Выражение в закрытой форме

Математическая формула, включающая заданный набор операций.

В математике выражение или уравнение находится в замкнутой форме , если оно образовано константами , переменными и конечным набором основных функций , связанных арифметическими операциями ( +, −, ×, / и целыми степенями ) и композицией функций . Обычно разрешенными функциями являются корень n- й степени , показательная функция , логарифм и тригонометрические функции . ^[a] Однако набор основных функций зависит от контекста.

Проблема замкнутой формы возникает, когда вводятся новые способы задания математических объектов , такие как пределы , ряды и интегралы : если задан объект с помощью таких инструментов, естественной проблемой является нахождение, если это возможно, выражения этого объекта в замкнутой форме , то есть выражения этого объекта в терминах предыдущих способов его задания.

Пример: корни многочленов

Квадратичная формула

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

представляет собой замкнутую форму решений общего квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

В более общем смысле, в контексте полиномиальных уравнений замкнутая форма решения — это решение в радикалах ; то есть выражение в замкнутой форме, для которого разрешенными функциями являются только корни n -й степени и полевые операции . Фактически, теория поля позволяет показать, что если решение полиномиального уравнения имеет замкнутую форму, включающую экспоненты, логарифмы или тригонометрические функции, то оно также имеет замкнутую форму, которая не включает эти функции. ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle (+,-,\times ,/).}$

Существуют выражения в радикалах для всех решений кубических уравнений (степень 3) и уравнений четвертой степени (степень 4). Размер этих выражений значительно увеличивается с ростом степени, что ограничивает их полезность.

В более высоких степенях теорема Абеля–Руффини утверждает, что существуют уравнения, решения которых не могут быть выражены в радикалах, и, таким образом, не имеют замкнутых форм. Простым примером является уравнение Теория Галуа предоставляет алгоритмический метод для определения того, может ли конкретное полиномиальное уравнение быть решено в радикалах. ${\displaystyle x^{5}-x-1=0.}$

Символическая интеграция

Символическое интегрирование по существу состоит из поиска замкнутых форм для первообразных функций, которые заданы выражениями замкнутой формы. В этом контексте основными функциями, используемыми для определения замкнутых форм, обычно являются логарифмы , показательные функции и полиномиальные корни . Функции, имеющие замкнутую форму для этих основных функций, называются элементарными функциями и включают тригонометрические функции , обратные тригонометрические функции , гиперболические функции и обратные гиперболические функции .

Таким образом, основная проблема символического интегрирования состоит в том, чтобы, имея элементарную функцию, заданную выражением в замкнутой форме, решить, является ли ее первообразная элементарной функцией, и, если это так, найти выражение в замкнутой форме для этой первообразной.

Для рациональных функций ; то есть для дробей двух полиномиальных функций ; первообразные не всегда являются рациональными дробями, но всегда являются элементарными функциями, которые могут включать логарифмы и полиномиальные корни. Это обычно доказывается с помощью частичного дробного разложения . Необходимость логарифмов и полиномиальных корней иллюстрируется формулой

${\displaystyle \int {\frac {f(x)}{g(x)}}\,dx=\sum _{\alpha \in \operatorname {Roots} (g(x))}{\frac {f(\alpha )}{g'(\alpha )}}\ln(x-\alpha ),}$

что справедливо, если и являются взаимно простыми многочленами, такими что является свободным от квадратов и ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \deg f<\deg g.}$

Альтернативные определения

Изменение определения «хорошо известно» для включения дополнительных функций может изменить набор уравнений с решениями в замкнутой форме. Многие кумулятивные функции распределения не могут быть выражены в замкнутой форме, если только не считать специальные функции , такие как функция ошибок или гамма-функция, хорошо известными. Можно решить уравнение пятой степени, если включить общие гипергеометрические функции , хотя решение слишком сложно алгебраически, чтобы быть полезным. Для многих практических компьютерных приложений вполне разумно предположить, что гамма-функция и другие специальные функции хорошо известны, поскольку численные реализации широко доступны.

Аналитическое выражение

Аналитическое выражение (также известное как выражение в аналитической форме или аналитическая формула ) — это математическое выражение , построенное с использованием хорошо известных операций, которые легко поддаются вычислениям. ^{[ неопределенно ] [ необходима цитата ]} Подобно выражениям в аналитической форме, набор известных допустимых функций может меняться в зависимости от контекста, но всегда включает в себя основные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление), возведение в действительную степень (включая извлечение корня n -й степени ), логарифмы и тригонометрические функции.

Однако класс выражений, считающихся аналитическими, имеет тенденцию быть шире, чем для выражений замкнутой формы. В частности, специальные функции , такие как функции Бесселя и гамма-функция, обычно разрешены, и часто таковыми являются бесконечные ряды и непрерывные дроби . С другой стороны, пределы в целом и интегралы в частности, как правило, исключаются. ^{[ необходима цитата ]}

Если аналитическое выражение включает в себя только алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в рациональную степень) и рациональные константы, то его более конкретно называют алгебраическим выражением .

Сравнение различных классов выражений

Выражения в замкнутой форме являются важным подклассом аналитических выражений, которые содержат конечное число приложений известных функций. В отличие от более широких аналитических выражений, выражения в замкнутой форме не включают бесконечные ряды или непрерывные дроби ; не включают интегралы или пределы . Действительно, по теореме Стоуна–Вейерштрасса любая непрерывная функция на единичном интервале может быть выражена как предел многочленов, поэтому любой класс функций, содержащий многочлены и замкнутый относительно пределов, обязательно будет включать все непрерывные функции.

Аналогично, говорят, что уравнение или система уравнений имеют решение в замкнутой форме , если и только если, по крайней мере, одно решение может быть выражено как выражение в замкнутой форме; и говорят, что они имеют аналитическое решение, если и только если, по крайней мере, одно решение может быть выражено как аналитическое выражение. Существует тонкое различие между « функцией замкнутой формы » и «числом замкнутой формы» в обсуждении «решения в замкнутой форме», обсуждаемом в (Chow 1999) и ниже. Решение в замкнутой форме или аналитическое решение иногда называют явным решением .

Работа с выражениями незамкнутой формы

Преобразование в выражения замкнутой формы

Выражение: не имеет замкнутой формы, поскольку суммирование влечет за собой бесконечное число элементарных операций. Однако, суммируя геометрическую прогрессию, это выражение можно выразить в замкнутой форме: ^[1] $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x}{2^{n}}}}$$ $${\displaystyle f(x)=2x.}$$

Дифференциальная теория Галуа

Интеграл замкнутого выражения может быть, а может и не быть сам по себе выражен в виде замкнутого выражения. Это исследование называется дифференциальной теорией Галуа по аналогии с алгебраической теорией Галуа.

Основная теорема дифференциальной теории Галуа была сформулирована Жозефом Лиувиллем в 1830–1840-х годах и поэтому называется теоремой Лиувилля .

Стандартный пример элементарной функции, первообразная которой не имеет замкнутого выражения, таков: единственная первообразная которой ( с точностью до мультипликативной константы) является функцией ошибки : $${\displaystyle e^{-x^{2}},}$$ $${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.}$$

Математическое моделирование и компьютерное моделирование

Уравнения или системы, слишком сложные для замкнутых или аналитических решений, часто можно проанализировать с помощью математического моделирования и компьютерной симуляции (пример из физики см. в ^[2] ).

Закрытое число

Три подполя комплексных чисел C были предложены как кодирующие понятие «числа замкнутой формы»; в порядке возрастания общности это числа Лиувилля (не путать с числами Лиувилля в смысле рациональной аппроксимации), числа EL и элементарные числа . Числа Лиувилля , обозначаемые L , образуют наименьшее алгебраически замкнутое подполе C , замкнутое относительно возведения в степень и логарифмирования (формально, пересечение всех таких подполей) — то есть числа, которые включают явное возведение в степень и логарифмы, но допускают явные и неявные многочлены (корни многочленов); это определено в (Ritt 1948, p. 60). L изначально называлось элементарными числами , но этот термин теперь используется более широко для обозначения чисел, определенных явно или неявно в терминах алгебраических операций, экспонент и логарифмов. Более узкое определение, предложенное в (Chow 1999, стр. 441–442), обозначается E и упоминается как числа EL , является наименьшим подполем C , замкнутым относительно возведения в степень и логарифма — оно не обязательно должно быть алгебраически замкнутым и соответствует явным алгебраическим, экспоненциальным и логарифмическим операциям. «EL» означает как «экспоненциальный–логарифмический», так и сокращение от «элементарный».

Является ли число числом замкнутой формы, связано с тем, является ли число трансцендентным . Формально, лиувиллевы числа и элементарные числа содержат алгебраические числа , и они включают некоторые, но не все трансцендентные числа. Напротив, числа EL не содержат все алгебраические числа, но включают некоторые трансцендентные числа. Числа замкнутой формы можно изучать с помощью теории трансцендентных чисел , в которой основным результатом является теорема Гельфонда–Шнайдера , а основным открытым вопросом является гипотеза Шануэля .

Численные вычисления

Для численных вычислений, в общем случае, не обязательно иметь замкнутую форму, поскольку многие пределы и интегралы можно эффективно вычислить. Некоторые уравнения не имеют решения в замкнутой форме, например, те, которые представляют задачу трех тел или модель Ходжкина–Хаксли . Поэтому будущие состояния этих систем должны быть вычислены численно.

Преобразование числовых форм

Существует программное обеспечение, которое пытается найти выражения в замкнутой форме для числовых значений, включая RIES, ^[3] identify в Maple ^[4] и SymPy , ^[5] Plouffe's Inverter, ^[6] и Inverse Symbolic Calculator . ^[7]

Смотрите также

• Алгебраическое решение  – Решение в радикалах полиномиального уравненияPages displaying short descriptions of redirect targets
• Компьютерное моделирование  – процесс математического моделирования, выполняемый на компьютере.
• Элементарная функция  – Математическая функция
• Финитная операция  – сложение, умножение, деление, ...Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Численное решение  – изучение алгоритмов с использованием численной аппроксимации.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Функция Лиувилля  – Элементарные функции и их конечно-повторяемые интегралы
• Символическая регрессия  – Тип регрессионного анализа
• Задача Тарского по алгебре для старшей школы  – Математическая задача
• Термин (логика)  – Компоненты математической или логической формулы.
• Самореферентная формула Таппера  – формула, которая визуально представляет себя при графическом отображении

Примечания

1. Гиперболические функции , обратные тригонометрические функции и обратные гиперболические функции также допускаются, поскольку их можно выразить через предыдущие функции.

Ссылки

1. Холтон, Глин. "Численное решение, решение в закрытой форме". riskglossary.com . Архивировано из оригинала 4 февраля 2012 . Получено 31 декабря 2012 .
2. Барсан, Виктор (2018). «Решения Зиверта трансцендентных уравнений, обобщенные функции Ламберта и физические приложения». Open Physics . 16 (1). De Gruyter: 232–242. arXiv : 1703.10052 . Bibcode : 2018OPhy...16...34B. doi : 10.1515/phys-2018-0034 .
3. Мунафо, Роберт. "RIES - Find Algebraic Equations, Given Their Solution". MROB . Получено 30 апреля 2012 г.
4. "identify". Maple Online Help . Maplesoft . Получено 30 апреля 2012 г. .
5. "Идентификация номера". Документация SymPy . Архивировано из оригинала 2018-07-06 . Получено 2016-12-01 .
6. "Plouffe's Inverter". Архивировано из оригинала 19 апреля 2012 года . Получено 30 апреля 2012 года .
7. "Обратный символьный калькулятор". Архивировано из оригинала 29 марта 2012 года . Получено 30 апреля 2012 года .

Дальнейшее чтение

• Ритт, Дж. Ф. (1948), Интеграция в конечных терминах
• Chow, Timothy Y. (май 1999), «Что такое число в замкнутой форме?», American Mathematical Monthly , 106 (5): 440–448, arXiv : math/9805045 , doi : 10.2307/2589148, JSTOR  2589148
• Джонатан М. Борвейн и Ричард Э. Крэндалл (январь 2013 г.), «Закрытые формы: что они такое и почему мы заботимся», Notices of the American Mathematical Society , 60 (1): 50–65, doi : 10.1090/noti936

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Решение в замкнутой форме». MathWorld .
• Замкнутые нейронные сети непрерывного времени