений преобразования М-теории . ^{[ нужна ссылка ]} Дискретные динамические переменные используются в таких задачах, как частица в идеализированном отражающем ящике и квантовый гармонический осциллятор . ^{[ нужны разъяснения ]}

Примеры

Примером дискретного случая является квантовая система, которая может находиться в двух возможных состояниях , например , поляризация фотона . Когда поляризация измеряется, это может быть горизонтальное или вертикальное состояние . Пока его поляризация не будет измерена, фотон может находиться в суперпозиции обоих этих состояний, поэтому его состояние можно записать как ${\displaystyle |H\rangle }$ ${\displaystyle |V\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |H\rangle +\beta |V\rangle }$,

с и амплитуды вероятности для состояний и соответственно. Когда измеряется поляризация фотона, результирующее состояние бывает либо горизонтальным, либо вертикальным. Но в случайном эксперименте вероятность горизонтальной поляризации равна , а вероятность вертикальной поляризации равна . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle |H\rangle }$ ${\displaystyle |V\rangle }$ ${\displaystyle |\alpha |^{2}}$ ${\displaystyle |\beta |^{2}}$

Следовательно, фотон в определенном состоянии будет иметь вероятность выйти с горизонтальной поляризацией и вероятность выйти с вертикальной поляризацией при выполнении совокупности измерений. Однако порядок таких результатов совершенно случайен. ${\textstyle |\psi \rangle ={\sqrt {\frac {1}{3}}}|H\rangle -i{\sqrt {\frac {2}{3}}}|V\rangle }$ ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$

Другой пример — квантовый спин. Если устройство измерения вращения направлено вдоль оси z и, следовательно, способно измерить z-компоненту вращения ( ), для измерения вращения «вверх» и «вниз» должно выполняться следующее: ${\textstyle \sigma _{z}}$

${\displaystyle \sigma _{z}|u\rangle =(+1)|u\rangle }$

${\displaystyle \sigma _{z}|d\rangle =(-1)|d\rangle }$

Если предположить, что система подготовлена, так что +1 регистрируется , а затем прибор поворачивается для измерения , то справедливо следующее: ${\textstyle \sigma _{x}}$ ${\textstyle \sigma _{z}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle r|u\rangle &=\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\langle u|+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\langle d|\right)\cdot |u\rangle \\&=\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}}$

Амплитуда вероятности измерения спина вверх определяется выражением , поскольку система имела начальное состояние . Вероятность измерения определяется выражением ${\textstyle \langle r|u\rangle }$ ${\textstyle |r\rangle }$ ${\textstyle |u\rangle }$

${\displaystyle P(|u\rangle )=\langle r|u\rangle \langle u|r\rangle =\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}}$

Что согласуется с экспериментом.

Нормализация

В приведенном выше примере измерение должно давать либо |  Ч  ⟩ или |  V  ⟩ , поэтому полная вероятность измерения |  Ч  ⟩ или |  V  ⟩ должно быть равно 1. Это приводит к ограничению: α ² + β ² = 1 ; в более общем смысле сумма квадратов модулей амплитуд вероятности всех возможных состояний равна единице . Если понимать «все возможные состояния» как ортонормированный базис , что имеет смысл в дискретном случае, то это условие совпадает с условием нормы-1, объясненным выше.

Всегда можно разделить любой ненулевой элемент гильбертова пространства на его норму и получить нормированный вектор состояния. Однако не каждая волновая функция принадлежит гильбертовому ^{пространству} L2 ( X ) . Волновые функции, удовлетворяющие этому ограничению, называются нормируемыми .

Уравнение Шредингера , описывающее состояния квантовых частиц, имеет решения, которые описывают систему и точно определяют, как состояние изменяется со временем . Предположим, волновая функция ψ ( x ,  t ) дает описание частицы (положение x в данный момент времени t ). Волновая функция интегрируема с квадратом , если

${\displaystyle \int |\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}\,\mathrm {d\mathbf {x} } =a^{2}<\infty .}$

После нормализации волновая функция по-прежнему представляет то же состояние и поэтому по определению равна ^{[5] [6]}

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t):={\frac {\psi (\mathbf {x} ,t)}{a}}.}$

Согласно стандартной копенгагенской интерпретации , нормированная волновая функция дает амплитуды вероятности положения частицы. Следовательно, ρ ( x ) знак равно | ψ ( Икс ,  т ) | ² представляет собой функцию плотности вероятности , а вероятность того, что частица находится в объеме V в фиксированный момент времени t , определяется выражением

${\displaystyle P_{\mathbf {x} \in V}(t)=\int _{V}|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}\,\mathrm {d\mathbf {x} } =\int _{V}\rho (\mathbf {x} )\,\mathrm {d\mathbf {x} } .}$

Функция плотности вероятности не меняется со временем, поскольку эволюция волновой функции диктуется уравнением Шредингера и, следовательно, является полностью детерминированной. ^[7] Это ключ к пониманию важности этой интерпретации: для данной частицы постоянной массы , начального ψ ( x ,  t ₀ ) и потенциала уравнение Шредингера полностью определяет последующие волновые функции. Вышеупомянутое затем дает вероятности местонахождения частицы во все последующие моменты времени.

В контексте двухщелевого эксперимента

Амплитуды вероятности имеют особое значение, поскольку они действуют в квантовой механике как эквивалент обычных вероятностей со многими аналогичными законами, как описано выше. Например, в классическом эксперименте с двумя щелями электроны случайным образом вылетают в две щели, и распределение вероятности обнаружения электронов во всех частях большого экрана, расположенного за щелями, подвергается сомнению. Интуитивный ответ заключается в том, что P (через любую щель) = P (через первую щель) + P (через вторую щель) , где P (событие) — вероятность этого события. Это очевидно, если предположить, что электрон проходит через любую щель. Когда не установлена ​​измерительная аппаратура, определяющая, через какую щель проходят электроны, наблюдаемое распределение вероятностей на экране отражает интерференционную картину , свойственную световым волнам. Если предположить, что вышеуказанный закон верен, то эту закономерность невозможно объяснить. Нельзя сказать, что частицы проходят через любую из щелей, и простое объяснение не работает. Однако правильное объяснение заключается в связи амплитуд вероятности с каждым событием. Комплексные амплитуды, которые представляют электрон, проходящий через каждую щель ( ψ _первая и ψ _вторая ), подчиняются закону именно ожидаемой формы: ψ _total = ψ _first + ψ _Second . Это принцип квантовой суперпозиции . Вероятность, которая представляет собой квадрат модуля амплитуды вероятности, в таком случае следует интерференционной картине при условии, что амплитуды являются комплексными: Здесь и являются аргументами ψ first _и ψ Second _{соответственно} . Чисто реальная формулировка имеет слишком мало измерений, чтобы описать состояние системы с учетом суперпозиции. То есть без аргументов амплитуд мы не можем описать фазозависимую интерференцию. Решающий член называется «интерференционным членом», и его не было бы, если бы мы добавили вероятности. $${\displaystyle P=\left|\psi _{\text{first}}+\psi _{\text{second}}\right|^{2}=\left|\psi _{\text{first}}\right|^{2}+\left|\psi _{\text{second}}\right|^{2}+2\left|\psi _{\text{first}}\right|\left|\psi _{\text{second}}\right|\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2}).}$$ ${\displaystyle \varphi _{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}}$ ${\textstyle 2\left|\psi _{\text{first}}\right|\left|\psi _{\text{second}}\right|\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}$

Однако можно решить провести эксперимент, в котором экспериментатор наблюдает, через какую щель проходит каждый электрон. Тогда из-за коллапса волновой функции интерференционная картина на экране не наблюдается.

Можно пойти дальше и разработать эксперимент, в котором экспериментатор избавится от этой «информации о пути» с помощью «квантового ластика» . Тогда, согласно копенгагенской интерпретации , снова применяется случай А и интерференционная картина восстанавливается. ^[8]

Сохранение вероятностей и уравнение неразрывности

Интуитивно понятно, что, поскольку нормированная волновая функция остается нормированной при развитии согласно волновому уравнению, будет существовать связь между изменением плотности вероятности положения частицы и изменением амплитуды в этих положениях.

Определим вероятностный ток (или поток) j как

${\displaystyle \mathbf {j} ={\hbar \over m}{1 \over {2i}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)={\hbar \over m}\operatorname {Im} \left(\psi ^{*}\nabla \psi \right),}$

измеряется в единицах (вероятность)/(площадь × время).

Тогда ток удовлетворяет уравнению

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} +{\partial \over \partial t}|\psi |^{2}=0.}$

Плотность вероятности равна , это уравнение в точности является уравнением непрерывности , появляющимся во многих ситуациях в физике, где нам нужно описать локальное сохранение величин. Лучший пример - классическая электродинамика, где j соответствует плотности тока, соответствующей электрическому заряду, а плотность - это плотность заряда. Соответствующее уравнение непрерывности описывает локальное сохранение зарядов . ${\displaystyle \rho =|\psi |^{2}}$

Композитные системы

Для двух квантовых систем с пространствами L ² ( X ₁ ) и L ² ( X ₂ ) и заданными состояниями |Ψ ₁ ⟩ и |Ψ ₂ ⟩ соответственно, их объединенное состояние |Ψ ₁ ⟩  ⊗  |Ψ ₂ ⟩ может быть выражено как ψ ₁ ( x ₁ )  ψ ₂ ( x ₂ ) функция от X ₁  ×  X ₂ , которая дает произведение соответствующих вероятностных мер . Другими словами, амплитуды незапутанного составного состояния являются произведениями исходных амплитуд, и соответствующие наблюдаемые в системах 1 и 2 ведут себя в этих состояниях как независимые случайные величины . Это усиливает вероятностную интерпретацию, изложенную выше.

Амплитуды в операторах

Понятие амплитуд также используется в контексте теории рассеяния , особенно в форме S-матриц . В то время как квадраты модулей векторных компонентов для данного вектора дают фиксированное распределение вероятностей, квадраты модулей матричных элементов интерпретируются как вероятности перехода , как и в случайном процессе. Подобно тому, как конечномерный единичный вектор задает конечное распределение вероятностей, конечномерная унитарная матрица определяет вероятности перехода между конечным числом состояний.

«Переходная» интерпретация может быть применена к L ² s и на недискретных пространствах. ^{[ нужны разъяснения ]}

Смотрите также

• Значение ожидания (квантовая механика)
• Свободная частица
• Конечный потенциальный барьер
• Волна материи
• Формулировка фазового пространства
• Принцип неопределенности
• Амплитуда вероятности Уорда
• Волновой пакет

Примечания

1. Охватывающего множества гильбертова пространства недостаточно для определения координат, поскольку волновые функции образуют лучи в проективном гильбертовом пространстве (а не в обычном гильбертовом пространстве). См.: Проекционная рамка.
2. Саймон 2005, с. 43.
3. Тешль 2014, с. 114-119.
4. де ла Мадрид Модино 2001, с. 97.
5. Бауэрле и де Керф 1990, с. 330.
6. См. также теорему Вигнера.
7. Цвибах 2022, с. 78.
8. Недавний эксперимент 2013 года дает представление о правильной физической интерпретации таких явлений. Информацию действительно можно получить, но тогда электрон, казалось бы, прошел все возможные пути одновременно. (Некоторые ансамблевые реалистические интерпретации волновой функции могут предполагать такое сосуществование во всех точках орбитали.) Ср. Шмидт, Л. Ф. Х.; и другие. (2013). «Передача импульса свободно плавающей двойной щели: реализация мысленного эксперимента из дебатов Эйнштейна-Бора» (PDF) . Письма о физических отзывах . 111 (10): 103201. Бибкод : 2013PhRvL.111j3201S. doi : 10.1103/PhysRevLett.111.103201. PMID  25166663. S2CID  2725093. Архивировано из оригинала (PDF) 7 марта 2019 г.

Рекомендации

• Бойерле, Жерар Г.А.; де Керф, Эдди А. (1990). Алгебры Ли, Часть 1: Конечно- и бесконечномерные алгебры Ли и их приложения в физике . Исследования по математической физике. Амстердам: Северная Голландия. ISBN 0-444-88776-8.
• де ла Мадрид Модино, Р. (2001). Квантовая механика на языке оснащенного гильбертова пространства (кандидатская диссертация). Университет Вальядолида.
• Фейнман, Р.П.; Лейтон, РБ; Сэндс, М. (1989). «Амплитуда вероятности». Фейнмановские лекции по физике . Том. 3. Редвуд-Сити: Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-51005-7.
• Гаддер, Стэнли П. (1988). Квантовая вероятность . Сан-Диего: Академическая пресса. ISBN 0-12-305340-4.
• Саймон, Барри (2005). Ортогональные многочлены на единичной окружности. Часть 1. Классическая теория . Публикации коллоквиума Американского математического общества. Том. 54. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-3446-6. МР  2105088.
• Тешль, Г. (2014). Математические методы в квантовой механике . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое соц. ISBN 978-1-4704-1704-8.
• Цвибах, Бартон (2022). Освоение квантовой механики . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 978-0-262-04613-8.