В четырехмерной геометрии выпрямленная 5-ячейка представляет собой однородный 4-политоп, состоящий из 5 правильных тетраэдрических и 5 правильных октаэдрических ячеек . Каждое ребро имеет один тетраэдр и два октаэдра. Каждая вершина имеет два тетраэдра и три октаэдра. Всего у него 30 треугольных граней, 30 ребер и 10 вершин. Каждая вершина окружена 3 октаэдрами и 2 тетраэдрами; вершинная фигура представляет собой треугольную призму .
Топологически, при его наивысшей симметрии, [3,3,3], существует только одна геометрическая форма, содержащая 5 правильных тетраэдров и 5 выпрямленных тетраэдров (что геометрически то же самое, что и правильный октаэдр). Он также топологически идентичен тетраэдро-октаэдрическому сегментохорону. [ требуется пояснение ]
Вершинная фигура выпрямленной пятиячейки представляет собой равномерную треугольную призму , образованную тремя октаэдрами по бокам и двумя тетраэдрами на противоположных концах. [1]
Несмотря на то, что число вершин совпадает с числом ячеек (10), а число ребер совпадает с числом граней (30), выпрямленная 5-ячейка не является самодвойственной, поскольку вершинная фигура (однородная треугольная призма) не является двойственной ячейкам полихорона.
В матрице конфигурации показаны все подсчеты инцидентности между элементами. Диагональные числа f-вектора выводятся с помощью построения Витхоффа , деля полный групповой порядок на подгрупповой порядок, удаляя по одному зеркалу за раз. [2]
Вместе с симплексом и 24-ячейкой эта форма и ее двойственная (многогранник с десятью вершинами и десятью треугольными бипирамидальными гранями) были одними из первых известных 2-простых 2-симплициальных 4-многогранников. Это означает, что все его двумерные грани и все двумерные грани его двойственного являются треугольниками. В 1997 году Том Брейден нашел еще одну двойственную пару примеров, склеив две выпрямленные 5-ячейки; с тех пор было построено бесконечно много 2-простых 2-симплициальных многогранников. [3] [4]
Это один из трех полуправильных 4-многогранников, состоящих из двух или более ячеек, которые являются Платоновыми телами , открытыми Торольдом Госсетом в его статье 1900 года. Он назвал его тетрооктаэдриком , поскольку он состоит из ячеек тетраэдра и октаэдра . [5]
В 1912 году Э. Л. Элте определил его как полуправильный многогранник, обозначив его как tC 5 .
Декартовы координаты вершин выпрямленного 5-ячейкового многоугольника с центром в начале координат и длиной ребра 2 равны:
Проще говоря, вершины выпрямленной 5-ячейки могут быть расположены на гиперплоскости в 5-пространстве как перестановки (0,0,0,1,1) или (0,0,1,1,1). Эти конструкции можно рассматривать как положительные ортантные грани выпрямленного пентакросса или биректифицированного пентеракта соответственно.
Выпрямленная 5-ячейка является вершинной фигурой 5 -демикуба и краевой фигурой однородного 2 21-го многогранника .
Выпуклая оболочка выпрямленного 5-ячейника и его двойственного (того же большого радиуса) представляет собой неоднородный полихор, состоящий из 30 ячеек: 10 тетраэдров , 20 октаэдров (как треугольные антипризмы) и 20 вершин. Его вершинная фигура — треугольный бифрустум .
Выпрямленный 5-ячейник является одним из 9 однородных 4-ячейников, построенных из группы Коксетера [3,3,3] .
Выпрямленный 5-ячейник является вторым в размерной серии полуправильных многогранников . Каждый прогрессивный однородный многогранник строится как вершинная фигура предыдущего многогранника. Торольд Госсет определил эту серию в 1900 году как содержащую все правильные грани многогранника , содержащие все симплексы и ортоплексы ( тетраэдры и октаэдры в случае выпрямленного 5-ячейника). Символ Коксетера для выпрямленного 5-ячейника — 0 21 .