Вихревость

Псевдовекторное поле, описывающее локальное вращение континуума вблизи некоторой точки

В механике сплошной среды вихрь — это псевдовекторное (или аксиально-векторное) поле , описывающее локальное вращательное движение сплошной среды вблизи некоторой точки (тенденция чего-либо вращаться ^[1] ) , как это будет видно наблюдателю, находящемуся в этой точке и движущемуся вместе с потоком . Это важная величина в динамической теории жидкостей , которая обеспечивает удобную основу для понимания множества сложных явлений потока, таких как образование и движение вихревых колец . ^{[2] [3]}

Математически завихренность представляет собой вихрь скорости потока : [ ^{4] [3]} ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\equiv \nabla \times \mathbf {v} \,,}$

где — оператор набла . Концептуально, можно определить, отметив части континуума в небольшой окрестности рассматриваемой точки и наблюдая за их относительными смещениями по мере их движения вдоль потока. Завихренность будет вдвое больше среднего вектора угловой скорости этих частиц относительно их центра масс , ориентированного по правилу правой руки . По своему собственному определению, вектор завихренности является соленоидальным полем, поскольку ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\omega }}=0.}$

В двумерном потоке всегда перпендикулярно плоскости потока и поэтому может рассматриваться как скалярное поле . ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Математическое определение и свойства

Математически вихрь трехмерного потока представляет собой псевдовекторное поле, обычно обозначаемое как , определяемое как ротор поля скорости , описывающего движение сплошной среды. В декартовых координатах : ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v} =\left({\dfrac {\partial v_{z}}{\partial y}}-{\dfrac {\partial v_{y}}{\partial z}},{\dfrac {\partial v_{x}}{\partial z}}-{\dfrac {\partial v_{z}}{\partial x}},{\dfrac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\dfrac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right)\,.\end{aligned}}}$

На словах завихренность описывает, как изменяется вектор скорости при перемещении на бесконечно малое расстояние в перпендикулярном ему направлении.

В двумерном потоке, где скорость не зависит от -координаты и не имеет -компоненты, вектор завихренности всегда параллелен -оси и, следовательно, может быть выражен как скалярное поле, умноженное на постоянный единичный вектор : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\hat {z}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v} =\left({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}\,.\end{aligned}}}$

Завихренность также связана с циркуляцией потока (линейным интегралом скорости) по замкнутому пути (классической) теоремой Стокса . А именно, для любого бесконечно малого элемента поверхности C с нормальным направлением и площадью , циркуляция по периметру является скалярным произведением , где - завихренность в центре . ^[5] ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle dA}$ ${\displaystyle d\Gamma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\cdot (\mathbf {n} \,dA)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle C}$

Поскольку завихренность является аксиальным вектором, ее можно связать с антисимметричным тензором второго порядка (так называемым тензором завихренности или вращения), который называется дуальным тензором . Соотношение между двумя величинами в индексной записи задается как ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle \Omega _{ij}=\varepsilon _{ijk}\omega _{k},\qquad \omega _{i}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ijk}\Omega _{jk}}$

где - трехмерный тензор Леви-Чивиты . Тензор вихреобразования - это просто антисимметричная часть тензора , т.е. ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ ${\displaystyle \nabla \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}={\frac {1}{2}}\left[\nabla \mathbf {v} -(\nabla \mathbf {v} )^{T}\right]\quad {\text{or}}\quad \Omega _{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}\right).}$

Примеры

В массе континуума, вращающейся как твердое тело, завихренность в два раза больше вектора угловой скорости этого вращения. Это имеет место, например, в центральном ядре вихря Ренкина . ^[6]

Завихренность может быть ненулевой, даже когда все частицы текут по прямым и параллельным траекториям , если есть сдвиг (то есть, если скорость потока меняется по линиям тока ). Например, в ламинарном потоке внутри трубы с постоянным поперечным сечением все частицы движутся параллельно оси трубы; но быстрее вблизи этой оси и практически неподвижны вблизи стенок. Завихренность будет равна нулю на оси и максимальной вблизи стенок, где сдвиг наибольший.

Наоборот, поток может иметь нулевую завихренность, даже если его частицы движутся по криволинейным траекториям. Примером является идеальный безвихревой вихрь , где большинство частиц вращаются вокруг некоторой прямой оси со скоростью, обратно пропорциональной их расстоянию до этой оси. Небольшой участок континуума, который не охватывает ось, будет вращаться в одном направлении, но сдвигаться в противоположном направлении таким образом, что их средняя угловая скорость вокруг их центра масс будет равна нулю.

Другой способ визуализировать вихреобразование — представить, что мгновенно крошечная часть континуума становится твердой, а остальная часть потока исчезает. Если эта крошечная новая твердая частица вращается, а не просто движется вместе с потоком, то в потоке есть вихреобразование. На рисунке ниже левая подрисунок демонстрирует отсутствие вихреобразования, а правая подрисунок демонстрирует наличие вихреобразования.

Эволюция

Эволюция поля вихря во времени описывается уравнением вихря , которое можно вывести из уравнений Навье–Стокса . ^[7]

Во многих реальных потоках, где вязкостью можно пренебречь (точнее, в потоках с высоким числом Рейнольдса ), поле вихреобразования можно смоделировать набором дискретных вихрей, причем вихреобразование пренебрежимо мало везде, кроме небольших областей пространства, окружающих оси вихрей. Это справедливо в случае двумерного потенциального потока (т. е. двумерного потока с нулевой вязкостью), в этом случае поле течения можно смоделировать как комплекснозначное поле на комплексной плоскости .

Завихренность полезна для понимания того, как идеальные потенциальные решения потока могут быть возмущены для моделирования реальных потоков. В общем, наличие вязкости вызывает диффузию завихренности от вихревых ядер в общее поле потока; этот поток учитывается диффузионным членом в уравнении переноса завихренности. ^[8]

Вихревые линии и вихревые трубы

Вихревая линия или линия вихреобразования — это линия, которая всюду касается локального вектора вихреобразования. Вихревые линии определяются соотношением ^[9]

${\displaystyle {\frac {dx}{\omega _{x}}}={\frac {dy}{\omega _{y}}}={\frac {dz}{\omega _{z}}}\,,}$

где - вектор завихренности в декартовых координатах . ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})}$

Вихревая трубка — это поверхность в континууме, образованная всеми вихревыми линиями, проходящими через заданную (приводимую) замкнутую кривую в континууме. «Прочность» вихревой трубки (также называемая вихревым потоком ) ^[10] — это интеграл завихренности по поперечному сечению трубки, и она одинакова всюду вдоль трубки (потому что завихренность имеет нулевую дивергенцию). Следствием теорем Гельмгольца (или, что эквивалентно, теоремы Кельвина о циркуляции ) является то, что в невязкой жидкости «прочность» вихревой трубки также постоянна со временем. Вязкие эффекты вносят потери на трение и зависимость от времени. ^[11]

В трехмерном потоке завихренность (измеряемая объемным интегралом квадрата ее величины) может усиливаться при удлинении вихревой линии — явление, известное как растяжение вихря . ^[12] Это явление происходит при образовании вихря в виде ванны в вытекающей воде и при образовании торнадо восходящими потоками воздуха.

Измерители вихреобразования

Крыльчатый измеритель вихреобразования

Крыльчатый измеритель вихреобразования был изобретен русским гидротехником А. Я. Миловичем (1874–1958). В 1913 году он предложил пробку с четырьмя прикрепленными лопастями в качестве прибора, качественно показывающего величину вертикальной проекции вихреобразования, и продемонстрировал киносъемку движения поплавка по поверхности воды в модели излучины реки. ^[13]

Вихревые измерители с вращающимися крыльчатками обычно демонстрируются в учебных фильмах по механике сплошных сред (известные примеры включают «Вихревость» NCFMF ^[14] и «Основные принципы потока» Института гидравлических исследований Айовы ^[15] ).

Конкретные науки

Аэронавтика

В аэродинамике распределение подъемной силы по конечному крылу можно аппроксимировать, предположив, что каждый сегмент крыла по размаху имеет полубесконечный вихревой след позади него. Тогда можно решить для силы вихрей, используя критерий, что не должно быть потока, индуцированного через поверхность крыла. Эта процедура называется методом вихревой панели вычислительной гидродинамики . Силы вихрей затем суммируются, чтобы найти общую приблизительную циркуляцию вокруг крыла. Согласно теореме Кутты–Жуковского , подъемная сила на единицу размаха является произведением циркуляции, скорости воздуха и плотности воздуха.

Атмосферные науки

Относительная завихренность — это завихренность относительно Земли, вызванная полем скорости воздуха. Это поле скорости воздуха часто моделируется как двумерный поток, параллельный земле, так что вектор относительной завихренности обычно является скалярной величиной вращения, перпендикулярной земле. Завихренность положительна, когда — глядя вниз на поверхность Земли — ветер вращается против часовой стрелки. В северном полушарии положительная завихренность называется циклоническим вращением , а отрицательная завихренность — антициклоническим вращением ; номенклатура обратная в Южном полушарии.

Абсолютная завихренность вычисляется из скорости воздуха относительно инерциальной системы отсчета и, следовательно, включает в себя член, обусловленный вращением Земли, — параметр Кориолиса .

Потенциальная завихренность — это абсолютная завихренность, деленная на вертикальное расстояние между уровнями постоянной (потенциальной) температуры (или энтропии ). Абсолютная завихренность воздушной массы изменится, если воздушная масса растянется (или сожмется) в вертикальном направлении, но потенциальная завихренность сохраняется в адиабатическом потоке . Поскольку в атмосфере преобладает адиабатический поток, потенциальная завихренность полезна в качестве приблизительного трассера воздушных масс в атмосфере в масштабе времени в несколько дней, особенно если рассматривать на уровнях постоянной энтропии.

Уравнение баротропной вихревой завихренности является простейшим способом прогнозирования движения волн Россби (то есть впадин и хребтов с геопотенциальной высотой 500  гПа ) на ограниченный промежуток времени (несколько дней). В 1950-х годах первые успешные программы численного прогнозирования погоды использовали это уравнение.

В современных моделях численного прогнозирования погоды и моделях общей циркуляции (GCM) завихренность может быть одной из прогнозируемых переменных, и в этом случае соответствующее зависящее от времени уравнение является прогностическим уравнением .

С понятием завихренности связана спиральность , определяемая как ${\displaystyle H(t)}$

${\displaystyle H(t)=\int _{V}\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dV}$

где интеграл по заданному объему . В атмосферной науке спиральность движения воздуха важна для прогнозирования суперячеек и потенциала торнадо- активности. ^[16] ${\displaystyle V}$

Смотрите также

• Уравнение баротропного вихря
• Парадокс Даламбера
• Энстрофия
• Палинстрофия
• Потенциал скорости
• Вихрь
• Вихревая трубка
• Вихревое растяжение
• Подковообразный вихрь
• Вихри на концах крыльев

Динамика жидкости

• Закон Био–Савара
• Циркуляция
• Уравнения вихреобразования
• Теорема Кутты–Жуковского

Атмосферные науки

• Прогностическое уравнение
• Карл-Густав Россби
• Ганс Эртель

Ссылки

1. Заметки лекций Вашингтонского университета, архив 16 октября 2015 г., Wayback Machine
2. Моффатт, Х.К. (2015), «Гидродинамика», в книге Николаса Дж. Хайэма и др. (ред.), The Princeton Companion to Applied Mathematics , Princeton University Press, стр. 467–476
3. Guyon, Etienne; Hulin, Jean-Pierre; Petit, Luc; Mitescu, Catalin D. (2001). Физическая гидродинамика . Oxford University Press. стр. 105, 268–310. ISBN 0-19-851746-7.
4. Ачесон, DJ (1990). Элементарная гидродинамика . Oxford University Press. стр. 10. ISBN 0-19-859679-0.
5. Клэнси, Л.Дж., Аэродинамика , Раздел 7.11
6. Ачесон (1990), стр. 15
7. Гийон и др. (2001), стр. 289–290.
8. Торн, Кип С.; Блэндфорд, Роджер Д. (2017). Современная классическая физика: оптика, жидкости, плазма, упругость, теория относительности и статистическая физика . Princeton University Press. стр. 741. ISBN 9780691159027.
9. Кунду П. и Коэн И. Механика жидкости .
10. Введение в астрофизическую газовую динамику. Архивировано 14 июня 2011 г. на Wayback Machine.
11. GK Batchelor, Введение в гидродинамику (1967), Раздел 2.6, Cambridge University Press ISBN 0521098173
12. Бэтчелор, раздел 5.2
13. Жуковский Н. Е. (1914). «О движении воды при повороте реки». Математический сборник . 28 .. Перепечатано в: Собрание сочинений. Т. 4. Москва; Ленинград. 1937. С. 193–216, 231–233 (аннотация на английском языке).{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)«Поплавок профессора Миловича», как называет Жуковский этот измеритель вихреобразования, схематически изображен на рисунке на странице 196 Собрания сочинений.
14. Национальный комитет по гидромеханике Фильмы Архивировано 21 октября 2016 г. на Wayback Machine
15. Фильмы Хантера Рауза — IIHR — Hydroscience & Engineering Архивировано 21 апреля 2016 г. на Wayback Machine
16. Scheeler, Martin W.; van Rees, Wim M.; Kedia, Hridesh; Kleckner, Dustin; Irvine, William TM (2017). «Полное измерение спиральности и ее динамики в вихревых трубках». Science . 357 (6350): 487–491. Bibcode :2017Sci...357..487S. doi : 10.1126/science.aam6897 . ISSN  0036-8075. PMID  28774926. S2CID  23287311.

Библиография

• Ачесон, DJ (1990). Элементарная гидродинамика . Oxford University Press. ISBN 0-19-859679-0.
• Ландау, Л. Д.; Лифшиц, Э. М. (1987). Механика жидкости (2-е изд.). Elsevier. ISBN 978-0-08-057073-0.
• Позрикидис, К. (2011). Введение в теоретическую и вычислительную гидродинамику . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-975207-2.
• Гийон, Этьен; Юлен, Жан-Пьер; Пети, Люк; Митеску, Каталин Д. (2001). Физическая гидродинамика . Oxford University Press. ISBN 0-19-851746-7.
• Бэтчелор, Г.К. (2000) [1967], Введение в гидродинамику , Cambridge University Press, ISBN 0-521-66396-2
• Клэнси, Л. Дж. (1975), Аэродинамика , Pitman Publishing Limited, Лондон ISBN 0-273-01120-0 
• « Погодный глоссарий » The Weather Channel Interactive, Inc., 2004.
• " Вихревость ". Интегрированное издательство.

Дальнейшее чтение

• Окитани, К., « Элементарное описание вихреобразования и связанных с ним уравнений ». Cambridge University Press. 30 января 2005 г. ISBN 0-521-81984-9 
• Chorin, Alexandre J. , " Вихревое движение и турбулентность ". Applied Mathematical Sciences, Vol 103, Springer-Verlag. 1 марта 1994 г. ISBN 0-387-94197-5 
• Майда, Эндрю Дж. , Андреа Л. Бертоцци, « Вихревость и несжимаемый поток ». Cambridge University Press; 2002. ISBN 0-521-63948-4 
• Триттон, DJ , " Физическая гидродинамика ". Van Nostrand Reinhold, Нью-Йорк. 1977. ISBN 0-19-854493-6 
• Арфкен, Г., « Математические методы для физиков », 3-е изд. Academic Press, Орландо, Флорида. 1985. ISBN 0-12-059820-5 

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В., « Завихрение ». Scienceworld.wolfram.com.
• Досвелл III, Чарльз А., « Учебник по вихреобразованию для применения в суперячейках и торнадо ». Кооперативный институт мезомасштабных метеорологических исследований, Норман, Оклахома.
• Крамер, М.С., « Уравнения Навье–Стокса — Теоремы о переносе вихрей: Введение ». Основы механики жидкости.
• Паркер, Дуглас, « ENVI 2210 – Динамика атмосферы и океана, 9: Завихрение ». Факультет окружающей среды, Университет Лидса. Сентябрь 2001 г.
• Грэм, Джеймс Р. , « Астрономия 202: Астрофизическая газовая динамика ». Кафедра астрономии, Калифорнийский университет в Беркли .
  • « Уравнение вихря: несжимаемые и баротропные жидкости ».
  • « Интерпретация уравнения вихреобразования ».
  • « Теорема Кельвина о вихреобразовании для несжимаемого или баротропного потока ».
• " Spherepack 3.1 Архивировано 22 июня 2004 г. на Wayback Machine ". (включает коллекцию программ вихреобразования на FORTRAN)
• " Мезомасштабное сжимаемое сообщество (MC2) ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} Прогнозы моделей в реальном времени ". (Анализ потенциальной завихренности)