Гармоническое координатное состояние

Условие гармонических координат является одним из нескольких условий координат в общей теории относительности , которые позволяют решать уравнения поля Эйнштейна . Говорят, что система координат удовлетворяет условию гармонических координат, если каждая из координатных функций x ^α (рассматриваемых как скалярные поля) удовлетворяет уравнению Даламбера . Параллельное понятие гармонической системы координат в римановой геометрии — это система координат, координатные функции которой удовлетворяют уравнению Лапласа . Поскольку уравнение Даламбера является обобщением уравнения Лапласа на пространство-время, его решения также называются «гармоническими».

Мотивация

Законы физики можно выразить в общеинвариантной форме. Другими словами, реальный мир не заботится о наших системах координат. Однако, чтобы иметь возможность решать уравнения, мы должны зафиксировать определенную систему координат. Координатное условие выбирает одну (или меньший набор) такую ​​систему координат. Декартовы координаты, используемые в специальной теории относительности, удовлетворяют уравнению Даламбера, поэтому гармоническая система координат является ближайшим приближением, доступным в общей теории относительности, к инерциальной системе отсчета в специальной теории относительности.

Вывод

В общей теории относительности нам приходится использовать ковариантную производную вместо частной производной в уравнении Даламбера, поэтому мы получаем:

${\displaystyle 0=\left(x^{\alpha }\right)_{;\beta ;\gamma }g^{\beta \gamma }=\left(\left(x^{\alpha }\right)_{,\beta ,\gamma }-\left(x^{\alpha }\right)_{,\sigma }\Gamma _{\beta \gamma }^{\sigma }\right)g^{\beta \gamma }\,.}$

Поскольку координата x ^α на самом деле не является скаляром, это не тензорное уравнение. То есть, оно не является общеинвариантным. Но координатные условия не должны быть общеинвариантными, поскольку они должны выбирать (работать только для) определенных систем координат, а не других. Поскольку частная производная координаты — это дельта Кронекера , мы получаем:

${\displaystyle 0=\left(\delta _{\beta ,\gamma }^{\alpha }-\delta _{\sigma }^{\alpha }\Gamma _{\beta \gamma }^{\sigma }\right)g^{\beta \gamma }=\left(0-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }\right)g^{\beta \gamma }=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }g^{\beta \gamma }\,.}$

И таким образом, опуская знак минус, мы получаем условие гармонических координат (также известное как калибровка де Дондера в честь Теофиля де Дондера ^[1] ):

${\displaystyle 0=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }g^{\beta \gamma }\,.}$

Это условие особенно полезно при работе с гравитационными волнами.

Альтернативная форма

Рассмотрим ковариантную производную плотности обратной величины метрического тензора:

${\displaystyle 0=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{;\rho }=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{,\rho }+g^{\sigma \nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }{\sqrt {-g}}+g^{\mu \sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }{\sqrt {-g}}-g^{\mu \nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\sigma }{\sqrt {-g}}\,.}$

Последний член возникает, потому что не является инвариантным скаляром, и поэтому его ковариантная производная не совпадает с его обычной производной. Скорее, потому что , в то время как ${\displaystyle -g^{\mu \nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\sigma }{\sqrt {-g}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-g}}_{;\rho }=0\!}$ ${\displaystyle g_{;\rho }^{\mu \nu }=0\!}$ ${\displaystyle {\sqrt {-g}}_{,\rho }={\sqrt {-g}}\Gamma _{\sigma \rho }^{\sigma }\,.}$

Свертывая ν с ρ и применяя условие гармонической координаты ко второму члену, получаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }+g^{\sigma \nu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }{\sqrt {-g}}+g^{\mu \sigma }\Gamma _{\sigma \nu }^{\nu }{\sqrt {-g}}-g^{\mu \nu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\sigma }{\sqrt {-g}}\,\\&=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }+0+g^{\mu \alpha }\Gamma _{\alpha \beta }^{\beta }{\sqrt {-g}}-g^{\mu \alpha }\Gamma _{\beta \alpha }^{\beta }{\sqrt {-g}}\,.\end{aligned}}}$

Таким образом, мы получаем, что альтернативный способ выражения условия гармонической координаты:

${\displaystyle 0=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }\,.}$

Больше вариантных форм

Если выразить символ Кристоффеля через метрический тензор, то получим

${\displaystyle 0=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }g^{\beta \gamma }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \delta }\left(g_{\gamma \delta ,\beta }+g_{\beta \delta ,\gamma }-g_{\beta \gamma ,\delta }\right)g^{\beta \gamma }\,.}$

Отбрасывая множитель и переставляя некоторые индексы и члены, получаем ${\displaystyle g^{\alpha \delta }\,}$

${\displaystyle g_{\alpha \beta ,\gamma }\,g^{\beta \gamma }={\frac {1}{2}}g_{\beta \gamma ,\alpha }\,g^{\beta \gamma }\,.}$

В контексте линеаризованной гравитации это неотличимо от следующих дополнительных форм:

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\alpha \beta ,\gamma }\,g^{\beta \gamma }&={\frac {1}{2}}h_{\beta \gamma ,\alpha }\,g^{\beta \gamma }\,;\\g_{\alpha \beta ,\gamma }\,\eta ^{\beta \gamma }&={\frac {1}{2}}g_{\beta \gamma ,\alpha }\,\eta ^{\beta \gamma }\,;\\h_{\alpha \beta ,\gamma }\,\eta ^{\beta \gamma }&={\frac {1}{2}}h_{\beta \gamma ,\alpha }\,\eta ^{\beta \gamma }\,.\end{aligned}}}$

Однако последние два представляют собой другое координатное условие при переходе ко второму порядку по h .

Влияние на волновое уравнение

Например, рассмотрим волновое уравнение, примененное к электромагнитному векторному потенциалу:

${\displaystyle 0=A_{\alpha ;\beta ;\gamma }g^{\beta \gamma }\,.}$

Давайте оценим правую часть:

${\displaystyle A_{\alpha ;\beta ;\gamma }g^{\beta \gamma }=A_{\alpha ;\beta ,\gamma }g^{\beta \gamma }-A_{\sigma ;\beta }\Gamma _{\alpha \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }-A_{\alpha ;\sigma }\Gamma _{\beta \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }\,.}$

Используя условие гармонических координат, мы можем исключить самый правый член, а затем продолжить оценку следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\alpha ;\beta ;\gamma }g^{\beta \gamma }&=A_{\alpha ;\beta ,\gamma }g^{\beta \gamma }-A_{\sigma ;\beta }\Gamma _{\alpha \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }\\&=A_{\alpha ,\beta ,\gamma }g^{\beta \gamma }-A_{\rho ,\gamma }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }g^{\beta \gamma }-A_{\rho }\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\rho }g^{\beta \gamma }-A_{\sigma ,\beta }\Gamma _{\alpha \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }-A_{\rho }\Gamma _{\sigma \beta }^{\rho }\Gamma _{\alpha \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }\,.\end{aligned}}}$

Смотрите также

• символы Кристоффеля
• Ковариантная производная
• Калибровочная теория
• Общая теория относительности
• Общая ковариация
• Голономный базис
• дельта Кронекера
• Уравнение Лапласа
• оператор Лапласа
• исчисление Риччи
• Волновое уравнение

Ссылки

1. [Джон Стюарт (1991), «Расширенная общая теория относительности», Cambridge University Press, ISBN  0-521-44946-4 ]

• П.А.М. Дирак (1975), Общая теория относительности , Princeton University Press, ISBN 0-691-01146-X , глава 22 

Внешние ссылки

• http://mathworld.wolfram.com/HarmonicCoordinates.html