Аносовский диффеоморфизм

В математике , особенно в области динамических систем и геометрической топологии , отображение Аносова на многообразии М представляет собой определенный тип отображения М в себя с довольно четко выраженными локальными направлениями «расширения» и «сжатия». Системы Аносова являются частным случаем систем Аксиомы А.

Диффеоморфизмы Аносова были введены Дмитрием Викторовичем Аносовым , который доказал, что их поведение было в соответствующем смысле родовым (если они вообще существуют). ^[1]

Обзор

Следует различать три тесно связанных определения:

Если дифференцируемое отображение f на M имеет гиперболическую структуру на касательном расслоении , то оно называется отображением Аносова . Примеры включают карту Бернулли и карту кошки Арнольда .
Если отображение является диффеоморфизмом , то оно называется диффеоморфизмом Аносова .
Если поток на многообразии разбивает касательное расслоение на три инвариантных подрасслоения , одно из которых экспоненциально сжимается, другое экспоненциально расширяется, а также третье, нерасширяющееся, несжимающееся одномерное подрасслоение (натянутое на направление потока), то поток называется потоком Аносова .

Классическим примером диффеоморфизма Аносова является отображение кота Арнольда .

Аносов доказал, что диффеоморфизмы Аносова ^{структурно}устойчивы и образуют открытое подмножество отображений (потоков) с топологией C1 .

Не каждое многообразие допускает диффеоморфизм Аносова; например, на сфере таких диффеоморфизмов нет . Простейшими примерами допускающих их компактных многообразий являются торы: они допускают так называемые линейные диффеоморфизмы Аносова , которые представляют собой изоморфизмы, не имеющие собственного значения модуля 1. Было доказано, что любой другой диффеоморфизм Аносова на торе топологически сопряжен одному из этих добрый.

Проблема классификации многообразий, допускающих диффеоморфизмы Аносова, оказалась очень сложной, и по состоянию на 2023 год она до сих пор ^{[обновлять]}не имеет ответа для размерности больше 3. Единственными известными примерами являются инфранильмногообразия, и предполагается, что они единственные.

Достаточным условием транзитивности является то, что все точки неблуждающие: . Это, в свою очередь, справедливо для диффеоморфизмов Аносова коразмерности один (т. е. таких, у которых сжимающееся или расширяющееся подрасслоение одномерно) ^[2] и для диффеоморфизмов Аносова коразмерности один на многообразиях размерности больше трех ^[3], а также для аносовских диффеоморфизмов коразмерности один. потоки, мазеровский спектр которых содержится в двух достаточно тонких кольцах. ^[4] Неизвестно, являются ли диффеоморфизмы Аносова транзитивными (за исключением инфранильных многообразий), но потоки Аносова не обязательно должны быть топологически транзитивными. ^[5] $\Омега (е) = M$

Кроме того, неизвестно, является ли каждый сохраняющий объем диффеоморфизм Аносова эргодическим. Аносов доказал это в предположении. Это справедливо и для диффеоморфизмов Аносова, сохраняющих объем. $C^{1}$ $C^{2}$ $C^{1+\альфа }$

Для транзитивного диффеоморфизма Аносова существует единственная мера SRB (аббревиатура означает Синай, Рюэль и Боуэн), закрепленная на такой, что ее бассейн имеет полный объем, где $C^{2}$ ${\ displaystyle f \ двоеточие от M \ до M}$ $\mu _{f}$ $M$ $B(\mu _{f})$

B(\mu _{f})=\left\{x\in M:{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\delta _{ f^{k}x}\to \mu _{f}\right\}.

Поток Аносова на римановых поверхностях (касательных расслоениях)

В качестве примера в этом разделе развивается случай течения Аносова на касательном расслоении римановой поверхности отрицательной кривизны . Этот поток можно понимать как поток на касательном расслоении модели полуплоскости Пуанкаре гиперболической геометрии. Римановы поверхности отрицательной кривизны можно определить как фуксовы модели , то есть как факторы верхней полуплоскости и фуксовой группы . Для дальнейшего пусть H — верхняя полуплоскость; пусть Γ — фуксова группа; пусть M = H /Γ — риманова поверхность отрицательной кривизны как фактор «M» по действию группы Γ, и пусть — касательное расслоение векторов единичной длины на многообразии M , и пусть — касательное расслоение векторов единичной длины на H . Обратите внимание, что расслоение векторов единичной длины на поверхности является основным расслоением комплексного линейного расслоения . $Т^{1}M$ $Т^{1}H$

Векторные поля лжи

Начнем с того, что отметим, что она изоморфна группе Ли PSL(2, R ) . Эта группа представляет собой группу изометрий верхней полуплоскости, сохраняющих ориентацию. Алгеброй Ли PSL(2, R ) является sl(2, R ) и она представлена матрицами $Т^{1}H$

J={\begin{pmatrix}1/2&0\\0&-1/2\\\end{pmatrix}}\qquad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix} }\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}

которые имеют алгебру

[J,X]=X\qquad [J,Y]=-Y\qquad [X,Y]=2J

Экспоненциальные карты

g_{t}=\exp(tJ)={\begin{pmatrix}e^{t/2} &0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\qquad h_{ t}^{*}=\exp(tX)={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\\\end{pmatrix}}\qquad h_{t}=\exp(tY)={\begin{pmatrix} 1&0\\t&1\\\end{pmatrix}}

определить правоинвариантные потоки на многообразии , а также на . Определяя и , эти потоки определяют векторные поля на P и Q , векторы которых лежат в TP и TQ . Это всего лишь стандартные, обычные векторные поля Ли на многообразии группы Ли, а приведенное выше представление представляет собой стандартное изложение векторного поля Ли. $T^{1}H=\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R})$ $Т^{1}M$ $P=T^{1}H$ $Q=T^{1}M$

Аносовский поток

Связь с потоком Аносова происходит из осознания того, что это геодезический поток на P и Q . Поскольку векторные поля Ли (по определению) инвариантны слева относительно действия элемента группы, то эти поля инвариантны слева относительно конкретных элементов геодезического потока. Другими словами, пространства TP и TQ разбиваются на три одномерных пространства или подрасслоения , каждое из которых инвариантно относительно геодезического потока. Последний шаг — заметить, что векторные поля в одном подрасслоении расширяются (и расширяются экспоненциально), в другом — не изменяются, а в третьем — сжимаются (и делают это экспоненциально). $g_{t}$ $g_{t}$

Точнее, касательное расслоение TQ можно записать в виде прямой суммы

TQ=E^{+}\oplus E^{0}\oplus E^{-}

или в точке прямая сумма $g\cdot e=q\in Q$

T_{q}Q=E_{q}^{+}\oplus E_{q}^{0}\oplus E_{q}^{-}

соответствующие генераторам алгебры Ли Y , J и X соответственно, переносимые левым действием элемента группы g из начала координат e в точку q . То есть есть и . Каждое из этих пространств является подрасслоением и сохраняется (инвариантно) под действием геодезического потока ; то есть под действием групповых элементов . $E_{e}^{+}=Y,E_{e}^{0}=J$ $E_{e}^{-}=X$ $g=g_{t}$

Чтобы сравнить длины векторов в в разных точках q , нужна метрика. Любой скалярный продукт at расширяется до левоинвариантной римановой метрики на P и, следовательно, до римановой метрики на Q . Длина вектора увеличивается экспоненциально как exp(t) под действием . Длина вектора уменьшается экспоненциально как exp(-t) под действием . Векторы в неизменны. В этом можно убедиться, рассмотрев, как коммутируют элементы группы. Геодезический поток инвариантен, $T_{q}Q$ $T_{e}P=sl(2,\mathbb {R})$ $v\in E_{q}^{+}$ $g_{t}$ $v\in E_{q}^{-}$ $g_{t}$ $E_{q}^{0}$

g_{s}g_{t}=g_{t}g_{s}=g_{s+t}

но два других сжимаются и расширяются:

g_{s}h_{t}^{*}=h_{t\exp(-s)}^{*}g_{s}

g_{s}h_{t}=h_{t\exp(s)}g_{s}

где мы напоминаем , что касательный вектор в задается производной по t кривой , установки . $E_{q}^{+}$ $h_{t}$ $т=0$

Геометрическая интерпретация течения Аносова

При воздействии на точку верхней полуплоскости соответствует геодезической на верхней полуплоскости, проходящей через точку . Действие представляет собой стандартное действие преобразования Мёбиуса SL(2, R ) в верхней полуплоскости, так что $z=i$ $g_{t}$ $z=i$

g_{t}\cdot i={\begin{pmatrix}\exp(t/2)&0\\0&\exp(-t/2)\end{pmatrix}}\cdot i=i\exp( т)

Общая геодезическая определяется выражением

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot i\exp(t)={\frac {ai\exp(t)+b}{ci\exp(t)+d }}

с a , b , c и d действительными, с . Кривые и называются орициклами . Гороциклы соответствуют движению нормальных векторов орисферы в верхней полуплоскости. $ad-bc=1$ $h_{t}^{*}$ $h_{t}$

Смотрите также

Примечания

^ Дмитрий В. Аносов , Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны , (1967) Proc. Стеклова. Математика. 90 .
^ Ньюхаус, Шелдон Э. (1970). «О диффеоморфизмах Аносова коразмерности один». Американский журнал математики . 92 : 761–770. дои : 10.2307/2373372.
^ Верёвский, Альберто (1974). «Коразмерность одиночных потоков Аносова». Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana. Сегунда Серия . 19 (2): 49–77.
^ Брин, Мичиган (1977). «Неблуждающие точки диффеоморфизмов Аносова». Астериск . 49 : 11–18.
^ Беген, Франсуа; Бонатти, Кристиан; Ю, Бин (2017). «Построение потоков Аносова на 3-многообразиях». Геометрия и топология . 21 (3): 1837–1930. дои : 10.2140/gt.2017.21.1837.