stringtranslate.com

Евклидова геометрия

Фрагмент картины Рафаэля « Афинская школа», на которой изображен греческий математик (возможно, представляющий Евклида или Архимеда  ), использующий циркуль для рисования геометрической конструкции.

Евклидова геометрия — математическая система, приписываемая древнегреческому математику Евклиду , которую он описал в своем учебнике по геометрии « Начала » . Подход Евклида заключается в принятии небольшого набора интуитивно привлекательных аксиом (постулатов) и выведении из них многих других положений ( теорем ). Хотя многие из результатов Евклида были сформулированы ранее, [1] Евклид был первым, кто организовал эти положения в логическую систему , в которой каждый результат доказывается с помощью аксиом и ранее доказанных теорем. [2]

«Начала » начинаются с плоской геометрии , которую до сих пор преподают в средней школе (старшей школе) как первую аксиоматическую систему и первые примеры математических доказательств . Затем следует объемная геометрия трех измерений . Большая часть « Начал» содержит результаты того, что сейчас называется алгеброй и теорией чисел , объясненные на геометрическом языке. [1]

Более двух тысяч лет прилагательное «евклидово» было ненужным, поскольку аксиомы Евклида казались настолько интуитивно очевидными (за исключением, возможно, постулата о параллельных линиях ), что теоремы, доказанные с их помощью, считались абсолютно истинными, и, таким образом, никакие другие виды геометрии невозможны. Сегодня, однако, известно много других самосогласованных неевклидовых геометрий , первые из которых были открыты в начале 19 века. Следствием общей теории относительности Альберта Эйнштейна является то, что само физическое пространство не является евклидовым, и евклидово пространство является для него хорошим приближением только на коротких расстояниях (относительно силы гравитационного поля ). [3]

Евклидова геометрия является примером синтетической геометрии , в том смысле, что она логически переходит от аксиом, описывающих основные свойства геометрических объектов, таких как точки и линии, к предложениям об этих объектах. Это отличается от аналитической геометрии , введенной почти 2000 лет спустя Рене Декартом , которая использует координаты для выражения геометрических свойств с помощью алгебраических формул .

TheЭлементы

« Начала » — это в основном систематизация более ранних знаний геометрии. Их улучшение по сравнению с более ранними обработками было быстро признано, в результате чего интерес к сохранению более ранних работ был невелик, и теперь они почти все утеряны.

В «Элементах» 13 книг :

В книгах I–IV и VI обсуждается плоская геометрия. Доказано множество результатов о плоских фигурах, например, «Во всяком треугольнике два угла, взятые вместе любым образом, меньше двух прямых углов». (Книга I, предложение 17) и теорема Пифагора «В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей прямой угол, равен квадратам на сторонах, содержащих прямой угол». (Книга I, предложение 47)

Книги V и VII–X посвящены теории чисел , где числа рассматриваются геометрически как длины отрезков или площади областей поверхности. Вводятся такие понятия, как простые числа , рациональные и иррациональные числа . Доказывается, что существует бесконечно много простых чисел.

Книги XI–XIII посвящены стереометрии . Типичным результатом является соотношение 1:3 между объемами конуса и цилиндра с той же высотой и основанием. Построены платоновы тела .

Аксиомы

Постулат параллельности (Постулат 5): Если две прямые пересекают третью таким образом, что сумма внутренних углов с одной стороны меньше двух прямых углов, то эти две прямые неизбежно должны пересечься с этой стороны, если их продолжить достаточно далеко.

Евклидова геометрия — аксиоматическая система , в которой все теоремы («истинные утверждения») выводятся из небольшого числа простых аксиом. До появления неевклидовой геометрии эти аксиомы считались очевидно истинными в физическом мире, так что все теоремы были бы одинаково истинными. Однако рассуждения Евклида от предположений к выводам остаются верными независимо от физической реальности. [4]

В начале первой книги «Начал » Евклид приводит пять постулатов (аксиом) для плоской геометрии, изложенных в терминах построений (в переводе Томаса Хита): [5]

Предположим следующее:
  1. Провести прямую линию от любой точки до любой точки.
  2. Произвести (продолжить) конечную прямую линию непрерывно по прямой.
  3. Описать окружность с любым центром и расстоянием (радиусом).
  4. Что все прямые углы равны между собой.
  5. [ Постулат параллельности ]: если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние углы с одной и той же стороны, меньшие двух прямых углов, то эти две прямые линии, продолженные до бесконечности, встретятся с той стороны, с которой углы меньше двух прямых углов.

Хотя Евклид явно утверждает лишь существование сконструированных объектов, в своих рассуждениях он также неявно предполагает их уникальность.

«Начала » также включают в себя следующие пять «общих понятий»:

  1. Вещи, равные одной и той же вещи, равны и друг другу ( транзитивное свойство евклидова отношения ).
  2. Если к равным прибавляются равные числа, то целые равны (свойство сложения чисел).
  3. Если из равных вычесть равные, то разности будут равны (свойство вычитания равенства).
  4. Вещи, совпадающие друг с другом, равны друг другу (рефлексивное свойство).
  5. Целое больше части.

Современные ученые сходятся во мнении, что постулаты Евклида не обеспечивают полной логической основы, которая требовалась Евклиду для его изложения. [6] Современные методы используют более обширные и полные наборы аксиом.

Параллельный постулат

Древним постулат о параллельности казался менее очевидным, чем другие. Они стремились создать систему абсолютно определенных предложений, и им казалось, что постулат о параллельности требует доказательства из более простых утверждений. Теперь известно, что такое доказательство невозможно, поскольку можно построить последовательные системы геометрии (подчиняющиеся другим аксиомам), в которых постулат о параллельности истинен, и другие, в которых он ложен. [7] Сам Евклид, по-видимому, считал его качественно отличным от других, о чем свидетельствует организация «Начал » : его первые 28 предложений — это те, которые можно доказать без него.

Можно сформулировать множество альтернативных аксиом, которые логически эквивалентны постулату о параллельности (в контексте других аксиом). Например, аксиома Плейфера гласит:

На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести максимум одну прямую, которая никогда не пересекает данную прямую.

Предложение «не более» — это все, что нужно, поскольку из оставшихся аксиом можно доказать, что существует по крайней мере одна параллельная прямая.

Доказательство из «Начал » Евклида , что по данному отрезку можно построить равносторонний треугольник, включающий этот отрезок в качестве одной из своих сторон: равносторонний треугольник ΑΒΓ получается путем проведения окружностей Δ и Ε с центрами в точках Α и Β, и взятия одной из точек пересечения окружностей в качестве третьей вершины треугольника.

Методы доказательства

Евклидова геометрия конструктивна . Постулаты 1, 2, 3 и 5 утверждают существование и уникальность определенных геометрических фигур, и эти утверждения носят конструктивный характер: то есть нам не только говорят, что определенные вещи существуют, но и дают методы для их создания с помощью не более чем циркуля и неразмеченной линейки . [8] В этом смысле евклидова геометрия более конкретна, чем многие современные аксиоматические системы, такие как теория множеств , которые часто утверждают существование объектов, не говоря, как их построить, или даже утверждают существование объектов, которые не могут быть построены в рамках теории. [9] Строго говоря, линии на бумаге являются моделями объектов, определенных в формальной системе, а не экземплярами этих объектов. Например, евклидова прямая линия не имеет ширины, но любая реально нарисованная линия будет иметь ее. Хотя почти все современные математики считают неконструктивные доказательства такими же надежными, как и конструктивные, их часто считают менее элегантными , интуитивными или практически полезными. Конструктивные доказательства Евклида часто вытесняли ошибочные неконструктивные доказательства, например, некоторые доказательства Пифагора, которые предполагали, что все числа рациональны, и обычно требовали утверждения типа «Найдите наибольшее общее значение ...» [10]

Евклид часто использовал доказательство от противного . [ необходима ссылка ]

Обозначения и терминология

Наименование точек и фигур

Точки обычно именуются заглавными буквами алфавита. Другие фигуры, такие как линии, треугольники или окружности, именуются путем перечисления достаточного количества точек, чтобы их можно было однозначно выделить из соответствующей фигуры, например, треугольник ABC обычно является треугольником с вершинами в точках A, B и C.

Дополнительные и добавочные углы

Углы, сумма которых является прямым углом, называются дополнительными . Дополнительные углы образуются, когда луч имеет одну и ту же вершину и направлен в направлении, которое находится между двумя исходными лучами, образующими прямой угол. Число лучей между двумя исходными лучами бесконечно.

Углы, сумма которых является развернутым углом, являются дополнительными . Дополнительные углы образуются, когда луч имеет одну и ту же вершину и направлен в направлении, которое находится между двумя исходными лучами, образующими развернутый угол (угол 180 градусов). Количество лучей между двумя исходными лучами бесконечно.

Современные версии обозначений Евклида

В современной терминологии углы обычно измеряются в градусах или радианах .

Современные школьные учебники часто определяют отдельные фигуры, называемые линиями (бесконечными), лучами (полубесконечными) и отрезками (конечной длины). Евклид, вместо того, чтобы обсуждать луч как объект, который простирается до бесконечности в одном направлении, обычно использовал такие обороты речи, как «если линия продлена до достаточной длины», хотя иногда он ссылался на «бесконечные линии». «Линия» для Евклида могла быть как прямой, так и кривой, и он использовал более конкретный термин «прямая линия», когда это было необходимо.

Некоторые важные или хорошо известные результаты

Мост осла

Мост ослов ( pons asinorum ) гласит, что в равнобедренных треугольниках углы при основании равны друг другу, и если равные прямые линии продолжить, то углы под основанием будут равны друг другу . [11] Его название можно отнести к его частой роли в качестве первого настоящего теста в Элементах интеллекта читателя и как моста к более сложным предложениям, которые следовали за ним. Его также можно было бы так назвать из-за сходства геометрической фигуры с крутым мостом, который мог бы перейти только уверенный в себе осел. [12]

Равенство треугольников

Конгруэнтность треугольников определяется указанием двух сторон и угла между ними (SAS), двух углов и стороны между ними (ASA) или двух углов и соответствующей смежной стороны (AAS). Однако указание двух сторон и смежного угла (SSA) может привести к двум различным возможным треугольникам, если только указанный угол не является прямым углом.

Треугольники конгруэнтны, если у них все три стороны равны (SSS), две стороны и угол между ними равны (SAS) или два угла и сторона равна (ASA) (Книга I, предложения 4, 8 и 26). Треугольники с тремя равными углами (AAA) подобны, но не обязательно конгруэнтны. Кроме того, треугольники с двумя равными сторонами и смежным углом не обязательно равны или конгруэнтны.

Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольника равна развернутому углу (180 градусов). [13] Это приводит к тому, что равносторонний треугольник имеет три внутренних угла по 60 градусов. Кроме того, это приводит к тому, что каждый треугольник имеет по крайней мере два острых угла и до одного тупого или прямого угла .

Теорема Пифагора

Знаменитая теорема Пифагора (книга I, предложение 47) гласит, что в любом прямоугольном треугольнике площадь квадрата, стороной которого является гипотенуза (сторона, противолежащая прямому углу), равна сумме площадей квадратов, сторонами которых являются два катета (две стороны, которые встречаются под прямым углом).

Теорема Фалеса

Теорема Фалеса , названная в честь Фалеса Милетского, гласит, что если A, B и C — точки на окружности, где линия AC является диаметром окружности, то угол ABC — прямой. Кантор предположил, что Фалес доказал свою теорему с помощью Евклида, Книга I, Предложение 32, по образцу Евклида, Книга III, Предложение 31. [14] [15]

Масштабирование площади и объема

В современной терминологии площадь плоской фигуры пропорциональна квадрату любого из ее линейных размеров, , а объем твердого тела — кубу, . Евклид доказал эти результаты в различных частных случаях, таких как площадь круга [16] и объем параллелепипедного тела. [17] Евклид определил некоторые, но не все, соответствующие константы пропорциональности. Например, его преемник Архимед доказал, что сфера имеет 2/3 объема описанного цилиндра. [18]

Система мер и арифметики

В евклидовой геометрии есть два основных типа измерений: угол и расстояние . Шкала углов абсолютна, и Евклид использует прямой угол в качестве своей базовой единицы, так что, например, угол в 45 градусов будет называться половиной прямого угла. Шкала расстояний относительна; произвольно выбирается отрезок прямой с определенной ненулевой длиной в качестве единицы, а другие расстояния выражаются относительно него. Сложение расстояний представлено конструкцией, в которой один отрезок прямой копируется на конец другого отрезка прямой, чтобы увеличить его длину, и аналогично для вычитания.

Измерения площади и объема выводятся из расстояний. Например, прямоугольник шириной 3 и длиной 4 имеет площадь, которая представляет произведение, 12. Поскольку эта геометрическая интерпретация умножения была ограничена тремя измерениями, не было прямого способа интерпретации произведения четырех или более чисел, и Евклид избегал таких произведений, хотя они подразумевались, например, в доказательстве книги IX, предложение 20.

Пример конгруэнтности. Две фигуры слева конгруэнтны, а третья похожа на них. Последняя фигура не является ни той, ни другой. Конгруэнтности изменяют некоторые свойства, такие как местоположение и ориентация, но оставляют другие неизменными, такие как расстояние и углы . Последний вид свойств называется инвариантами , и их изучение является сутью геометрии.

Евклид называет пару линий или пару плоских или объемных фигур «равными» (ἴσος), если их длины, площади или объемы равны соответственно, и аналогично для углов. Более сильный термин « конгруэнтный » относится к идее, что вся фигура имеет тот же размер и форму, что и другая фигура. С другой стороны, две фигуры конгруэнтны, если одну можно поместить поверх другой так, чтобы она точно совпала с ней. (Переворачивать ее разрешается.) Так, например, прямоугольник 2x6 и прямоугольник 3x4 равны, но не конгруэнтны, а буква R конгруэнтна своему зеркальному отображению. Фигуры, которые были бы конгруэнтны, если бы не их разные размеры, называются подобными . Соответствующие углы в паре подобных фигур равны, а соответствующие стороны пропорциональны друг другу.

В машиностроении

Проектирование и анализ

Механическое напряжение
Механизм
Кожухотрубчатый теплообменник с U-образной трубкой
Кожухотрубчатый теплообменник с U-образной трубкой
Типы линз
Типы линз

Динамика

Вибрация - Колебания
Номенклатура аэродинамических профилей
Анимация орбиты по эксцентриситету

Системы автоматизированного проектирования

3D CAD-модель

Проектирование схем

Печатная плата DVD-плеера

Электромагнитные и гидродинамические поля

NASA Cassegrain , чрезвычайно высокий коэффициент усиления ~70 дБи.
Потенциальный поток вокруг источника без циркуляции

Управление

Базовый цикл обратной связи.

Другие общие применения

Ввиду фундаментального статуса евклидовой геометрии в математике здесь нецелесообразно приводить что-либо, кроме репрезентативной выборки ее приложений.

Как следует из этимологии слова, одной из самых ранних причин интереса к геометрии, а также одним из наиболее распространенных современных применений геометрии является геодезия . [19] Кроме того, она использовалась в классической механике и когнитивных и вычислительных подходах к визуальному восприятию объектов . Некоторые практические результаты евклидовой геометрии (например, свойство прямого угла треугольника 3-4-5) использовались задолго до того, как они были доказаны формально. [20] Основными типами измерений в евклидовой геометрии являются расстояния и углы, оба из которых могут быть измерены непосредственно геодезистом. Исторически расстояния часто измерялись цепями, такими как цепь Гюнтера , а углы — с помощью градуированных кругов и, позднее, теодолита .

Применение евклидовой геометрии тела — определение конфигураций упаковки , например, задача поиска наиболее эффективной упаковки сфер в n измерениях. Эта задача имеет приложения в обнаружении и исправлении ошибок .

Геометрия широко используется в архитектуре .

Геометрию можно использовать для проектирования оригами . Некоторые классические задачи по построению геометрии невозможны с использованием циркуля и линейки , но могут быть решены с помощью оригами . [21]

Более поздняя история

Архимед и Аполлоний

Сфера имеет 2/3 объема и площади поверхности описанного ею цилиндра. Сфера и цилиндр были помещены на могилу Архимеда по его просьбе.

Архимед ( ок.  287 г. до н. э.  – ок.  212 г. до н. э. ), колоритная личность, о которой записано много исторических анекдотов, помнят наряду с Евклидом как один из величайших древних математиков. Хотя основы его работы были заложены Евклидом, его работа, в отличие от работы Евклида, считается полностью оригинальной. [22] Он доказал уравнения для объемов и площадей различных фигур в двух и трех измерениях и сформулировал архимедово свойство конечных чисел.

Аполлоний Пергский ( ок.  240 г. до н. э.  – ок.  190 г. до н. э. ) в основном известен своими исследованиями конических сечений.

Рене Декарт. Портрет с Франса Хальса , 1648.

17 век: Декарт

Рене Декарт (1596–1650) разработал аналитическую геометрию , альтернативный метод формализации геометрии, который был сосредоточен на превращении геометрии в алгебру. [23]

При таком подходе точка на плоскости представляется ее декартовыми координатами ( x , y ), линия представляется ее уравнением и т. д.

В первоначальном подходе Евклида теорема Пифагора следует из аксиом Евклида. В декартовом подходе аксиомы являются аксиомами алгебры, а уравнение, выражающее теорему Пифагора, является тогда определением одного из терминов аксиом Евклида, которые теперь считаются теоремами.

Уравнение

Определение расстояния между двумя точками P = ( p x , p y ) и Q = ( q x , q y ) называется евклидовой метрикой , а другие метрики определяют неевклидовы геометрии .

С точки зрения аналитической геометрии ограничение классической геометрии построениями с помощью циркуля и линейки означает ограничение уравнениями первого и второго порядка, например, y = 2 x + 1 (прямая) или x 2 + y 2 = 7 (окружность).

Также в 17 веке Жирар Дезарг , мотивированный теорией перспективы , ввел понятие идеализированных точек, прямых и плоскостей на бесконечности. Результат можно рассматривать как тип обобщенной геометрии, проективной геометрии , но его также можно использовать для получения доказательств в обычной евклидовой геометрии, в которой число особых случаев сокращается. [24]

Квадратура круга: площади этого квадрата и этого круга равны. В 1882 году было доказано, что эту фигуру невозможно построить за конечное число шагов с помощью идеализированного циркуля и линейки .

18 век

Геометры 18 века боролись за определение границ евклидовой системы. Многие тщетно пытались доказать пятый постулат из первых четырех. К 1763 году было опубликовано не менее 28 различных доказательств, но все они были признаны неверными. [25]

В преддверии этого периода геометры также пытались определить, какие построения могут быть выполнены в евклидовой геометрии. Например, задача трисекции угла с помощью циркуля и линейки является одной из тех, которые естественным образом возникают в теории, поскольку аксиомы относятся к конструктивным операциям, которые могут быть выполнены с помощью этих инструментов. Однако столетия усилий не смогли найти решение этой проблемы, пока Пьер Ванцель не опубликовал в 1837 году доказательство того, что такое построение невозможно. Другие построения, которые были доказаны как невозможные, включают удвоение куба и квадратуру круга . В случае удвоения куба невозможность построения возникает из того факта, что метод циркуля и линейки включает уравнения, порядок которых является целой степенью двойки, [26] в то время как удвоение куба требует решения уравнения третьего порядка.

Эйлер обсуждал обобщение евклидовой геометрии, называемое аффинной геометрией , которая сохраняет пятый постулат неизмененным, ослабляя при этом третий и четвертый постулаты таким образом, что устраняются понятия угла (поэтому прямоугольные треугольники становятся бессмысленными) и равенства длины отрезков прямых вообще (поэтому окружности становятся бессмысленными), сохраняя при этом понятия параллельности как отношения эквивалентности между прямыми и равенства длины параллельных отрезков прямых (поэтому отрезки прямых продолжают иметь среднюю точку).

19 век

Сравнение эллиптической, евклидовой и гиперболической геометрий в двух измерениях

В начале 19 века Карно и Мёбиус систематически развивали использование знаковых углов и отрезков как способ упрощения и унификации результатов. [27]

Более высокие измерения

В 1840-х годах Уильям Роуэн Гамильтон разработал кватернионы , а Джон Т. Грейвс и Артур Кэли — октонионы . Это нормированные алгебры , расширяющие комплексные числа . Позже стало понятно, что кватернионы также являются евклидовой геометрической системой с четырьмя действительными декартовыми координатами. [28] Кэли использовал кватернионы для изучения вращений в 4-мерном евклидовом пространстве . [29]

В середине века Людвиг Шлефли разработал общую концепцию евклидова пространства , расширив евклидову геометрию до более высоких измерений . Он определил полисхемы , позже названные многогранниками , которые являются более многомерными аналогами многоугольников и многогранников . Он разработал их теорию и открыл все правильные многогранники, т. е. -мерные аналоги правильных многоугольников и Платоновых тел . Он обнаружил , что существует шесть правильных выпуклых многогранников в размерности четыре и три во всех более высоких измерениях.

Шлефли выполнил эту работу в относительной безвестности, и она была опубликована полностью только посмертно в 1901 году. Она не имела большого влияния, пока не была заново открыта и полностью задокументирована в 1948 году Х. С. М. Кокстером .

В 1878 году Уильям Кингдон Клиффорд ввел то, что сейчас называется геометрической алгеброй , объединив кватернионы Гамильтона с алгеброй Германа Грассмана и раскрыв геометрическую природу этих систем, особенно в четырех измерениях. Операции геометрической алгебры имеют эффект зеркального отображения, вращения, перевода и отображения геометрических объектов, которые моделируются в новые положения. Тор Клиффорда на поверхности 3-сферы является простейшим и наиболее симметричным плоским вложением декартова произведения двух окружностей (в том же смысле, в котором поверхность цилиндра является «плоской»).

Неевклидова геометрия

Наиболее влиятельное развитие геометрии столетия произошло, когда около 1830 года Янош Бойяи и Николай Иванович Лобачевский независимо друг от друга опубликовали работу по неевклидовой геометрии , в которой постулат о параллельных прямых не верен. [30] Поскольку неевклидова геометрия, как можно доказать, относительно согласуется с евклидовой геометрией, постулат о параллельных прямых не может быть доказан из других постулатов.

В 19 веке также было осознано, что десяти аксиом Евклида и общих понятий недостаточно для доказательства всех теорем, изложенных в « Началах» . Например, Евклид неявно предполагал, что любая линия содержит по крайней мере две точки, но это предположение не может быть доказано из других аксиом, и, следовательно, само должно быть аксиомой. Самое первое геометрическое доказательство в « Началах», показанное на рисунке выше, состоит в том, что любой отрезок является частью треугольника; Евклид строит это обычным способом, рисуя окружности вокруг обеих конечных точек и принимая их пересечение за третью вершину. Однако его аксиомы не гарантируют, что окружности действительно пересекаются, поскольку они не утверждают геометрическое свойство непрерывности, которое в декартовых терминах эквивалентно свойству полноты действительных чисел. Начиная с Морица Паша в 1882 году было предложено много улучшенных аксиоматических систем для геометрии, наиболее известными из которых являются системы Гильберта [31] , Джорджа Биркгофа [ 32] и Тарского [33] .

20 век и теория относительности

Опровержение евклидовой геометрии как описания физического пространства. В 1919 году в ходе проверки общей теории относительности были сфотографированы звезды (отмеченные короткими горизонтальными линиями) во время солнечного затмения . Лучи звездного света были искривлены гравитацией Солнца на пути к Земле. Это интерпретируется как доказательство в пользу предсказания Эйнштейна о том, что гравитация вызовет отклонения от евклидовой геометрии.

Специальная теория относительности Эйнштейна включает в себя четырехмерное пространство-время , пространство Минковского , которое не является евклидовым . Это показывает, что неевклидовы геометрии, которые были введены несколькими годами ранее для демонстрации того, что постулат параллельности не может быть доказан, также полезны для описания физического мира.

Однако трехмерная «пространственная часть» пространства Минковского остается пространством евклидовой геометрии. Это не относится к общей теории относительности , для которой геометрия пространственной части пространства-времени не является евклидовой геометрией. [34] Например, если треугольник построен из трех лучей света, то в общем случае внутренние углы не составляют в сумме 180 градусов из-за гравитации. Относительно слабое гравитационное поле, такое как у Земли или Солнца, представлено метрикой, которая приблизительно, но не точно, евклидовой. До 20-го века не было технологии, способной обнаружить эти отклонения в лучах света от евклидовой геометрии, но Эйнштейн предсказал, что такие отклонения будут существовать. Позже они были проверены наблюдениями, такими как небольшое искривление звездного света Солнцем во время солнечного затмения в 1919 году, и такие соображения теперь являются неотъемлемой частью программного обеспечения, которое управляет системой GPS . [35]

Как описание структуры пространства

Евклид считал, что его аксиомы были самоочевидными утверждениями о физической реальности. Доказательства Евклида зависят от предположений, возможно, не очевидных в фундаментальных аксиомах Евклида, [36] в частности, что определенные движения фигур не изменяют их геометрических свойств, таких как длины сторон и внутренние углы, так называемые евклидовы движения , которые включают переносы, отражения и вращения фигур. [37] Взятый как физическое описание пространства, постулат 2 (продолжение линии) утверждает, что пространство не имеет отверстий или границ; постулат 4 (равенство прямых углов) говорит, что пространство изотропно и фигуры могут быть перемещены в любое место, сохраняя при этом конгруэнтность ; и постулат 5 ( постулат параллельности ), что пространство плоское (не имеет внутренней кривизны ). [38]

Как обсуждалось выше, теория относительности Альберта Эйнштейна существенно меняет эту точку зрения.

Неоднозначный характер аксиом, изначально сформулированных Евклидом, позволяет разным комментаторам не соглашаться относительно некоторых других их последствий для структуры пространства, например, является ли оно бесконечным [39] (см. ниже) и какова его топология . Современные, более строгие переформулировки системы [40] обычно направлены на более четкое разделение этих вопросов. Интерпретируя аксиомы Евклида в духе этого более современного подхода, аксиомы 1–4 согласуются либо с бесконечным, либо с конечным пространством (как в эллиптической геометрии ), и все пять аксиом согласуются с различными топологиями (например, плоскость, цилиндр или тор для двумерной евклидовой геометрии).

Лечение бесконечности

Бесконечные объекты

Евклид иногда явно различал «конечные линии» (например, Постулат 2) и « бесконечные линии» (книга I, предложение 12). Однако он обычно не делал таких различий, если они не были необходимы. Постулаты явно не ссылаются на бесконечные линии, хотя, например, некоторые комментаторы интерпретируют постулат 3, существование окружности с любым радиусом, как подразумевающий, что пространство бесконечно. [39]

Понятие бесконечно малых величин ранее широко обсуждалось Элейской школой , но никто не мог поставить их на прочную логическую основу, и возникали парадоксы, такие как парадокс Зенона , которые не были разрешены к всеобщему удовлетворению. Евклид использовал метод исчерпывания , а не бесконечно малые величины. [41]

Более поздние античные комментаторы, такие как Прокл (410–485 гг. н. э.), рассматривали многие вопросы о бесконечности как вопросы, требующие доказательств, и, например, Прокл утверждал, что доказал бесконечную делимость линии, основываясь на доказательстве от противного, в котором он рассматривал случаи четного и нечетного числа точек, составляющих ее. [42]

На рубеже 20-го века Отто Штольц , Поль дю Буа-Реймон , Джузеппе Веронезе и другие создали противоречивые работы по неархимедовым моделям евклидовой геометрии, в которых расстояние между двумя точками может быть бесконечным или бесконечно малым, в смысле Ньютона - Лейбница . [43] Пятьдесят лет спустя Абрахам Робинсон предоставил строгую логическую основу для работы Веронезе. [44]

Бесконечные процессы

Древние геометры, возможно, считали постулат параллельности — о том, что две параллельные линии никогда не пересекаются — менее определенным, чем другие, поскольку он делает утверждение о бесконечно удаленных областях пространства и поэтому не может быть физически проверен. [45]

Современная формулировка доказательства методом индукции была разработана только в XVII веке, но некоторые более поздние комментаторы считают ее неявной в некоторых доказательствах Евклида, например, в доказательстве бесконечности простых чисел. [46]

Предполагаемые парадоксы, связанные с бесконечными рядами, такие как парадокс Зенона , существовали до Евклида. Евклид избегал таких обсуждений, приводя, например, выражение для частичных сумм геометрического ряда в IX.35, не комментируя возможность того, что число членов станет бесконечным.

Логическая основа

Классическая логика

Евклид часто использовал метод доказательства от противного , и поэтому традиционное изложение евклидовой геометрии предполагает классическую логику , в которой каждое предложение либо истинно, либо ложно, т. е. для любого предложения P предложение «P или не P» автоматически истинно.

Современные стандарты строгости

Математики на протяжении столетий занимались тем, что ставили евклидову геометрию на прочную аксиоматическую основу. [47] Роль примитивных понятий , или неопределенных концепций, была ясно обозначена Алессандро Падоа из делегации Пеано на Парижской конференции 1900 года: [47] [48]

...когда мы начинаем формулировать теорию, мы можем представить, что неопределенные символы полностью лишены смысла и что недоказанные предложения являются просто условиями, наложенными на неопределенные символы.

Тогда система идей , которую мы изначально выбрали, является просто одной из интерпретаций неопределенных символов; но... эта интерпретация может быть проигнорирована читателем, который волен заменить ее в своем уме другой интерпретацией ... которая удовлетворяет условиям...

Логические вопросы, таким образом, становятся полностью независимыми от эмпирических или психологических вопросов...

Систему неопределенных символов можно тогда рассматривать как абстракцию, полученную из специализированных теорий , которые возникают, когда...система неопределенных символов последовательно заменяется каждой из интерпретаций...

-  Падоа, Очерк алгебраической теории чисел, с логическим введением в дедуктивную теорию

То есть математика — это контекстно-независимые знания в иерархической структуре. Как сказал Бертран Рассел : [49]

Если наша гипотеза о чем-либо , а не о какой-то одной или нескольких конкретных вещах, то наши выводы составляют математику. Таким образом, математику можно определить как предмет, в котором мы никогда не знаем, о чем говорим, и является ли то, что мы говорим, правдой.

—  Бертран Рассел, Математика и метафизики

Такие фундаментальные подходы варьируются от фундаментализма до формализма .

Аксиоматические формулировки

Геометрия — это наука о правильных рассуждениях о неправильных фигурах.

—  Джордж Полиа , Как это решить , стр. 208

Смотрите также

Классические теоремы

Примечания

  1. ^ ab Eves 1963, стр. 19.
  2. ↑ Ивс 1963, стр. 10.
  3. ↑ Мизнер, Торн и Уиллер (1973), стр. 47.
  4. ^ Предположения Евклида обсуждаются с современной точки зрения в книге Гарольда Э. Вулфа (2007). Введение в неевклидову геометрию. Mill Press. стр. 9. ISBN 978-1-4067-1852-2.
  5. ^ tr. Хит, стр. 195–202.
  6. ^ Венема, Джерард А. (2006), Основы геометрии , Prentice-Hall, стр. 8, ISBN 978-0-13-143700-5.
  7. ↑ Флоренс П. Льюис (январь 1920 г.), «История постулата о параллельности», The American Mathematical Monthly , 27 (1), The American Mathematical Monthly, том 27, № 1: 16–23, doi : 10.2307/2973238, JSTOR  2973238.
  8. ↑ Болл, стр. 56.
  9. ^ В рамках предположений Евклида довольно легко дать формулу для площади треугольников и квадратов. Однако в более общем контексте, таком как теория множеств, не так просто доказать, что площадь квадрата равна сумме площадей его частей, например. См. меру Лебега и парадокс Банаха–Тарского .
  10. ^ Дэниел Шэнкс (2002). Решенные и нерешенные проблемы теории чисел . Американское математическое общество.
  11. ↑ Евклид, книга I, предложение 5, пер. Хита, стр. 251.
  12. ^ Игнорируя предполагаемую сложность Книги I, Предложения 5, сэр Томас Л. Хит упоминает другую интерпретацию. Она основана на сходстве нижних прямых линий фигуры с круто наклонным мостом, который может перейти осел, но не лошадь: "Но есть и другая точка зрения (как я узнал недавно), которая более лестна для осла. Она заключается в том, что фигура предложения похожа на мост с эстакадами, с пандусом на каждом конце, который тем более удобен, чем более плоской нарисована фигура, мост таков, что, в то время как лошадь не могла бы преодолеть пандус, осел мог бы; другими словами, этот термин подразумевает скорее устойчивость осла, чем какой-либо недостаток интеллекта с его стороны". (в "Excursis II", том 1 перевода Хита " Тринадцати книг стихий" ).
  13. ↑ Евклид, книга I, предложение 32.
  14. ↑ Хит, стр. 135. Фрагмент страницы 135.
  15. ↑ Хит, стр. 318.
  16. ↑ Евклид, книга XII, предложение 2.
  17. ↑ Евклид, книга XI, предложение 33.
  18. ↑ Болл, стр. 66.
  19. ↑ Болл, стр. 5.
  20. ↑ Евс, т. 1, стр. 5; Млодинов, стр. 7.
  21. ^ Том Халл. «Оригами и геометрические конструкции». Архивировано из оригинала 2019-06-18 . Получено 2013-12-29 .
  22. ↑ Евс, стр. 27.
  23. ↑ Болл, стр. 268 и далее.
  24. ^ Евс (1963).
  25. ^ Хофштадтер 1979, стр. 91.
  26. ↑ Теорема 120, Элементы абстрактной алгебры, Аллан Кларк, Довер, ISBN 0-486-64725-0 . 
  27. ↑ Ивс (1963), стр. 64.
  28. ^ Stillwell 2001, стр. 18–21; В четырехмерной евклидовой геометрии кватернион — это просто (w, x, y, z) декартова координата. Гамильтон не рассматривал их как таковые, когда открыл кватернионы . Шлефли был первым, кто рассмотрел четырехмерное евклидово пространство , опубликовав свое открытие регулярных полисхем в 1852 году, но Гамильтон никогда не находился под влиянием этой работы, которая оставалась неясной в 20 веке. Гамильтон нашел кватернионы, когда понял, что четвертое измерение, в некотором смысле, будет необходимо для моделирования вращений в трехмерном пространстве. Хотя он описал кватернион как упорядоченное четырехэлементное кратное действительных чисел , кватернионы были для него расширением комплексных чисел, а не евклидовым пространством четырех измерений.
  29. ^ Перес-Грасиа и Томас 2017; «На самом деле именно Кэли мы должны поблагодарить за правильную разработку кватернионов как представления вращений».
  30. ↑ Болл, стр. 485.
  31. ^ * Говард Ивс , 1997 (1958). Основы и основные понятия математики . Дувр.
  32. ↑ Биркгоф, ГД, 1932, «Набор постулатов для плоской геометрии (на основе масштаба и транспортиров)», Annals of Mathematics 33.
  33. ^ ab Tarski (1951).
  34. ↑ Мизнер, Торн и Уиллер (1973), стр. 191.
  35. ^ Ризос, Крис. Университет Нового Южного Уэльса . Спутниковые сигналы GPS. Архивировано 12 июня 2010 г. на Wayback Machine . 1999.
  36. ^ Ричард Дж. Трюдо (2008). "Аксиомы Евклида". Неевклидова революция . Биркхойзер. стр. 39 и далее . ISBN 978-0-8176-4782-7.
  37. ^ См., например: Лучано да Фонтура Коста; Роберто Маркондес Сезар (2001). Анализ и классификация форм: теория и практика. ЦРК Пресс. п. 314. ИСБН 0-8493-3493-4.и Хельмут Поттманн; Йоханнес Валлнер (2010). Вычислительная линейная геометрия. Спрингер. п. 60. ИСБН 978-3-642-04017-7.Группа движений лежит в основе метрических понятий геометрии. См. Felix Klein (2004). Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry (Переиздание Macmillan Company ed. 1939). Courier Dover. стр. 167. ISBN 0-486-43481-8.
  38. ^ Роджер Пенроуз (2007). Дорога к реальности: полное руководство по законам Вселенной. Vintage Books. стр. 29. ISBN 978-0-679-77631-4.
  39. ^ ab Heath, стр. 200.
  40. ^ например, Тарский (1951).
  41. ↑ Болл, стр. 31.
  42. ↑ Хит, стр. 268.
  43. ↑ Джузеппе Веронезе, О неархимедовой геометрии, 1908. Английский перевод в книге «Действительные числа, обобщения действительных чисел и теории континуумов», под ред. Филиппа Эрлиха, Kluwer, 1994.
  44. ^ Робинсон, Абрахам (1966). Нестандартный анализ.
  45. ↑ Нагель и Ньюман, 1958, стр. 9.
  46. ^ Каджори (1918), стр. 197.
  47. ^ ab Подробное обсуждение можно найти в James T. Smith (2000). "Глава 2: Основы". Методы геометрии . Wiley. стр. 19 и далее . ISBN 0-471-25183-6.
  48. ^ Французское философское общество (1900). Ревю метафизики и морали, Том 8. Hachette. п. 592.
  49. ^ Бертран Рассел (2000). «Математика и метафизики». В Джеймс Рой Ньюман (ред.). Мир математики . Том 3 (Переиздание Саймона и Шустера, ред. 1956 г.). Courier Dover Publications. стр. 1577. ISBN 0-486-41151-6.
  50. ^ Бертран Рассел (1897). «Введение». Эссе об основах геометрии. Cambridge University Press.
  51. ^ Джордж Дэвид Биркгофф; Ральф Битли (1999). "Глава 2: Пять фундаментальных принципов". Базовая геометрия (3-е изд.). AMS Bookstore. стр. 38 и далее . ISBN 0-8218-2101-6.
  52. ^ Джеймс Т. Смит (10 января 2000 г.). "Глава 3: Элементарная евклидова геометрия". Цитируемая работа . John Wiley & Sons. стр. 84 и далее . ISBN 9780471251835.
  53. ^ Эдвин Э. Моис (1990). Элементарная геометрия с продвинутой точки зрения (3-е изд.). Эддисон–Уэсли. ISBN 0-201-50867-2.
  54. ^ Джон Р. Сильвестр (2001). "§1.4 Гильберт и Биркгоф". Геометрия: древняя и современная . Oxford University Press. ISBN 0-19-850825-5.
  55. ^ Альфред Тарский (2007). «Что такое элементарная геометрия». В Леон Хенкин; Патрик Суппес; Альфред Тарский (ред.). Исследования по логике и основаниям математики – Аксиоматический метод со специальной ссылкой на геометрию и физику (Труды Международного симпозиума в Беркли 1957–8; Переиздание ред.). Brouwer Press. стр. 16. ISBN 978-1-4067-5355-4. Мы считаем элементарной ту часть евклидовой геометрии, которая может быть сформулирована и установлена ​​без помощи каких-либо теоретико-множественных устройств.
  56. ^ Кит Симмонс (2009). "Логика Тарского". В Дов М. Габбей; Джон Вудс (ред.). Логика от Рассела до Черча . Elsevier. стр. 574. ISBN 978-0-444-51620-6.
  57. ^ Францен, Торкель (2005). Теорема Гёделя: неполное руководство по ее использованию и злоупотреблению. AK Peters. ISBN 1-56881-238-8 . С. 25–26. 

Ссылки

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Евклидова геометрия» .