Точка разветвления

Интересная точка для сложных многозначных функций

В математической области комплексного анализа точкой ветвления многозначной функции называется такая точка, что если функция имеет значения в этой точке, то все ее окрестности содержат точку, которая имеет более значений. ^[1] Многозначные функции строго изучаются с использованием римановых поверхностей , и формальное определение точек ветвления использует эту концепцию. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Точки ветвления делятся на три широкие категории: алгебраические точки ветвления, трансцендентные точки ветвления и логарифмические точки ветвления. Алгебраические точки ветвления чаще всего возникают из функций, в которых есть неоднозначность в извлечении корня, например, решение уравнения для как функции от . Здесь точка ветвления является началом координат, потому что аналитическое продолжение любого решения вокруг замкнутого контура, содержащего начало координат, приведет к другой функции: существует нетривиальная монодромия . Несмотря на алгебраическую точку ветвления, функция хорошо определена как многозначная функция и, в соответствующем смысле, непрерывна в начале координат. Это контрастирует с трансцендентными и логарифмическими точками ветвления, то есть точками, в которых многозначная функция имеет нетривиальную монодромию и существенную особенность . В геометрической теории функций неквалифицированное использование термина точка ветвления обычно означает первый более ограничительный вид: алгебраические точки ветвления. ^[2] В других областях комплексного анализа неквалифицированный термин может также относиться к более общим точкам ветвления трансцендентального типа. ${\displaystyle w^{2}=z}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$

Алгебраические точки ветвления

Пусть — связное открытое множество в комплексной плоскости и голоморфная функция . Если — не константа, то множество критических точек , то есть нулей производной , не имеет предельной точки в . Таким образом, каждая критическая точка лежит в центре диска, не содержащего в своем замыкании никакой другой критической точки . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'(z)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B(z_{0},r)}$ ${\displaystyle f}$

Пусть будет границей , взятой с ее положительной ориентацией. Число оборотов относительно точки является положительным целым числом, называемым индексом ветвления . Если индекс ветвления больше 1, то называется точкой ветвления , а соответствующее критическое значение называется (алгебраической) точкой ветвления . Эквивалентно, является точкой ветвления, если существует голоморфная функция, определенная в окрестности , такая, что для целого числа . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle B(z_{0},r)}$ ${\displaystyle f(\gamma )}$ ${\displaystyle f(z_{0})}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(z_{0})}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f(z)=\phi (z)(z-z_{0})^{k}+f(z_{0})}$ ${\displaystyle k>1}$

Обычно интерес представляет не сама функция, а ее обратная функция . Однако обратная функция голоморфной функции в окрестности точки разветвления не существует, и поэтому ее приходится определять в многозначном смысле как глобальную аналитическую функцию . Распространено злоупотребление языком и ссылка на точку ветвления как на точку ветвления глобальной аналитической функции . Более общие определения точек ветвления возможны для других видов многозначных глобальных аналитических функций, таких как те, которые определены неявно . Объединяющая структура для работы с такими примерами представлена ​​ниже на языке римановых поверхностей . В частности, в этой более общей картине полюса порядка больше 1 также можно считать точками ветвления. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle w_{0}=f(z_{0})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$

В терминах обратной глобальной аналитической функции точки ветвления — это те точки, вокруг которых существует нетривиальная монодромия. Например, функция имеет точку ветвления в . Обратная функция — это квадратный корень , который имеет точку ветвления в . Действительно, обходя замкнутый контур , мы начинаем с и . Но после обхода контура до , мы имеем . Таким образом, вокруг этого контура, охватывающего начало координат, существует монодромия. ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ ${\displaystyle z_{0}=0}$ ${\displaystyle f^{-1}(w)=w^{1/2}}$ ${\displaystyle w_{0}=0}$ ${\displaystyle w=e^{i\theta }}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle e^{i0/2}=1}$ ${\displaystyle \theta =2\pi }$ ${\displaystyle e^{2\pi i/2}=-1}$

Трансцендентные и логарифмические точки ветвления

Предположим, что g — глобальная аналитическая функция, определенная на проколотом диске вокруг z ₀ . Тогда g имеет трансцендентную точку ветвления , если z ₀ — существенная особенность g , такая, что аналитическое продолжение элемента функции один раз вокруг некоторой простой замкнутой кривой, окружающей точку z _{0 ,} дает другой элемент функции. ^[3]

Примером трансцендентной точки ветвления является начало координат для многозначной функции

${\displaystyle g(z)=\exp \left(z^{-1/k}\right)\,}$

для некоторого целого числа k  > 1. Здесь группа монодромии для обхода вокруг начала координат конечна. Аналитическое продолжение вокруг k полных обходов возвращает функцию к исходной.

Если группа монодромии бесконечна, то есть невозможно вернуться к исходному функциональному элементу аналитическим продолжением вдоль кривой с ненулевым числом витков вокруг z ₀ , то точка z ₀ называется логарифмической точкой ветвления . ^[4] Это так называется потому, что типичным примером этого явления является точка ветвления комплексного логарифма в начале координат. Проходя один раз против часовой стрелки вокруг простой замкнутой кривой, охватывающей начало координат, комплексный логарифм увеличивается на 2 π i . Обходя петлю с числом витков w , логарифм увеличивается на 2 π i w , и группа монодромии является бесконечной циклической группой . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Логарифмические точки ветвления являются частными случаями трансцендентных точек ветвления.

Для трансцендентных и логарифмических точек ветвления нет соответствующего понятия ветвления, поскольку связанная с ними накрывающая риманова поверхность не может быть аналитически продолжена до покрытия самой точки ветвления. Такие покрытия, следовательно, всегда неразветвлены.

Примеры

• 0 — точка ветвления функции квадратного корня . Предположим, что w  =  z ^1/2 , а z начинается с 4 и движется по окружности радиуса 4 в комплексной плоскости с центром в 0. Зависимая переменная w изменяется в зависимости от z непрерывным образом. Когда z сделает один полный круг, перейдя от 4 обратно к 4, w сделает один полукруг, перейдя от положительного квадратного корня из 4, т. е. от 2, к отрицательному квадратному корню из 4, т. е. −2.
• 0 также является точкой ветвления натурального логарифма . Поскольку e ⁰ совпадает с e ^{2 π i} , то и 0, и 2 π i входят в число множественных значений ln(1). Когда z движется по окружности радиуса 1 с центром в точке 0, w = ln( z ) изменяется от 0 до 2 π i .
• В тригонометрии , поскольку tan( π /4) и tan (5 π /4) оба равны 1, два числа π /4 и 5 π /4 входят в число кратных значений arctan(1). Мнимые единицы i и − i являются точками ветвления функции арктангенса arctan( z ) = (1/2 i )log[( i  −  z )/( i  +  z )]. Это можно увидеть, заметив, что производная ( d / dz ) arctan( z ) = 1/(1 +  z ² ) имеет простые полюса в этих двух точках, поскольку знаменатель равен нулю в этих точках.
• Если производная ƒ  ' функции ƒ имеет простой полюс в точке a , то ƒ имеет логарифмическую точку ветвления в a . Обратное неверно, поскольку функция ƒ ( z ) = z ^α для иррационального α имеет логарифмическую точку ветвления, а ее производная является сингулярной, не будучи полюсом.

Срезы ветвей

Грубо говоря, точки ветвления — это точки, в которых сходятся различные листы многозначной функции. Ветви функции — это различные листы функции. Например, функция w  =  z ^1/2 имеет две ветви: одну, где квадратный корень входит со знаком плюс, и другую — со знаком минус. Разрез ветвления — это кривая в комплексной плоскости, такая, что можно определить одну аналитическую ветвь многозначной функции на плоскости за вычетом этой кривой. Разрезы ветвления обычно, но не всегда, проводятся между парами точек ветвления.

Срезы ветвей позволяют работать с набором однозначных функций, «склеенных» вместе вдоль разреза ветвей вместо многозначной функции. Например, чтобы сделать функцию

${\displaystyle F(z)={\sqrt {z}}{\sqrt {1-z}}\,}$

однозначный, делается разрез ветви вдоль интервала [0, 1] на действительной оси, соединяющий две точки ветвления функции. Та же идея может быть применена к функции √ z ; но в этом случае нужно понимать, что точка на бесконечности является подходящей 'другой' точкой ветвления для соединения с 0, например, вдоль всей отрицательной действительной оси.

Устройство ветвления может показаться произвольным (и это так); но оно очень полезно, например, в теории специальных функций. Инвариантное объяснение явления ветвления разработано в теории римановой поверхности (исторически она является ее источником), и в более общем плане в теории ветвления и монодромии алгебраических функций и дифференциальных уравнений .

Комплексный логарифм

График многозначной мнимой части функции комплексного логарифма, показывающий ветви. Когда комплексное число z движется вокруг начала координат, мнимая часть логарифма идет вверх или вниз. Это делает начало координат точкой ветвления функции.

Типичным примером ветвления является комплексный логарифм. Если комплексное число представлено в полярной форме z  =  r e ^{i θ} , то логарифм z равен

${\displaystyle \ln z=\ln r+i\theta .\,}$

Однако существует очевидная двусмысленность в определении угла θ : добавление к θ любого целого числа, кратного 2 π, даст другой возможный угол. Ветвь логарифма — это непрерывная функция L ( z ), дающая логарифм z для всех z в связном открытом множестве в комплексной плоскости. В частности, ветвь логарифма существует в дополнении любого луча от начала координат до бесконечности: разрез ветвей . Обычным выбором разреза ветвей является отрицательная вещественная ось, хотя выбор в значительной степени является вопросом удобства.

Логарифм имеет скачок разрыва 2 π i при пересечении разреза ветви. Логарифм можно сделать непрерывным, склеив счетное число копий, называемых листами , комплексной плоскости вдоль разреза ветви. На каждом листе значение логарифма отличается от его главного значения на величину, кратную 2 π i. Эти поверхности склеиваются друг с другом вдоль разреза ветви уникальным образом, чтобы сделать логарифм непрерывным. Каждый раз, когда переменная обходит начало координат, логарифм перемещается на другую ветвь.

Континуум полюсов

Одна из причин, по которой ветвления являются общими чертами комплексного анализа, заключается в том, что ветвления можно рассматривать как сумму бесконечного числа полюсов, расположенных вдоль линии в комплексной плоскости с бесконечно малыми остатками. Например,

${\displaystyle f_{a}(z)={1 \over z-a}}$

— функция с простым полюсом при z  =  a . Интегрируем по расположению полюса:

${\displaystyle u(z)=\int _{a=-1}^{a=1}f_{a}(z)\,da=\int _{a=-1}^{a=1}{1 \over z-a}\,da=\log \left({z+1 \over z-1}\right)}$

определяет функцию u ( z ) с разрезом от −1 до 1. Разрез ветви можно перемещать, поскольку линию интегрирования можно смещать без изменения значения интеграла, пока линия не проходит через точку z .

Римановы поверхности

Понятие точки ветвления определяется для голоморфной функции ƒ: X  →  Y из компактной связной римановой поверхности X в компактную риманову поверхность Y (обычно сферу Римана ). Если она не является константой, функция ƒ будет накрывающим отображением на свой образ во всех точках, кроме конечного числа. Точки X , в которых ƒ не является накрытием, являются точками ветвления ƒ, а образ точки ветвления при ƒ называется точкой ветвления.

Для любой точки P  ∈  X и Q  = ƒ( P ) ∈  Y существуют голоморфные локальные координаты z для X вблизи P и w для Y вблизи Q, в терминах которых функция ƒ( z ) задается выражением

${\displaystyle w=z^{k}}$

для некоторого целого числа k . Это целое число называется индексом ветвления P . Обычно индекс ветвления равен единице. Но если индекс ветвления не равен единице, то P по определению является точкой ветвления, а Q — точкой ветвления.

Если Y — это просто сфера Римана, а Q находится в конечной части Y , то нет необходимости выбирать специальные координаты. Индекс ветвления можно вычислить явно из интегральной формулы Коши . Пусть γ — простая спрямляемая петля в X вокруг P. Индекс ветвления ƒ в точке P равен

${\displaystyle e_{P}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)-f(P)}}\,dz.}$

Этот интеграл представляет собой число оборотов ƒ(γ) вокруг точки Q. Как и выше, P является точкой разветвления, а Q является точкой ветвления, если e _P  > 1.

Алгебраическая геометрия

В контексте алгебраической геометрии понятие точек ветвления можно обобщить на отображения между произвольными алгебраическими кривыми . Пусть ƒ: X  →  Y — морфизм алгебраических кривых. При обратном преобразовании рациональных функций на Y в рациональные функции на X K ( X ) является расширением поля K ( Y ). Степень ƒ определяется как степень этого расширения поля [ K ( X ): K ( Y )], а ƒ называется конечной, если степень конечна .

Предположим, что ƒ конечен. Для точки P  ∈  X индекс ветвления e _P определяется следующим образом. Пусть Q  = ƒ( P ) и пусть t — локальный униформизирующий параметр в P ; то есть t — регулярная функция, определенная в окрестности Q с t ( Q ) = 0, дифференциал которой не равен нулю. Оттягивание t с помощью ƒ определяет регулярную функцию на X . Тогда

${\displaystyle e_{P}=v_{P}(t\circ f)}$

где v _P — оценка в локальном кольце регулярных функций в P . То есть e _P — порядок, к которому обращается в нуль в P . Если e _P  > 1, то говорят, что ƒ разветвлена ​​в P . В этом случае Q называется точкой ветвления. ${\displaystyle t\circ f}$

Примечания

1. Дас, Шантану (2011), «Концепции дробного дифференцирования», Функциональное дробное исчисление , Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 213–269, doi :10.1007/978-3-642-20545-3_5, ISBN 978-3-642-20544-6, получено 2022-04-27(страница 6)
2. Альфорс 1979
3. Соломенцев 2001; Маркушевич 1965г.
4. "Логарифмическая точка ветвления - Энциклопедия математики". www.encyclopediaofmath.org . Получено 11.06.2019 .

Ссылки

• Ablowitz, Mark J.; Fokas, Athanassios S. (2003), Complex Variables: Introduction and Applications , Cambridge Texts in Applied Mathematics (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-53429-1
• Альфорс, Л. В. (1979), Комплексный анализ , Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-000657-7
• Арфкен, ГБ; Вебер, Х.Дж. (2000), Математические методы для физиков (5-е изд.), Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-059825-0
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157, OCLC  13348052
• Маркушевич, А.И. (1965), Теория функций комплексного переменного. Том I , Перевод и редакция Ричарда А. Сильвермана, Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall Inc., MR  0171899
• Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], «Точка ветвления», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС