гипотеза Била

Математическая догадка

Гипотеза Била — это следующая гипотеза в теории чисел :

Нерешенная задача по математике :

Если A , B , C , x , y , z — положительные целые числа, а x , y , z ≥ 3, имеют ли числа A , B и C общий простой множитель? ${\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z}}$

(еще нерешенные проблемы по математике)

Если

${\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z}}$,

где A , B , C , x , y и z — положительные целые числа, причем x , y , z ≥ 3, тогда A , B и C имеют общий простой множитель .

Эквивалентно,

Уравнение не имеет решений в положительных целых числах и попарно взаимно простых целых числах A, B, C, если x, y, z ≥ 3. ${\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z}}$

Гипотеза была сформулирована в 1993 году Эндрю Билом , банкиром и математиком-любителем , во время исследования обобщений Великой теоремы Ферма . ^{[1] [2]} С 1997 года Бил предложил денежную премию за рецензируемое доказательство этой гипотезы или контрпример . ^[3] Стоимость премии увеличивалась в несколько раз и в настоящее время составляет 1 миллион долларов. ^[4]

В некоторых публикациях эта гипотеза иногда упоминается как обобщенное уравнение Ферма, ^[5] гипотеза Молдина, ^[6] и гипотеза Тейдемана-Загира. ^{[7] [8] [9]}

Похожие примеры

Для иллюстрации, решение имеет основания с общим множителем 3, решение имеет основания с общим множителем 7 и имеет основания с общим множителем 2. Действительно, уравнение имеет бесконечно много решений, где основания имеют общий множитель, включая обобщения трех приведенных выше примеров, соответственно. ${\displaystyle 3^{3}+6^{3}=3^{5}}$ ${\displaystyle 7^{3}+7^{4}=14^{3}}$ ${\displaystyle 2^{n}+2^{n}=2^{n+1}}$

${\displaystyle 3^{3n}+[2(3^{n})]^{3}=3^{3n+2},\quad \quad n\geq 1;}$

${\displaystyle [b(a^{n}-b^{n})^{k}]^{n}+(a^{n}-b^{n})^{kn+1}=[a(a^{n}-b^{n})^{k}]^{n},\quad \quad a>b,\quad b\geq 1,\quad k\geq 1,\quad n\geq 3;}$

и

${\displaystyle [a(a^{n}+b^{n})^{k}]^{n}+[b(a^{n}+b^{n})^{k}]^{n}=(a^{n}+b^{n})^{kn+1},\quad \quad a\geq 1,\quad b\geq 1,\quad k\geq 1,\quad n\geq 3.}$

Более того, для каждого решения (с взаимно простыми основаниями или без них) существует бесконечно много решений с тем же набором показателей и увеличивающимся набором невзаимно простых оснований. То есть для решения

${\displaystyle A_{1}^{x}+B_{1}^{y}=C_{1}^{z}}$

у нас дополнительно есть

${\displaystyle A_{n}^{x}+B_{n}^{y}=C_{n}^{z};}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

где

${\displaystyle A_{n}=(A_{n-1}^{yz+1})(B_{n-1}^{yz})(C_{n-1}^{yz})}$

${\displaystyle B_{n}=(A_{n-1}^{xz})(B_{n-1}^{xz+1})(C_{n-1}^{xz})}$

${\displaystyle C_{n}=(A_{n-1}^{xy})(B_{n-1}^{xy})(C_{n-1}^{xy+1})}$

Любые решения гипотезы Била обязательно будут включать три члена, все из которых являются 3-степенными числами , т. е. числами, где показатель степени каждого простого множителя равен по крайней мере трем. Известно, что существует бесконечное количество таких сумм, включающих взаимно простые 3-степенные числа; ^[10] однако, такие суммы редки. Два наименьших примера:

${\displaystyle {\begin{aligned}271^{3}+2^{3}\ 3^{5}\ 73^{3}=919^{3}&=776{,}151{,}559\\3^{4}\ 29^{3}\ 89^{3}+7^{3}\ 11^{3}\ 167^{3}=2^{7}\ 5^{4}\ 353^{3}&=3{,}518{,}958{,}160{,}000\\\end{aligned}}}$

Отличительной чертой гипотезы Била является то, что она требует, чтобы каждый из трех членов можно было выразить в виде одной степени.

Отношение к другим предположениям

Великая теорема Ферма установила, что не имеет решений при n > 2 для положительных целых чисел A , B и C . Если бы существовали какие-либо решения Великой теоремы Ферма, то, разделив все общие множители, мы бы также нашли решения с взаимно простыми числами A , B и C . Следовательно, Великую теорему Ферма можно рассматривать как частный случай гипотезы Била, ограниченной x = y = z . ${\displaystyle A^{n}+B^{n}=C^{n}}$

Гипотеза Ферма –Каталана заключается в том, что имеет только конечное число решений, где A , B и C являются положительными целыми числами без общего простого множителя, а x , y и z являются положительными целыми числами, удовлетворяющими . Гипотеза Била может быть переформулирована как «Все решения гипотезы Ферма–Каталана будут использовать 2 в качестве показателя степени». ${\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z}}$ ${\textstyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}<1}$

Гипотеза abc подразумевала бы, что существует не более конечного числа контрпримеров к гипотезе Била.

Частичные результаты

В приведенных ниже случаях, когда n является показателем степени, кратные n также доказаны, поскольку степень kn также является степенью n . Когда ниже упоминаются решения, включающие вторую степень, их можно найти в частности в Fermat–Catalan conjecture#Known solutions . Все случаи вида (2, 3, n ) или (2, n , 3) ​​имеют решение 2 ³ + 1 ⁿ = 3 ² , которое ниже называется решением Каталана .

• Случай x = y = z ≥ 3 — это Великая теорема Ферма , не имеющая решений, как доказал Эндрю Уайлс в 1994 году. ^[11]
• В 2005 году Бьорн Пунен , Эдвард Ф. Шефер и Майкл Столл доказали, что случай ( x , y , z ) = (2, 3, 7) и все его перестановки имеют только четыре некаталонских решения, ни одно из которых не противоречит гипотезе Била. ^[12]
• Случай ( x , y , z ) = (2, 3, 8) и все его перестановки, как было доказано Нильсом Бруином в 2003 году, имеет только два некаталонских решения, что не противоречит гипотезе Била. ^{[13] [14]}
• Известно, что случай ( x , y , z ) = (2, 3, 9) и все его перестановки имеют только одно некаталонское решение, которое не противоречит гипотезе Била, выдвинутой Нильсом Бруином в 2003 году. ^{[15] [16] [9]}
• Случай ( x , y , z ) = (2, 3, 10) и все его перестановки, как доказал Дэвид Зурейк-Браун в 2009 году, имеют только каталонское решение. ^[17]
• Случай ( x , y , z ) = (2, 3, 11) и все его перестановки, как доказали Фрейтас, Наскрецкий и Столл, имеют только каталонское решение. ^[18]
• В 2013 году Самир Сиксек и Майкл Столл доказали, что случай ( x , y , z ) = (2, 3, 15) и все его перестановки имеют только каталонское решение. ^[19]
• Случай ( x , y , z ) = (2, 4, 4) и все его перестановки не имеют решений в результате совместной работы Пьера де Ферма в 1640-х годах и Эйлера в 1738 году. (См. одно доказательство здесь и другое здесь )
• Известно, что случай ( x , y , z ) = (2, 4, 5) и все его перестановки имеют только два некаталонских решения, что не противоречит гипотезе Била, выдвинутой Нильсом Бруином в 2003 году. ^[13]
• Случай ( x , y , z ) = (2, 4, n ) и все его перестановки были доказаны для n ≥ 6 Майклом Беннетом, Джорданом Элленбергом и Натаном Нг в 2009 году. ^[20]
• Случай ( x , y , z ) = (2, 6, n ) и все его перестановки были доказаны для n ≥ 3 Майклом Беннеттом и Имином Ченом в 2011 году и Беннеттом, Ченом, Даменом и Яздани в 2014 году. ^{[21] [5]}
• Случай ( x , y , z ) = (2, 2n , 3) был доказан для 3 ≤ n ≤ 107 ^, за исключением n = 7 и различных модульных сравнений, когда n является простым числом, не имеющих некаталонского решения, Беннетом, Ченом, Даменом и Яздани. ^{[22] [5] [23]}
• Случаи ( x , y , z ) = (2, 2 n , 9), (2, 2 n , 10), (2, 2 n , 15) и все их перестановки были доказаны для n ≥ 2 Беннеттом, Ченом, Даменом и Яздани в 2014 году. ^[5]
• Случай ( x , y , z ) = (3, 3, n ) и все его перестановки были доказаны для 3 ≤ n ≤ 10 ⁹ и различных модульных сравнений, когда n является простым числом. ^[16]
• Случай ( x , y , z ) = (3, 4, 5) и все его перестановки были доказаны Сиксеком и Столлом в 2011 году. ^[24]
• Случай ( x , y , z ) = (3, 5, 5) и все его перестановки были доказаны Бьорном Пуненом в 1998 году. ^[25]
• Случай ( x , y , z ) = (3, 6, n ) и все его перестановки были доказаны для n ≥ 3 Беннеттом, Ченом, Даменом и Яздани в 2014 году. ^[5]
• Случай ( x , y , z ) = ( 2n , 3, 4) и все его перестановки были доказаны для n ≥ 2 Беннеттом, Ченом, Даменом и Яздани в 2014 году. ^[5]
• Случаи (5, 5, 7), (5, 5, 19), (7, 7, 5) и все их перестановки были доказаны Сандером Р. Даменом и Самиром Сиксеком в 2013 году. ^[26]
• Случаи ( x , y , z ) = ( n , n , 2) и все их перестановки были доказаны для n ≥ 4 Дармоном и Мерелем в 1995 году после работы Эйлера и Пунена. ^{[27] [25]}
• Случаи ( x , y , z ) = ( n , n , 3) и все их перестановки были доказаны для n ≥ 3 Эдуардом Люкасом , Бьорном Пуненом , Дармоном и Мерелем . ^[27]
• Случай ( x , y , z ) = (2n , 2n , 5) и все его перестановки были доказаны для n ≥ 2 Беннетом в 2006 году. ^[28]
• Случай ( x , y , z ) = ( 2l , 2m , n ) и все его перестановки были доказаны для l , m ≥ 5 простых чисел и n = 3, 5, 7, 11 Анни и Сиксек. ^[29]
• Случай ( x , y , z ) = (2 l , 2 m , 13) и все его перестановки были доказаны для l , m ≥ 5 простых чисел Биллери, Ченом, Дембеле, Дьелефе, Фрейтасом. ^[30]
• Случай ( x , y , z ) = ( 3l , 3m , n ) является прямым для l , m ≥ 2 и n ≥ 3 из работы Крауса. ^[31]
• Теорема Дармона–Гренвилля использует теорему Фалтингса , чтобы показать, что для каждого конкретного выбора показателей степеней ( x , y , z ) существует не более конечного числа взаимно простых решений для ( A , B , C ). ^{[32] [7] : стр. 64}
• Невозможность случая A = 1 или B = 1 следует из гипотезы Каталана , доказанной в 2002 году Предой Михайлеску . (Заметьте, C не может быть 1, или один из A и B должен быть 0, что не допускается.)
• Потенциальный класс решений уравнения, а именно те, в которых A, B, C также образуют пифагорову тройку , рассматривал Л. Есманович в 1950-х годах. Дж. Йозефяк доказал, что существует бесконечное число примитивных пифагорових троек, которые не могут удовлетворить уравнению Била. Дальнейшие результаты принадлежат Чао Ко. ^[33]
• Питер Норвиг , директор по исследованиям в Google , сообщил о проведении серии числовых поисков контрпримеров к гипотезе Била. Среди его результатов он исключил все возможные решения, имеющие каждое из x , y , z ≤ 7 и каждое из A , B , C ≤ 250 000, а также возможные решения, имеющие каждое из x , y , z ≤ 100 и каждое из A , B , C ≤ 10 000. ^[34]
• Если A , B нечетные, а x , y четные, то гипотеза Била не имеет контрпримера. ^[35]
• Предполагая справедливость гипотезы Била, существует верхняя граница для любого общего делителя x , y и z в выражении . ^[36] ${\displaystyle ax^{m}+by^{n}=z^{r}}$

Премия

За опубликованное доказательство или контрпример банкир Эндрю Бил первоначально предложил премию в размере 5000 долларов США в 1997 году, увеличив ее до 50 000 долларов США в течение десяти лет ^[3] , но с тех пор увеличил ее до 1 000 000 долларов США. ^[4]

Американское математическое общество (AMS) удерживает премию в размере 1 миллиона долларов в доверительном управлении до тех пор, пока гипотеза Била не будет решена. ^[37] Она контролируется Комитетом по премии Била (BPC), который назначается президентом AMS. ^[38]

Варианты

Контрпримеры , и показывают, что гипотеза была бы ложной, если бы одному из показателей степени было разрешено быть равным 2. Гипотеза Ферма–Каталана является открытой гипотезой, имеющей дело с такими случаями (условие этой гипотезы состоит в том, что сумма обратных величин меньше 1). Если мы позволим максимум одному из показателей степени быть равным 2, то может быть только конечное число решений (за исключением случая ). ${\displaystyle 3^{5}+10^{2}=7^{3}}$ ${\displaystyle 7^{3}+13^{2}=2^{9}}$ ${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}}$ ${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}}$

Если A , B , C могут иметь общий простой множитель, то гипотеза неверна; классический контрпример: . ${\displaystyle 2^{10}+2^{10}=2^{11}}$

Разновидность гипотезы, утверждающая, что x , y , z (вместо A , B , C ) должны иметь общий простой множитель, не верна. Контрпримером является случай, когда 4, 3 и 7 не имеют общего простого множителя. (На самом деле, максимальный общий простой множитель показателей степеней, который является допустимым, равен 2; общий множитель больше 2 был бы контрпримером к Великой теореме Ферма.) ${\displaystyle 27^{4}+162^{3}=9^{7},}$

Гипотеза не верна в более широкой области гауссовых целых чисел . После того, как приз в $50 был предложен за контрпример, Фред В. Хелениус предоставил . ^[39] ${\displaystyle (-2+i)^{3}+(-2-i)^{3}=(1+i)^{4}}$

Смотрите также

• ABC-гипотеза
• Гипотеза Эйлера о сумме степеней
• Уравнение Якоби–Маддена
• Задача Пруэ–Тэрри–Эскотта
• Номер такси
• Пифагорова четверка
• Суммы степеней , список связанных гипотез и теорем
• Распределенные вычисления
• БОИНК

Ссылки

1. "Гипотеза Била". Американское математическое общество . Получено 21 августа 2016 г.
2. "Гипотеза Била". Bealconjecture.com . Получено 2014-03-06 .
3. R. Daniel Mauldin (1997). "Обобщение Великой теоремы Ферма: гипотеза Била и проблема приза" (PDF) . Notices of the AMS . 44 (11): 1436–1439.
4. "Beal Prize". Ams.org . Получено 2014-03-06 .
5. Беннетт, Майкл А.; Чен, Имин; Дамен, Сандер Р.; Яздани, Соруш (июнь 2014 г.). "Обобщенные уравнения Ферма: сборник" (PDF) . Университет Саймона Фрейзера . Получено 1 октября 2016 г. .
6. "Гипотеза Молдина/Тейдемана-Загира". Prime Puzzles . Получено 1 октября 2016 г.
7. Elkies, Noam D. (2007). "ABC теории чисел" (PDF) . Обзор математики Гарвардского колледжа . 1 (1).
8. Мишель Вальдшмидт (2004). «Открытые диофантовые задачи». Московский математический журнал . 4 : 245–305. arXiv : math/0312440 . дои : 10.17323/1609-4514-2004-4-1-245-305. S2CID  11845578.
9. Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2000). Простые числа: вычислительная перспектива . Springer. стр. 417. ISBN 978-0387-25282-7.
10. Нитадж, Абдеррахман (1995). «О гипотезе Эрдоша о 3-степенных числах». Бюллетень Лондонского математического общества . 27 (4): 317–318. CiteSeerX 10.1.1.24.563 . doi :10.1112/blms/27.4.317. 
11. «Миллиардер предлагает 1 миллион долларов за решение математической задачи | Блоги новостей ABC – Yahoo». Gma.yahoo.com. 2013-06-06. Архивировано из оригинала 2013-06-13 . Получено 2014-03-06 .
12. Пунен, Бьорн; Шефер, Эдвард Ф.; Столл, Майкл (2005). «Повороты X (7) и примитивные решения для x ²  +  y ³  =  z ⁷ ». Duke Mathematical Journal . 137 : 103–158. arXiv : math/0508174 . Bibcode : 2005math......8174P. doi : 10.1215/S0012-7094-07-13714-1. S2CID  2326034.
13. Брюин, Нильс (9 января 2003 г.). «Методы Шаботи с использованием эллиптических кривых». Журнал для королевы и математики . 2003 г. (562). дои : 10.1515/crll.2003.076. ISSN  0075-4102.
14. Брюин, Нильс (1 сентября 1999 г.). «Диофантовы уравнения x^2 ± y^4 = ±z^6 и x^2 + y8 = z^3». Композито Математико . 118 (3). дои : 10.1023/А: 1001529706709. ISSN  0010-437X.
15. Брюин, Нильс (2005-03-01). "Примитивные решения для x^3 + y^9 = z^2". Журнал теории чисел . 111 (1): 179–189. arXiv : math/0311002 . doi :10.1016/j.jnt.2004.11.008. ISSN  0022-314X. S2CID  9704470.
16. Frits Beukers (20 января 2006 г.). "Обобщенное уравнение Ферма" (PDF) . Staff.science.uu.nl . Получено 2014-03-06 .
17. Браун, Дэвид (2009). «Примитивные интегральные решения для x ² + y ³ = z ¹⁰ ». arXiv : 0911.2932 [math.NT].
18. Фрейтас, Нуно; Наскренцки, Бартош; Столл, Майкл (январь 2020 г.). «Обобщенное уравнение Ферма с показателями 2, 3, n». Математическая композиция . 156 (1): 77–113. дои : 10.1112/S0010437X19007693. ISSN  0010-437X. S2CID  15030869.
19. Сиксек, Самир; Столл, Майкл (2013). «Обобщенное уравнение Ферма x ² + y ³ = z ¹⁵ ». Архив математики . 102 (5): 411–421. arXiv : 1309.4421 . doi : 10.1007/s00013-014-0639-z. S2CID  14582110.
20. "Диофантово уравнение" (PDF) . Math.wisc.edu . Получено 2014-03-06 .
21. Беннетт, Майкл А.; Чен, Имин (2012-07-25). "Мульти-Фрей Q {\displaystyle \mathbb {Q} } -кривые и диофантово уравнение a^2 + b^6 = c^n". Алгебра и теория чисел . 6 (4): 707–730. doi : 10.2140/ant.2012.6.707 . ISSN  1944-7833.
22. Чен, Имин (2007-10-23). ​​«Об уравнении $s^2+y^{2p} = \alpha^3$». Математика вычислений . 77 (262): 1223–1228. doi : 10.1090/S0025-5718-07-02083-2 . ISSN  0025-5718.
23. Дамен, Сандер (2011). «Усовершенствованный модульный подход к уравнению Диофанта x^2 + y^{2n} = z^3». Международный журнал теории чисел . 7 (5): 1303–1316. arXiv : 1002.0020 . doi : 10.1142/S1793042111004472. ISSN  1793-7310.
24. Сиксек, Самир; Столл, Майкл (2012). «Частичный спуск по гиперэллиптическим кривым и обобщенное уравнение Ферма x^3 + y^4 + z^5 = 0». Бюллетень Лондонского математического общества . 44 (1): 151–166. arXiv : 1103.1979 . doi : 10.1112/blms/bdr086. ISSN  1469-2120. S2CID  12565749.
25. Пунен, Бьорн (1998). «Некоторые диофантовы уравнения вида x^n + y^n = z^m». Acta Arithmetica (на польском языке). 86 (3): 193–205. дои : 10.4064/aa-86-3-193-205 . ISSN  0065-1036.
26. Дамен, Сандер Р.; Сиксек, Самир (2013). «Совершенные степени, выражаемые как суммы двух пятых или седьмых степеней». arXiv : 1309.4030 [math.NT].
27. H. Darmon и L. Merel. Коэффициенты вращения и некоторые варианты Великой теоремы Ферма, J. ​​Reine Angew. Math. 490 (1997), 81–100.
28. Беннетт, Майкл А. (2006). «Уравнение x^{2n} + y^{2n} = z^5» (PDF) . Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux . 18 (2): 315–321. дои : 10.5802/jtnb.546. ISSN  1246-7405.
29. Anni, Samuele; Siksek, Samir (2016-08-30). «Модулярные эллиптические кривые над вещественными абелевыми полями и обобщенное уравнение Ферма x^{2ℓ} + y^{2m} = z^p». Алгебра и теория чисел . 10 (6): 1147–1172. arXiv : 1506.02860 . doi :10.2140/ant.2016.10.1147. ISSN  1944-7833. S2CID  118935511.
30. Биллери, Николас; Чен, Имин; Дембеле, Лассина; Дьелефе, Луис; Фрейтас, Нуно (05 марта 2019 г.). «Некоторые расширения модульного метода и уравнения Ферма сигнатуры (13, 13, n)». arXiv : 1802.04330 [math.NT].
31. Краус, Ален (1 января 1998 г.). «По уравнению a^3 + b^3 = c^p». Экспериментальная математика . 7 (1): 1–13. дои : 10.1080/10586458.1998.10504355. ISSN  1058-6458.
32. Дармон, Х.; Гранвиль, А. (1995). «Об уравнениях zm = F(x, y) и Axp + Byq = Czr». Бюллетень Лондонского математического общества . 27 (6): 513–43. doi : 10.1112/blms/27.6.513 .
33. Вацлав Серпинский , Пифагоровые треугольники , Дувр, 2003, стр. 55 (ориг. Высшая школа наук, Иешива-университет, 1962).
34. Норвиг, Питер. «Гипотеза Била: поиск контрпримеров». Norvig.com . Получено 06.03.2014 .
35. "Sloane's A261782 (см. теорему и ее доказательство в комментарии от 08 мая 2021 г.)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 19 июня 2021 г.
36. Рахими, Амир М. (2017). «Элементарный подход к диофантову уравнению a x m + b y n = z r {\displaystyle ax^{m}+by^{n}=z^{r}} с использованием центра масс». Missouri J. Math. Sci . 29 (2): 115–124. doi :10.35834/mjms/1513306825.
37. Уолтер Хики (5 июня 2013 г.). «Если вы сможете решить эту математическую задачу, то техасский банкир даст вам 1 миллион долларов». Business Insider . Получено 8 июля 2016 г.
38. «Математическая задача на 1 миллион долларов: банкир Д. Эндрю Бил предлагает награду за решение гипотезы, не решенной в течение 30 лет». International Science Times. 5 июня 2013 г. Архивировано из оригинала 29 сентября 2017 г.
39. "Проигнорированные гауссианы". Mathpuzzle.com . Получено 2014-03-06 .

Внешние ссылки

• Страница офиса премии Била
• Bealconjecture.com
• Математика.ун-т.ед
• Гипотеза Била на PlanetMath .
• Обсуждение на Mathoverflow.net названия и даты возникновения теоремы