Внешняя производная

На дифференцируемом многообразии внешняя производная расширяет концепцию дифференциала функции до дифференциальных форм более высокой степени. Внешняя производная была впервые описана в ее нынешнем виде Эли Картаном в 1899 году. Полученное исчисление, известное как внешнее исчисление , допускает естественное, независимое от метрики обобщение теоремы Стокса , теоремы Гаусса и теоремы Грина из векторного исчисления.

Если дифференциальную $k$ -форму рассматривать как измерение потока через бесконечно малый $k$ - параллелоэдр в каждой точке многообразия, то ее внешнюю производную можно рассматривать как измерение чистого потока через границу $(k + 1)$ -параллелоэдра в каждой точке.

Определение

Внешняя производная дифференциальной формы степени $k$ (также дифференциальной $k$ -формы или просто $k$ -формы для краткости) — это дифференциальная форма степени $k + 1$ .

Если $f$ — гладкая функция ( $0 -форма$ $)$ , то внешняя производная $f$ — это дифференциал f . То есть, $df$ — это единственная 1 -форма , такая что для каждого гладкого $векторного$ поля $X$ $,$ $df$ ( $X$ $) =$ $d$ $X$ $f$ , где $d$ $X$ $f$ — производная f по направлению $X.$

Внешнее произведение дифференциальных форм (обозначаемое тем же символом $\land$ ) определяется как их поточечное внешнее произведение .

Существует множество эквивалентных определений внешней производной общей $k$ -формы.

С точки зрения аксиом

Внешняя производная определяется как единственное $ℝ$ -линейное отображение из $k$ -форм в $(k + 1)$ -формы, обладающее следующими свойствами:

Оператор, применяемый к -форме, является дифференциалом $d$ $0$ $f$ $df$ $f$
Если и — две -формы, то для любых элементов поля $\alpha$ $\beta$ $k$ $d(a\alpha +b\beta )=ad\alpha +bd\beta$ $a,b$
Если является -формой и является -формой, то ( правило градуированного произведения ) $\alpha$ $k$ $\beta$ $l$ $d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta$
Если - форма , то (лемма Пуанкаре) $\alpha$ $k$ $d(d\alpha )=0$

Если и являются двумя -формами (функциями), то из третьего свойства для величины , или просто , восстанавливается известное правило произведения . Третье свойство может быть обобщено, например, если является -формой, является -формой и является -формой, то $f$ $g$ $0$ $d(f\wedge g)$ $d(fg)$ $d(fg)=df\,g+gdf$ $\alpha$ $k$ $\beta$ $l$ $\gamma$ $m$

d(\alpha \wedge \beta \wedge \gamma )=d\alpha \wedge \beta \wedge \gamma +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta \wedge \gamma +(-1)^{k+l}\alpha \wedge \beta \wedge d\gamma .

В терминах местных координат

В качестве альтернативы можно работать полностью в локальной системе координат $(x 1, ..., x n)$ . Координатные дифференциалы $dx 1, ..., dx n$ образуют базис пространства однократных форм, каждая из которых связана с координатой. Если задан мультииндекс $I = (i 1, ..., i k)$ с $1 \leq i p \leq n$ для $1 \leq p \leq k$ (и обозначить $dx i 1 \land ... \land dx i k$ с $dx I$ ), внешняя производная (простой) $k$ -формы

\varphi =g\,dx^{I}=g\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}

над $ℝ n$ определяется как

d{\varphi }=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}={\frac {\partial g}{\partial x^{j}}}\,dx^{j}\wedge \,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}

(используя соглашение Эйнштейна о суммировании ). Определение внешней производной линейно расширяется до общей $k$ -формы (которая выражается как линейная комбинация базовых простых -форм) $k$

\omega =f_{I}\,dx^{I},

где каждый из компонентов мультииндекса $I$ пробегает все значения в ${1, ..., n}$ . Обратите внимание, что всякий раз, когда $j$ равен одному из компонентов мультииндекса $I,$ то $dx j \land dx I = 0$ (см. Внешнее произведение ).

Определение внешней производной в локальных координатах следует из предыдущего определения в терминах аксиом. Действительно, с $k$ -формой $φ,$ как определено выше,

{\begin{aligned}d{\varphi }&=d\left(g\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)+g\,d\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}+g\sum _{p=1}^{k}(-1)^{p-1}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{p-1}}\wedge d^{2}x^{i_{p}}\wedge dx^{i_{p+1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&={\frac {\partial g}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\\end{aligned}}

Здесь мы интерпретировали $g$ как $0$ -форму, а затем применили свойства внешней производной.

Этот результат распространяется непосредственно на общую $k$ -форму $ω$ как

d\omega ={\frac {\partial f_{I}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}.

В частности, для $1$ -формы $ω$ компоненты $dω$ в локальных координатах равны

(d\omega )_{ij}=\partial _{i}\omega _{j}-\partial _{j}\omega _{i}.

Внимание : существуют две конвенции относительно значения . Большинство современных авторов ^[^{требуется ссылка}^] придерживаются той конвенции, что $dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}$

\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)=1.

в то время как в старых текстах, таких как Кобаяши и Номидзу или Хельгасон

\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)={\frac {1}{k!}}.

В терминах инвариантной формулы

В качестве альтернативы можно дать явную формулу ^[1] для внешней производной $k$ -формы $ω$ в паре с $k + 1$ произвольными гладкими векторными полями $V 0, V 1, ..., V k$ :

d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}V_{i}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})

где $[V i, V j]$ обозначает скобку Ли , а шляпка обозначает пропуск этого элемента:

\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k})=\omega (V_{0},\ldots ,V_{i-1},V_{i+1},\ldots ,V_{k}).

В частности, когда $ω$ является $1$ -формой, мы имеем, что $dω (X, Y) = d X (ω (Y)) - d Y (ω (X)) - ω ([X, Y])$ .

Примечание: с соглашениями, например, Кобаяши–Номидзу и Хельгасона формула отличается на коэффициент $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/к + 1⁠$ :

{\begin{aligned}d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})={}&{1 \over k+1}\sum _{i}(-1)^{i}\,V_{i}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))\\&{}+{1 \over k+1}\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k}).\end{aligned}}

Примеры

Пример 1. Рассмотрим $σ = u dx 1 \land dx 2$ над $1$ -форменным базисом $dx 1, ..., dx n$ для скалярного поля $u$ . Внешняя производная равна:

{\begin{aligned}d\sigma &=du\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\right)\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\sum _{i=3}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\right)\end{aligned}}

Последняя формула, где суммирование начинается с $i = 3$ , легко следует из свойств внешнего произведения . А именно, $dx i \land dx i = 0$ .

Пример 2. Пусть $σ = u dx + v dy$ — $1$ -форма, определенная над $ℝ 2.$ Применяя приведенную выше формулу к каждому члену (рассмотрим $x 1 = x$ и $x 2 = y$ ), мы получаем сумму

{\begin{aligned}d\sigma &=\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}dx^{i}\wedge dx\right)+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial v}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dy\right)\\&=\left({\frac {\partial {u}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dx+{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dx\right)+\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dy\right)\\&=0-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+0\\&=\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\right)\,dx\wedge dy\end{aligned}}

Теорема Стокса о многообразиях

Если $M$ — компактное гладкое ориентируемое $n$ -мерное многообразие с краем, а $ω$ — $(n - 1)$ -форма на $M$ , то обобщенная форма теоремы Стокса утверждает, что

\int _{M}d\omega =\int _{\partial {M}}\omega

Интуитивно понятно, что если представить $М$ как разделенное на бесконечно малые области и сложить поток через границы всех областей , то все внутренние границы уничтожатся, оставив общий поток через границу $М.$

Дополнительные свойства

Закрытые и точные формы

k -форма $ω$ называется замкнутой, если $dω$ $= 0$ ; замкнутые формы являются ядром d $.$ $ω$ называется точной, если $ω$ $=$ $dα$ для некоторой $($ $k$ $- 1)$ -формы $α$ ; точные формы являются образом d $.$ Поскольку $d$ $2$ $=$ $0$ , каждая точная форма замкнута. Лемма Пуанкаре утверждает, что в стягиваемой области верно обратное.

когомологии де Рама

Поскольку внешняя производная $d$ обладает свойством $d 2 = 0$ , ее можно использовать в качестве дифференциала (кограницы) для определения когомологий де Рама на многообразии. $K$ -я когомология де Рама (группа) является векторным пространством замкнутых $k$ -форм по модулю точных $k$ -форм; как отмечалось в предыдущем разделе, лемма Пуанкаре утверждает, что эти векторные пространства тривиальны для стягиваемой области при $k > 0$ . Для гладких многообразий интегрирование форм дает естественный гомоморфизм из когомологий де Рама в сингулярные когомологии над $ℝ$ . Теорема де Рама показывает, что это отображение на самом деле является изоморфизмом, далеко идущим обобщением леммы Пуанкаре. Как предполагает обобщенная теорема Стокса, внешняя производная является «двойственным» отображению границы на сингулярных симплексах.

Естественность

Внешняя производная естественна в техническом смысле: если $f$ $:$ $M$ $\to$ $N$ — гладкое отображение, а $Ω$ $k$ — контравариантный гладкий функтор , который сопоставляет каждому многообразию пространство $k$ -форм на многообразии, то следующая диаграмма коммутирует

поэтому $d (f * ω) = f * dω$ , где $f$ $*$ обозначает пулбэк f . Это следует из того, что $f$ $*$ $ω$ $(\cdot)$ , по определению, есть ω $($ $f$ $*$ $($ $\cdot))$ , $f$ $*$ является пушфорвардом $f$ . Таким образом, d $является$ естественным преобразованием $из$ $Ω$ $k$ в $Ω$ $k$ $+1$ .

Внешняя производная в векторном исчислении

Большинство операторов векторного исчисления являются частными случаями понятия внешнего дифференцирования или имеют с ним тесную связь.

Градиент

Гладкая функция f $:$ $M$ $\to$ $ℝ$ на вещественном дифференцируемом многообразии $M$ является $0$ -формой. Внешняя производная этой $0-$ формы является $1$ -формой $df$ .

Когда скалярное произведение $⟨\cdot,\cdot⟩$ определено, градиент $\nabla f$ функции $f$ определяется как уникальный вектор в $V$ такой, что его скалярное произведение с любым элементом $V$ является производной $f$ по направлению вдоль вектора, то есть таким, что

\langle \nabla f,\cdot \rangle =df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}.

То есть,

\nabla f=(df)^{\sharp }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,\left(dx^{i}\right)^{\sharp },

где $♯$ обозначает музыкальный изоморфизм $♯ : V * \to V$ , упомянутый ранее, который индуцируется скалярным произведением.

$1$ - форма $df$ является сечением кокасательного расслоения , которое дает локальное линейное приближение к $f$ в кокасательном пространстве в каждой точке.

Дивергенция

Векторному полю $V = (v 1, v 2, ..., v n)$ на $ℝ n$ соответствует $(n - 1)$ -форма

{\begin{aligned}\omega _{V}&=v_{1}\left(dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)-v_{2}\left(dx^{1}\wedge dx^{3}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)+\cdots +(-1)^{n-1}v_{n}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n-1}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{(i-1)}v_{i}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{i-1}\wedge {\widehat {dx^{i}}}\wedge dx^{i+1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)\end{aligned}}

где обозначает пропуск этого элемента. ${\widehat {dx^{i}}}$

(Например, когда $n = 3 , т.е.$ $в$ трехмерном пространстве, $2$ -форма $ω V$ локально является скалярным тройным произведением с $V$ .) Интеграл от $ω V$ по гиперповерхности — это поток V по этой гиперповерхности.

Внешняя производная этой $(n - 1)$ -формы есть $n$ -форма

d\omega _{V}=\operatorname {div} V\left(dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right).

Завиток

Векторному полю $V$ на $ℝ n$ также соответствует $1$ -форма

\eta _{V}=v_{1}\,dx^{1}+v_{2}\,dx^{2}+\cdots +v_{n}\,dx^{n}.

Локально $η V$ является скалярным произведением на $V.$ Интеграл $η V$ вдоль пути — это работа, совершаемая против $- V$ вдоль этого пути.

При $n = 3$ в трехмерном пространстве внешняя производная $1$ -формы $η V$ является $2$ -формой

d\eta _{V}=\omega _{\operatorname {curl} V}.

Инвариантные формулировки операторов в векторном исчислении

Стандартные операторы векторного исчисления можно обобщить для любого псевдориманова многообразия и записать в безкоординатной нотации следующим образом:

{\begin{array}{rcccl}\operatorname {grad} f&\equiv &\nabla f&=&\left(df\right)^{\sharp }\\\operatorname {div} F&\equiv &\nabla \cdot F&=&{\star d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}}\\\operatorname {curl} F&\equiv &\nabla \times F&=&\left({\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp }\\\Delta f&\equiv &\nabla ^{2}f&=&{\star }d{\star }df\\&&\nabla ^{2}F&=&\left(d{\star }d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}-{\star }d{\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp },\\\end{array}}

где $⋆$ — оператор звезды Ходжа , $♭$ и $♯$ — музыкальные изоморфизмы , $f$ — скалярное поле , а $F$ — векторное поле .

Обратите внимание, что выражение для $rot$ требует , чтобы $♯$ действовал на $⋆ d (F ♭)$ , что является формой степени $n - 2.$ Естественное обобщение $♯$ на $k$ -формы произвольной степени позволяет этому выражению иметь смысл для любого $n$ .

Смотрите также

Примечания

^ Спивак (1970), стр. 7-18, Т. 13

Ссылки

Картан, Эли (1899). «Sur определенные выражения différentielles et le problème de Pfaff». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Серия 3 (на французском языке). 16 . Париж: Готье-Виллар: 239–332. дои : 10.24033/asens.467 . ISSN 0012-9593. ЖФМ 30.0313.04 . Проверено 2 февраля 2016 г.
Конлон, Лоуренс (2001). Дифференцируемые многообразия . Базель, Швейцария: Birkhäuser. стр. 239. ISBN 0-8176-4134-3.
Darling, RWR (1994). Дифференциальные формы и связи . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. стр. 35. ISBN 0-521-46800-0.
Фландерс, Харли (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 20. ISBN 0-486-66169-5.
Лумис, Линн Х.; Стернберг, Шломо (1989). Advanced Calculus. Бостон: Jones and Bartlett. стр. 304–473 (гл. 7–11). ISBN 0-486-66169-5.
Раманан, С. (2005). Глобальное исчисление . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 54. ISBN 0-8218-3702-8.
Спивак, Майкл (1971). Исчисление на многообразиях . Боулдер, Колорадо: Westview Press. ISBN 9780805390216.
Спивак, Майкл (1970), Всестороннее введение в дифференциальную геометрию , т. 1, Бостон, Массачусетс: Publish or Perish, Inc, ISBN 0-914098-00-4
Уорнер, Фрэнк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Graduate Texts in Mathematics, т. 94, Springer, ISBN 0-387-90894-3

Внешние ссылки

Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: «Производная — это не то, что вы думаете». Aleph Zero . 3 ноября 2020 г. — через YouTube .