Конформная гравитация

Теории гравитации, инвариантные относительно преобразований Вейля

Конформная гравитация относится к теориям гравитации, которые инвариантны относительно конформных преобразований в смысле римановой геометрии ; точнее, они инвариантны относительно преобразований Вейля, где — метрический тензор , а — функция пространства-времени . ${\displaystyle g_{ab}\rightarrow \Omega ^{2}(x)g_{ab}}$ ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle \Omega (x)}$

Теории квадрата Вейля

Простейшая теория в этой категории имеет квадрат тензора Вейля в качестве лагранжиана

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \,\mathrm {d} ^{4}x\,{\sqrt {-g\;}}\,C_{abcd}\,C^{abcd}~,}$

где — тензор Вейля. Это следует противопоставить обычному действию Эйнштейна–Гильберта , где лагранжиан — это просто скаляр Риччи . Уравнение движения при изменении метрики называется тензором Баха , ${\displaystyle \;C_{abcd}\;}$

${\displaystyle 2\,\partial _{a}\,\partial _{d}\,{{C^{a}}_{bc}}^{d}~~+~~R_{ad}\,{{C^{a}}_{bc}}^{d}~=~0~,}$

где — тензор Риччи . Конформно плоские метрики являются решениями этого уравнения. ${\displaystyle \;R_{ab}\;}$

Поскольку эти теории приводят к уравнениям четвертого порядка для флуктуаций вокруг фиксированного фона, они явно не являются унитарными. Поэтому обычно считалось, что их нельзя последовательно квантовать. Теперь это оспаривается. ^[1]

Четырехпроизводные теории

Конформная гравитация является примером теории с 4 производными . Это означает, что каждый член волнового уравнения может содержать до четырех производных. У теорий с 4 производными есть свои плюсы и минусы. Плюсы в том, что квантованная версия теории более сходится и перенормируема . Минусы в том, что могут быть проблемы с причинностью . Более простым примером волнового уравнения с 4 производными является скалярное волновое уравнение с 4 производными:

${\displaystyle \operatorname {\Box } ^{2}\Phi =0}$

Решение этой задачи в центральном силовом поле следующее:

${\displaystyle \Phi (r)=1-{\frac {2m}{r}}+ar+br^{2}}$

Первые два члена такие же, как в уравнении нормальной волны. Поскольку это уравнение является более простым приближением к конформной гравитации, m соответствует массе центрального источника. Последние два члена уникальны для волновых уравнений с 4 производными. Было предложено присвоить им малые значения для учета постоянной галактического ускорения (также известной как темная материя ) и постоянной темной энергии . ^[2] Решение, эквивалентное решению Шварцшильда в общей теории относительности для сферического источника для конформной гравитации, имеет метрику с:

${\displaystyle \varphi (r)=g^{00}=(1-6bc)^{\frac {1}{2}}-{\frac {2b}{r}}+cr+{\frac {d}{3}}r^{2}}$

чтобы показать разницу между общей теорией относительности. 6bc очень мало, и поэтому может быть проигнорировано. Проблема в том, что теперь c — это полная масса-энергия источника, а b — это интеграл плотности, умноженный на расстояние до источника, в квадрате. Так что это совершенно другой потенциал из общей теории относительности , а не просто небольшая модификация.

Основная проблема теорий конформной гравитации, как и любой теории с высшими производными, заключается в типичном наличии призраков , которые указывают на нестабильность квантовой версии теории, хотя решение проблемы призраков может существовать. ^[3]

Альтернативный подход заключается в рассмотрении гравитационной постоянной как скалярного поля с нарушенной симметрией , в этом случае вы могли бы рассмотреть небольшую поправку к ньютоновской гравитации следующим образом (где мы считаем небольшой поправкой): ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \operatorname {\Box } \Phi +\varepsilon ^{2}\operatorname {\Box } ^{2}\Phi =0}$

В этом случае общее решение такое же, как и в ньютоновском случае, за исключением того, что может быть дополнительный член:

${\displaystyle \Phi =1-{\frac {2m}{r}}\left(1+\alpha \sin \left({\frac {r}{\varepsilon }}+\beta \right)\right)}$

где есть дополнительный компонент, изменяющийся синусоидально в пространстве. Длина волны этого изменения может быть довольно большой, например, атомной ширины. Таким образом, в этой модели, по-видимому, существует несколько устойчивых потенциалов вокруг гравитационной силы.

Конформное объединение со Стандартной моделью

Добавляя подходящий гравитационный член к действию Стандартной модели в искривленном пространстве-времени , теория развивает локальную конформную (вейлевскую) инвариантность. Конформная калибровка фиксируется выбором эталонной шкалы масс на основе гравитационной постоянной. Этот подход генерирует массы для векторных бозонов и полей материи, аналогичные механизму Хиггса, без традиционного спонтанного нарушения симметрии. ^[4]

Смотрите также

• Конформная супергравитация
• Теория гравитации Хойла-Нарликара

Ссылки

1. Мангейм, Филип Д. (2007-07-16). «Конформная гравитация бросает вызов теории струн». В Раджанти, Артту; Донси, Пол; Контальди, Карло; Стоика, Хорас (ред.). Частицы, струны и космология . 13-й Международный симпозиум по частицам, струнам и космологии, ·PA·S·COS· 2007. Том 0707. Имперский колледж Лондона. стр. 2283. arXiv : 0707.2283 . Bibcode :2007arXiv0707.2283M.
2. Мангейм, Филип Д. (2006). «Альтернативы темной материи и темной энергии». Prog. Part. Nucl. Phys . 56 (2): 340–445. arXiv : astro-ph/0505266 . Bibcode :2006PrPNP..56..340M. doi :10.1016/j.ppnp.2005.08.001. S2CID  14024934.
3. Мангейм, Филип Д. (2007). «Решение проблемы призраков в теориях производных четвертого порядка». Найдено. Phys . 37 (4–5): 532–571. arXiv : hep-th/0608154 . Bibcode :2007FoPh...37..532M. doi :10.1007/s10701-007-9119-7. S2CID  44031727.
4. Pawlowski, M.; Raczka, R. (1994), "Унифицированная конформная модель для фундаментальных взаимодействий без динамического поля Хиггса", Foundations of Physics , 24 (9): 1305–1327, arXiv : hep-th/9407137 , Bibcode : 1994FoPh...24.1305P, doi : 10.1007/BF02148570, S2CID  17358627

Дальнейшее чтение

• ES Fradkin и AA Tseytlin (1985). "Конформная супергравитация". Phys. Rep . 119 (4–5): 233–362. Bibcode :1985PhR...119..233F. doi :10.1016/0370-1573(85)90138-3.
• Фальсификация конформной гравитации Мангейма в ЦЕРНе
• Опровержение Мангеймом вышеизложенного на arXiv.