Хуай-Дун Цао (родился 8 ноября 1959 года в Цзянсу ) — китайско-американский математик. Он является профессором математики имени А. Эверетта Питчера в Университете Лихай . Он известен своим исследовательским вкладом в поток Риччи , тему в области геометрического анализа .
Цао получил степень бакалавра в Университете Цинхуа в 1981 году и степень доктора философии в Принстонском университете в 1986 году под руководством Шин-Тун Яу . [ необходима ссылка ]
Цао — бывший заместитель директора Института чистой и прикладной математики (IPAM) Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе. Он занимал должность приглашенного профессора в Массачусетском технологическом институте, Гарвардском университете, Институте Исаака Ньютона, Институте Макса Планка, IHES, ETH Zurich и Пизанском университете. С 2003 года он является главным редактором журнала Journal of Differential Geometry. Среди его наград и почестей:
В 1982 году Ричард С. Гамильтон представил поток Риччи , доказав драматическую новую теорему о геометрии трехмерных многообразий . [1] Цао, который только что начал свое докторское обучение под руководством Шинг-Тунг Яу , начал изучать поток Риччи в контексте кэлеровых многообразий . В своей докторской диссертации, опубликованной в 1985 году, он показал, что оценки Яу в разрешении гипотезы Калаби могут быть изменены в контексте потока Кэлера-Риччи, чтобы доказать теорему о сходимости, аналогичную первоначальному результату Гамильтона. [2] Это также предоставило параболическую альтернативу методу непрерывности Яу в доказательстве гипотезы Калаби, хотя большая часть технической работы в доказательствах похожа.
Следуя предложению Яу о том, что поток Риччи может быть использован для доказательства гипотезы геометризации Уильяма Терстона , Гамильтон развивал теорию в течение следующих двух десятилетий. В 2002 и 2003 годах Гриша Перельман опубликовал две статьи в arXiv , в которых он утверждал, что представил доказательство гипотезы геометризации через поток Риччи. [3] [4] Кроме того, он опубликовал третью статью, в которой дал сокращенный вариант доказательства знаменитой гипотезы Пуанкаре , для которого результаты во второй половине второй статьи были ненужными. [5] Статьи Перельмана были немедленно признаны дающими заметные новые результаты в теории потока Риччи, хотя многие математики не смогли полностью понять технические детали некоторых необычно сложных или кратких разделов в его работе.
Брюс Кляйнер из Йельского университета и Джон Лотт из Мичиганского университета начали публиковать аннотации первых двух статей Перельмана в Интернете в 2003 году, дополняя и изменяя их в течение следующих нескольких лет. Результаты этой работы были опубликованы в академическом журнале в 2008 году. [6] Цао сотрудничал с Си-Пин Чжу из Университета Чжуншань , опубликовав в 2006 году изложение работы Гамильтона и первых двух статей Перельмана, объяснив их в контексте математической литературы по геометрическому анализу . Джон Морган из Колумбийского университета и Ган Тянь из Принстонского университета опубликовали книгу в 2007 году о первой и третьей статьях Перельмана и первой половине второй статьи; позже они опубликовали вторую книгу о второй половине второй статьи Перельмана. [7] [8]
В аннотации статьи Цао и Чжу говорится:
В этой статье мы даем полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации. Эта работа опирается на накопленные труды многих геометрических аналитиков за последние тридцать лет. Это доказательство следует считать венцом теории потока Риччи Гамильтона-Перельмана.
с введением, начинающимся
В этой статье мы представим теорию потока Риччи Гамильтона-Перельмана. На ее основе мы дадим первое письменное изложение полного доказательства гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации Терстона. Хотя полная работа представляет собой аккумулированные усилия многих геометрических аналитиков, основные вкладчики, несомненно, Гамильтон и Перельман.
Некоторые наблюдатели посчитали, что Цао и Чжу преувеличивают ценность своей статьи. Кроме того, было обнаружено, что несколько страниц статьи Цао и Чжу были похожи на страницы в статье Кляйнера и Лотта, что привело к обвинениям в плагиате. Цао и Чжу заявили, что в 2003 году они сделали заметки по этому разделу работы Перельмана из ранних публикаций Кляйнера и Лотта, и что по случайной оплошности они не поняли источник заметок при написании своей статьи в 2005 году. [9] Они опубликовали исправленную версию своей статьи в arXiv в декабре 2006 года. [10]
Градиентный солитон Риччи состоит из риманова многообразия ( M , g ) и функции f на M, такой что Ric g + Hess g f является постоянным кратным g . В частном случае, когда M имеет сложную структуру, g является кэлеровой метрикой , а градиент f является голоморфным векторным полем, мы имеем градиентный солитон Кэлера-Риччи . Солитоны Риччи иногда рассматриваются как обобщения метрик Эйнштейна , которые соответствуют случаю f = 0. Важность градиентных солитонов Риччи для теории потока Риччи была впервые признана Гамильтоном в влиятельной статье 1995 года. [11] В анализе Перельмана градиентные солитоны Риччи, где постоянное кратное положительно, особенно важны; они называются градиентными сжимающимися солитонами Риччи . Обзор Као 2010 года о солитонах Риччи широко цитировался.
В 1996 году Као изучал градиентные солитоны Кэлера-Риччи в анзаце вращательной симметрии, так что уравнение солитона Риччи сводится к анализу ОДУ . Он показал, что для каждого положительного n существует градиентно-устойчивый солитон Кэлера-Риччи, на котором он вращательно-симметричный, полный и положительно искривленный. В случае, когда n равно 1, это восстанавливает сигарный солитон Гамильтона. Као также показал существование градиентно-устойчивых солитонов Кэлера-Риччи на общем пространстве канонического расслоения над комплексным проективным пространством , которое является полным и вращательно-симметричным и неотрицательно искривленным. Он построил замкнутые примеры градиентно-усадочных солитонов Кэлера-Риччи на проективизации определенных линейных расслоений над комплексным проективным пространством; эти примеры были рассмотрены независимо Норихито Коисо. [12] Анзац Цао и Коисо был развит дальше во влиятельной статье Михаила Фельдмана, Тома Ильманена и Дэна Кнопфа, а примеры Цао, Коисо и Фельдмана-Ильманена-Кнопфа были объединены и расширены в 2011 году Эндрю Дэнсером и Маккензи Вангом. [13] [14]
Используя аргумент Перельмана, Цао и Дэтанг Чжоу показали, что полные градиентно-сжимающие солитоны Риччи имеют гауссовский характер, в том смысле, что для любой заданной точки p из M функция f должна расти квадратично с функцией расстояния до p . Кроме того, объем геодезических шаров вокруг p может расти не более чем полиномиально с их радиусом. Эти оценки делают возможным проведение значительного интегрального анализа с полными градиентно-сжимающими солитонами Риччи, в частности, позволяя использовать e − f в качестве весовой функции.
