Гипотеза геометризации

Трехмерный аналог гипотезы униформизации

В математике гипотеза геометризации Терстона (теперь теорема ) утверждает, что каждое из определенных трехмерных топологических пространств имеет уникальную геометрическую структуру, которая может быть с ним связана. Это аналог теоремы униформизации для двумерных поверхностей , которая утверждает, что каждой односвязной римановой поверхности можно придать одну из трех геометрий ( евклидова , сферическая или гиперболическая ).

В трех измерениях не всегда возможно приписать единую геометрию всему топологическому пространству. Вместо этого гипотеза геометризации утверждает, что каждое замкнутое 3-многообразие может быть канонически разложено на части, каждая из которых имеет один из восьми типов геометрической структуры. Гипотеза была предложена Уильямом Терстоном  (1982) и подразумевает несколько других гипотез, таких как гипотеза Пуанкаре и гипотеза эллиптизации Терстона .

Теорема гиперболизации Терстона подразумевает, что многообразия Хакена удовлетворяют гипотезе геометризации. Терстон объявил о доказательстве в 1980-х годах, и с тех пор в печати появилось несколько полных доказательств.

Григорий Перельман объявил о доказательстве полной гипотезы геометризации в 2003 году с использованием потока Риччи с хирургией в двух статьях, размещенных на сервере препринтов arxiv.org. Статьи Перельмана изучались несколькими независимыми группами, которые выпустили книги и онлайн-рукописи, заполняющие все детали его аргументов. Проверка была по существу завершена к тому времени, когда Перельман был награжден медалью Филдса 2006 года за свою работу, а в 2010 году Математический институт Клэя вручил ему премию в размере 1 миллиона долларов США за решение гипотезы Пуанкаре, хотя Перельман отказался от обеих наград.

Гипотеза Пуанкаре и гипотеза о сферической форме пространства являются следствиями гипотезы геометризации, хотя существуют более короткие доказательства первой, которые не приводят к гипотезе геометризации.

Догадка

Трехмерное многообразие называется замкнутым , если оно компактно и не имеет границы .

Каждое замкнутое 3-многообразие имеет простое разложение : это означает, что оно является связной суммой простых 3-многообразий (это разложение по существу уникально, за исключением небольшой проблемы в случае неориентируемых многообразий ). Это сводит большую часть изучения 3-многообразий к случаю простых 3-многообразий: тех, которые не могут быть записаны как нетривиальная связная сумма.

Вот формулировка гипотезы Терстона:

Каждое ориентированное простое замкнутое 3-многообразие можно разрезать вдоль торов , так что внутренность каждого из полученных многообразий будет иметь геометрическую структуру с конечным объемом.

Существует 8 возможных геометрических структур в 3 измерениях, описанных в следующем разделе. Существует уникальный минимальный способ разрезания неприводимого ориентированного 3-многообразия вдоль торов на части, которые являются многообразиями Зейферта или атороидами, называемый разложением JSJ , которое не совсем то же самое, что разложение в гипотезе геометризации, потому что некоторые части в разложении JSJ могут не иметь геометрических структур конечного объема. (Например, тор отображения отображения Аносова тора имеет структуру решения конечного объема, но его разложение JSJ разрезает его вдоль одного тора, чтобы получить произведение тора и единичного интервала, и внутренняя часть этого не имеет геометрической структуры конечного объема.)

Для неориентированных многообразий самый простой способ сформулировать гипотезу геометризации — сначала взять ориентированное двойное покрытие . Также можно работать напрямую с неориентируемыми многообразиями, но это влечет некоторые дополнительные сложности: может потребоваться разрезать вдоль проективных плоскостей и бутылок Клейна, а также сфер и торов, а многообразия с компонентой границы проективной плоскости обычно не имеют геометрической структуры.

В 2 измерениях каждая замкнутая поверхность имеет геометрическую структуру, состоящую из метрики с постоянной кривизной; нет необходимости предварительно разрезать многообразие. В частности, каждая замкнутая поверхность диффеоморфна фактору S ² , E ² или H ² . ^[1]

Восемь геометрий Терстона

Модельная геометрия представляет собой односвязное гладкое многообразие X вместе с транзитивным действием группы Ли G на X с компактными стабилизаторами.

Модельная геометрия называется максимальной , если G максимальна среди групп, действующих гладко и транзитивно на X с компактными стабилизаторами. Иногда это условие включают в определение модельной геометрии.

Геометрическая структура на многообразии M — это диффеоморфизм из M в X /Γ для некоторой модельной геометрии X , где Γ — дискретная подгруппа G , действующая свободно на X  ; это частный случай полной ( G , X )-структуры . Если данное многообразие допускает геометрическую структуру, то оно допускает и такую, модель которой максимальна.

Трехмерная модельная геометрия X имеет отношение к гипотезе геометризации, если она максимальна и если существует по крайней мере одно компактное многообразие с геометрической структурой, смоделированной на X. Терстон классифицировал 8 модельных геометрий, удовлетворяющих этим условиям; они перечислены ниже и иногда называются геометриями Терстона . (Существует также несчетное множество модельных геометрий без компактных факторов.)

Существует некоторая связь с группами Бианки : 3-мерными группами Ли. Большинство геометрий Терстона можно реализовать как левоинвариантную метрику на группе Бианки. Однако S 2 × R не может быть реализовано, евклидово пространство соответствует двум различным группам Бианки, и существует несчетное количество разрешимых неунимодулярных групп Бианки, большинство из которых дают модельные геометрии без компактных представителей.

Сферическая геометрия S3

Стабилизатор точки — O(3, R ), а группа G — 6-мерная группа Ли O(4, R ) с 2 компонентами. Соответствующие многообразия — это в точности замкнутые 3-многообразия с конечной фундаментальной группой . Примерами служат 3-сфера , гомологическая сфера Пуанкаре , пространства линз . Эту геометрию можно смоделировать как левоинвариантную метрику на группе Бианки типа IX . Многообразия с этой геометрией все компактны, ориентируемы и имеют структуру расслоенного пространства Зейферта (часто несколькими способами). Полный список таких многообразий приведен в статье о сферических 3-многообразиях . Под действием потока Риччи многообразия с этой геометрией схлопываются в точку за конечное время.

Евклидова геометрияЭ3

Стабилизатор точки — O(3, R ), а группа G — 6-мерная группа Ли R ³ × O(3, R ) с 2 компонентами. Примерами являются 3-тор и, в более общем смысле, тор отображения автоморфизма конечного порядка 2-тора; см. расслоение торов . Существует ровно 10 конечных замкнутых 3-многообразий с такой геометрией, 6 ориентируемых и 4 неориентируемых. Эту геометрию можно смоделировать как левоинвариантную метрику на группах Бианки типа I или VII ₀ . Многообразия конечного объема с такой геометрией все компактны и имеют структуру расслоенного пространства Зейферта (иногда двумя способами). Полный список таких многообразий приведен в статье о расслоенных пространствах Зейферта . Под потоком Риччи многообразия с евклидовой геометрией остаются инвариантными.

Гиперболическая геометрия H3

Стабилизатор точки — O(3, R ), а группа G — это 6-мерная группа Ли O ⁺ (1, 3, R ) с 2 компонентами. Существует огромное количество примеров таких групп, и их классификация до конца не изучена. Примером с наименьшим объемом является многообразие Уикса . Другие примеры даются пространством Зейферта–Вебера , или «достаточно сложными» хирургиями Дена на зацеплениях , или большинством многообразий Хакена . Гипотеза геометризации подразумевает, что замкнутое 3-многообразие является гиперболическим тогда и только тогда, когда оно неприводимо, атороидально и имеет бесконечную фундаментальную группу. Эту геометрию можно смоделировать как левоинвариантную метрику на группе Бианки типа V или VII _h≠0 . Под действием потока Риччи многообразия с гиперболической геометрией расширяются.

Геометрия S2× Р

Стабилизатор точки — это O(2, R ) × Z /2 Z , а группа G — это O(3, R ) × R × Z /2 Z , с 4 компонентами. Четыре многообразия конечного объема с этой геометрией: S ² × S ¹ , тор отображения отображения антипода S ² , связная сумма двух копий 3-мерного проективного пространства и произведение S ¹ с двумерным проективным пространством. Первые два являются торами отображения тождественного отображения и отображения антипода 2-сферы и являются единственными примерами 3-многообразий, которые являются простыми, но не неприводимыми. Третье — единственный пример нетривиальной связной суммы с геометрической структурой. Это единственная модельная геометрия, которая не может быть реализована как левоинвариантная метрика на 3-мерной группе Ли. Конечно-объемные многообразия с этой геометрией все компактны и имеют структуру волокнистого пространства Зейферта (часто несколькими способами). При нормализованном потоке Риччи многообразия с этой геометрией сходятся к одномерному многообразию.

Геометрия H2× Р

Стабилизатор точки равен O(2, R ) × Z /2 Z , а группа G равна O ⁺ (1, 2, R ) × R × Z /2 Z , с 4 компонентами. Примерами являются произведение гиперболической поверхности на окружность или, в более общем смысле, тор отображения изометрии гиперболической поверхности. Многообразия конечного объема с этой геометрией имеют структуру расслоенного пространства Зейферта , если они ориентируемы. (Если они не ориентируемы, натуральное расслоение на окружности не обязательно является расслоением Зейферта: проблема в том, что некоторые волокна могут «менять ориентацию»; другими словами, их окрестности выглядят как расслоенные сплошные бутылки Клейна, а не сплошные торы. ^[2] ) Классификация таких (ориентированных) многообразий приведена в статье о расслоенных пространствах Зейферта . Эта геометрия может быть смоделирована как левоинвариантная метрика на группе Бианки типа III . При нормализованном потоке Риччи многообразия с этой геометрией сходятся к двумерному многообразию.

Геометрия универсального покрытия SL(2, R)

Универсальное покрытие SL (2, R ) обозначается . Оно расслоено над H ² , и пространство иногда называют "скрученным H ² × R". Группа G имеет 2 компоненты. Ее единичная компонента имеет структуру . Стабилизатор точки - O(2, R ). ${\displaystyle {\widetilde {\rm {SL}}}(2,\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle (\mathbf {R} \times {\widetilde {\rm {SL}}}_{2}(\mathbf {R} ))/\mathbf {Z} }$

Примерами таких многообразий являются: многообразие единичных векторов касательного расслоения гиперболической поверхности и, в более общем смысле, гомологические сферы Брискорна (за исключением 3-сферы и додекаэдрического пространства Пуанкаре ). Эту геометрию можно смоделировать как левоинвариантную метрику на группе Бианки типа VIII или III . Многообразия конечного объема с такой геометрией являются ориентируемыми и имеют структуру расслоенного пространства Зейферта . Классификация таких многообразий приведена в статье о расслоенных пространствах Зейферта . При нормализованном потоке Риччи многообразия с такой геометрией сходятся к двумерному многообразию.

Нулевая геометрия

Это расслоение над E ² , и поэтому иногда известно как "Скрученное E ² × R". Это геометрия группы Гейзенберга . Стабилизатор точки - O(2, R ). Группа G имеет 2 компоненты и является полупрямым произведением 3-мерной группы Гейзенберга на группу O(2, R ) изометрий окружности. Компактные многообразия с этой геометрией включают тор отображения скручивания Дена 2-тора или факторгруппу Гейзенберга по "целочисленной группе Гейзенберга". Эту геометрию можно смоделировать как левоинвариантную метрику на группе Бианки типа II . Многообразия конечного объема с этой геометрией компактны и ориентируемы и имеют структуру расслоенного пространства Зейферта . Классификация таких многообразий приведена в статье о расслоенных пространствах Зейферта . При нормализованном потоке Риччи компактные многообразия с этой геометрией сходятся к R ² с плоской метрикой.

Геометрия Солнца

Эта геометрия (также называемая геометрией солв ) расслаивается над прямой с расслаиванием на плоскость и является геометрией компонента тождества группы G. Стабилизатор точки — это диэдральная группа порядка 8. Группа G имеет 8 компонентов и является группой отображений из 2-мерного пространства Минковского в себя, которые являются либо изометриями, либо умножают метрику на −1. Компонент тождества имеет нормальную подгруппу R ² с фактором R , где R действует на R ² с 2 (действительными) собственными пространствами с различными действительными собственными значениями произведения 1. Это группа Бьянки типа VI ₀ , и геометрия может быть смоделирована как левоинвариантная метрика на этой группе. Все многообразия конечного объема с геометрией солв компактны. Компактные многообразия с солв-геометрией являются либо тором отображения аносовского отображения 2-тора (такое отображение является автоморфизмом 2-тора, заданным обратимой матрицей 2 на 2, собственные значения которой действительны и различны, например ), либо их факторами по группам порядка не более 8. Собственные значения автоморфизма тора порождают порядок действительного квадратичного поля, а солв-многообразия могут быть классифицированы в терминах единиц и идеальных классов этого порядка. ^[3] При нормализованном потоке Риччи компактные многообразия с этой геометрией сходятся (довольно медленно) к R ¹ . ${\displaystyle \left({\begin{array}{*{20}c}2&1\\1&1\\\end{array}}\right)}$

Уникальность

Замкнутое 3-многообразие имеет геометрическую структуру не более чем одного из 8 типов, указанных выше, но некомпактные 3-многообразия конечного объема могут иногда иметь более одного типа геометрической структуры. (Тем не менее, многообразие может иметь много различных геометрических структур одного и того же типа; например, поверхность рода не менее 2 имеет континуум различных гиперболических метрик.) Точнее, если M — многообразие с геометрической структурой конечного объема, то тип геометрической структуры почти определяется следующим образом, в терминах фундаментальной группы π ₁ ( M ):

• Если π ₁ ( M ) конечно, то геометрическая структура на M является сферической, а M компактно.
• Если π ₁ ( M ) виртуально циклично, но не конечно, то геометрическая структура на M имеет вид S ² × R , а M компактно.
• Если π ₁ ( M ) является виртуально абелевым, но не виртуально циклическим, то геометрическая структура на M является евклидовой, а M компактно.
• Если π ₁ ( M ) виртуально нильпотентно, но не виртуально абелево, то геометрическая структура на M является нулевой геометрией, а M компактно.
• Если π ₁ ( M ) виртуально разрешимо, но не виртуально нильпотентно, то геометрическая структура на M является разрешимой геометрией, а M компактно.
• Если π ₁ ( M ) имеет бесконечную нормальную циклическую подгруппу, но не является виртуально разрешимой, то геометрическая структура на M — это либо H ² × R , либо универсальное покрытие SL(2, R ). Многообразие M может быть как компактным, так и некомпактным. Если оно компактно, то эти 2 геометрии можно различить по тому, имеет ли π ₁ ( M ) подгруппу конечного индекса , которая расщепляется как полупрямое произведение нормальной циклической подгруппы и чего-то еще. Если многообразие некомпактно, то фундаментальная группа не может различить эти две геометрии, и существуют примеры (например, дополнение к узлу трилистника), где многообразие может иметь геометрическую структуру конечного объема любого типа.
• Если π ₁ ( M ) не имеет бесконечной нормальной циклической подгруппы и не является виртуально разрешимой, то геометрическая структура на M является гиперболической, и M может быть как компактным, так и некомпактным.

Бесконечные объемные многообразия могут иметь много различных типов геометрической структуры: например, R ³ может иметь 6 из различных геометрических структур, перечисленных выше, поскольку 6 из 8 модельных геометрий гомеоморфны ему. Более того, если объем не обязательно должен быть конечным, существует бесконечное число новых геометрических структур без компактных моделей; например, геометрия почти любой неунимодулярной 3-мерной группы Ли.

Может быть более одного способа разложить замкнутое 3-многообразие на части с геометрическими структурами. Например:

• Взятие связанных сумм с несколькими копиями S ³ не меняет многообразие.
• Связная сумма двух проективных 3-пространств имеет геометрию S2 ^× R , а ^также является связной суммой двух частей с геометрией S3 .
• Произведение поверхности отрицательной кривизны и окружности имеет геометрическую структуру, но может быть также разрезано вдоль торов для получения меньших частей, которые также имеют геометрическую структуру. Существует много подобных примеров для пространств расслоений Зейферта.

Можно выбрать «каноническое» разложение на части с геометрической структурой, например, сначала разрезав многообразие на простые части минимальным способом, а затем разрезав их с использованием наименьшего возможного числа торов. Однако это минимальное разложение не обязательно является тем, которое производит поток Риччи; на самом деле поток Риччи может разрезать многообразие на геометрические части многими неэквивалентными способами, в зависимости от выбора начальной метрики.

История

В 1982 году Терстону была присуждена медаль Филдса, отчасти за доказательство гипотезы геометризации для многообразий Хакена .

В 1982 году Ричард С. Гамильтон показал, что если задано замкнутое 3-многообразие с метрикой положительной кривизны Риччи , поток Риччи схлопнет многообразие в точку за конечное время, что доказывает гипотезу геометризации для этого случая, поскольку метрика становится «почти круглой» непосредственно перед схлопыванием. Позднее он разработал программу для доказательства гипотезы геометризации потоком Риччи с хирургией . Идея состоит в том, что поток Риччи в общем случае будет создавать сингулярности, но можно продолжить поток Риччи за сингулярностью, используя хирургию для изменения топологии многообразия. Грубо говоря, поток Риччи сжимает области положительной кривизны и расширяет области отрицательной кривизны, поэтому он должен уничтожить части многообразия с геометриями «положительной кривизны» S ³ и S ² × R , в то время как то, что остается в большие времена, должно иметь толсто-тонкое разложение на «толстую» часть с гиперболической геометрией и «тонкое» графовое многообразие .

В 2003 году Григорий Перельман объявил о доказательстве гипотезы геометризации, показав, что поток Риччи действительно может быть продолжен за пределы сингулярностей и имеет описанное выше поведение.

Одним из компонентов доказательства Перельмана была новая теорема о коллапсе в римановой геометрии. Перельман не опубликовал никаких подробностей о доказательстве этого результата (теорема 7.4 в препринте «Поток Риччи с хирургией на трехмерных многообразиях»). Начиная с Шиои и Ямагучи, сейчас существует несколько различных доказательств теоремы Перельмана о коллапсе или ее вариантов. ^{[4] [5] [6] [7]} Формулировка Шиои и Ямагучи использовалась в первых полностью подробных формулировках работы Перельмана. ^[8]

Вторым путем к последней части доказательства геометризации Перельмана является метод Лорана Бессьера и соавторов, ^{[9] [10],} который использует теорему о гиперболизации Терстона для многообразий Хакена и норму Громова для 3-многообразий. ^{[11] [12]} Книга тех же авторов с полными подробностями их версии доказательства была опубликована Европейским математическим обществом . ^[13 ]

Более высокие измерения

В четырех измерениях только довольно ограниченный класс замкнутых 4-многообразий допускает геометрическое разложение. ^[14] Однако списки максимальных модельных геометрий все еще могут быть даны. ^[15]

Четырехмерные максимальные модельные геометрии были классифицированы Ричардом Филипкевичем в 1983 году. Их насчитывается восемнадцать, плюс одно счетно бесконечное семейство: ^[15] их обычные названия — E ⁴ , Nil ⁴ , Nil ³ × E ¹ , Sol⁴
_{м , н}(бесконечное счетное семейство), Sol⁴
₀, Соль⁴
₁, H ³ × E ¹ , × E ¹ , H ² × E ² , H ² × H ² , H ⁴ , H ² ( C ) ( комплексное гиперболическое пространство ), F ⁴ ( касательное расслоение гиперболической плоскости), S ² × E ² , S ² × H ² , S ³ × E ¹ , S ⁴ , CP ² ( комплексная проективная плоскость ) и S ² × S ² . ^[14] Ни одно замкнутое многообразие не допускает геометрию F ⁴ , но существуют многообразия с правильным разложением, включающие часть F ⁴ . ^[14] ${\displaystyle {\widetilde {\rm {SL}}}}$

Пятимерные максимальные модельные геометрии были классифицированы Эндрю Генгом в 2016 году. Существует 53 индивидуальных геометрии и шесть бесконечных семейств. Возникают некоторые новые явления, не наблюдаемые в более низких измерениях, включая два несчетных семейства геометрий и геометрии без компактных факторов. ^[1]

Примечания

1. Geng, Andrew (9 июня 2016 г.). «5-мерные геометрии I: общая классификация». arXiv : 1605.07545 [math.GT].
2. Финтушел, Рональд (1976). «Локальные действия S1 на 3-многообразиях». Pacific Journal of Mathematics . 66 (1): 111–118. doi : 10.2140/pjm.1976.66.111 .
3. Куинн, Джозеф; Верёвский, Альберто (01.06.2020). «Формы возврата поверхностей Гильберта – Блюменталя». Геометрии Дедиката . 206 (1): 27–42. arXiv : 1711.02418 . doi : 10.1007/s10711-019-00474-w. ISSN  1572-9168. S2CID  55731832.
4. Сиоя, Т.; Ямагучи, Т. (2005). «Объемные коллапсированные трехмерные многообразия с нижней границей кривизны». Math. Ann . 333 (1): 131–155. arXiv : math/0304472 . doi :10.1007/s00208-005-0667-x. S2CID  119481.
5. Морган и Тиан 2014.
6. Кляйнер, Брюс; Лотт, Джон (2014). «Локально сжатые 3-многообразия». Astérisque . 365 (7–99).
7. Цао, Цзяньго; Ге, Цзянь (2011). «Простое доказательство теоремы Перельмана о коллапсе для трехмерных многообразий». Дж. Геом. Анал . 21 (4): 807–869. arXiv : 1003.2215 . дои : 10.1007/s12220-010-9169-5. S2CID  514106.
8. Цао и Чжу 2006; Кляйнер и Лотт 2008.
9. Бессьер, Л.; Бессон, Ж.; Буало, М.; Майо, С.; Порти, Ж. (2007). «Слабое схлопывание и геометризация асферических 3-многообразий». arXiv : 0706.2065 [math.GT].
10. Бессьер, Л.; Бессон, Г.; Буало, М.; Майо, С.; Порти, Ж. (2010). «Коллапсирующие неприводимые 3-многообразия с нетривиальной фундаментальной группой». Invent. Math. 179 (2): 435–460. Bibcode :2010InMat.179..435B. doi :10.1007/s00222-009-0222-6. S2CID  119436601.
11. Отал, Ж.-П. (1998). "Гиперболизация Терстона многообразий Хакена". Обзоры по дифференциальной геометрии . Том III. Кембридж, Массачусетс: Int. Press. С. 77–194. ISBN 1-57146-067-5.
12. Громов, М. (1983). «Объем и ограниченные когомологии». Инст. Hautes Études Sci. Опубл. Математика. (56): 5–99.
13. Л. Бессьер, Ж. Бессон, М. Буало, С. Майо, Ж. Порти, «Геометризация 3-многообразий», EMS Tracts in Mathematics, том 13. Европейское математическое общество, Цюрих, 2010. Доступно по адресу https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~besson/book.pdf
14. Хиллман, Джонатан (13 ноября 2022 г.). «Четырехмерные многообразия, геометрии и узлы». arXiv : math/0212142 .
15. Filipkiewicz, Richard (1983). Четырехмерные геометрии (диссертация). University of Warwick . Получено 31 января 2024 г.

Ссылки

• Л. Бессьер, Ж. Бессон, М. Буало, С. Майо, Ж. Порти, «Геометризация 3-многообразий», EMS Tracts in Mathematics, том 13. Европейское математическое общество, Цюрих, 2010. [1]
• М. Буало Геометризация 3-многообразий с симметриями
• Ф. Бонахон Геометрические структуры на 3-многообразиях Справочник по геометрической топологии (2002) Elsevier.
• Cao, Huai-Dong ; Zhu, Xi-Ping (2006). «Полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации — применение теории Гамильтона–Перельмана потока Риччи». Asian Journal of Mathematics . 10 (2): 165–492. doi : 10.4310/ajm.2006.v10.n2.a2 . MR  2233789. Zbl  1200.53057.
  – – (2006). «Erratum». Азиатский журнал математики . 10 (4): 663–664. doi : 10.4310/AJM.2006.v10.n4.e2 . MR  2282358.
  – – (2006). «Доказательство Гамильтона–Перельмана гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации». arXiv : math/0612069 .
• Аллен Хэтчер: Заметки о базовой топологии 3-многообразий 2000
• Дж. Айзенберг, М. Джексон, Поток Риччи локально однородных геометрий на римановом многообразии , Журнал дифференциальной геометрии 35 (1992) № 3 723–741.
• Кляйнер, Брюс ; Лотт, Джон (2008). «Заметки о работах Перельмана». Геометрия и топология . 12 (5). Обновлено для исправлений в 2011 и 2013 годах: 2587–2855. arXiv : math/0605667 . doi : 10.2140/gt.2008.12.2587 . MR  2460872. Zbl  1204.53033.
• Джон В. Морган . Недавний прогресс в гипотезе Пуанкаре и классификации 3-многообразий. Bulletin Amer. Math. Soc. 42 (2005) № 1, 57–78 (описательная статья кратко объясняет восемь геометрий и гипотезу геометризации, а также дает схему доказательства Перельманом гипотезы Пуанкаре)
• Морган, Джон В.; Фонг, Фредерик Цз-Хо (2010). Поток Риччи и геометризация 3-многообразий. Серия университетских лекций. ISBN 978-0-8218-4963-7. Получено 2010-09-26 .
• Морган, Джон ; Тиан, Ганг (2014). Гипотеза геометризации . Монографии Clay Mathematics . Том 5. Кембридж, Массачусетс: Clay Mathematics Institute . ISBN 978-0-8218-5201-9. МР  3186136.
• Перельман, Гриша (2002). «Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения». arXiv : math/0211159 .
• Перельман, Гриша (2003). "Поток Риччи с хирургией на трехмерных многообразиях". arXiv : math/0303109 .
• Перельман, Гриша (2003). "Конечное время исчезновения решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях". arXiv : math/0307245 .
• Скотт, Питер Геометрия 3-многообразий. (исправления) Bull. London Math. Soc. 15 (1983), № 5, 401–487.
• Терстон, Уильям П. (1982). «Трехмерные многообразия, группы Клейна и гиперболическая геометрия». Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 6 (3): 357–381. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15003-0 . ISSN  0002-9904. MR  0648524.Это дает первоначальное утверждение гипотезы.
• Уильям Терстон. Трехмерная геометрия и топология. Том 1. Под редакцией Сильвио Леви. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси, 1997. x+311 стр.  ISBN 0-691-08304-5 (подробное объяснение восьми геометрий и доказательство того, что их всего восемь) 
• Уильям Терстон. Геометрия и топология трехмерных многообразий, заметки к лекциям в Принстоне 1980 года о геометрических структурах на трехмерных многообразиях.

Внешние ссылки

• "Геометрия 3-многообразий (видео)". Архивировано из оригинала 27 января 2010 г. Получено 20 января 2010 г.Публичная лекция о гипотезах Пуанкаре и геометризации, прочитанная К. Макмалленом в Гарварде в 2006 году.