Атом водорода

Атом элемента водорода

Изображение атома водорода, диаметр которого примерно в два раза превышает радиус модели Бора . (Изображение не в масштабе)

Атом водорода — это атом химического элемента водорода . Электрически нейтральный атом содержит один положительно заряженный протон и один отрицательно заряженный электрон , связанный с ядром силой Кулона . Атомарный водород составляет около 75% барионной массы Вселенной. ^[1]

В повседневной жизни на Земле изолированные атомы водорода (называемые «атомарным водородом») встречаются крайне редко. Вместо этого атом водорода имеет тенденцию объединяться с другими атомами в соединениях или с другим атомом водорода с образованием обычного ( двуатомного ) газообразного водорода H ₂ . «Атомный водород» и «атом водорода» в обычном английском языке имеют пересекающиеся, но разные значения. Например, молекула воды содержит два атома водорода, но не содержит атомарного водорода (что относилось бы к изолированным атомам водорода).

Атомная спектроскопия показывает, что существует дискретный бесконечный набор состояний, в которых может существовать атом водорода (или любой другой), вопреки предсказаниям классической физики . Попытки разработать теоретическое понимание состояний атома водорода были важны для истории квантовой механики , поскольку все остальные атомы можно примерно понять, зная подробно об этой простейшей атомной структуре.

изотопы

Самый распространенный изотоп , водород-1 , протий или легкий водород , не содержит нейтронов и представляет собой просто протон и электрон . Протий стабилен и составляет 99,985% встречающихся в природе атомов водорода. ^[2]

Дейтерий ( ² H ) содержит в своем ядре один нейтрон и один протон. Дейтерий стабилен и составляет 0,0156% встречающегося в природе водорода ^[2] и используется в промышленных процессах, таких как ядерные реакторы и ядерный магнитный резонанс .

Тритий ( ^​​3 H ) содержит в своем ядре два нейтрона и один протон и нестабилен, распадается с периодом полураспада 12,32 года. Из-за короткого периода полураспада тритий не существует в природе, кроме как в следовых количествах.

Более тяжелые изотопы водорода создаются искусственно только в ускорителях частиц и имеют период полураспада порядка 10–22 ^секунд . Это несвязанные резонансы , расположенные за пределами линии капель нейтронов ; это приводит к мгновенному испусканию нейтрона .

Приведенные ниже формулы действительны для всех трех изотопов водорода, но для каждого изотопа водорода необходимо использовать несколько разные значения константы Ридберга (поправочная формула приведена ниже).

Ион водорода

Одинокие нейтральные атомы водорода в нормальных условиях встречаются редко. Однако нейтральный водород обычно встречается, когда он ковалентно связан с другим атомом, а атомы водорода также могут существовать в катионной и анионной формах.

Если нейтральный атом водорода теряет свой электрон, он становится катионом. Образующийся ион, который для обычного изотопа состоит исключительно из протона, записывается как «H ⁺ » и иногда называется гидроном . Свободные протоны распространены в межзвездной среде и солнечном ветре . В контексте водных растворов классических кислот Бренстеда-Лоури , таких как соляная кислота , на самом деле имеется в виду гидроний , H ₃ O ⁺ . Вместо образования буквального ионизированного одиночного атома водорода кислота переносит водород в H ₂ O, образуя H ₃ O ⁺ .

Если вместо этого атом водорода получает второй электрон, он становится анионом. Анион водорода записывается как «H ^– » и называется гидридом .

Теоретический анализ

Атом водорода имеет особое значение в квантовой механике и квантовой теории поля как простая физическая система задачи двух тел , которая дала множество простых аналитических решений в замкнутой форме.

Неудачное классическое описание

Эксперименты Эрнеста Резерфорда в 1909 году показали, что структура атома представляет собой плотное положительное ядро ​​с разреженным облаком отрицательного заряда вокруг него. Это сразу же вызвало вопросы о том, как такая система может быть стабильной. Классический электромагнетизм показал, что любой ускоряющийся заряд излучает энергию, как показано формулой Лармора . Если предположить, что электрон вращается по идеальному кругу и непрерывно излучает энергию, электрон быстро войдет в ядро ​​по спирали со временем падения: ^[3]

$${\displaystyle t_{\text{fall}}\approx {\frac {a_{0}^{3}}{4r_{0}^{2}c}}\approx 1.6\times 10^{-11}{\text{ s}},}$$

радиус Бораклассический радиус электронаквантовой механики ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle r_{0}}$

Модель Бора – Зоммерфельда

В 1913 году Нильс Бор получил уровни энергии и спектральные частоты атома водорода, сделав ряд простых предположений, чтобы исправить неудавшуюся классическую модель. Предположения включали:

1. Электроны могут находиться только на определенных дискретных круговых орбитах или в стационарных состояниях , тем самым имея дискретный набор возможных радиусов и энергий.
2. Электроны не излучают излучение, находясь в одном из этих стационарных состояний.
3. Электрон может приобретать или терять энергию, перепрыгивая с одной дискретной орбиты на другую.

Бор предположил, что угловой момент электрона квантуется с возможными значениями:

$${\displaystyle L=n\hbar }$$

постоянная Планкацентростремительная силакулоновской силой^[4] ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle 2\pi }$

$${\displaystyle E_{n}=-{\frac {m_{e}e^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}},}$$

масса электроназаряд электронапроницаемость вакуумаквантовое числоглавное квантовое числоспектрального ряда водорода ${\displaystyle m_{e}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle n}$

Для значение ^[5] ${\displaystyle n=1}$

$${\displaystyle {\frac {m_{e}e^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8h^{2}\varepsilon _{0}^{2}}}=1\,{\text{Ry}}=13.605\;693\;122\;994(26)\,{\text{eV}}}$$

постоянной Ридбергафизики ${\displaystyle R_{\infty }}$ ${\displaystyle 1\,{\text{Ry}}\equiv hcR_{\infty }.}$

Точное значение постоянной Ридберга предполагает, что ядро ​​бесконечно массивно по отношению к электрону. Для водорода-1, водорода-2 ( дейтерия ) и водорода-3 ( трития ), которые имеют конечную массу, константу необходимо слегка изменить, чтобы использовать приведенную массу системы, а не просто массу электрона. Сюда входит и кинетическая энергия ядра в задаче, поскольку полная (электрон плюс ядерная) кинетическая энергия эквивалентна кинетической энергии приведенной массы, движущейся со скоростью, равной скорости электрона относительно ядра. Однако, поскольку ядро ​​намного тяжелее электрона, масса электрона и приведенная масса почти одинаковы. Константа Ридберга R _M для атома водорода (один электрон), R определяется выражением

$${\displaystyle R_{M}={\frac {R_{\infty }}{1+m_{\text{e}}/M}},}$$

R ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m_{\text{e}}/M,}$

С моделью Бора все еще были проблемы:

1. ему не удалось предсказать другие детали спектра, такие как тонкая и сверхтонкая структура.
2. он мог с любой точностью предсказывать уровни энергии только для одноэлектронных атомов (водородоподобных атомов).
3. предсказанные значения были правильными только для , где – константа тонкой структуры . ${\displaystyle \alpha ^{2}\approx 10^{-5}}$ ${\displaystyle \alpha }$

Большинство этих недостатков было устранено с помощью модификации модели Бора, предложенной Арнольдом Зоммерфельдом . Зоммерфельд ввел две дополнительные степени свободы, позволяющие электрону двигаться по эллиптической орбите, характеризующейся его эксцентриситетом и склонением относительно выбранной оси. Это ввело два дополнительных квантовых числа, которые соответствуют орбитальному угловому моменту и его проекции на выбранную ось. Таким образом, была найдена правильная множественность состояний (кроме фактора 2, учитывающего пока неизвестный спин электрона). Далее, применив специальную теорию относительности к эллиптическим орбитам, Зоммерфельду удалось получить правильное выражение для тонкой структуры спектров водорода (которое оказалось точно таким же, как и в наиболее сложной теории Дирака). Однако некоторые наблюдаемые явления, такие как аномальный эффект Зеемана , остались необъяснимыми. Эти вопросы были решены с полным развитием квантовой механики и уравнения Дирака . Часто утверждается, что уравнение Шрёдингера превосходит теорию Бора – Зоммерфельда при описании атома водорода. Это не так, поскольку большинство результатов обоих подходов совпадают или очень близки (замечательным исключением является задача об атоме водорода в скрещенных электрическом и магнитном полях, которая не может быть решена самосогласованно в рамках теории Бора–Магнита). теория Зоммерфельда), и в обеих теориях основные недостатки связаны с отсутствием спина электрона. Полная неспособность теории Бора-Зоммерфельда объяснить многоэлектронные системы (такие как атом гелия или молекула водорода) продемонстрировала ее неадекватность для описания квантовых явлений.

Уравнение Шрёдингера

Уравнение Шредингера позволяет рассчитывать стационарные состояния, а также эволюцию во времени квантовых систем. Точные аналитические ответы доступны для нерелятивистского атома водорода. Прежде чем мы приступим к представлению формального отчета, мы дадим элементарный обзор.

Учитывая, что атом водорода содержит ядро ​​и электрон, квантовая механика позволяет предсказать вероятность обнаружения электрона на любом заданном радиальном расстоянии . Оно определяется квадратом математической функции, известной как « волновая функция », которая является решением уравнения Шрёдингера. Равновесное состояние атома водорода с наименьшей энергией известно как основное состояние. Волновая функция основного состояния известна как волновая функция. Это написано как: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 1\mathrm {s} }$

$${\displaystyle \psi _{1\mathrm {s} }(r)={\frac {1}{{\sqrt {\pi }}a_{0}^{3/2}}}e^{-r/a_{0}}.}$$

Здесь – численное значение боровского радиуса. Плотность вероятности найти электрон на расстоянии в любом радиальном направлении равна квадрату значения волновой функции: ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle |\psi _{1\mathrm {s} }(r)|^{2}={\frac {1}{\pi a_{0}^{3}}}e^{-2r/a_{0}}.}$$

Волновая функция сферически симметрична, а площадь поверхности оболочки на расстоянии равна , поэтому полная вероятность нахождения электрона в оболочке на расстоянии и толщине равна ${\displaystyle 1\mathrm {s} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 4\pi r^{2}}$ ${\displaystyle P(r)\,dr}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle dr}$

$${\displaystyle P(r)\,dr=4\pi r^{2}|\psi _{1\mathrm {s} }(r)|^{2}\,dr.}$$

Оказывается, это максимум при . То есть картина Бора об электроне, вращающемся вокруг ядра по радиусу, соответствует наиболее вероятному радиусу. На самом деле существует конечная вероятность того, что электрон может быть найден в любом месте , причем вероятность обозначается квадратом волновой функции. Поскольку вероятность найти электрон где-то во всем объеме равна единице, интеграл равен единице. Тогда мы говорим, что волновая функция правильно нормирована. ${\displaystyle r=a_{0}}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle P(r)\,dr}$

Как обсуждается ниже, основное состояние также обозначается квантовыми числами . Вторые по величине энергетические состояния, расположенные чуть выше основного состояния, определяются квантовыми числами , и . Все эти состояния имеют одинаковую энергию и известны как состояния и . Есть одно состояние: ${\displaystyle 1\mathrm {s} }$ ${\displaystyle (n=1,\ell =0,m=0)}$ ${\displaystyle (2,0,0)}$ ${\displaystyle (2,1,0)}$ ${\displaystyle (2,1,\pm 1)}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle 2\mathrm {s} }$ ${\displaystyle 2\mathrm {p} }$ ${\displaystyle 2\mathrm {s} }$

$${\displaystyle \psi _{2,0,0}={\frac {1}{4{\sqrt {2\pi }}a_{0}^{3/2}}}\left(2-{\frac {r}{a_{0}}}\right)e^{-r/2a_{0}},}$$

${\displaystyle 2\mathrm {p} }$

$${\displaystyle \psi _{2,1,0}={\frac {1}{4{\sqrt {2\pi }}a_{0}^{3/2}}}{\frac {r}{a_{0}}}e^{-r/2a_{0}}\cos \theta ,}$$

$${\displaystyle \psi _{2,1,\pm 1}=\mp {\frac {1}{8{\sqrt {\pi }}a_{0}^{3/2}}}{\frac {r}{a_{0}}}e^{-r/2a_{0}}\sin \theta ~e^{\pm i\varphi }.}$$

Электрон в состоянии или , скорее всего, будет находиться на второй орбите Бора с энергией, определяемой формулой Бора. ${\displaystyle 2\mathrm {s} }$ ${\displaystyle 2\mathrm {p} }$

Волновая функция

Гамильтониан атома водорода представляет собой оператор радиальной кинетической энергии и кулоновскую силу притяжения между положительным протоном и отрицательным электроном . Используя независимое от времени уравнение Шредингера, игнорируя все взаимодействия спиновой связи и используя приведенную массу , уравнение записывается как: ${\displaystyle \mu =m_{e}M/(m_{e}+M)}$

$${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\right)\psi (r,\theta ,\varphi )=E\psi (r,\theta ,\varphi )}$$

Разложение лапласиана по сферическим координатам:

$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \varphi ^{2}}}\right]-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\psi =E\psi }$$

Это разделимое уравнение в частных производных , которое можно решить в терминах специальных функций. Когда волновая функция разделяется как произведение функций , , и появляются три независимые дифференциальные функции ^[6] , где A и B являются константами разделения: ${\displaystyle R(r)}$ ${\displaystyle \Theta (\theta )}$ ${\displaystyle \Phi (\varphi )}$

• радиальный:
  $${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)+{\frac {2\mu r^{2}}{\hbar ^{2}}}\left(E+{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\right)R-AR=0}$$
• полярный:
  $${\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)+A\sin ^{2}\theta -B=0}$$
• азимут:
  $${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}+B=0.}$$

Нормированные волновые функции положения , заданные в сферических координатах :

$${\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\varphi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}^{*}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n(n+\ell )!}}}}e^{-\rho /2}\rho ^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\rho )Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$$

3D-иллюстрация собственного состояния . Электроны в этом состоянии с вероятностью 45% находятся внутри показанного твердого тела. ${\displaystyle \psi _{4,3,1}}$

где:

• ${\displaystyle \rho ={2r \over {na_{0}^{*}}}}$,
• ${\displaystyle a_{0}^{*}}$– приведенный радиус Бора , , ${\displaystyle a_{0}^{*}={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {\mu e^{2}}}}$
• ${\displaystyle L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\rho )}$– обобщенный многочлен Лагерра степени , и ${\displaystyle n-\ell -1}$
• ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$является сферической гармонической функцией степени и порядка . Отметим, что обобщенные полиномы Лагерра разные авторы определяют по-разному. Использование здесь соответствует определениям, используемым Мессией ^[7] и Mathematica. ^[8] В других местах полином Лагерра включает в себя коэффициент , ^[9] или вместо этого в волновой функции водорода появляется обобщенный полином Лагерра . ^[10] ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (n+\ell )!}$ ${\displaystyle L_{n+\ell }^{2\ell +1}(\rho )}$

Квантовые числа могут принимать следующие значения:

• ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$( главное квантовое число )
• ${\displaystyle \ell =0,1,2,\ldots ,n-1}$( азимутальное квантовое число )
• ${\displaystyle m=-\ell ,\ldots ,\ell }$( магнитное квантовое число ).

Кроме того, эти волновые функции нормированы (т.е. интеграл от квадрата их модуля равен 1) и ортогональны :

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }r^{2}\,dr\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\psi _{n\ell m}^{*}(r,\theta ,\varphi )\psi _{n'\ell 'm'}(r,\theta ,\varphi )=\langle n,\ell ,m|n',\ell ',m'\rangle =\delta _{nn'}\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},}$$

обозначениях Диракадельта^[11] ${\displaystyle |n,\ell ,m\rangle }$ ${\displaystyle \psi _{n\ell m}}$ ${\displaystyle \delta }$

Волновые функции в пространстве импульсов связаны с волновыми функциями в пространстве положений посредством преобразования Фурье.

$${\displaystyle \varphi (p,\theta _{p},\varphi _{p})=(2\pi \hbar )^{-3/2}\int e^{-i{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}/\hbar }\psi (r,\theta ,\varphi )\,dV,}$$

^[12]

$${\displaystyle \varphi (p,\theta _{p},\varphi _{p})={\sqrt {{\frac {2}{\pi }}{\frac {(n-\ell -1)!}{(n+\ell )!}}}}n^{2}2^{2\ell +2}\ell !{\frac {n^{\ell }p^{\ell }}{(n^{2}p^{2}+1)^{\ell +2}}}C_{n-\ell -1}^{\ell +1}\left({\frac {n^{2}p^{2}-1}{n^{2}p^{2}+1}}\right)Y_{\ell }^{m}(\theta _{p},\varphi _{p}),}$$

полином Гегенбауэра ${\displaystyle C_{N}^{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \hbar /a_{0}^{*}}$

Решения уравнения Шредингера для водорода являются аналитическими , дают простое выражение для энергетических уровней водорода и, следовательно, частот спектральных линий водорода , полностью воспроизводят модель Бора и выходят за ее пределы. Это также дает два других квантовых числа и форму волновой функции электрона («орбитали») для различных возможных квантово-механических состояний, что объясняет анизотропный характер атомных связей.

Уравнение Шредингера применимо и к более сложным атомам и молекулам . Когда имеется более одного электрона или ядра, решение не является аналитическим, и необходимы либо компьютерные расчеты, либо необходимо сделать упрощающие предположения.

Поскольку уравнение Шредингера справедливо только для нерелятивистской квантовой механики, решения, которые оно дает для атома водорода, не совсем верны. Уравнение Дирака релятивистской квантовой теории улучшает эти решения (см. ниже).

Результаты уравнения Шредингера

Решение уравнения Шредингера (волнового уравнения) для атома водорода использует тот факт, что кулоновский потенциал, создаваемый ядром, изотропен (радиально симметричен в пространстве и зависит только от расстояния до ядра). Хотя результирующие собственные функции энергии ( орбитали ) не обязательно сами по себе изотропны, их зависимость от угловых координат в общем случае полностью следует из этой изотропии основного потенциала: собственные состояния гамильтониана (то есть собственные состояния энергии) могут быть выбраны как одновременные собственные состояния оператора углового момента . Это соответствует тому, что при орбитальном движении электрона вокруг ядра сохраняется угловой момент. Следовательно, собственные состояния энергии можно классифицировать по двум квантовым числам углового момента и ( оба являются целыми числами). Квантовое число углового момента определяет величину углового момента. Магнитное квантовое число определяет проекцию углового момента на (произвольно выбранную) -ось. ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \ell =0,1,2,\ldots }$ ${\displaystyle m=-\ell ,\ldots ,+\ell }$ ${\displaystyle z}$

Помимо математических выражений для полного момента импульса и проекции момента импульса волновых функций, необходимо найти выражение для радиальной зависимости волновых функций. Только здесь вступают подробности кулоновского потенциала (приводящие к полиномам Лагерра в ). Это приводит к третьему квантовому числу, главному квантовому числу . Главное квантовое число водорода связано с полной энергией атома. ${\displaystyle 1/r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$

Заметим, что максимальное значение квантового числа углового момента ограничено главным квантовым числом: оно может достигать только до , т. е. . ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \ell =0,1,\ldots ,n-1}$

Из-за сохранения углового момента состояния одного и того же, но разных состояний имеют одинаковую энергию (это справедливо для всех задач с вращательной симметрией ). Кроме того, для атома водорода вырожденными являются и одинаковые, но разные состояния (т. е. имеющие одинаковую энергию). Однако это специфическое свойство водорода и уже не справедливо для более сложных атомов, имеющих (эффективный) потенциал, отличающийся от формы (из-за наличия внутренних электронов, экранирующих потенциал ядра). ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle 1/r}$

Учет спина электрона добавляет последнее квантовое число — проекцию углового момента спина электрона на ось -, которое может принимать два значения. Следовательно, любое собственное состояние электрона в атоме водорода полностью описывается четырьмя квантовыми числами. Согласно обычным правилам квантовой механики, фактическое состояние электрона может быть любой суперпозицией этих состояний. Это также объясняет, почему выбор -оси для направленного квантования вектора углового момента не имеет значения: орбиталь заданной и полученной для другой предпочтительной оси всегда может быть представлена ​​как подходящая суперпозиция различных состояний разных (но одинаковых ) были получены за . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m'}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle z}$

Математическое обобщение собственных состояний атома водорода

В 1928 году Поль Дирак нашел уравнение , которое было полностью совместимо со специальной теорией относительности , и (как следствие) превратил волновую функцию в 4-компонентный « спинор Дирака », включающий «верхнюю» и «нижнюю» компоненты спина, как с положительными, так и с «нисходящими» компонентами спина. отрицательная» энергия (или материя и антиматерия). Решение этого уравнения дало следующие результаты, более точные, чем решение Шрёдингера.

Уровни энергии

Энергетические уровни водорода, включая тонкую структуру (исключая лэмбовский сдвиг и сверхтонкую структуру ), задаются выражением тонкой структуры Зоммерфельда : ^[13]

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{j\,n}={}&-\mu c^{2}\left[1-\left(1+\left[{\frac {\alpha }{n-j-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {\left(j+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-\alpha ^{2}}}}}\right]^{2}\right)^{-1/2}\right]\\\approx {}&-{\frac {\mu c^{2}\alpha ^{2}}{2n^{2}}}\left[1+{\frac {\alpha ^{2}}{n^{2}}}\left({\frac {n}{j+{\frac {1}{2}}}}-{\frac {3}{4}}\right)\right],\end{aligned}}}$$

константа тонкой структурыквантовое число полного углового момента^[14]А. Зоммерфельдомтеории Бора ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \left|\ell \pm {\tfrac {1}{2}}\right|}$

Когерентные состояния

Когерентные состояния были предложены как ^[15]

$${\displaystyle |s,\gamma ,{\bar {\Omega }}\rangle \equiv M(s^{2})\sum _{n=0}^{\infty }(s^{n}e^{i\gamma /(n+1)^{2}}/{\sqrt {\rho _{n}}})|n,{\bar {\Omega }}\rangle ,}$$

${\displaystyle d{\bar {\Omega }}\equiv \sin {\bar {\theta }}\,d{\bar {\theta }}\,d{\bar {\varphi }}\,d{\bar {\psi }}/8\pi ^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle r,\theta ,\varphi \mid s,\gamma ,{\bar {\Omega }}\rangle ={}&e^{-s^{2}/2}\sum _{n=0}^{\infty }(s^{n}e^{i\gamma /(n+1)^{2}}/{\sqrt {n!}})\\&{}\times \,\sum _{\ell =0}^{n}u_{n+1}^{\ell }(r)\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left[{\frac {(2\ell )!}{(\ell +m)!(\ell -m)!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\bar {\theta }}{2}}\right)^{\ell -m}\left(\cos {\frac {\bar {\theta }}{2}}\right)^{\ell +m}\\&{}\times \,e^{-i(m{\bar {\varphi }}+\ell {\bar {\psi }})}Y_{\ell m}(\theta ,\varphi ){\sqrt {2\ell +1}}.\end{aligned}}}$$

Визуализация электронных орбиталей водорода

Плотности вероятности через плоскость xz для электрона с разными квантовыми числами ( ℓ , сверху; n , снизу; m = 0)

На изображении справа показаны первые несколько орбиталей атома водорода (собственные энергетические функции). Это сечения плотности вероятности , имеющие цветовую маркировку (черный представляет нулевую плотность, а белый представляет наивысшую плотность). Квантовое число углового момента (орбитальное) ℓ обозначается в каждом столбце с использованием обычного спектроскопического буквенного кода ( s означает ℓ  = 0, p означает ℓ  = 1, d означает ℓ  = 2). Справа от каждой строки отмечено главное (главное) квантовое число n (= 1, 2, 3, ...). Для всех изображений магнитное квантовое число m установлено равным 0, а плоскость поперечного сечения — это плоскость xz ( z — вертикальная ось). Плотность вероятности в трехмерном пространстве получается вращением показанной здесь плотности вокруг оси z .

« Основное состояние », то есть состояние с наименьшей энергией, в котором обычно находится электрон, является первым, состоянием 1 s ( главный квантовый уровень n = 1, ℓ = 0).

Черные линии встречаются на каждой орбитали, кроме первой: это узлы волновой функции, т.е. там, где плотность вероятности равна нулю. (Точнее, узлы — это сферические гармоники , возникающие в результате решения уравнения Шрёдингера в сферических координатах.)

Квантовые числа определяют расположение этих узлов. ^[16] Есть:

• ${\displaystyle n-1}$общее количество узлов,
• ${\displaystyle \ell }$из них угловые узлы:
  • ${\displaystyle m}$угловые узлы идут вокруг оси (в плоскости xy ). (На рисунке выше эти узлы не показаны, поскольку на нем изображены сечения плоскости xz .) ${\displaystyle \varphi }$
  • ${\displaystyle \ell -m}$(остальные угловые узлы) располагаются на (вертикальной) оси. ${\displaystyle \theta }$
• ${\displaystyle n-\ell -1}$(остальные неугловые узлы) являются радиальными узлами.

Возможности, выходящие за рамки решения Шрёдингера

Существует несколько важных эффектов, которые не учитываются уравнением Шрёдингера и которые ответственны за некоторые небольшие, но измеримые отклонения реальных спектральных линий от предсказанных:

• Хотя средняя скорость электрона в водороде составляет всего 1/137 скорости света , многие современные эксперименты достаточно точны, и полное теоретическое объяснение требует полностью релятивистского подхода к проблеме. Релятивистская трактовка приводит к увеличению импульса электрона примерно на 1 часть из 37 000. Поскольку длина волны электрона определяется его импульсом, орбитали, содержащие электроны с более высокой скоростью, сокращаются из-за меньших длин волн.
• Даже при отсутствии внешнего магнитного поля в инерциальной системе отсчета движущегося электрона электромагнитное поле ядра имеет магнитную составляющую. Спин электрона имеет связанный с ним магнитный момент , который взаимодействует с этим магнитным полем. Этот эффект также объясняется специальной теорией относительности и приводит к так называемому спин-орбитальному взаимодействию , т . е. взаимодействию между орбитальным движением электрона вокруг ядра и его спином .

Обе эти особенности (и многие другие) включены в релятивистское уравнение Дирака , а предсказания еще ближе приближаются к эксперименту. Опять же, уравнение Дирака может быть решено аналитически в частном случае системы двух тел, такой как атом водорода. Полученные квантовые состояния решения теперь должны быть классифицированы по полному числу углового момента j (возникающему из-за связи между спином электрона и орбитальным угловым моментом ). Состояния одного и того же j и того же n все еще вырождены. Таким образом, прямое аналитическое решение уравнения Дирака предсказывает 2S(1/2) и 2П(1/2) уровни водорода имеют совершенно одинаковую энергию, что находится в противоречии с наблюдениями ( эксперимент Лэмба-Ретерфорда ).

• Согласно квантовой механике, всегда существуют вакуумные флуктуации электромагнитного поля . Благодаря таким флуктуациям вырождение между состояниями с одинаковыми j , но разными l снимается, что придает им немного разные энергии. Это было продемонстрировано в знаменитом эксперименте Лэмба-Ретерфорда и стало отправной точкой для развития теории квантовой электродинамики (которая способна учитывать эти вакуумные флуктуации и использует знаменитые диаграммы Фейнмана для приближений с использованием теории возмущений ). Этот эффект теперь называется лэмбовским сдвигом .

Для этих разработок было важно, чтобы решение уравнения Дирака для атома водорода могло быть получено точно, так что любое экспериментально наблюдаемое отклонение нужно было воспринимать всерьез как сигнал о провале теории.

Альтернативы теории Шрёдингера

На языке матричной механики Гейзенберга атом водорода был впервые решен Вольфгангом Паули ^[17] с использованием вращательной симметрии в четырех измерениях [O(4)-симметрии], порожденной угловым моментом и вектором Лапласа-Рунге-Ленца . Расширив группу симметрии O(4) до динамической группы O(4,2), весь спектр и все переходы оказались вложены в одно неприводимое групповое представление. ^[18]

В 1979 году (нерелятивистский) атом водорода был впервые решен в рамках фейнмановской формулировки квантовой механики с помощью интеграла по путям Дуру и Кляйнерта. ^{[19] [20]} Эта работа значительно расширила диапазон применимости метода Фейнмана .

Смотрите также

• Антиводород
• Атомная орбиталь
• Серия Бальмера
• Атом гелия
• Атом лития
• Молекулярный ион водорода
• Распад протона
• Квантовая химия
• Квантовое состояние
• Теоретическое и экспериментальное обоснование уравнения Шредингера
• Триводородный катион
• Список квантово-механических систем с аналитическими решениями

Рекомендации

1. Палмер, Д. (13 сентября 1997 г.). «Водород во Вселенной». НАСА . Архивировано из оригинала 29 октября 2014 года . Проверено 23 февраля 2017 г.
2. Хаускрофт, Кэтрин Э.; Шарп, Алан Г. (2005). Неорганическая химия (2-е изд.). Пирсон Прентис-Холл. п. 237. ИСБН 0130-39913-2.
3. Олсен, Джеймс; Макдональд, Кирк (7 марта 2005 г.). «Классическое время жизни атома Бора» (PDF) . Лаборатории Джозефа Генри, Принстонский университет. Архивировано из оригинала (PDF) 9 сентября 2019 года . Проверено 11 декабря 2015 г.
4. «Вывод уравнений Бора для одноэлектронного атома» (PDF) . Массачусетский университет в Бостоне.
5. Эйте Тиесинга, Питер Дж. Мор, Дэвид Б. Ньюэлл и Барри Н. Тейлор (2019), «Рекомендуемые CODATA 2018 значения фундаментальных физических констант» (веб-версия 8.0). База данных разработана Дж. Бейкером, М. Дума и С. Коточиговой . Доступно по адресу http://physical.nist.gov/constants, Национальный институт стандартов и технологий, Гейтерсбург, Мэриленд, 20899. Ссылка на R∞, Ссылка на hcR∞.
6. «Решение уравнения Шредингера для атома водорода :: Атомная физика :: Интернет-пространство Руди Винтера» . Пользователи.aber.ac.uk . Проверено 30 ноября 2020 г. .
7. Мессия, Альберт (1999). Квантовая механика . Нью-Йорк: Дувр. п. 1136. ИСБН 0-486-40924-4.
8. ЛагеррЛ. Страница Wolfram Mathematica
9. Гриффитс, с. 152
10. Кондон и Шортли (1963). Теория атомных спектров . Лондон: Кембридж. п. 441.
11. Гриффитс, Ч. 4 р. 89
12. Брансден, Британская Колумбия; Хоахейн, CJ (1983). Физика атомов и молекул . Лонгман . п. Приложение 5. ISBN 0-582-44401-2.
13. Зоммерфельд, Арнольд (1919). Atombau und Spektrallinien [ Атомная структура и спектральные линии ]. Брауншвейг: Фридрих Видег и Зон. ISBN 3-87144-484-7.немецкий английский
14. Аткинс, Питер; де Паула, Хулио (2006). Физическая химия (8-е изд.). У. Х. Фриман. п. 349. ИСБН 0-7167-8759-8.
15. Клаудер, Джон Р. (21 июня 1996 г.). «Когерентные состояния атома водорода». Журнал физики A: Математический и общий . 29 (12): Л293–Л298. arXiv : Quant-ph/9511033 . дои : 10.1088/0305-4470/29/12/002. S2CID  14124660.
16. Сводка атомных квантовых чисел. Конспект лекций. 28 июля 2006 г.
17. Паули, W (1926). «Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik». Zeitschrift für Physik . 36 (5): 336–363. Бибкод : 1926ZPhy...36..336P. дои : 10.1007/BF01450175. S2CID  128132824.
18. Кляйнерт Х. (1968). «Групповая динамика атома водорода» (PDF) . Лекции по теоретической физике под редакцией В. Е. Бриттина и А. О. Барута, Гордон и Брич, Нью-Йорк, 1968 : 427–482.
19. Дуру IH, Кляйнерт Х. (1979). «Решение интеграла по траектории для атома H» (PDF) . Буквы по физике Б. 84 (2): 185–188. Бибкод : 1979PhLB...84..185D. дои : 10.1016/0370-2693(79)90280-6.
20. Дуру IH, Кляйнерт Х. (1982). «Квантовая механика H-атома из интегралов по траекториям» (PDF) . Форчр. Физ . 30 (2): 401–435. Бибкод : 1982ForPh..30..401D. дои : 10.1002/prop.19820300802.

Книги

• Гриффитс, Дэвид Дж. (1995). Введение в квантовую механику . Прентис Холл . ISBN 0-13-111892-7.Раздел 4.2 посвящен конкретно атому водорода, но вся глава 4 имеет отношение к делу.
• Кляйнерт, Х. (2009). Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках , 4-е издание, Worldscibooks.com, World Scientific, Сингапур (также доступно на сайте Physik.fu-berlin.de)

Внешние ссылки

• Атом водорода и таблица Менделеева - Фейнмановские лекции по физике
• Физика атома водорода в Scienceworld