stringtranslate.com

Волновой пакет

Зацикленная анимация волнового пакета, распространяющегося без дисперсии: огибающая сохраняется даже при изменении фазы

В физике волновой пакет (также известный как волновой поезд или волновая группа ) представляет собой короткий всплеск локализованного волнового действия, который распространяется как единое целое, очерченное огибающей . Волновой пакет может быть проанализирован или синтезирован из потенциально бесконечного набора компонентных синусоидальных волн с различными волновыми числами , с фазами и амплитудами, такими, что они конструктивно интерферируют только в небольшой области пространства и деструктивно в других местах. [1] Любой сигнал ограниченной ширины во времени или пространстве требует множества частотных компонентов вокруг центральной частоты в пределах полосы пропускания, обратно пропорциональной этой ширине; даже гауссова функция считается волновым пакетом, потому что ее преобразование Фурье представляет собой «пакет» волн частот, сгруппированных вокруг центральной частоты. [2] Каждая компонентная волновая функция , а следовательно, и волновой пакет, являются решениями волнового уравнения . В зависимости от волнового уравнения профиль волнового пакета может оставаться постоянным (без дисперсии) или может изменяться (дисперсия) при распространении.

Историческая справка

Идеи, связанные с волновыми пакетами – модуляцией , несущими волнами , фазовой скоростью и групповой скоростью – датируются серединой 1800-х годов. Идея групповой скорости, отличной от фазовой скорости волны, была впервые предложена У. Р. Гамильтоном в 1839 году, а первое полное рассмотрение было дано Рэлеем в его «Теории звука» в 1877 году. [3]

Эрвин Шредингер ввел идею волновых пакетов сразу после публикации своего знаменитого волнового уравнения . [4] Он решил свое волновое уравнение для квантового гармонического осциллятора , ввел принцип суперпозиции и использовал его, чтобы показать, что компактное состояние может сохраняться. Хотя эта работа действительно привела к важной концепции когерентных состояний , концепция волнового пакета не выдержала испытания. Через год после статьи Шредингера Вернер Гейзенберг опубликовал свою статью о принципе неопределенности , показав в процессе, что результаты Шредингера применимы только к квантовым гармоническим осцилляторам , а не, например, к кулоновскому потенциалу, характерному для атомов. [4] : 829 

В следующем, 1927 году, Чарльз Гальтон Дарвин исследовал уравнение Шредингера для несвязанного электрона в свободном пространстве, предполагая начальный гауссовский волновой пакет. [5] Дарвин показал, что в более позднее время положение пакета, движущегося со скоростью, будет

где — неопределенность начального положения.

Позже, в 1927 году, Пауль Эренфест показал, что время, необходимое для распространения волнового пакета материи шириной и массой в 2 раза, составляет . Поскольку оно настолько мало, волновые пакеты в масштабах макроскопических объектов с большой шириной и массой удваиваются только в космических масштабах времени. [4] : 830 

Значение в квантовой механике

Квантовая механика описывает природу атомных и субатомных систем с помощью волнового уравнения Шредингера . Классический предел квантовой механики и многие формулировки квантового рассеяния используют волновые пакеты, сформированные из различных решений этого уравнения. Профили квантовых волновых пакетов изменяются при распространении; они показывают дисперсию. Физики пришли к выводу, что «волновые пакеты не подходят в качестве представлений субатомных частиц». [4] : 829 

Волновые пакеты и классический предел

Шредингер разработал волновые пакеты в надежде интерпретировать квантовые волновые решения как локально компактные волновые группы. [4] Такие пакеты жертвуют локализацией положения ради распространения импульса. В координатном представлении волны (например, в декартовой системе координат ) положение локализованной вероятности частицы определяется положением пакетного решения. Чем уже пространственный волновой пакет и, следовательно, чем лучше локализовано положение волнового пакета, тем больше разброс импульса волны . Этот компромисс между разбросом положения и разбросом импульса является характерной чертой принципа неопределенности Гейзенберга.

Один из видов оптимального компромисса минимизирует произведение неопределенности положения и неопределенности импульса . [6] : 60  Если мы поместим такой пакет в состояние покоя, он останется в состоянии покоя: среднее значение положения и импульса соответствует классической частице. Однако он распространяется во всех направлениях со скоростью, заданной оптимальной неопределенностью импульса . Распространение происходит настолько быстро, что на расстоянии одного оборота вокруг атома волновой пакет становится неузнаваемым.

Волновые пакеты и квантовое рассеяние

Взаимодействия частиц называются в физике рассеянием ; математика волновых пакетов играет важную роль в квантовых подходах рассеяния . Монохроматический (одиночный импульс) источник создает трудности сходимости в моделях рассеяния. [7] : 150  Задачи рассеяния также имеют классические пределы. Всякий раз, когда рассеивающая цель (например, атом) имеет размер, намного меньший, чем волновой пакет, центр волнового пакета следует классическим траекториям рассеяния. В других случаях волновой пакет искажается и рассеивается при взаимодействии с целью. [8] : 295 

Базовые модели поведения

Недисперсионный

Волновой пакет без дисперсии (действительная или мнимая часть)

Без дисперсии волновой пакет сохраняет свою форму по мере распространения. В качестве примера распространения без дисперсии рассмотрим волновые решения следующего волнового уравнения из классической физики

где с — скорость распространения волны в данной среде.

Используя физическое соглашение о времени, e iωt , волновое уравнение имеет решения в виде плоских волн

где и

Это соотношение между ω и k должно быть справедливым, чтобы плоская волна была решением волнового уравнения. Оно называется дисперсионным соотношением .

Для упрощения рассмотрим только волны, распространяющиеся в одном измерении (расширение до трех измерений не вызывает затруднений). Тогда общее решение будет таким, в котором мы можем взять ω = kc . Первый член представляет волну, распространяющуюся в положительном направлении x, поскольку он является функцией только xct ; второй член, будучи функцией x + ct , представляет волну, распространяющуюся в отрицательном направлении x .

Волновой пакет — это локализованное возмущение, которое является результатом суммы многих различных волновых форм . Если пакет сильно локализован, необходимо больше частот, чтобы обеспечить конструктивную суперпозицию в области локализации и деструктивную суперпозицию вне области. Из основных решений в одном измерении общая форма волнового пакета может быть выражена как

Как и в случае плоской волны, волновой пакет движется вправо при ω ( k ) = kc , поскольку u ( x , t ) = F ( xct ) , и влево при ω ( k ) = − kc , поскольку u ( x , t ) = F ( x + ct ) .

Фактор происходит из соглашений преобразования Фурье . Амплитуда A ( k ) содержит коэффициенты линейной суперпозиции решений плоской волны. Эти коэффициенты, в свою очередь, могут быть выражены как функция u ( x , t ), оцененная при t = 0 путем инвертирования соотношения преобразования Фурье выше:

Например, выбрав

мы получаем

и наконец

Недисперсионное распространение действительной или мнимой части этого волнового пакета представлено на приведенной выше анимации.

Дисперсионный

Волновой пакет с дисперсией. Обратите внимание, что волна распространяется, а ее амплитуда уменьшается.
Плотность вероятности пространства положений изначально гауссова состояния, движущегося в одном измерении с минимально неопределенным постоянным импульсом в свободном пространстве.

Напротив, в качестве примера дисперсии , где волна меняет форму во время распространения, рассмотрим решения свободного уравнения Шредингера (безразмерного с x , m и ħ , равными единице), что дает дисперсионное соотношение [9]

Еще раз, ограничивая внимание одним измерением, можно увидеть, что решение уравнения Шредингера, удовлетворяющее начальному условию , представляющее собой волновой пакет, локализованный в пространстве в начале координат, имеет вид

Впечатление о дисперсионном поведении этого волнового пакета можно получить, посмотрев на плотность вероятности: Очевидно, что этот дисперсионный волновой пакет, двигаясь с постоянной групповой скоростью k o , быстро делокализуется: его ширина увеличивается со временем как 1 + 4 t 2 → 2 t , поэтому в конечном итоге он распространяется в неограниченную область пространства. [nb 1]

Профиль импульса A ( k ) остается неизменным. Вероятность тока равна

Гауссовские волновые пакеты в квантовой механике

Суперпозиция плоских волн 1D (синие), которые суммируются, образуя гауссовский волновой пакет (красный), который распространяется вправо, расширяясь. Синие точки соответствуют фазовой скорости каждой плоской волны, а красная линия соответствует центральной групповой скорости.
Одномерный гауссовский волновой пакет, показанный на комплексной плоскости, для a =2 и k =4

Вышеуказанный дисперсионный гауссовский волновой пакет, ненормализованный и просто центрированный в начале координат, вместо этого при t = 0, теперь может быть записан в трехмерном виде, теперь в стандартных единицах: [10] [11] где a — положительное действительное число, квадрат ширины волнового пакета ,

Одномерный гауссовский волновой пакет, показанный на комплексной плоскости, для . Групповая скорость равна нулю. При волновая функция имеет нулевую фазу и минимальную ширину. При волновая функция имеет квадратичную фазу, уменьшая ширину. При волновая функция имеет квадратичную фазу, увеличивая ширину.

Преобразование Фурье также является гауссовым по волновому числу, вектору k (с обратной шириной, т.е. удовлетворяет соотношению неопределенностей ),

Каждая отдельная волна вращается только по фазе во времени, так что зависящее от времени решение, преобразованное Фурье, имеет вид

Одномерный гауссовский волновой пакет, показанный на комплексной плоскости, для . Общая групповая скорость положительна, и волновой пакет движется по мере рассеивания.

Обратное преобразование Фурье по-прежнему является гауссовым, но теперь параметр a стал комплексным, и появился общий коэффициент нормализации. [6]

Интеграл Ψ по всему пространству инвариантен, поскольку он является внутренним произведением Ψ с состоянием нулевой энергии, которое является волной с бесконечной длиной волны, постоянной функцией пространства. Для любого собственного состояния энергии η ( x ) внутренний продукт изменяется только со временем простым образом: его фаза вращается с частотой, определяемой энергией η . Когда η имеет нулевую энергию, как и волна с бесконечной длиной волны, он вообще не меняется.

Для заданного фаза волновой функции изменяется с положением как . Она изменяется квадратично с положением, что означает, что это отличается от умножения на линейный фазовый множитель , как в случае придания постоянного импульса волновому пакету. В общем случае фаза гауссовского волнового пакета имеет как линейный член, так и квадратичный член. Коэффициент квадратичного члена начинает увеличиваться от к , когда гауссовский волновой пакет становится острее, затем в момент максимальной остроты фаза волновой функции изменяется линейно с положением. Затем коэффициент квадратичного члена увеличивается от к , когда гауссовский волновой пакет снова расширяется.

Интеграл ∫ |Ψ| 2 d 3 r также инвариантен, что является утверждением сохранения вероятности. Явно,

где a — ширина P ( r ) при t = 0 ; r — расстояние от начала координат; скорость частицы равна нулю; а начало времени t = 0 может быть выбрано произвольно.

Ширина гауссианы — интересная величина, которую можно вычислить из плотности вероятности, |Ψ| 2 ,

Эта ширина в конечном итоге линейно растет со временем, как ħt /( m a ) , что указывает на распространение волнового пакета . [12]

Например, если электронный волновой пакет изначально локализован в области атомных размеров (т. е. 10 −10 м), то ширина пакета удваивается примерно за 10 −16 с. Очевидно, что пакеты волн частиц действительно очень быстро распространяются (в свободном пространстве): [13] Например, через 1 мс ширина вырастет примерно до километра.

Этот линейный рост является отражением (не зависящей от времени) неопределенности импульса: волновой пакет ограничен узким Δ x = a /2 , и поэтому имеет импульс, который неопределен (согласно принципу неопределенности) на величину ħ / 2 a , разброс по скорости ħ/m 2 a , и, таким образом, в будущем положении на ħt /m 2 a . Соотношение неопределенности тогда является строгим неравенством, очень далеким от насыщения, на самом деле! Начальная неопределенность Δ x Δ p = ħ /2 теперь увеличилась в ħt/ma раз (для больших t ).

2D-кейс

Двумерный гауссовский квантовый волновой пакет. Цвет (желтый зеленый синий) указывает на фазу волновой функции , его яркость указывает на . ,

Гауссова двумерная квантовая волновая функция:

где

[14]

Поезд Эйри-Волна

В отличие от приведенного выше гауссовского волнового пакета, который движется с постоянной групповой скоростью и всегда рассеивается, существует волновая функция, основанная на функциях Эйри , которая распространяется свободно без дисперсии огибающей, сохраняя свою форму и ускоряясь в свободном пространстве: [15] где, для простоты (и безразмерности ), выбор ħ = 1 , m = 1/2 и B произвольной константы приводит к

В этой бессиловой ситуации нет никакого диссонанса с теоремой Эренфеста , поскольку состояние ненормализуемо и имеет неопределенное (бесконечное) x для всех времен. (В той степени, в которой его можно определить, p ⟩ = 0 для всех времен, несмотря на кажущееся ускорение фронта.)

Последовательность волн Эйри — единственная бездисперсионная волна в одномерном свободном пространстве. [16] В более высоких измерениях возможны другие бездисперсионные волны. [17]

Поезд волн Эйри в фазовом пространстве. Его форма представляет собой ряд парабол с одной и той же осью, но колеблющихся согласно функции Эйри. Его временная эволюция представляет собой сдвиг вдоль направления . Каждая парабола сохраняет свою форму при этом сдвиге, а ее вершина совершает трансляцию вдоль другой параболы. Таким образом, поезд волн Эйри не рассеивается, а групповое движение поезда волн претерпевает постоянное ускорение.

В фазовом пространстве это очевидно в чистом состоянии распределения квазивероятности Вигнера этого волнового поезда, форма которого по x и p инвариантна с течением времени, но чьи характеристики ускоряются вправо, в ускоряющихся параболах. Функция Вигнера удовлетворяет Три равенства демонстрируют три факта:

  1. Эволюция во времени эквивалентна переносу в фазовом пространстве на .
  2. Контурные линии функции Вигнера представляют собой параболы формы .
  3. Эволюция во времени эквивалентна сдвигу в фазовом пространстве вдоль направления со скоростью .

Обратите внимание, что распределение импульса, полученное путем интегрирования по всем x, является постоянным. Поскольку это плотность вероятности в пространстве импульсов , очевидно, что сама волновая функция не нормализуется.

Бесплатный пропагатор

Узкий предел ширины обсуждаемого решения гауссовского волнового пакета — это ядро ​​свободного пропагатора K. Для других дифференциальных уравнений это обычно называется функцией Грина [18], но в квантовой механике традиционно резервируют название функции Грина для временного преобразования Фурье K.

Возвращаясь для простоты к одному измерению, при этом m и ħ полагаются равными единице, когда a — бесконечно малая величина ε , гауссовское начальное условие, масштабированное так, чтобы его интеграл был равен единице, становится дельта-функцией , δ ( x ) , так что его временная эволюция дает пропагатор.

Обратите внимание, что очень узкий начальный волновой пакет мгновенно становится бесконечно широким, но с фазой, которая более быстро колеблется при больших значениях x . Это может показаться странным — решение переходит от локализации в одной точке к «везде» во все более поздние моменты времени , но это является отражением огромной неопределенности импульса локализованной частицы, как объяснялось выше.

Далее отметим, что норма волновой функции бесконечна, что также верно, поскольку квадрат дельта- функции расходится таким же образом.

Множитель, включающий ε, является бесконечно малой величиной, которая нужна для того, чтобы гарантировать, что интегралы по K хорошо определены. В пределе ε → 0 , K становится чисто колебательным, и интегралы по K не являются абсолютно сходящимися. В оставшейся части этого раздела он будет установлен равным нулю, но для того, чтобы все интегрирования по промежуточным состояниям были хорошо определены, предел ε → 0 должен быть взят только после вычисления конечного состояния.

Пропагатор — это амплитуда достижения точки x в момент времени t , при старте в начале координат, x = 0. В силу инвариантности к трансляции амплитуда достижения точки x при старте в точке y — это та же функция, только теперь сдвинутая,

В пределе, когда t мало, пропагатор переходит в дельта-функцию , но только в смысле распределений : интеграл этой величины, умноженный на произвольную дифференцируемую тестовую функцию, дает значение тестовой функции в нуле.

Чтобы увидеть это, обратите внимание, что интеграл по всему пространству K всегда равен 1, поскольку этот интеграл является внутренним произведением K с однородной волновой функцией. Но фазовый множитель в показателе экспоненты имеет ненулевую пространственную производную везде, кроме начала координат, и поэтому, когда время мало, во всех точках, кроме одной, происходят быстрые фазовые сокращения. Это строго верно, когда предел ε → 0 берется в самом конце.

Итак, ядро ​​распространения — это (будущая) временная эволюция дельта-функции, и она непрерывна в некотором смысле: она переходит к начальной дельта-функции в малые времена. Если начальная волновая функция — это бесконечно узкий всплеск в позиции y , она становится колебательной волной,

Теперь, поскольку каждая функция может быть записана как взвешенная сумма таких узких пиков, временная эволюция каждой функции ψ 0 определяется этим ядром распространения K ,

Таким образом, это формальный способ выражения фундаментального решения или общего решения . Интерпретация этого выражения заключается в том, что амплитуда для частицы, которая должна быть найдена в точке x в момент времени t, представляет собой амплитуду, с которой она начала движение в точке y , умноженную на амплитуду, с которой она прошла путь от y до x , просуммированную по всем возможным начальным точкам . Другими словами, это свертка ядра K с произвольным начальным условием ψ 0 ,

Поскольку амплитуду перемещения от x до y за время t + t ' можно рассматривать в два этапа, пропагатор подчиняется тождеству состава, которое можно интерпретировать следующим образом: амплитуда перемещения от x до z за время t + t ' является суммой амплитуды перемещения от x до y за время t , умноженной на амплитуду перемещения от y до z за время t ', просуммированной по всем возможным промежуточным состояниям y . Это свойство произвольной квантовой системы, и, разделяя время на множество сегментов, оно позволяет выразить эволюцию времени как интеграл по траектории . [19]

Аналитическое продолжение диффузии

Распространение волновых пакетов в квантовой механике напрямую связано с распространением плотностей вероятности в диффузии . Для частицы, которая хаотично гуляет , функция плотности вероятности в любой точке удовлетворяет уравнению диффузии (см. также уравнение теплопроводности ), где множитель 2, который можно убрать путем изменения масштаба времени или пространства, используется только для удобства.

Решением этого уравнения является распространяющаяся гауссова функция, и, поскольку интеграл от ρ t постоянен, а ширина становится уже при малых временах, эта функция приближается к дельта-функции при t = 0, опять же только в смысле распределений, так что для любой гладкой тестовой функции f .

Распространяющийся гауссиан является ядром распространения для уравнения диффузии и подчиняется тождеству свертки , что позволяет выразить диффузию как интеграл по траектории. Пропагатор является экспонентой оператора H , который является оператором бесконечно малой диффузии,

Матрица имеет два индекса, что в непрерывном пространстве делает ее функцией x и x '. В этом случае, из-за инвариантности трансляции, элемент матрицы K зависит только от разницы положения, и удобным злоупотреблением обозначения является обозначение оператора, элементов матрицы и функции разницы одним и тем же именем:

Инвариантность трансляции означает, что непрерывное умножение матриц по сути является сверткой,

Экспонента может быть определена в диапазоне t , включающем комплексные значения, при условии, что интегралы по ядру распространения остаются сходящимися. Пока действительная часть z положительна, для больших значений x K экспоненциально убывает, а интегралы по K действительно абсолютно сходятся.

Пределом этого выражения для z , приближающегося к чисто мнимой оси, является вышеупомянутый пропагатор Шредингера, который иллюстрирует приведенную выше временную эволюцию гауссианов.

Из фундаментального тождества возведения в степень или интегрирования по траектории следует, что оно справедливо для всех комплексных значений z , где интегралы абсолютно сходятся, так что операторы определены корректно.

Таким образом, квантовая эволюция гауссиана, представляющего собой комплексное ядро ​​диффузии K , представляет собой эволюционирующее во времени состояние,

Это иллюстрирует вышеуказанную диффузную форму комплексных гауссовых решений,

Смотрите также

Замечания

  1. ^ Напротив, введение членов взаимодействия в дисперсионные уравнения, такие как для квантового гармонического осциллятора, может привести к появлению недисперсионных по огибающей, классически выглядящих решений — см. когерентные состояния: Такие «минимальные состояния неопределенности» действительно насыщают принцип неопределенности навсегда.

Ссылки

  1. ^ Джой Мэннерс (2000), Квантовая физика: Введение, CRC Press, стр. 53–56, ISBN 978-0-7503-0720-8
  2. ^ Шварц, Мэтью. "Лекция 11: Волновые пакеты и дисперсия" (PDF) . scholar.harvard.edu . Архивировано (PDF) из оригинала 2023-03-18 . Получено 2023-06-22 .
  3. ^ Бриллюэн, Леон (1960), Распространение волн и групповая скорость , Нью-Йорк: Academic Press Inc., OCLC  537250
  4. ^ abcde Kragh, Хельге (2009). «Волновой пакет». В Гринбергере, Дэниел; Хентшель, Клаус; Вайнерт, Фридель (ред.). Сборник квантовой физики . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 828–830. дои : 10.1007/978-3-540-70626-7_232. ISBN 978-3-540-70622-9.
  5. ^ Дарвин, Чарльз Гальтон. «Свободное движение в волновой механике». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического и физического характера 117.776 (1927): 258-293.
  6. ^ ab Schiff, Leonard I. (1995). Квантовая механика . Международная серия по чистой и прикладной физике (3-е изд., 29-е печатное изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-055287-6.
  7. ^ Ньютон, Роджер Г. (1982). Теория рассеяния волн и частиц . Тексты и монографии по физике (2-е изд.). Нью-Йорк, Гейдельберг, Берлин: Springer. ISBN 978-0-387-10950-3.
  8. ^ Сасскинд, Леонард; Фридман, Арт; Сасскинд, Леонард (2014). Квантовая механика: теоретический минимум; [что нужно знать, чтобы начать заниматься физикой] . Теоретический минимум / Леонард Сасскинд и Джордж Грабовский. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Basic Books. ISBN 978-0-465-08061-8.
  9. ^ Холл, Брайан С. (2013). Квантовая теория для математиков . Нью-Йорк Гейдельберг Дордрехт Лондон: Springer. С. 91–92. ISBN 978-1-4614-7115-8.
  10. ^ Паули, Вольфганг (2000), Волновая механика: Том 5 лекций Паули по физике , Книги по физике, Dover Publications , ISBN 978-0-486-41462-1
  11. ^ * Эберс, Э.; Пирсон, Эд (2004), Квантовая механика , Эддисон Уэсли , Prentice-Hall Inc. , ISBN 978-0-13-146100-0
  12. ^ Дарвин, К. Г. (1927). «Свободное движение в волновой механике», Труды Лондонского королевского общества. Серия А, содержащая статьи математического и физического характера 117 (776), 258-293.
  13. ^ Ричард Фицпатрик, Колебания и волны
  14. ^ Коэн-Таннуджи, Диу и Лалоэ, Квантовая механика, дополнение G I , §3-a
  15. ^ Берри, М. В.; Балаж, Н. Л. (1979), «Нераспространяющиеся волновые пакеты», Am J Phys , 47 (3): 264–267, Bibcode : 1979AmJPh..47..264B, doi : 10.1119/1.11855
  16. ^ Унникришнан, К.; Рау, АРП (1996-08-01). «Уникальность пакета Эйри в квантовой механике». American Journal of Physics . 64 (8): 1034–1035. doi :10.1119/1.18322. ISSN  0002-9505.
  17. ^ Эфремидис, Николаос К.; Чен, Чжиган; Сегев, Мордехай; Христодулидес, Деметриос Н. (20 мая 2019 г.). «Воздушные лучи и ускоряющиеся волны: обзор последних достижений». Оптика . 6 (5): 686. arXiv : 1904.02933 . дои : 10.1364/OPTICA.6.000686. ISSN  2334-2536.
  18. ^ Джексон, Дж. Д. (1975), Классическая электродинамика (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , Inc., ISBN 978-0-471-43132-9
  19. ^ Фейнман, RP ; Хиббс, AR (1965), Квантовая механика и интегралы по траекториям , Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-020650-2

Внешние ссылки