Тор Клиффорда

Геометрический объект в четырехмерном пространстве

Стереографическая проекция тора Клиффорда, совершающего простое вращение.

Топологически прямоугольник представляет собой основной многоугольник тора со сшитыми вместе противоположными краями.

В геометрической топологии тор Клиффорда — простейшее и наиболее симметричное плоское вложение декартова произведения двух окружностей S.¹
_аи С¹
_б(в том же смысле, что поверхность цилиндра «плоская»). Он назван в честь Уильяма Кингдона Клиффорда . Он находится в R ⁴ , а не в R ³ . Чтобы понять, почему необходим R ^{4 , заметим, что если} S¹
_аи С¹
_бкаждый существует в своем независимом пространстве вложения R²
_аи Р²
_б, результирующее пространство продукта будет равно R ⁴ , а не R ³ . Исторически популярное мнение о том, что декартово произведение двух окружностей представляет собой тор R3 ^, напротив, требует крайне асимметричного применения оператора вращения ко второй окружности, поскольку эта окружность будет иметь только одну независимую ось z, доступную ему после того, как первая окружность поглотит х и  у .

Другими словами, тор, вложенный в R ^{3 ,} является асимметричной проекцией уменьшенной размерности максимально симметричного тора Клиффорда, вложенного в R ⁴ . Эта связь аналогична проецированию ребер куба на лист бумаги. Такая проекция создает изображение меньшей размерности, которое точно отражает связность ребер куба, но также требует произвольного выбора и удаления одной из трех полностью симметричных и взаимозаменяемых осей куба.

Если С¹
_аи С¹
_бкаждый имеет радиус1/√ 2, их произведение тора Клиффорда идеально вписывается в единичную 3-сферу S ³ , которая является 3-мерным подмногообразием R ⁴ . Когда это математически удобно, тор Клиффорда можно рассматривать как находящийся внутри комплексного координатного пространства C ² , поскольку C ² топологически эквивалентен R ⁴ .

Тор Клиффорда является примером квадратного тора , поскольку он изометричен квадрату с отождествленными противоположными сторонами. Он также известен как евклидов 2-тор («2» — его топологическое измерение); фигуры, нарисованные на нем, подчиняются евклидовой геометрии ^{[ необходимы пояснения ]} , как если бы они были плоскими, тогда как поверхность обычного тора в форме « пончика » положительно изогнута на внешнем крае и отрицательно изогнута на внутреннем. Несмотря на то, что квадратный тор имеет геометрию, отличную от стандартного вложения тора в трехмерное евклидово пространство, он также может быть встроен в трехмерное пространство по теореме вложения Нэша ; одно из возможных вложений модифицирует стандартный тор с помощью фрактального набора ряби, бегущей в двух перпендикулярных направлениях вдоль поверхности. ^[1]

Формальное определение

Единичная окружность S ¹ в R ² может быть параметризована угловой координатой:

${\displaystyle S^{1}={\bigl \{}(\cos \theta ,\sin \theta )\,{\big |}\,0\leq \theta <2\pi {\bigr \}}.}$

В другой копии R ² возьмите еще одну копию единичного круга.

${\displaystyle S^{1}={\bigl \{}(\cos \varphi ,\sin \varphi )\,{\big |}\,0\leq \varphi <2\pi {\bigr \}}.}$

Тогда тор Клиффорда

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}\times {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}=\left\{\left.{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\cos \theta ,\sin \theta ,\cos \varphi ,\sin \varphi )\,\right|\,0\leq \theta <2\pi ,0\leq \varphi <2\pi \right\}.}$

^{Поскольку каждая} копия S1 является вложенным подмногообразием R2 ^, тор Клиффорда является вложенным тором ^в R2 × R2 = ^R4 .

Если R ⁴ задан координатами ( x ₁ , y ₁ , x ₂ , y ₂ ) , то тор Клиффорда задается формулой

${\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=x_{2}^{2}+y_{2}^{2}={\tfrac {1}{2}}.}$

Это показывает, что в R ⁴ тор Клиффорда является подмногообразием единичной 3-сферы S ³ .

Легко проверить, что тор Клиффорда является минимальной поверхностью ^в S3 .

Альтернативный вывод с использованием комплексных чисел

Также принято рассматривать тор Клиффорда как вложенный тор в C ² . В двух копиях C у нас есть следующие единичные круги (все еще параметризованные угловой координатой):

${\displaystyle S^{1}=\left\{\left.e^{i\theta }\,\right|\,0\leq \theta <2\pi \right\}}$

и

${\displaystyle S^{1}=\left\{\left.e^{i\varphi }\,\right|\,0\leq \varphi <2\pi \right\}.}$

Теперь тор Клиффорда выглядит как

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}\times {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}=\left\{\left.{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(e^{i\theta },e^{i\varphi }\right)\,\right|\,0\leq \theta <2\pi ,0\leq \varphi <2\pi \right\}.}$

^{Как и прежде} , это вложенное подмногообразие в единичной сфере S3 в C2 .

Если C ² задан координатами ( z ₁ , z ₂ ) , то тор Клиффорда задается формулой

${\displaystyle \left|z_{1}\right|^{2}=\left|z_{2}\right|^{2}={\tfrac {1}{2}}.}$

В торе Клиффорда, определенном выше, расстояние любой точки тора Клиффорда до начала координат C ² равно

${\displaystyle {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left|e^{i\theta }\right|^{2}+{\tfrac {1}{2}}\left|e^{i\varphi }\right|^{2}}}=1.}$

Совокупность всех точек на расстоянии 1 от начала координат C ² представляет собой единичную 3-сферу, поэтому тор Клиффорда находится внутри этой 3-сферы. Фактически тор Клиффорда делит эту 3-сферу на два конгруэнтных полнотория (см. расщепление Хегора ^[2] ).

Поскольку O(4) действует на R ⁴ посредством ортогональных преобразований , мы можем переместить «стандартный» тор Клиффорда, определенный выше, в другие эквивалентные торы посредством жестких вращений. Все они называются «Клиффорд Тори». Шестимерная группа O(4) действует транзитивно на пространстве всех таких торов Клиффорда, находящихся внутри 3-сферы. Однако это действие имеет двумерный стабилизатор (см. групповое действие ), поскольку вращение тора в меридиональном и продольном направлениях сохраняет тор (в отличие от перемещения его в другой тор). Следовательно, на самом деле существует четырехмерное пространство торов Клиффорда. ^[2] Фактически, существует взаимно однозначное соответствие между торами Клиффорда в единичной 3-сфере и парами полярных больших кругов (т.е. больших кругов, которые максимально разделены). Учитывая тор Клиффорда, связанные с ним большие полярные круги являются центральными кругами каждой из двух дополнительных областей. И наоборот, для любой пары полярных больших кругов соответствующий тор Клиффорда является местом точек трехмерной сферы, которые равноудалены от двух кругов.

Более общее определение торов Клиффорда.

Плоские торы в единичной 3-сфере S ³ , являющиеся произведением окружностей радиуса r в одной 2-плоскости R ² и радиуса √ 1 − r ² в другой 2-плоскости R ² , иногда также называют «торами Клиффорда».

Одни и те же круги можно рассматривать как имеющие радиусы cos θ и sin θ для некоторого угла θ в диапазоне 0 ≤ θ ≤π/2(куда мы включили вырожденные случаи θ = 0 и θ =π/2).

Объединение для 0 ≤ θ ≤π/2всех этих торов формы

${\displaystyle T_{\theta }=S(\cos \theta )\times S(\sin \theta )}$

(где S ( r ) обозначает круг в плоскости R2 ^, имеющий центр (0, 0) ^и радиус r ) является 3-сферой S3 . Обратите внимание, что мы должны включить два вырожденных случая θ = 0 и θ =π/2, каждый из которых соответствует большому кругу S ³ , и которые вместе составляют пару полярных больших кругов.

Легко видеть, что этот тор T _{θ имеет площадь}

${\displaystyle \operatorname {area} \left(T_{\theta }\right)=4\pi ^{2}\cos \theta \sin \theta =2\pi ^{2}\sin 2\theta ,}$

поэтому только тор T_π/4имеет максимально возможную площадь 2 π ² . Этот тор Т_π/4— это тор T _θ , который чаще всего называют «тором Клиффорда», а также единственный из T _θ , который является минимальной поверхностью в S ³ .

Еще более общее определение торов Клиффорда в более высоких измерениях.

Любая единичная сфера S ^{2 n −1} в четномерном евклидовом пространстве R ^{2 n} = C ⁿ может быть выражена через комплексные координаты следующим образом:

${\displaystyle S^{2n-1}=\left\{(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbf {C} ^{n}:|z_{1}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}=1\right\}.}$

Тогда для любых неотрицательных чисел r ₁ , ..., r _n таких, что r ₁ ² + ... + r _n ² = 1 , мы можем определить обобщенный тор Клиффорда следующим образом:

${\displaystyle T_{r_{1},\ldots ,r_{n}}={\bigl \{}(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbf {C} ^{n}:|z_{k}|=r_{k},~1\leqslant k\leqslant n{\bigr \}}.}$

Все эти обобщенные торы Клиффорда не пересекаются друг с другом. Мы можем еще раз заключить, что объединение каждого из этих торов T _{r 1 , ..., r n} представляет собой единичную (2 n − 1) -сферу S ^{2 n −1} (куда мы снова должны включить вырожденные случаи, когда хотя бы один из радиусов r _k = 0 ).

Характеристики

• Тор Клиффорда «плоский»; его можно расплющить до плоскости, не растягивая, в отличие от стандартного тора вращения.
• Тор Клиффорда делит трехмерную сферу на два конгруэнтных полнотория. (В стереографической проекции тор Клиффорда выглядит как стандартный тор вращения. Тот факт, что он делит 3-сферу поровну, означает, что внутренняя часть проецируемого тора эквивалентна внешней части, которую нелегко визуализировать).

Использование в математике

В симплектической геометрии тор Клиффорда дает пример вложенного лагранжева подмногообразия C 2 со стандартной симплектической структурой ^. (Конечно, любое произведение вложенных окружностей в C дает лагранжев тор C ² , поэтому это не обязательно торы Клиффорда.)

Гипотеза Лоусона утверждает , что каждый минимально вложенный тор в трехмерной сфере с круглой метрикой должен быть тором Клиффорда. Эту гипотезу доказал Саймон Брендл в ^{2012 году .}

Торы Клиффорда и их образы при конформных преобразованиях являются глобальными минимизаторами функционала Уиллмора .

Смотрите также

• Дуоцилиндр
• расслоение Хопфа
• Параллельность Клиффорда и поверхность Клиффорда
• Уильям Кингдом Клиффорд

Рекомендации

1. Боррелли, В.; Джабране, С.; Лазарус, Ф.; Тиберт, Б. (апрель 2012 г.), «Плоские торы в трехмерном пространстве и выпуклая интеграция», Proceedings of the National Academy of Sciences , 109 (19): 7218–7223, doi : 10.1073/pnas.1118478109 , PMC  3358891 , ПМИД  22523238.
2. Норбс, П. (сентябрь 2005 г.). «12-я проблема» (PDF) . Газета Австралийского математического общества . 32 (4): 244–246.