stringtranslate.com

греческая математика

Иллюстрация доказательства теоремы Пифагора Евклидом .

Греческая математика относится к математическим текстам и идеям, возникшим в период от архаики до эллинизма и римского периода, в основном с V века до н. э. по VI век н. э., на берегах Средиземного моря . [1] [2] Греческие математики жили в городах, разбросанных по всему региону, от Анатолии до Италии и Северной Африки , но были объединены греческой культурой и греческим языком . [3] Развитие математики как теоретической дисциплины и использование дедуктивных рассуждений в доказательствах является важным отличием греческой математики от математики предшествующих цивилизаций. [4] [5]

Происхождение и этимология

Греческое mathēmatikē («математика») происходит от древнегреческого : μάθημα , романизированного : máthēma  , аттического греческого : [má.tʰɛː.ma] греческого койне : [ˈma.θi.ma] , от глагола manthanein , «учиться». Строго говоря, máthēma может быть любой отраслью обучения или чем-либо изученным; однако, начиная с античности, некоторые mathēmata (в основном арифметика, геометрия, астрономия и гармоника) получили особый статус. [6] [7]

Происхождение греческой математики не очень хорошо документировано. [8] [9] Самые ранние развитые цивилизации в Греции и Европе были минойской и позднее микенской цивилизациями, обе из которых процветали во 2-м тысячелетии до н. э. Хотя эти цивилизации обладали письменностью и были способны к передовой инженерии, включая четырехэтажные дворцы с дренажем и ульевыми гробницами , они не оставили после себя никаких математических документов.

Хотя прямых доказательств нет, принято считать, что соседние вавилонская и египетская цивилизации оказали влияние на более молодую греческую традицию. [10] [11] [8] В отличие от расцвета греческой литературы в период с 800 по 600 гг. до н. э., о греческой математике в этот ранний период известно немного — почти вся информация была передана более поздними авторами, начиная с середины IV в. до н. э. [12] [13]

Архаический и классический периоды

Пифагор с таблицей пропорций, фрагмент картины Рафаэля « Афинская школа» (1509)

Греческая математика предположительно началась с Фалеса Милетского (ок. 624–548 до н. э.). О его жизни известно очень мало, хотя принято считать, что он был одним из семи мудрецов Греции . Согласно Проклу , он отправился в Вавилон, где изучал математику и другие предметы, придумав доказательство того, что сейчас называется теоремой Фалеса . [14] [15]

Не менее загадочной фигурой является Пифагор Самосский (ок. 580–500 гг. до н. э.), который предположительно посетил Египет и Вавилон, [13] [16] и в конечном итоге поселился в Кротоне , Великая Греция , где он основал своего рода братство. Пифагорейцы предположительно верили, что «все есть число», и были увлечены поисками математических отношений между числами и вещами. [17] Самому Пифагору приписывали многие более поздние открытия, включая построение пяти правильных тел . Однако Аристотель отказывался приписывать что-либо конкретно Пифагору и обсуждал работу пифагорейцев только как группы. [18] [19]

Почти половина материала в « Началах » Евклида обычно приписывается пифагорейцам, включая открытие иррациональных чисел, приписываемое Гиппасу (ок. 530–450 до н. э.) и Феодору (ок. 450 до н. э.). [20] Однако величайшим математиком, связанным с этой группой, возможно, был Архит (ок. 435–360 до н. э.), который решил задачу удвоения куба , определил гармоническое среднее и, возможно, внес вклад в оптику и механику . [20] [21] Другие математики, работавшие в этот период, не полностью связанные ни с одной школой, включают Гиппократа Хиосского (ок. 470–410 до н. э.), Теэтета (ок. 417–369 до н. э.) и Евдокса (ок. 408–355 до н. э.).

Греческая математика также привлекала внимание философов в классический период . Платон (ок. 428–348 до н. э.), основатель Платоновской академии , упоминает математику в нескольких своих диалогах. [22] Хотя Платон и не считался математиком, он, по-видимому, находился под влиянием пифагорейских идей о числе и считал, что элементы материи можно разбить на геометрические тела. [23] Он также считал, что геометрические пропорции связывают космос воедино, а не физические или механические силы. [24] Аристотель (ок. 384–322 до н. э.), основатель перипатетической школы , часто использовал математику для иллюстрации многих своих теорий, как, например, когда он использовал геометрию в своей теории радуги и теорию пропорций в своем анализе движения. [24] Большая часть знаний о древнегреческой математике в этот период получена благодаря записям, на которые ссылался Аристотель в своих собственных работах. [13] [25]

Эллинистический и римский периоды

Фрагмент из « Начал » Евклида (ок. 300 г. до н. э.), считающегося самым влиятельным учебником математики всех времен [26]

Эллинистическая эпоха началась в конце 4 века до н. э., после завоевания Александром Македонским Восточного Средиземноморья , Египта , Месопотамии , Иранского нагорья , Центральной Азии и части Индии , что привело к распространению греческого языка и культуры в этих регионах. Греческий язык стал языком общения ученых во всем эллинистическом мире, а математика классического периода слилась с египетской и вавилонской математикой, давая начало эллинистической математике. [27] [28]

Греческая математика [a] достигла своего расцвета в эллинистический и ранний римский периоды , и большая часть работ, представленных такими авторами, как Евклид (ок. 300 г. до н. э.), Архимед (ок. 287–212 г. до н. э.), Аполлоний (ок. 240–190 г. до н. э.), Гиппарх (ок. 190–120 г. до н. э.) и Птолемей (ок. 100–170 г. н. э.), была на очень продвинутом уровне и редко осваивалась за пределами узкого круга. [29] Примерами прикладной математики этого времени являются создание аналоговых компьютеров, таких как Антикитерский механизм , [30] [31] точное измерение окружности Земли Эратосфеном ( 276–194 г. до н. э.) и математические и механические работы Герона (ок. 10–70 г. н. э.). [32]

В эллинистический период появилось несколько центров обучения, из которых самым важным был Мусейон в Александрии , Египет , который привлекал ученых со всего эллинистического мира (в основном греков, но также египтян , евреев , персов и других). [33] [34] Хотя их было немного, эллинистические математики активно общались друг с другом; публикация состояла в передаче и копировании чьей-либо работы среди коллег. [35]

Более поздние математики римской эпохи включают Диофанта (ок. 214–298 н. э.), который писал о многоугольных числах и труд по досовременной алгебре ( Арифметика ), [36] [37] Паппа Александрийского (ок. 290–350 н. э.), который собрал много важных результатов в Собрании , [38] Теона Александрийского (ок. 335–405 н. э.) и его дочь Гипатию (ок. 370–415 н. э.), которые редактировали Альмагест Птолемея и другие труды, [39] [40] и Евтокия Аскалона ( ок. 480–540 н. э.), который написал комментарии к трактатам Архимеда и Аполлония. [41] Хотя ни один из этих математиков, за исключением, возможно, Диофанта, не имел заметных оригинальных работ, они известны своими комментариями и изложениями. В этих комментариях сохранились ценные отрывки из произведений, которые уже не сохранились, или исторические намеки, которые, ввиду отсутствия оригинальных документов, представляют ценность ввиду своей редкости. [42] [43]

Большинство математических текстов, написанных на греческом языке, сохранились благодаря копированию рукописей на протяжении столетий. Хотя некоторые фрагменты, датируемые древностью, были найдены прежде всего в Египте , как правило, они не добавляют ничего существенного к нашим знаниям о греческой математике, сохраненным в рукописной традиции. [29]

Достижения

Греческая математика представляет собой важный период в истории математики : фундаментальный в отношении геометрии и идеи формального доказательства . [44] Греческие математики также внесли вклад в теорию чисел , математическую астрономию , комбинаторику , математическую физику и, временами, приближались к идеям, близким к интегральному исчислению . [45] [46]

Евдокс Книдский разработал теорию пропорций, которая имеет сходство с современной теорией действительных чисел , используя сечение Дедекинда , разработанное Ричардом Дедекиндом , который признавал Евдокса своим источником вдохновения. [47] [48] [49] [50]

Евклид , который, предположительно, писал об оптике, астрономии и гармонике, собрал множество предыдущих математических результатов и теорем в « Началах» , каноне геометрии и элементарной теории чисел на протяжении многих столетий. [51] [52] [53] Менелай , более поздний геометр и астроном, написал стандартный труд по сферической геометрии в стиле «Начал» , « Сферику» , которую, возможно, считают первым трактатом по неевклидовой геометрии . [54] [55]

Архимед использовал технику, зависящую от формы доказательства от противного, чтобы получить ответы на проблемы с произвольной степенью точности, при этом указав пределы, в которых лежат ответы. Известный как метод исчерпания , Архимед использовал его в нескольких своих работах, включая приближение к π ( Измерение окружности ), [56] и доказательство того, что площадь, ограниченная параболой и прямой, составляет 4/3 площади треугольника с равным основанием и высотой ( Квадратура параболы ). [57] Архимед также показал, что число песчинок, заполняющих вселенную, не является неисчислимым, разработав свою собственную схему подсчета, основанную на мириаде , которая обозначала 10 000 ( Счетчик песков ). [58]

Наиболее характерным продуктом греческой математики, возможно, является теория конических сечений , которая была в значительной степени разработана в эллинистический период , начиная с работы Менехма и усовершенствована в первую очередь под руководством Аполлония в его работе «Коники» . [59] [60] [61] Методы, используемые в этих работах, не использовали явно алгебру или тригонометрию , последняя появилась примерно во времена Гиппарха . [62] [63]

Древнегреческая математика не ограничивалась теоретическими работами, но также использовалась в других видах деятельности, таких как деловые операции и измерение земель, о чем свидетельствуют сохранившиеся тексты, в которых вычислительные процедуры и практические соображения играли более важную роль. [11] [64]

Передача и рукописная традиция

Обложка « Арифметики » Диофанта на латыни.

Хотя самые ранние найденные греческие математические тексты были написаны после эллинистического периода, большинство из них считаются копиями работ, написанных во время и до эллинистического периода. [65] Двумя основными источниками являются

Несмотря на отсутствие оригинальных рукописей, даты жизни некоторых греческих математиков более точны, чем даты сохранившихся вавилонских или египетских источников, поскольку существует ряд перекрывающихся хронологий, хотя многие даты остаются неопределенными.

Нетц (2011) насчитал 144 древних автора в области математических или точных наук, из которых сохранилось только 29 работ на греческом языке: Аристарх , Автолик , Филон Византийский , Битон , Аполлоний , Архимед , Евклид , Феодосий , Гипсикл , Афиней , Геминус , Цапля , Аполлодор , Теон Смирнский , Клеомед , Никомах , Птолемей , Гауденций , Анатолий , Аристид Квинтилиан , Порфирий , Диофант , Алипий , Дамиан , Папп , Серен , Теон Александрийский , Антемий и Евтокий . [66]

Следующие произведения сохранились только в переводах на арабский язык: [67] [68]

Смотрите также

Ссылки

Примечание

  1. ^ Включая астрономию, гармонику, оптику и механику.

Цитаты

  1. ^ Сидоли, Натан (2020). Тауб, Либа (ред.). «Древнегреческая математика» (PDF) . Кембриджский компаньон по древнегреческой и римской науке : 190–191. doi :10.1017/9781316136096.010.
  2. ^ Netz, Reviel (2002). «Греческая математика: групповая картина». Наука и математика в древнегреческой культуре . С. 196–216 . Получено 04.03.2024 .
  3. ^ Boyer, CB (1991). История математики (2-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. стр. 48. ISBN 0-471-09763-2.
  4. ^ Кнорр, В. (2000). Математика . Греческая мысль: Путеводитель по классическим знаниям: Издательство Гарвардского университета. С. 386–413.
  5. ^ Шифски, Марк (20 июля 2012 г.), «Создание знаний второго порядка в древнегреческой науке как процесс глобализации знаний», Глобализация знаний в истории , MPRL - Исследования, Берлин: Макс-Планк -Gesellschaft zur Förderung der Wissenschaften, ISBN 978-3-945561-23-2, получено 2021-03-27
  6. ^ Хит (1931). «Руководство по греческой математике». Nature . 128 (3235): 5. Bibcode : 1931Natur.128..739T. doi : 10.1038/128739a0. S2CID  3994109.
  7. ^ Фурнер, Дж. (2020). «Классификация наук в греко-римской античности». www.isko.org . Получено 09.01.2023 .
  8. ^ ab Hodgkin, Luke (2005). "Греки и происхождение". История математики: от Месопотамии до современности . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852937-8.
  9. ^ Кнорр, В. (1981). О ранней истории аксиоматики: взаимодействие математики и философии в греческой античности . D. Reidel Publishing Co., стр. 145–186.Изменение теории, античная аксиоматика и методология Галилея, т. 1
  10. ^ Kahn, CH (1991). Некоторые замечания о происхождении греческой науки и философии . Наука и философия в классической Греции: Garland Publishing Inc., стр. 1–10.
  11. ^ Аб Хойруп, Дж. (1990). «Донаучная математика: подводные течения и недостающие звенья в математической технологии эллинистического и римского мира» (PDF) (неопубликованная рукопись, написанная для Aufstieg und Niedergang der römischen Welt ).
  12. ^ Жмудь, Леонид (2008-08-22). Происхождение истории науки в классической античности. Peripatoi. De Gruyter. стр. 23–44. doi :10.1515/9783110194326. ISBN 978-3-11-019432-6.
  13. ^ abc Бойер и Мерцбах (2011) стр. 40–89.
  14. ^ Панченко, ДВ (Дмитрий Вадимович) (1993). «Фалес и происхождение теоретического рассуждения». Конфигурации . 1 (3): 387–414. doi :10.1353/con.1993.0024. ISSN  1080-6520. S2CID  59435003.
  15. ^ Бойер, Карл (1968). История математики . Wiley. стр. 42–43. ISBN 0471543977.
  16. ↑ Хит (2003) стр. 36–111
  17. ^ Бойер, Карл (1968). История науки . Wiley. стр. 45. ISBN 0471543977.
  18. ^ Корнелли, Габриэле (20 мая 2016 г.). «Обзор утверждения Аристотеля относительно фундаментальных убеждений пифагорейцев: все есть число?». Filosofia Unisinos / Философский журнал Unisinos . 17 (1): 50–57. дои : 10.4013/fsu.2016.171.06 . ISSN  1984-8234.
  19. ↑ Ганс-Иоахим Вашкис, «Введение» в «Часть 1: Начало греческой математики» в «Классике в истории греческой математики» , стр. 11–12
  20. ^ ab Netz, Reviel (2014), Huffman, Carl A. (ред.), «Проблема пифагорейской математики», История пифагорейства , Кембридж: Cambridge University Press, стр. 167–184, ISBN 978-1-107-01439-8, получено 2021-05-26
  21. ^ Берниет, МФ (2005). «Архит и оптика». Наука в контексте . 18 (1): 35–53. doi :10.1017/S0269889705000347. ISSN  1474-0664. S2CID  146652622.
  22. ^ Calian, Florin George (2021-12-09). Числа, онтологически говоря: Платон о числе. Brill. ISBN 978-90-04-46722-4.
  23. ^ Чернисс, Гарольд (1951). «Платон как математик». The Review of Metaphysics . 4 (3): 395–425. ISSN  0034-6632. JSTOR  20123223.
  24. ^ ab Линдберг, Дэвид (2008). Начало западной науки . Издательство Чикагского университета. С. 82–110. ISBN 9780226482057.
  25. ↑ Менделл, Генри (26 марта 2004 г.). «Аристотель и математика». Стэнфордская энциклопедия . Получено 22 апреля 2021 г.
  26. ^ (Бойер 1991, «Евклид Александрийский» стр. 119)
  27. ^ Грин, П. (1990). От Александра до Акция: историческая эволюция эллинистической эпохи (1-е изд.). Издательство Калифорнийского университета. ISBN 978-0-520-08349-3. JSTOR  10.1525/j.ctt130jt89.
  28. ^ Руссо, Л. (2004), «Эллинистическая математика», Забытая революция: как зародилась наука в 300 г. до н. э. и почему она должна была возродиться , Берлин, Гейдельберг: Springer, стр. 31–55, doi :10.1007/978-3-642-18904-3_3, ISBN 978-3-642-18904-3
  29. ^ ab Jones, A. (1994). «Греческая математика до 300 г. н. э.». Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences: Volume One . pp. 46–57 . Получено 26.05.2021 .
  30. ^ Карин Тибьерг (2004-12-01). «Механическая геометрия Героя Александрийского». Apeiron . 37 (4): 29–56. doi :10.1515/APEIRON.2004.37.4.29. ISSN  2156-7093. S2CID  170916259.
  31. ^ Эдмундс, МГ (2014-10-02). «Антикитерский механизм и механическая вселенная». Contemporary Physics . 55 (4): 263–285. Bibcode : 2014ConPh..55..263E. doi : 10.1080/00107514.2014.927280. S2CID  122403901.
  32. ^ Руссо, Лючио (2004). Забытая революция . Берлин: Springer. С. 273–277.
  33. ^ Luce, JV (1988). «Греческая наука в ее эллинистическом периоде». Hermathena (145): 23–38. ISSN  0018-0750. JSTOR  23040930.
  34. ^ Беррей, М. (2017). Эллинистическая наука при дворе. De Gruyter. doi :10.1515/9783110541939. ISBN 978-3-11-054193-9.
  35. ^ Ачерби, Ф. (2018). Кейзер, Пол Т; Скарборо, Джон (ред.). «Эллинистическая математика». Оксфордский справочник по науке и медицине в классическом мире . стр. 268–292. doi :10.1093/oxfordhb/9780199734146.013.69. ISBN 978-0-19-973414-6. Получено 2021-05-26 .
  36. ^ Ачерби, Ф. (2011). «Завершение Диофанта, De polygonis numeris, положение 5». История математики . 38 (4): 548–560. дои : 10.1016/j.hm.2011.05.002 . ISSN  0315-0860.
  37. ^ Кристианидис, Дж.; Оукс, Дж. (2013). «Практика алгебры в поздней античности: решение проблем Диофанта Александрийского». История Математики . 40 (2): 127–163. дои : 10.1016/j.hm.2012.09.001 . ISSN  0315-0860.
  38. ^ Райдаут, Бронвин (2008). Паппус возрождается: Паппус Александрийский и меняющийся облик анализа и синтеза в поздней античности (диссертация). doi : 10.26021/3834.
  39. ^ Ламбру, М. (2003). «Теон Александрийский и Гипатия». История Древнего мира . Получено 2021-05-26 .
  40. ^ Кэмерон, А. (1990). «Исидор Милетский и Гипатия: о редактировании математических текстов». Греческие, римские и византийские исследования . 31 (1): 103–127. ISSN  2159-3159.
  41. ^ Мансфельд, Дж. (2016). Prolegomena Mathematica: от Аполлония Пергского до позднего неоплатонизма. Brill. ISBN 978-90-04-32105-2.
  42. ^ Мансфельд, Дж. (2016). Prolegomena Mathematica: от Аполлония Пергского до позднего неоплатонизма. С приложением о Паппе и истории платонизма. Brill. ISBN 978-90-04-32105-2.
  43. ^ Хит, Томас (1921). История греческой математики . Хамфри Милфорд.
  44. ^ Грант, Х.; Кляйнер, И. (2015), «Аксиоматика — Евклида и Гильберта: от материального к формальному», Поворотные моменты в истории математики , Компактные учебники по математике, Springer, стр. 1–8, doi :10.1007/978-1-4939-3264-1_1, ISBN 978-1-4939-3264-1
  45. ^ Кнорр, В. (1996). Метод неделимых в античной геометрии . Vita Mathematica: MAA Press. С. 67–86.
  46. ^ Powers, J. (2020). Архимед занимался исчислением? История математики, специальная группа интересов MAA [1]
  47. ^ Штейн, Говард (1990-08-01). «Евдокс и Дедекинд: О древнегреческой теории отношений и ее связи с современной математикой». Synthese . 84 (2): 163–211. doi :10.1007/BF00485377. ISSN  1573-0964. S2CID  46974744.
  48. ^ Wigderson, Y. (апрель 2019 г.). Евдокс, самый важный математик, о котором вы никогда не слышали. https://web.stanford.edu/~yuvalwig/math/teaching/Eudoxus.pdf Архивировано 28 июля 2021 г. на Wayback Machine
  49. ^ Филеп, Л. (2003). «Теория пропорций в греческой математике». Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyí regyháziensis . 19 : 167–174.
  50. ^ JJ O'Connor и EF Robertson (апрель 1999). "Евдокс Книдский". Архив истории математики MacTutor . Университет Сент-Эндрюс . Получено 18 апреля 2011 г.
  51. ^ Артманн, Бенно (1999). Евклид — Создание математики. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98423-0.
  52. ^ МЮЛЛЕР, ЯН (1969-12-01). «Элементы Евклида и аксиоматический метод». Британский журнал философии науки . 20 (4): 289–309. doi :10.1093/bjps/20.4.289. ISSN  0007-0882.
  53. ^ Пирс, Д. (2015). Основы арифметики у Евклида.
  54. ^ Амини, Хасан (21 марта 2013 г.). «Сферическая интерпретация плоской геометрии в Сферике Менелая Александрийского». Журнал истории науки . 11 (1): 31–46. ISSN  1735-0573.
  55. ^ Пападопулос, Атанас (09.08.2019). «Три теоремы Менелая». The American Mathematical Monthly . 126 (7): 610–619. doi :10.1080/00029890.2019.1604052. ISSN  0002-9890.
  56. ^ Кнорр, Уилбур Р. (1976). «Архимед и измерение окружности: новая интерпретация». Архив истории точных наук . 15 (2): 115–140. doi :10.1007/BF00348496. ISSN  0003-9519. JSTOR  41133444. S2CID  120954547.
  57. ^ Свейн, Гордон; Денс, Томас (1998). «Повторный взгляд на квадратуру параболы Архимеда». Mathematics Magazine . 71 (2): 123–130. doi :10.2307/2691014. ISSN  0025-570X. JSTOR  2691014.
  58. ↑ Reviel Netz (01.12.2003). «Цель архимедовой песочной счетной машины». Apeiron . 36 (4): 251–290. doi :10.1515/APEIRON.2003.36.4.251. ISSN  2156-7093. S2CID  147307969.
  59. ^ Court, NA (1961). «Проблема Аполлония». Учитель математики . 54 (6): 444–452. doi :10.5951/MT.54.6.0444. ISSN  0025-5769. JSTOR  27956431.
  60. ^ Кнорр, Уилбур Ричард (1981). «Построение гиперболы в конических сечениях, книга II: античные вариации теоремы Аполлония». Centaurus . 25 (3): 253–291. Bibcode : 1981Cent...25..253K. doi : 10.1111/j.1600-0498.1981.tb00647.x. ISSN  1600-0498.
  61. ^ Балтус, Кристофер (2020), Балтус, Кристофер (ред.), «Конические сечения в греческой геометрии: Аполлоний, гармоническое деление и более поздняя греческая геометрия», Коллинеации и конические сечения: введение в проективную геометрию в ее истории , Cham: Springer International Publishing, стр. 45–57, doi : 10.1007/978-3-030-46287-1_4, ISBN 978-3-030-46287-1, S2CID  226745369 , получено 2021-03-27
  62. ^ Toomer, GJ (1974). «Таблица хорд Гиппарха и ранняя история греческой тригонометрии». Centaurus . 18 (1): 6–28. Bibcode : 1974Cent...18....6T. doi : 10.1111/j.1600-0498.1974.tb00205.x. ISSN  1600-0498.
  63. ^ Дьюк, Д. (2011). «Очень ранняя история тригонометрии» (PDF) . DIO: Международный журнал научной истории . 17 : 34–42.
  64. ^ Роббинс, FE (1934). «Греко-египетские арифметические задачи: P. Mich. 4966». Isis . 22 (1): 95–103. doi :10.1086/346874. S2CID  144052363.
  65. ^ JJ O'Connor и EF Robertson (октябрь 1999 г.). «Откуда мы знаем о греческой математике?». Архив истории математики MacTutor . Университет Сент-Эндрюс. Архивировано из оригинала 30 января 2000 г. Получено 18 апреля 2011 г.
  66. ↑ Нетц, Ревиль (27 сентября 2011 г.). «Библиосфера древней науки (за пределами Александрии)». NTM Zeitschrift für Geschichte der Wissenschaften, Technik und Medizin (на немецком языке). 19 (3): 239–269. дои : 10.1007/s00048-011-0057-2 . ISSN  1420-9144. PMID  21946891. S2CID  21519829.
  67. ^ Лорх, Ричард (июнь 2001 г.). «Греко-арабско-латинский: передача математических текстов в средние века». Наука в контексте . 14 (1–2): 313–331. doi :10.1017/S0269889701000114. S2CID  146539132.
  68. ^ Toomer, GJ (январь 1984). «Утерянные греческие математические работы в арабском переводе». The Mathematical Intelligencer . 6 (2): 32–38. doi :10.1007/BF03024153.

Ссылки

Внешние ссылки

В Викицитатнике есть цитаты, связанные с древнегреческой математикой .