В математике (и, в частности, в геометрии ) полуокружность — это одномерное геометрическое место точек, образующее половину окружности . Это дуга окружности , которая измеряет 180° (что эквивалентно π радиан или полуобороту ). Она имеет только одну линию симметрии ( симметрия отражения ).
В нетехническом использовании термин «полукруг» иногда используется для обозначения либо замкнутой кривой , которая также включает сегмент диаметра от одного конца дуги до другого, либо полукруга , который представляет собой двумерную геометрическую область , которая дополнительно включает все внутренние точки.
По теореме Фалеса любой треугольник , вписанный в полукруг с вершинами на каждом из концов полукруга и третьей вершиной в другом месте полукруга, является прямоугольным треугольником с прямым углом в третьей вершине.
Все прямые, пересекающие полуокружность перпендикулярно, пересекаются в центре окружности, содержащей данную полуокружность.
Полукруг можно использовать для построения арифметического и геометрического среднего двух длин с помощью линейки и циркуля. Для полукруга с диаметром a + b длина его радиуса равна арифметическому среднему a и b (так как радиус равен половине диаметра).
Геометрическое среднее можно найти, разделив диаметр на два отрезка длиной a и b , а затем соединив их общую конечную точку с полуокружностью отрезком, перпендикулярным диаметру. Длина полученного отрезка является геометрическим средним. Это можно доказать, применив теорему Пифагора к трем подобным прямоугольным треугольникам, каждый из которых имеет вершины в точке, где перпендикуляр касается полуокружности, и две из трех конечных точек отрезков длиной a и b . [1]
Построение геометрического среднего может быть использовано для преобразования любого прямоугольника в квадрат той же площади, проблема называется квадратурой прямоугольника. Длина стороны квадрата является геометрическим средним длин сторон прямоугольника. В более общем смысле, она используется как лемма в общем методе преобразования любой многоугольной формы в подобную копию самой себя с площадью любой другой заданной многоугольной формы. [2]
Последовательность Фарея порядка n — это последовательность полностью сокращенных дробей , которые в наименьших членах имеют знаменатели , меньшие или равные n , расположенные в порядке возрастания размера. При ограниченном определении каждая последовательность Фарея начинается со значения 0, обозначаемого дробью 0/1 , и заканчивается дробью 1/1 . Окружности Форда можно построить касательными к их соседям и к оси x в этих точках. Полуокружности, соединяющие соседние точки на оси x, проходят через точки контакта под прямым углом. [3]
Уравнение полуокружности со средней точкой на диаметре между ее концами, которая полностью вогнута снизу, имеет вид
Если он полностью вогнут сверху, уравнение имеет вид
Арбелос — это область на плоскости, ограниченная тремя полуокружностями, соединенными в своих конечных точках, которые находятся по одну сторону от прямой линии ( базовой линии ), содержащей их диаметры .
