Волновой пакет

Короткий «всплеск» или «конверт» ограниченного волнового воздействия, распространяющийся как единое целое

Зацикленная анимация волнового пакета, распространяющегося без дисперсии: огибающая сохраняется даже при изменении фазы

В физике волновой пакет (также известный как волновой поезд или волновая группа ) представляет собой короткий всплеск локализованного волнового действия, который распространяется как единое целое, очерченное огибающей . Волновой пакет может быть проанализирован или синтезирован из потенциально бесконечного набора компонентных синусоидальных волн с различными волновыми числами , с фазами и амплитудами, такими, что они конструктивно интерферируют только в небольшой области пространства и деструктивно в других местах. ^[1] Любой сигнал ограниченной ширины во времени или пространстве требует множества частотных компонентов вокруг центральной частоты в пределах полосы пропускания, обратно пропорциональной этой ширине; даже гауссова функция считается волновым пакетом, потому что ее преобразование Фурье представляет собой «пакет» волн частот, сгруппированных вокруг центральной частоты. ^[2] Каждая компонентная волновая функция , а следовательно, и волновой пакет, являются решениями волнового уравнения . В зависимости от волнового уравнения профиль волнового пакета может оставаться постоянным (без дисперсии) или может изменяться (дисперсия) при распространении.

Историческая справка

Идеи, связанные с волновыми пакетами – модуляцией , несущими волнами , фазовой скоростью и групповой скоростью – датируются серединой 1800-х годов. Идея групповой скорости, отличной от фазовой скорости волны, была впервые предложена У. Р. Гамильтоном в 1839 году, а первое полное рассмотрение было дано Рэлеем в его «Теории звука» в 1877 году. ^[3]

Эрвин Шредингер представил идею волновых пакетов сразу после публикации своего знаменитого волнового уравнения . ^[4] Он решил свое волновое уравнение для квантового гармонического осциллятора , ввел принцип суперпозиции и использовал его, чтобы показать, что компактное состояние может сохраняться. Хотя эта работа действительно привела к важной концепции когерентных состояний , концепция волнового пакета не выдержала испытания. Через год после статьи Шредингера Вернер Гейзенберг опубликовал свою статью о принципе неопределенности , показав в процессе, что результаты Шредингера применимы только к квантовым гармоническим осцилляторам , а не, например, к кулоновскому потенциалу, характерному для атомов. ^{[4] : 829}

В следующем, 1927 году, Чарльз Гальтон Дарвин исследовал уравнение Шредингера для несвязанного электрона в свободном пространстве, предполагая начальный гауссовский волновой пакет. ^[5] Дарвин показал, что в более позднее время положение пакета, движущегося со скоростью, будет ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle x_{0}+vt\pm {\sqrt {\sigma ^{2}+(ht/2\pi \sigma m)^{2}}}}$$

где — неопределенность начального положения. ${\displaystyle \sigma }$

Позже, в 1927 году, Пауль Эренфест показал, что время, необходимое для распространения волнового пакета материи шириной и массой в 2 раза, составляет . Поскольку оно настолько мало, волновые пакеты в масштабах макроскопических объектов с большой шириной и массой удваиваются только в космических масштабах времени. ^{[4] : 830} ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle m}$ ${\textstyle T\approx \Delta x{\sqrt {m/\hbar }}}$ ${\displaystyle \hbar }$

Значение в квантовой механике

Квантовая механика описывает природу атомных и субатомных систем с помощью волнового уравнения Шредингера . Классический предел квантовой механики и многие формулировки квантового рассеяния используют волновые пакеты, сформированные из различных решений этого уравнения. Профили квантовых волновых пакетов изменяются при распространении; они показывают дисперсию. Физики пришли к выводу, что «волновые пакеты не подходят в качестве представлений субатомных частиц». ^{[4] : 829}

Волновые пакеты и классический предел

Шредингер разработал волновые пакеты в надежде интерпретировать квантовые волновые решения как локально компактные волновые группы. ^[4] Такие пакеты жертвуют локализацией положения ради распространения импульса. В координатном представлении волны (например, в декартовой системе координат ) положение локализованной вероятности частицы определяется положением пакетного решения. Чем уже пространственный волновой пакет и, следовательно, чем лучше локализовано положение волнового пакета, тем больше разброс импульса волны . Этот компромисс между разбросом положения и разбросом импульса является характерной чертой принципа неопределенности Гейзенберга.

Один из видов оптимального компромисса минимизирует произведение неопределенности положения и неопределенности импульса . ^{[6] : 60} Если мы поместим такой пакет в состояние покоя, он останется в состоянии покоя: среднее значение положения и импульса соответствует классической частице. Однако он распространяется во всех направлениях со скоростью, заданной оптимальной неопределенностью импульса . Распространение происходит настолько быстро, что на расстоянии одного оборота вокруг атома волновой пакет становится неузнаваемым. ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta p_{x}}$ ${\displaystyle \Delta p_{x}}$

Волновые пакеты и квантовое рассеяние

Взаимодействия частиц называются в физике рассеянием ; математика волновых пакетов играет важную роль в квантовых подходах рассеяния . Монохроматический (одиночный импульс) источник создает трудности сходимости в моделях рассеяния. ^{[7] : 150} Задачи рассеяния также имеют классические пределы. Всякий раз, когда рассеивающая цель (например, атом) имеет размер, намного меньший, чем волновой пакет, центр волнового пакета следует классическим траекториям рассеяния. В других случаях волновой пакет искажается и рассеивается при взаимодействии с целью. ^{[8] : 295}

Базовые модели поведения

Недисперсионный

Волновой пакет без дисперсии (действительная или мнимая часть)

Без дисперсии волновой пакет сохраняет свою форму по мере распространения. В качестве примера распространения без дисперсии рассмотрим волновые решения следующего волнового уравнения из классической физики $${\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\,\nabla ^{2}u,}$$

где с — скорость распространения волны в данной среде.

Используя физическое соглашение о времени, e ^{− iωt} , волновое уравнение имеет решения в виде плоских волн $${\displaystyle u(\mathbf {x} ,t)=e^{i{(\mathbf {k\cdot x} }-\omega t)},}$$

где и $${\displaystyle \omega ^{2}=|\mathbf {k} |^{2}c^{2},}$$ ${\displaystyle |\mathbf {k} |^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}.}$

Это соотношение между ω и k должно быть справедливым, чтобы плоская волна была решением волнового уравнения. Оно называется дисперсионным соотношением .

Для упрощения рассмотрим только волны, распространяющиеся в одном измерении (расширение до трех измерений не вызывает затруднений). Тогда общее решение будет таким, в котором мы можем взять ω = kc . Первый член представляет волну, распространяющуюся в положительном направлении x, поскольку он является функцией только x − ct ; второй член, будучи функцией x + ct , представляет волну, распространяющуюся в отрицательном направлении x . $${\displaystyle u(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}+Be^{-i(kx+\omega t)},}$$

Волновой пакет — это локализованное возмущение, которое является результатом суммы многих различных волновых форм . Если пакет сильно локализован, необходимо больше частот, чтобы обеспечить конструктивную суперпозицию в области локализации и деструктивную суперпозицию вне области. Из основных решений в одном измерении общая форма волнового пакета может быть выражена как $${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\,dk.}$$

Как и в случае плоской волны, волновой пакет движется вправо при ω ( k ) = kc , поскольку u ( x , t ) = F ( x − ct ) , и влево при ω ( k ) = − kc , поскольку u ( x , t ) = F ( x + ct ) .

Фактор исходит из соглашений о преобразовании Фурье . Амплитуда A ( k ) содержит коэффициенты линейной суперпозиции решений плоской волны. Эти коэффициенты, в свою очередь, могут быть выражены как функция u ( x , t ), оцененная при t = 0 путем инвертирования соотношения преобразования Фурье выше: ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$ $${\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }u(x,0)~e^{-ikx}\,dx.}$$

Например, выбрав $${\displaystyle u(x,0)=e^{-x^{2}+ik_{0}x},}$$

мы получаем $${\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{-{\frac {(k-k_{0})^{2}}{4}}},}$$

и наконец $${\displaystyle {\begin{aligned}u(x,t)&=e^{-(x-ct)^{2}+ik_{0}(x-ct)}\\&=e^{-(x-ct)^{2}}\left[\cos \left(2\pi {\frac {x-ct}{\lambda }}\right)+i\sin \left(2\pi {\frac {x-ct}{\lambda }}\right)\right].\end{aligned}}}$$

Недисперсионное распространение действительной или мнимой части этого волнового пакета представлено на приведенной выше анимации.

Дисперсионный

Волновой пакет с дисперсией. Обратите внимание, что волна распространяется, а ее амплитуда уменьшается.

Плотность вероятности пространства положений изначально гауссова состояния, движущегося в одном измерении с минимально неопределенным постоянным импульсом в свободном пространстве.

Напротив, в качестве примера дисперсии , где волна меняет форму во время распространения, рассмотрим решения свободного уравнения Шредингера (безразмерного с 2Δ x , m и ħ , равными единице), что дает дисперсионное соотношение ^[9] $${\displaystyle i{\partial \psi \over \partial t}=-{\frac {1}{2}}{\nabla ^{2}\psi },}$$ $${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}|\mathbf {k} |^{2}.}$$

Еще раз, ограничивая внимание одним измерением, можно увидеть, что решение уравнения Шредингера, удовлетворяющее начальному условию , представляющее собой волновой пакет, локализованный в пространстве в начале координат, имеет вид ${\textstyle \psi (x,0)={\sqrt[{4}]{2/\pi }}\exp \left({-x^{2}+ik_{0}x}\right)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x,t)&={\frac {\sqrt[{4}]{2/\pi }}{\sqrt {1+2it}}}e^{-{\frac {1}{4}}k_{0}^{2}}~e^{-{\frac {1}{1+2it}}\left(x-{\frac {ik_{0}}{2}}\right)^{2}}\\&={\frac {\sqrt[{4}]{2/\pi }}{\sqrt {1+2it}}}e^{-{\frac {1}{1+4t^{2}}}(x-k_{0}t)^{2}}~e^{i{\frac {1}{1+4t^{2}}}\left((k_{0}+2tx)x-{\frac {1}{2}}tk_{0}^{2}\right)}~.\end{aligned}}}$$

Впечатление о дисперсионном поведении этого волнового пакета можно получить, посмотрев на плотность вероятности: Очевидно, что этот дисперсионный волновой пакет, двигаясь с постоянной групповой скоростью k _o , быстро делокализуется: его ширина увеличивается со временем как √ 1 + 4 t ² → 2 t , поэтому в конечном итоге он распространяется в неограниченную область пространства. ^{[nb 1]} $${\displaystyle |\psi (x,t)|^{2}={\frac {\sqrt {2/\pi }}{\sqrt {1+4t^{2}}}}~e^{-{\frac {2(x-k_{0}t)^{2}}{1+4t^{2}}}}~.}$$

Профиль импульса A ( k ) остается неизменным. Вероятность тока равна $${\displaystyle j=\rho v={\frac {1}{2i}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})=\rho \left(k_{0}+{\frac {4t(x-k_{0}t)}{1+4t^{2}}}\right).}$$

Гауссовские волновые пакеты в квантовой механике

Суперпозиция плоских волн 1D (синие), которые суммируются, образуя гауссовский волновой пакет (красный), который распространяется вправо, расширяясь. Синие точки соответствуют фазовой скорости каждой плоской волны, а красная линия соответствует центральной групповой скорости.

Одномерный гауссовский волновой пакет, показанный на комплексной плоскости, для a =2 и k =4

Вышеуказанный дисперсионный гауссовский волновой пакет, ненормализованный и просто центрированный в начале координат, вместо этого при t = 0, теперь может быть записан в трехмерном виде, теперь в стандартных единицах: ^{[10] [11]} где a — положительное действительное число, квадрат ширины волнового пакета , $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,0)=e^{-\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} /2a},}$$ $${\displaystyle a=2\langle \mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta x)^{2}.}$$

Одномерный гауссовский волновой пакет, показанный на комплексной плоскости, для . Групповая скорость равна нулю. При волновая функция имеет нулевую фазу и минимальную ширину. При волновая функция имеет квадратичную фазу, уменьшая ширину. При волновая функция имеет квадратичную фазу, увеличивая ширину. ${\displaystyle a=1,\hbar =1,k_{0}=0,m=1}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle t<0}$ ${\displaystyle t>0}$

Преобразование Фурье также является гауссовым по волновому числу, вектору k (с обратной шириной, т.е. удовлетворяет соотношению неопределенностей ), $${\displaystyle 1/a=2\langle \mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta p_{x}/\hbar )^{2},}$$ $${\displaystyle \Delta x\Delta p_{x}=\hbar /2,}$$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {k} ,0)=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}.}$$

Каждая отдельная волна вращается только по фазе во времени, так что зависящее от времени решение, преобразованное Фурье, имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (\mathbf {k} ,t)&=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}e^{-iEt/\hbar }\\&=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2-i(\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2m)t/\hbar }\\&=(2\pi a)^{3/2}e^{-(a+i\hbar t/m)\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}.\end{aligned}}}$

Одномерный гауссовский волновой пакет, показанный на комплексной плоскости, для . Общая групповая скорость положительна, и волновой пакет движется по мере рассеивания. ${\displaystyle a=1,\hbar =1,k_{0}=1,m=1}$

Обратное преобразование Фурье по-прежнему является гауссовым, но теперь параметр a стал комплексным, и появился общий коэффициент нормализации. ^[6]

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\left({a \over a+i\hbar t/m}\right)^{3/2}e^{-{\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \over 2(a+i\hbar t/m)}}.}$

Интеграл Ψ по всему пространству инвариантен, поскольку он является внутренним произведением Ψ с состоянием нулевой энергии, которое является волной с бесконечной длиной волны, постоянной функцией пространства. Для любого собственного состояния энергии η ( x ) внутренний продукт изменяется только со временем простым образом: его фаза вращается с частотой, определяемой энергией η . Когда η имеет нулевую энергию, как и волна с бесконечной длиной волны, он вообще не меняется. $${\displaystyle \langle \eta |\psi \rangle =\int \eta (\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} ,}$$

Для заданного фаза волновой функции изменяется с положением как . Она изменяется квадратично с положением, что означает, что это отличается от умножения на линейный фазовый множитель , как в случае придания волновому пакету постоянного импульса. В общем случае фаза гауссовского волнового пакета имеет как линейный член, так и квадратичный член. Коэффициент квадратичного члена начинает увеличиваться от к , когда гауссовский волновой пакет становится острее, затем в момент максимальной остроты фаза волновой функции изменяется линейно с положением. Затем коэффициент квадратичного члена увеличивается от к , когда гауссовский волновой пакет снова расширяется. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\frac {\hbar t/m}{2(a^{2}+(\hbar t/m)^{2})}}\|\mathbf {r} \|^{2}}$ ${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle +\infty }$

Интеграл ∫ |Ψ| ² d ³ r также инвариантен, что является утверждением сохранения вероятности. Явно,

${\displaystyle P(r)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}\Psi =\left({a \over {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}}}\right)^{3}~e^{-{a\,\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \over a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}},}$

где √ a — ширина P ( r ) при t = 0 ; r — расстояние от начала координат; скорость частицы равна нулю; а начало времени t = 0 может быть выбрано произвольно.

Ширина гауссианы — интересная величина, которую можно определить из плотности вероятности, |Ψ| ² ,

$${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2} \over a}}.}$$Эта ширина в конечном итоге линейно растет со временем, как ħt /( m √ a ) , что указывает на распространение волнового пакета . ^[12]

Например, если электронный волновой пакет изначально локализован в области атомных размеров (т. е. 10 ⁻¹⁰ м), то ширина пакета удваивается примерно за 10 ⁻¹⁶ с. Очевидно, что пакеты волн частиц действительно распространяются очень быстро (в свободном пространстве): ^[13] Например, через 1 мс ширина вырастет примерно до километра.

Этот линейный рост является отражением (не зависящей от времени) неопределенности импульса: волновой пакет ограничен узким Δ x = √ a /2 , и поэтому имеет импульс, который неопределен (согласно принципу неопределенности) на величину ħ / √ 2 a , разброс по скорости ħ/m √ 2 a , и, таким образом, в будущем положении на ħt /m √ 2 a . Соотношение неопределенности тогда является строгим неравенством, очень далеким от насыщения, на самом деле! Начальная неопределенность Δ x Δ p = ħ /2 теперь увеличилась в ħt/ma раз (для больших t ).

2D-кейс

Двумерный гауссовский квантовый волновой пакет. Цвет (желтый зеленый синий) указывает на фазу волновой функции , его яркость указывает на . , ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle |\psi |^{2}/|\psi |_{max}^{2}}$ ${\displaystyle k_{0x}=k_{0}}$ ${\displaystyle k_{0y}=0}$

Гауссова двумерная квантовая волновая функция:

${\displaystyle \psi (x,y,t)=\psi (x,t)\psi (y,t)}$

${\displaystyle \psi (x,t)=({\frac {2a^{2}}{\pi }})^{1/4}{\frac {e^{i\phi }}{(a^{4}+{\frac {4\hbar ^{2}t^{2}}{m^{2}}})^{1/4}}}e^{ik_{0}x}\exp[-{\frac {(x-{\frac {\hbar k_{0}}{m}}t)^{2}}{a^{2}+{\frac {2i\hbar t}{m}}}}]}$

где

${\displaystyle \phi =-\theta -{\frac {\hbar k_{0}^{2}}{2m}}t}$

${\displaystyle tg(2\theta )={\frac {2\hbar t}{ma^{2}}}}$ ^[14]

Поезд Эйри-Волна

В отличие от приведенного выше гауссовского волнового пакета, который движется с постоянной групповой скоростью и всегда рассеивается, существует волновая функция, основанная на функциях Эйри , которая распространяется свободно без дисперсии огибающей, сохраняя свою форму и ускоряясь в свободном пространстве: ^[15] где, для простоты (и безразмерности ), выбор ħ = 1 , m = 1/2 и B произвольной константы приводит к $${\displaystyle \psi =\operatorname {Ai} \left[{\frac {B}{\hbar ^{2/3}}}\left(x-{\frac {B^{3}t^{2}}{4m^{2}}}\right)\right]e^{(iB^{3}t/2m\hbar )[x-(B^{3}t^{2}/6m^{2})]},}$$ $${\displaystyle \psi =\operatorname {Ai} [B(x-B^{3}t^{2})]\,e^{iB^{3}t(x-{\tfrac {2}{3}}B^{3}t^{2})}\,.}$$

В этой бессиловой ситуации нет никакого диссонанса с теоремой Эренфеста , поскольку состояние ненормализуемо и имеет неопределенное (бесконечное) ⟨ x ⟩ для всех времен. (В той степени, в которой его можно определить, ⟨ p ⟩ = 0 для всех времен, несмотря на кажущееся ускорение фронта.)

Последовательность волн Эйри — единственная волна без дисперсии в одномерном свободном пространстве. ^[16] В более высоких измерениях возможны другие волны без дисперсии. ^[17]

Поезд волн Эйри в фазовом пространстве. Его форма представляет собой ряд парабол с одной и той же осью, но колеблющихся согласно функции Эйри. Его временная эволюция представляет собой сдвиг вдоль направления . Каждая парабола сохраняет свою форму при этом сдвиге, а ее вершина совершает трансляцию вдоль другой параболы. Таким образом, поезд волн Эйри не рассеивается, а групповое движение поезда волн претерпевает постоянное ускорение. ${\displaystyle x}$

В фазовом пространстве это очевидно в чистом состоянии распределения квазивероятности Вигнера этого волнового поезда, форма которого по x и p инвариантна с течением времени, но чьи характеристики ускоряются вправо, в ускоряющихся параболах. Функция Вигнера удовлетворяет Три равенства демонстрируют три факта: $${\displaystyle {\begin{aligned}W(x,p;t)&=W(x-B^{3}t^{2},p-B^{3}t;0)\\&={\frac {1}{2^{1/3}\pi B}}\,\mathrm {Ai} \left(2^{2/3}\left(B(x-B^{3}t^{2}\right)+\left(p/B-tB^{2})^{2}\right)\right)\\&=W(x-2pt,p;0).\end{aligned}}}$$

1. Эволюция во времени эквивалентна переносу в фазовом пространстве на . ${\displaystyle (B^{3}t^{2},B^{3}t)}$
2. Контурные линии функции Вигнера представляют собой параболы формы . ${\textstyle B\left(x-B^{3}t^{2}\right)+\left(p/B-tB^{2}\right)^{2}=C}$
3. Эволюция во времени эквивалентна сдвигу в фазовом пространстве вдоль направления со скоростью . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p/m=2p}$

Обратите внимание, что распределение импульса, полученное путем интегрирования по всем x, является постоянным. Поскольку это плотность вероятности в пространстве импульсов , очевидно, что сама волновая функция не нормализуется.

Бесплатный пропагатор

Узкий предел ширины обсуждаемого решения гауссовского волнового пакета — это ядро ​​свободного пропагатора K. Для других дифференциальных уравнений это обычно называется функцией Грина ^[18], но в квантовой механике традиционно резервируют название функции Грина для временного преобразования Фурье K.

Возвращаясь для простоты к одному измерению, при этом m и ħ полагаются равными единице, когда a — бесконечно малая величина ε , начальное условие Гаусса, масштабированное так, чтобы его интеграл был равен единице, становится дельта-функцией , δ ( x ) , так что его временная эволюция дает пропагатор. $${\displaystyle \psi _{0}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi \varepsilon }}}e^{-{x^{2} \over 2\varepsilon }}\,}$$ $${\displaystyle K_{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (it+\varepsilon )}}}e^{-x^{2} \over 2it+\varepsilon }\,}$$

Обратите внимание, что очень узкий начальный волновой пакет мгновенно становится бесконечно широким, но с фазой, которая более быстро колеблется при больших значениях x . Это может показаться странным — решение переходит от локализации в одной точке к «везде» во все более поздние моменты времени , но это является отражением огромной неопределенности импульса локализованной частицы, как объяснялось выше.

Далее отметим, что норма волновой функции бесконечна, что также верно, поскольку квадрат дельта- функции расходится таким же образом.

Множитель, включающий ε, является бесконечно малой величиной, которая нужна для того, чтобы гарантировать, что интегралы по K хорошо определены. В пределе ε → 0 , K становится чисто колебательным, а интегралы по K не являются абсолютно сходящимися. В оставшейся части этого раздела он будет установлен равным нулю, но для того, чтобы все интегрирования по промежуточным состояниям были хорошо определены, предел ε → 0 должен быть взят только после вычисления конечного состояния.

Пропагатор — это амплитуда достижения точки x в момент времени t , при старте в начале координат, x = 0. В силу инвариантности к трансляции амплитуда достижения точки x при старте в точке y — это та же функция, только теперь сдвинутая, $${\displaystyle K_{t}(x,y)=K_{t}(x-y)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2} \over 2t}\,.}$$

В пределе, когда t мало, пропагатор переходит в дельта-функцию , но только в смысле распределений : интеграл этой величины, умноженный на произвольную дифференцируемую тестовую функцию, дает значение тестовой функции в нуле. $${\displaystyle \lim _{t\to 0}K_{t}(x-y)=\delta (x-y)~,}$$

Чтобы увидеть это, обратите внимание, что интеграл по всему пространству K всегда равен 1, поскольку этот интеграл является внутренним произведением K с однородной волновой функцией. Но фазовый множитель в показателе экспоненты имеет ненулевую пространственную производную везде, кроме начала координат, и поэтому, когда время мало, во всех точках, кроме одной, происходят быстрые фазовые сокращения. Это строго верно, когда предел ε → 0 берется в самом конце. $${\displaystyle \int K_{t}(x)dx=1\,,}$$

Итак, ядро ​​распространения — это (будущая) временная эволюция дельта-функции, и она непрерывна в некотором смысле: она переходит к начальной дельта-функции в малые времена. Если начальная волновая функция — это бесконечно узкий всплеск в позиции y , она становится колебательной волной, $${\displaystyle \psi _{0}(x)=\delta (x-y)\,,}$$ $${\displaystyle \psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2}/2t}\,.}$$

Теперь, поскольку каждая функция может быть записана как взвешенная сумма таких узких пиков, временная эволюция каждой функции ψ ₀ определяется этим ядром распространения K , $${\displaystyle \psi _{0}(x)=\int \psi _{0}(y)\delta (x-y)dy\,,}$$

${\displaystyle \psi _{t}(x)=\int \psi _{0}(y){1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2}/2t}dy\,.}$

Таким образом, это формальный способ выражения фундаментального решения или общего решения . Интерпретация этого выражения заключается в том, что амплитуда для частицы, которая должна быть найдена в точке x в момент времени t, представляет собой амплитуду, с которой она начала движение в точке y , умноженную на амплитуду, с которой она прошла путь от y до x , просуммированную по всем возможным начальным точкам . Другими словами, это свертка ядра K с произвольным начальным условием ψ ₀ , $${\displaystyle \psi _{t}=K*\psi _{0}\,.}$$

Поскольку амплитуду перемещения от x до y за время t + t ' можно рассматривать в два этапа, пропагатор подчиняется тождеству состава, которое можно интерпретировать следующим образом: амплитуда перемещения от x до z за время t + t ' является суммой амплитуды перемещения от x до y за время t , умноженной на амплитуду перемещения от y до z за время t ', просуммированной по всем возможным промежуточным состояниям y . Это свойство произвольной квантовой системы, и, разделяя время на множество сегментов, оно позволяет выразить эволюцию времени как интеграл по траектории . ^[19] $${\displaystyle \int K(x-y;t)K(y-z;t')dy=K(x-z;t+t')~,}$$

Аналитическое продолжение диффузии

Распространение волновых пакетов в квантовой механике напрямую связано с распространением плотностей вероятности в диффузии . Для частицы, которая хаотично гуляет , функция плотности вероятности в любой точке удовлетворяет уравнению диффузии (см. также уравнение теплопроводности ), где множитель 2, который можно убрать путем изменения масштаба времени или пространства, используется только для удобства. $${\displaystyle {\partial \over \partial t}\rho ={1 \over 2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\rho ~,}$$

Решением этого уравнения является распространяющаяся гауссова функция, и, поскольку интеграл от ρ _t постоянен, а ширина становится уже при малых временах, эта функция приближается к дельта-функции при t = 0, опять же только в смысле распределений, так что для любой гладкой тестовой функции f . $${\displaystyle \rho _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2} \over 2t}~,}$$ $${\displaystyle \lim _{t\to 0}\rho _{t}(x)=\delta (x)}$$ $${\displaystyle \lim _{t\to 0}\int _{x}f(x)\rho _{t}(x)=f(0)}$$

Распространяющийся гауссиан является ядром распространения для уравнения диффузии и подчиняется тождеству свертки , что позволяет выразить диффузию как интеграл по траектории. Пропагатор является экспонентой оператора H , который является оператором бесконечно малой диффузии, $${\displaystyle K_{t+t'}=K_{t}*K_{t'}\,,}$$ $${\displaystyle K_{t}(x)=e^{-tH}\,,}$$ $${\displaystyle H=-{\nabla ^{2} \over 2}\,.}$$

Матрица имеет два индекса, что в непрерывном пространстве делает ее функцией x и x '. В этом случае, из-за инвариантности трансляции, элемент матрицы K зависит только от разницы положения, и удобным злоупотреблением обозначения является обозначение оператора, элементов матрицы и функции разницы одним и тем же именем: $${\displaystyle K_{t}(x,x')=K_{t}(x-x')\,.}$$

Инвариантность трансляции означает, что непрерывное умножение матриц по сути является сверткой, $${\displaystyle C(x,x'')=\int _{x'}A(x,x')B(x',x'')\,,}$$ $${\displaystyle C(\Delta )=C(x-x'')=\int _{x'}A(x-x')B(x'-x'')=\int _{y}A(\Delta -y)B(y)\,.}$$

Экспонента может быть определена в диапазоне t , включающем комплексные значения, при условии, что интегралы по ядру распространения остаются сходящимися. Пока действительная часть z положительна, для больших значений x K экспоненциально убывает, а интегралы по K действительно абсолютно сходятся. $${\displaystyle K_{z}(x)=e^{-zH}\,.}$$

Пределом этого выражения для z , приближающегося к чисто мнимой оси, является вышеупомянутый пропагатор Шредингера, который иллюстрирует приведенную выше временную эволюцию гауссианов. $${\displaystyle K_{t}^{\rm {Schr}}=K_{it+\varepsilon }=e^{-(it+\varepsilon )H}\,,}$$

Из фундаментального тождества возведения в степень или интегрирования по траектории следует, что оно справедливо для всех комплексных значений z , где интегралы абсолютно сходятся, так что операторы определены корректно. $${\displaystyle K_{z}*K_{z'}=K_{z+z'}\,}$$

Таким образом, квантовая эволюция гауссиана, представляющего собой комплексное ядро ​​диффузии K , представляет собой эволюционирующее во времени состояние, $${\displaystyle \psi _{0}(x)=K_{a}(x)=K_{a}*\delta (x)\,}$$ $${\displaystyle \psi _{t}=K_{it}*K_{a}=K_{a+it}\,.}$$

Это иллюстрирует вышеуказанную диффузную форму комплексных гауссовых решений, $${\displaystyle \psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (a+it)}}}e^{-{x^{2} \over 2(a+it)}}\,.}$$

Смотрите также

• Волна
• Распространение волн
• анализ Фурье
• Групповая скорость
• Фазовая скорость
• Свободная частица
• Когерентные состояния
• Форма волны
• Вейвлет
• Волна материи
• Импульс (обработка сигнала)
• Пульс (физика)
• Уравнение Шредингера
• Введение в квантовую механику
• Солитон

Замечания

1. Напротив, введение членов взаимодействия в дисперсионные уравнения, такие как для квантового гармонического осциллятора, может привести к появлению недисперсионных по огибающей, классически выглядящих решений — см. когерентные состояния: Такие «минимальные состояния неопределенности» действительно насыщают принцип неопределенности навсегда.

Ссылки

1. Джой Мэннерс (2000), Квантовая физика: Введение, CRC Press, стр. 53–56, ISBN 978-0-7503-0720-8
2. Шварц, Мэтью. "Лекция 11: Волновые пакеты и дисперсия" (PDF) . scholar.harvard.edu . Архивировано (PDF) из оригинала 2023-03-18 . Получено 2023-06-22 .
3. Бриллюэн, Леон (1960), Распространение волн и групповая скорость , Нью-Йорк: Academic Press Inc., OCLC  537250
4. Kragh, Хельге (2009). «Волновой пакет». В Гринбергере, Дэниел; Хентшель, Клаус; Вайнерт, Фридель (ред.). Сборник квантовой физики . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 828–830. дои : 10.1007/978-3-540-70626-7_232. ISBN 978-3-540-70622-9.
5. Дарвин, Чарльз Гальтон. «Свободное движение в волновой механике». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического и физического характера 117.776 (1927): 258-293.
6. Schiff, Leonard I. (1995). Квантовая механика . Международная серия по чистой и прикладной физике (3-е изд., 29-е печатное изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-055287-6.
7. Ньютон, Роджер Г. (1982). Теория рассеяния волн и частиц . Тексты и монографии по физике (2-е изд.). Нью-Йорк, Гейдельберг, Берлин: Springer. ISBN 978-0-387-10950-3.
8. Сасскинд, Леонард; Фридман, Арт; Сасскинд, Леонард (2014). Квантовая механика: теоретический минимум; [что нужно знать, чтобы начать заниматься физикой] . Теоретический минимум / Леонард Сасскинд и Джордж Грабовский. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Basic Books. ISBN 978-0-465-08061-8.
9. Холл, Брайан С. (2013). Квантовая теория для математиков . Нью-Йорк Гейдельберг Дордрехт Лондон: Springer. С. 91–92. ISBN 978-1-4614-7115-8.
10. Паули, Вольфганг (2000), Волновая механика: Том 5 лекций Паули по физике , Книги по физике, Dover Publications , ISBN 978-0-486-41462-1
11. * Эберс, Э.; Пирсон, Эд (2004), Квантовая механика , Эддисон Уэсли , Prentice-Hall Inc. , ISBN 978-0-13-146100-0
12. Дарвин, К. Г. (1927). «Свободное движение в волновой механике», Труды Лондонского королевского общества. Серия А, содержащая статьи математического и физического характера 117 (776), 258-293.
13. Ричард Фицпатрик, Колебания и волны
14. Коэн-Таннуджи, Диу и Лалоэ, Квантовая механика, дополнение G _I , §3-a
15. Берри, М. В.; Балаж, Н. Л. (1979), «Нераспространяющиеся волновые пакеты», Am J Phys , 47 (3): 264–267, Bibcode : 1979AmJPh..47..264B, doi : 10.1119/1.11855
16. Унникришнан, К.; Рау, АРП (1996-08-01). «Уникальность пакета Эйри в квантовой механике». American Journal of Physics . 64 (8): 1034–1035. doi :10.1119/1.18322. ISSN  0002-9505.
17. Эфремидис, Николаос К.; Чэнь, Чжиган; Сегев, Мордехай; Христодулидес, Деметриос Н. (2019-05-20). «Эйри-пучки и ускоряющиеся волны: обзор последних достижений». Optica . 6 (5): 686. arXiv : 1904.02933 . doi :10.1364/OPTICA.6.000686. ISSN  2334-2536.
18. Джексон, Дж. Д. (1975), Классическая электродинамика (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , Inc., ISBN 978-0-471-43132-9
19. Фейнман, RP ; Хиббс, AR (1965), Квантовая механика и интегралы по траекториям , Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-020650-2

Внешние ссылки

• Учебные материалы, связанные с движением волновых пакетов в Викиверситете
• Словарное определение волнового пакета в Викисловаре
• 1d График волнового пакета в Google
• 1d Волновой поезд и график плотности вероятности в Google
• 2d Wave пакетный график в Google
• 2d Wave поезд график в Google
• 2d график плотности вероятности в Google
• Квантовая физика онлайн: Интерактивное моделирование свободного волнового пакета
• Web-Schrödinger: интерактивное 2D моделирование динамики волнового пакета
• Моделирование волнового пакета в 2D (согласно Фурье-синтезу в 2D)