Групповое действие

В математике многие наборы преобразований образуют группу при композиции функций ; например, вращение вокруг точки на плоскости. Часто полезно рассматривать группу как абстрактную группу и говорить, что у абстрактной группы есть групповое действие , состоящее из выполнения преобразований группы преобразований. Причиной отличия группы от преобразований является то, что, вообще говоря, группа преобразований структуры действует также на различные родственные структуры; например, указанная выше группа вращения действует также на треугольники, преобразуя треугольники в треугольники.

Формально групповое действие группы $G$ на множестве S $представляет$ собой групповой гомоморфизм из $G$ в некоторую группу (при функциональной композиции ) функций из $S$ в себя.

Если группа действует на структуру, она обычно также действует на объекты, построенные на основе этой структуры. Например, группа евклидовых изометрий действует на евклидово пространство , а также на нарисованные в нем фигуры; в частности, он действует на множестве всех треугольников . Аналогично группа симметрий многогранника действует на вершины , ребра и грани многогранника.

Групповое действие в векторном пространстве называется представлением группы. $В$ случае конечномерного векторного пространства это позволяет отождествить многие группы с подгруппами общей линейной группы $GL(n, K)$ , группы обратимых матриц размерности n над полем $K$ .

Симметричная группа $Sn$ действует на любом множестве из $n элементов$ $,$ переставляя элементы этого множества. Хотя группа всех перестановок множества формально зависит от множества, концепция действия группы позволяет рассматривать единую группу для изучения перестановок всех множеств одинаковой мощности .

Определение

Левое групповое действие

Если $G$ — группа с единичным элементом $e$ , а $X$ — множество, то ( левое ) групповое действие $α$ группы $G$ на $X$ является функцией

\alpha \colon G\times X\to X,

которое удовлетворяет следующим двум аксиомам : ^[1]

для всех $g$ и $h$ в $G$ и всех $x$ в $X.$

Говорят, что группа $G действует на$ $X$ (слева). Множество $X$ вместе с действием $G$ называется ( левым ) $G$ - множеством .

В обозначениях может быть удобно каррировать действие $α$ , так что вместо этого имеется набор преобразований $α g : X \to X$ с одним преобразованием $α g$ для каждого элемента группы $g \in G$ . Тогда отношения идентичности и совместимости читаются

\alpha _{e}(x)=x

\alpha _{g}(\alpha _{h}(x))=(\alpha _{g}\circ \alpha _{h})(x)=\alpha _{gh}(x)

где $\circ$ — композиция функций . Вторая аксиома тогда утверждает, что композиция функций совместима с групповым умножением; они образуют коммутативную диаграмму . Эту аксиому можно еще сократить и записать как $α g \circ α h = α gh$ .

Учитывая вышеизложенное, очень часто вообще избегают написания $α$ и заменяют его либо точкой, либо вообще ничем. Таким образом, $α (g, x)$ можно сократить до $g\cdotx$ или $gx , особенно$ $когда$ действие ясно из контекста $.$ Тогда аксиомы

e{\cdot }x=x

g{\cdot }(h{\cdot }x)=(gh){\cdot }x

Из этих двух аксиом следует, что для любого фиксированного $g$ в $G$ функция из $X$ в себя, которая отображает $x$ в $g \cdot x$ , является биекцией , а обратная биекция - соответствующим отображением для $g -1$ . Следовательно, можно эквивалентно определить групповое действие группы $G$ на $X$ как гомоморфизм группы из $G$ в симметрическую группу $Sym(X)$ всех биекций из $X$ в себя. ^[2]

Правильное групповое действие

Аналогично, правое групповое действие группы $G$ на $X$ — это функция

\alpha \colon X\times G\to X,

удовлетворяющее аналогичным аксиомам: ^[3]

(при этом $α (x, g)$ часто сокращается до $xg$ или $x \cdot g$ , когда рассматриваемое действие ясно из контекста)

для всех $g$ и $h$ в $G$ и всех $x$ в $X.$

Разница между левыми и правыми действиями заключается в порядке, в котором произведение $gh$ действует на $x$ . Для левого действия сначала действует $h , а затем$ $g$ . Для правильного действия сначала действует $g , а затем$ $h$ . По формуле $(gh) -1 = h -1 g -1$ левое действие можно составить из правого действия путем композиции с обратной операцией группы. Кроме того, правое действие группы $G$ на $X$ можно рассматривать как левое действие противоположной ей группы $G op$ на $X.$

Таким образом, для установления общих свойств групповых действий достаточно рассмотреть только левые действия. Однако бывают случаи, когда это невозможно. Например, умножение группы вызывает как левое, так и правое действие на саму группу — умножение слева и справа соответственно.

Примечательные свойства действий

Пусть $G$ — группа, действующая на множестве $X.$ Действие называетсяверный илиэффективен , если из $g \cdot x = x$ для всех $x \in X$ следует, что $g = e G$ . Эквивалентно,гомоморфизмGв группу биекций $X$ , соответствующую действию $,$ инъективен.

Действие называетсясвободен (илиполурегуляренилисвободен от неподвижных точек), если из утверждения, что $g \cdot x = x$ для некоторого $x \in X$ , уже следует, что $g = e G$ . Другими словами, ни один нетривиальный элемент $G$ нефиксирует точку $X.$ Это гораздо более сильное свойство, чем верность.

Например, действие любой группы на себя умножением слева бесплатно. Из этого наблюдения следует теорема Кэли о том, что любая группа может быть вложена в симметрическую группу (которая бесконечна, если группа такова). Конечная группа может действовать добросовестно на множестве размера, много меньшего ее мощности (однако такое действие не может быть свободным). Например, абелева 2-группа $(Z / 2 Z) n$ (мощности $2 n$ ) действует точно на множестве размера $2 n$ . Это не всегда так, например, циклическая группа $Z /2 n Z$ не может действовать точно на множестве размера меньше $2 n$ .

В общем, наименьшее множество, на котором можно определить точное действие, может сильно различаться для групп одинакового размера. Например, три группы размера 120 — это симметрическая группа $S 5$ , икосаэдрическая группа $A 5 \times Z / 2 Z$ и циклическая группа $Z / 120 Z$ . Наименьшие множества, на которых могут быть определены точные действия для этих групп, имеют размер 5, 7 и 16 соответственно.

Свойства транзитивности

Действие $G$ на $X$ называетсятранзитивно , если для любых двух точек $x, y \in X$ существует $g \in G$ такой, что $g \cdot x = y$ .

Действиепросто транзитивно (илирезко транзитивно, илирегулярный ), если он одновременно транзитивен и свободен. Это означает, что при $x, y \in X$ элемент $g$ в определении транзитивности единственный. Если $на X$ действует просто транзитивно группа $G$ , то оно называетсяглавным однородным пространствомдля $G$ или $G$ -торсором.

Для целого числа $n \geq 1$ действие $n$ -транзитивен, если $X$ имеет не менее $n$ элементов и для любой пары $n$ -кортежей $(x 1, ..., x n), (y 1, ..., y n) \in X n$ с попарно различными элементами ( то есть $x i \neq x j$ , $y i \neq y j$ , когда $i \neq j$ ) существует $g \in G$ такой, что $g \cdot x i = y i$ для $i = 1, ..., n$ . Другими словами, действие на подмножестве $X n$ кортежей без повторяющихся записей транзитивно. При $n = 2, 3$ это часто называют двойной и соответственно тройной транзитивностью. Класс2-транзитивных групп(т. е. подгрупп конечной симметрической группы, действие которых 2-транзитивно) и, в более общем смысле,кратно транзитивных групп, хорошо изучен в теории конечных групп.

Действие — эторезко $n$ -транзитивен , когда действие над кортежами без повторяющихся элементов из $X n$ резко транзитивно.

Примеры

Действие симметрической группы $X$ транзитивно, фактически $n$ -транзитивно для любого $n$ вплоть до мощности $X$ . Если $X$ имеет мощность $n$ , действие знакопеременной группы является $(n - 2)$ -транзитивным, но не $(n - 1)$ -транзитивным.

Действие общей линейной группы векторного пространства $V$ на множестве $V ∖ {0}$ ненулевых векторов транзитивно, но не 2-транзитивно (аналогично действию специальной линейной группы, если размерность $v$ равна минимум 2). Действие ортогональной группы евклидова пространства не транзитивно на ненулевых векторах, а на единичной сфере .

Примитивные действия

Действие $G$ на $X$ называется примитивным , если не существует разбиения X $,$ сохраняемого всеми элементами $G$ , кроме тривиальных разбиений (разбиение на одиночный кусок и двойственное ему разбиение на одиночные элементы ).

Топологические свойства

Предположим, что $X$ — топологическое пространство и действие $G$ осуществляется гомеоморфизмами .

Действие называется блуждающим , если для каждого $x \in X$ существует окрестность $U$ такая, что существует лишь конечное число $g \in G$ , такое что $g \cdot U \cap U \neq \emptyset$ . ^[4]

В более общем смысле точка $x \in X$ называется точкой разрыва действия $G$ , если существует открытое подмножество $U ∋ x$ такое, что существует только конечное число $g \in G$ такое, что $g \cdot U \cap U \neq \emptyset$ . Областью разрыва действия является множество всех точек разрыва. Эквивалентно, это наибольшее $G$ -стабильное открытое подмножество $Ω \subset X$ такое, что действие $G$ на $Ω$ является блуждающим. ^[5] В динамическом контексте это также называется блуждающим множеством .

Действие является собственно разрывным, если для любого компактного подмножества $K \subset X$ существует конечное число $g \in G$ таких, что $g \cdot K \cap K \neq \emptyset$ . Это строго сильнее, чем блуждание; например, действие $Z$ на $R 2 ∖ {(0, 0)}$ , заданное формулой $n \cdot(x, y) = (2 n x, 2 - n y),$ является блуждающим и свободным, но не разрывным. ^[6]

Действие палубных преобразований основной группы локально односвязного пространства на накрывающее является блуждающим и свободным. Такие действия можно охарактеризовать следующим свойством: каждый $x \in X$ имеет окрестность $U$ такую, что $g \cdot U \cap U = \emptyset$ для каждого $g \in G ∖ {e G}$ . ^[7] Действия с этим свойством иногда называют свободно разрывными , а наибольшее подмножество, на котором действие свободно разрывно, тогда называют свободным регулярным множеством . ^[8]

Действие группы $G$ на локально компактном пространстве $X$ называется кокомпактным, если существует компактное подмножество $A \subset X$ такое, что $X = G \cdot A$ . Для собственно разрывного действия кокомпактность эквивалентна компактности фактор- пространства $G \ X$ .

Действия топологических групп

Предположим теперь, что $G$ — топологическая группа , а $X$ — топологическое пространство, на котором она действует посредством гомеоморфизмов. Действие называется непрерывным , если отображение $G \times X \to X$ непрерывно для топологии произведения .

Говорят, что действиеправильное, если отображение $G \times X \to X \times X$ , определенное формулой $(g, x) \mapsto (x, g \cdot x),$ являетсяправильным. ^[9]Это означает, что для данных компактов $K, K'$ множество $g \in G$ такое, что $g \cdot K \cap K' \neq \emptyset$ , компактно. В частности, это эквивалентно тому, что собственный разрыв $G$ —дискретная группа.

Он называется локально свободным, $если$ существует окрестность $U$ точки $eG$ такая, что $g \cdot x \neq x$ для всех $x \in X$ и $g \in U ∖ {e G}$ .

Действие называется сильно непрерывным , если орбитальное отображение $g \mapsto g \cdot x$ непрерывно для каждого $x \in X$ . Вопреки тому, что следует из названия, это более слабое свойство, чем непрерывность действия. ^{[ нужна цитата ]}

Если $G$ — группа Ли и $X$ — дифференцируемое многообразие , то подпространство гладких точек действия — это множество точек $x \in X$ таких, что отображение $g \mapsto g \cdot x$ гладко . Существует хорошо разработанная теория действий группы Ли , т.е. действий, гладких на всем пространстве.

Линейные действия

Если $g$ действует линейными преобразованиями на модуле над коммутативным кольцом , то действие называется неприводимым, если не существует собственных ненулевых $g$ -инвариантных подмодулей. Говорят, что оно полупростое, если оно распадается в прямую сумму неприводимых действий.

Орбиты и стабилизаторы

Рассмотрим группу $G$ , действующую на множестве $X.$ орбита элемента $x$ в $X$ - это набор элементов в $X$ , в который $x$ может быть перемещен элементами $G$ . Орбита $x$ обозначается $G \cdot x$ :

G{\cdot }x=\{g{\cdot }x:g\in G\}.

$Определяющие свойства группы гарантируют ,$ что множество орбит (точек $x$ в) $X$ под действием $G$ образуют разбиение X . Соответствующее отношение эквивалентности определяется следующим образом: $x$ $~$ $y$ тогда и только тогда, когда существует $g$ в $G$ такой, что $g$ $\cdot$ $x$ $=$ $y$ . Тогда орбиты являются классами эквивалентности по этому отношению; два элемента $x$ и $y$ эквивалентны тогда и только тогда, когда их орбиты одинаковы, то есть $G$ $\cdot$ $x$ $=$ $G$ $\cdot$ $y$ .

Действие группы транзитивно тогда и только тогда, когда оно имеет ровно одну орбиту, то есть если существует $x$ в $X$ такой, что $G \cdot x = X$ . Это так тогда и только тогда, когда $G \cdot x = X$ для всех $x$ в $X$ (при условии, что $X$ непусто).

Множество всех орбит $X$ под действием $G$ записывается как $X / G$ (или реже как $G \ X$ ) и называетсячастное действия. В геометрических ситуациях его можно назватьпространство орбит , а в алгебраических ситуациях его можно назвать пространствомкоинварианты и обозначаются $X G$ , в отличие от инвариантов (неподвижных точек), обозначаемых $X G$ : коинварианты представляют собойфактор, а инварианты представляют собойподмножество. Коинвариантная терминология и обозначения используются, в частности, вгрупповых когомологияхигрупповых гомологиях, которые используют одно и то же соглашение о верхнем/индексном индексе.

Инвариантные подмножества

Если $Y$ — подмножество X , то $G$ $\cdot Y обозначает$ множество ${g \cdot y : g \in G и y \in Y}$ . Подмножество $Y$ называется инвариантным относительно $G$ , если $G \cdot Y = Y$ (что эквивалентно $G \cdot Y \subseteq Y$ ). В этом случае $G$ также действует на $Y$ , ограничивая действие $Y$ . Подмножество $Y$ называется фиксированным относительно $G$ , если $g \cdot y = y$ для всех $g$ в $G$ и всех $y$ в $Y$ . Каждое подмножество, фиксированное относительно $G$ , также инвариантно относительно $G$ , но не наоборот.

Каждая орбита является инвариантным подмножеством $X$ , на котором $G$ действует транзитивно . И наоборот, любое инвариантное подмножество $X$ представляет собой объединение орбит. Действие $G$ на $X$ транзитивно тогда и только тогда , когда все элементы эквивалентны, то есть существует только одна орбита.

G $-$ инвариантным элементом $X$ является $x \in X$ такой, что $g \cdot x = x$ для всех $g \in G$ . Множество всех таких $x$ обозначается $X G$ и называется $G$ - инвариантами $X$ . Когда $X$ — $G$ -модуль , X $G —$ нулевая группа когомологий $G$ с коэффициентами из $X$ , а высшие группы когомологий — производные функторы функтора G $-$ инвариантов.

Неподвижные точки и подгруппы стабилизаторов

Учитывая $g$ в $G$ и $x$ в $X$ с $g \cdot x = x$ , говорят, что « $x$ является фиксированной точкой $g$ » или что « $g$ фиксирует $x$ ». Для каждого $x$ в $X$ Стабилизирующая подгруппа Gотносительно $x$ (также называемаягруппой изотропииилималенькой группой^[10]) — это набор всех элементов в $G ,$ $которые$ фиксируют $x$ :

G_{x}=\{g\in G:g{\cdot }x=x\}.

подгруппа

она

G

X

N

G \to Sym(

)

задается

стабилизаторов

x для

x

X.

N

Пусть $x$ и $y$ — два элемента из $X$ , и пусть $g$ — элемент группы такой, что $y = g \cdot x$ . Тогда две группы стабилизаторов $G x$ и $G y$ связаны соотношением $G y = gG x g -1$ . Доказательство: по определению $h \in G y$ тогда и только тогда, когда $h \cdot(g \cdot x) = g \cdot x$ . Применяя $g -1$ к обеим частям этого равенства, получаем $(g -1 hg)\cdot x знак равно x$ ; то есть $g -1 hg \in G x$ . Противоположное включение получается аналогичным образом, если взять $h \in G x$ и $x = g -1 \cdot y$ .

Вышесказанное говорит о том, что стабилизаторы элементов, находящихся на одной орбите, сопряжены друг с другом. Таким образом, каждой орбите мы можем сопоставить класс сопряженности подгруппы $G$ (т. е. множество всех сопряженных подгрупп). Пусть $(H)$ обозначает класс сопряженности $H.$ Тогда орбита $O$ имеет тип $(H)$ , если стабилизатор $G x$ некоторого/любого $x$ в $O$ принадлежит $(H)$ . Максимальный тип орбиты часто называют основным типом орбиты .

Теорема о стабилизаторе орбиты и лемма Бернсайда

Орбиты и стабилизаторы тесно связаны. Для фиксированного $x$ в $X$ рассмотрим отображение $f : G \to X$ , заданное формулой $g \mapsto g \cdot x$ . По определению образ $f (G)$ этого отображения — это орбита $G \cdot x$ . Условие того, чтобы два элемента имели одинаковое изображение:

f(g)=f(h)\iff g{\cdot }x=h{\cdot }x\iff g^{-1}h{\cdot }x=x\iff g^{-1}h\in G_{x}\iff h\in gG_{x}.

f (g) = f (h)

тогда и только тогда, когда

g

h

смежном классе

G x

слой

f -1 ({y})

f

y

G \cdot x

f

биекцию

G / G x

G \cdot x

gG x \mapsto g \cdot x

^[11]теорема о стабилизаторе орбиты

Если $G$ конечна, то теорема о стабилизаторе орбиты вместе с теоремой Лагранжа дает

|G\cdot x|=[G\,:\,G_{x}]=|G|/|G_{x}|,

x

порядку группы

Пример. Пусть

G

— группа простого порядка

p

, действующая на множестве

X

k

элементами. Поскольку каждая орбита имеет либо

1

, либо

p

элементов, существует

k mod p

орбит длины

1

, которые являются

G

-инвариантными элементами.

Этот результат особенно полезен, поскольку его можно использовать для подсчета аргументов (обычно в ситуациях, когда $X$ также конечно).

Пример: мы можем использовать теорему о стабилизаторе орбиты для подсчета автоморфизмов графа . Рассмотрим кубический граф, как показано на рисунке, и пусть

G

обозначает его группу автоморфизмов . Тогда

G

действует на множестве вершин

{1, 2, ..., 8}

, и это действие транзитивно, в чем можно убедиться, составив вращения вокруг центра куба. Таким образом, по теореме о стабилизаторе орбиты

| г | = | Г \cdot 1 | | Г 1 | = 8 | Г 1 |

. Применяя теперь теорему к стабилизатору

G 1

, мы можем получить

| Г 1 | = | (г 1) \cdot 2 | | (г 1) 2 |

. Любой элемент

G

, который фиксирует 1, должен перевести 2 либо в 2, 4 или 5. В качестве примера таких автоморфизмов рассмотрим вращение вокруг диагональной оси через 1 и 7 на

2 π /3

, которое переставляет местами 2, 4, 5 и 3, 6, 8 и исправляет 1 и 7. Таким образом,

| (г 1) \cdot 2 | = 3

. Применение теоремы в третий раз дает

| (г 1) 2 | = | ((г 1) 2) \cdot 3 | | ((г 1) 2) 3 |

. Любой элемент

G

, который фиксирует 1 и 2, должен отправить 3 либо в 3, либо в 6. Отражение куба на плоскости через 1, 2, 7 и 8 является таким автоморфизмом, переводящим 3 в 6, таким образом

| ((г 1) 2) \cdot 3 | = 2

. Также видно, что

((G 1) 2) 3

состоит только из тождественного автоморфизма, поскольку любой элемент

G

, фиксирующий 1, 2 и 3, должен также фиксировать все остальные вершины, поскольку они определяются своей смежностью с 1, 2 и 3. Объединив предыдущие вычисления, мы теперь можем получить

| г | знак равно 8 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 знак равно 48

Результатом, тесно связанным с теоремой о стабилизаторе орбиты, является лемма Бернсайда :

|X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,

X g

g

G

X

Зафиксировав группу $G$ , множество формальных разностей конечных $G$ -множеств образует кольцо, называемое кольцом Бернсайда группы $G$ , где сложение соответствует несвязному объединению , а умножение - декартову произведению .

Примеры

The тривиальное действие любой группы $G$ на любом множестве $X$ определяется равенством $g \cdot x = x$ для всех $g$ в $G$ и всех $x$ в $X$ ; то есть каждый элемент группы вызываеттождественную перестановкуна $X$ . ^[12]
В каждой группе $G$ умножение слева — это действие группы G $на$ G $:$ g $\cdot x = gx для$ всех $g$ , $x$ в $G.$ Это действие является свободным и транзитивным (регулярным) и составляет основу быстрого доказательства теоремы Кэли о том, что каждая группа изоморфна подгруппе симметрической группы перестановок множества $G$ .
В каждой группе $G$ с подгруппой $H$ левое умножение является действием $G$ на множестве смежных классов $G / H$ : $g \cdot aH = gaH$ для всех $g$ , $a$ в $G.$ В частности, если $H$ не содержит нетривиальных нормальных подгрупп группы $G$ , это индуцирует изоморфизм группы $G$ в подгруппу группы перестановок степени $[G : H]$ .
В каждой группе G $сопряжение$ — это действие $G$ на $G$ : $g \cdot x = gxg -1$ . Для варианта правого действия обычно используется экспоненциальная запись: $x g = g -1 xg$ ; оно удовлетворяет условию ( $x g) час знак равно x gh$ .
В каждой группе $G$ с подгруппой $H$ сопряжение — это действие группы $G$ на сопряженные группы $H$ : $g \cdot K = gKg -1$ для всех $g$ в $G$ и $K$ сопряженных групп $H$ .
Действие $Z$ $на$ множестве $X$ однозначно определяет и определяется автоморфизмом X , $заданным$ действием 1. Аналогично действие $Z /2 Z$ на $X$ эквивалентно данным инволюции X.
Симметричная группа $S n$ и ее подгруппы действуют на множестве ${1, ..., n}$ , переставляя ее элементы
Группа симметрии многогранника действует на множестве вершин этого многогранника. Он также действует на множество граней или множество ребер многогранника.
Группа симметрии любого геометрического объекта действует на множество точек этого объекта.
Для координатного пространства $V$ над полем $F$ с группой единиц $F *$ отображение $F * \times V \to V$ , заданное формулой $a \times (x 1, x 2, ..., x n) \mapsto (ax 1, ax 2, ..., ax n)$ — групповое действие, называемое скалярным умножением .
Группа автоморфизмов векторного пространства (или графа , или группы, или кольца...) действует на векторное пространство (или множество вершин графа, или группы, или кольца...).
Общая линейная группа $GL(n, K)$ и ее подгруппы, особенно ее подгруппы Ли (включая специальную линейную группу $SL(n, K)$ , ортогональную группу $O(n, K)$ , специальную ортогональную группу $SO(n, K)$ , и симплектическая группа $Sp$ $(n, K)$ ) — группы Ли , действующие в векторном пространстве $Kn$ . Групповые операции задаются путем умножения матриц из групп на векторы из $K n$ .
Общая линейная группа $GL$ $(n, Z)$ действует на $Zn$ естественным матричным действием. Орбиты его действия классифицируются по наибольшему общему делителю координат вектора в $Z n$ .
Аффинная группа действует транзитивно на точках аффинного пространства , а подгруппа V аффинной группы (т. е. векторного пространства) оказывает на этих точках транзитивное и свободное (т. е. регулярное ) действие; ^[13] действительно, это можно использовать для определения аффинного пространства .
Проективная линейная группа $PGL(n + 1, K)$ и ее подгруппы, особенно ее подгруппы Ли, которые являются группами Ли, действующими в проективном пространстве $P n (K)$ . Это фактор действия полной линейной группы на проективном пространстве. Особенно примечательна $PGL(2, K)$ — симметрия проективной прямой, которая является резко 3-транзитивной, сохраняя перекрестное отношение ; группа Мёбиуса $PGL(2, C)$ представляет особый интерес.
Изометрия плоскости действует на набор 2D-изображений и узоров, таких как узоры обоев . Определение можно уточнить, уточнив, что подразумевается под изображением или узором, например, функция положения со значениями в наборе цветов. Изометрии на самом деле являются одним из примеров аффинной группы (действия). ^{[ сомнительно – обсудить ]}
Множества, на которые действует группа $G,$ $составляют категорию G$ -множеств , в которых объектами являются $G$ -множества, а морфизмами являются гомоморфизмы $G$ -множеств: функции $f$ $:$ $X$ $\to$ $Y$ такие, что $g$ $\cdot($ $f$ $($ $x$ $)) =$ $f$ $($ $г$ $\cdot$ $Икс$ $)$ для каждого $г$ в $G$ .
Группа Галуа расширения поля $L / K$ действует на поле $L$ , но оказывает лишь тривиальное действие на элементы подполя $K.$ Подгруппы $Gal(L / K)$ соответствуют подполям $L$ , содержащим $K$ , то есть расширениям промежуточных полей между $L$ и $K.$
Аддитивная группа действительных чисел $(R, +)$ действует на фазовое пространство « хороших » систем в классической механике (и в более общих динамических системах ) путем перевода времени : если $t$ находится в $R$ , а $x$ находится в фазе пространстве, то $x$ описывает состояние системы, а $t + x$ определяется как состояние системы через $t секунд, если$ $t$ положительное, или $- t$ секунд назад, если $t$ отрицательное.
Аддитивная группа действительных чисел $(R, +)$ действует на множество действительных функций действительной переменной различными способами, причем $(t \cdot f)(x)$ равна, например, $f (x + t)$ , $f (x) + t$ , $f (xe t)$ , $f (x) e t$ , $f (x + t) e t$ , или $f (xe t) + t$ , но не $f (xe t + t)$ .
Учитывая групповое действие $G$ на $X$ , мы можем определить индуцированное действие $G$ на множестве степеней X , установив $g$ $\cdot$ $U$ $= {$ $g$ $\cdot$ $u$ $:$ $u$ $\in$ $U$ $}$ $для$ каждого подмножества $U$ из $X$ и каждого $g$ в $G.$ . Это полезно, например, при изучении действия большой группы Матье на 24-множестве и при изучении симметрии в некоторых моделях конечной геометрии .
Кватернионы с нормой 1 ( версоры ), как мультипликативная группа, действуют на $R3$ $:$ для любого такого кватерниона $z$ $= cos$ $α$ $/2 +$ $v$ $sin$ $α$ $/2$ отображение $f$ $($ $x$ $) =$ $z$ $x$ $z$ $*$ является вращение против часовой стрелки на угол $α$ вокруг оси, заданной единичным вектором $v$ ; $z$ – то же вращение; см. кватернионы и пространственное вращение . Обратите внимание, что это не точное действие, поскольку кватернион $-1$ оставляет все точки, где они были, как и кватернион $1$ .
Для данных левых $G$ -множеств $X$ , $Y$ существует левое $G$ -множество $Y X$ , элементы которого являются $G$ -эквивариантными отображениями $α : X \times G \to Y$ и с левым $G$ -действием, заданным формулой $g \cdot α = α \circ (id X \times - g)$ (где « $-g$ » означает умножение справа на $g$ ) $.$ Это $G$ -множество обладает тем свойством, что его неподвижные точки соответствуют эквивариантным отображениям $X \to Y$ ; в более общем смысле, это экспоненциальный объект в категории $G$ -множеств.

Групповые действия и группоиды

Понятие группового действия может быть закодировано группоидом действия G $' = G ⋉ X$ , ассоциированным с групповым действием. Стабилизаторами действия являются группы вершин группоида, а орбитами действия — его компоненты.

Морфизмы и изоморфизмы между G -множествами

Если $X$ и $Y$ — два $G$ -множества, морфизм из $X$ в $Y$ — это функция $f : X \to Y$ такая, что $f (g \cdot x) = g \cdot f (x)$ для всех $g$ в $G$ и всех $x$ в $X$ . Морфизмы $G$ -множеств называют также эквивариантными отображениями или $G$ - отображениями .

Композиция двух морфизмов снова является морфизмом. Если морфизм $f$ биективен, то его обратный также является морфизмом. В этом случае $f$ называется изоморфизмом , а два $G$ -множества $X$ и $Y$ называются изоморфными ; для всех практических целей изоморфные $G$ -множества неразличимы.

Некоторые примеры изоморфизмов:

Каждое регулярное действие $G$ изоморфно действию $G$ на $G$ , заданному умножением слева.
Каждое свободное действие $G$ изоморфно $G \times S$ , где $S$ — некоторое множество, а $G$ действует на $G \times S$ умножением слева по первой координате. ( $S$ можно считать множеством орбит $X / G$ .)
Каждое транзитивное действие $G$ изоморфно умножению слева на $G$ на множестве левых смежных классов некоторой подгруппы $H$ группы $G$ . ( $H$ можно считать группой стабилизатора любого элемента исходного $G$ -множества.)

С этим понятием морфизма совокупность всех $G$ -множеств образует категорию ; эта категория является топосом Гротендика (на самом деле, если предположить классическую металогику , этот топос будет даже булевым).

Варианты и обобщения

Мы также можем рассмотреть действия моноидов на множествах, используя те же две аксиомы, что и выше. Однако это не определяет биективные отображения и отношения эквивалентности. См. действие полугруппы .

$Вместо действий на множествах мы можем определить действия групп и моноидов на объекты произвольной категории: начать с$ объекта $X$ некоторой категории, а затем определить действие на $X$ как гомоморфизм моноида в моноид эндоморфизмов X . Если $X$ имеет базовое множество, то все определения и факты, изложенные выше, могут быть перенесены. Например, если мы возьмем категорию векторных пространств, мы получим таким образом представления групп .

Мы можем рассматривать группу $G$ как категорию с единственным объектом, в которой каждый морфизм обратим . Тогда (левое) групповое действие — это не что иное, как (ковариантный) функтор из $G$ в категорию множеств , а представление группы — это функтор из $G$ в категорию векторных пространств . Тогда морфизм между $G$ -множествами является естественным преобразованием функторов группового действия. По аналогии, действие группоида — это функтор из группоида в категорию множеств или в какую-либо другую категорию.

Помимо непрерывных действий топологических групп на топологических пространствах, часто рассматривают также гладкие действия групп Ли на гладких многообразиях , регулярные действия алгебраических групп на алгебраических многообразиях и действия групповых схем на схемах . Все это примеры групповых объектов , действующих на объекты соответствующей категории.

Галерея

Орбита фундаментального сферического треугольника (отмечена красным) под действием полной октаэдрической группы.
Орбита фундаментального сферического треугольника (отмечена красным) под действием полной группы икосаэдра.

Смотрите также

Примечания

Цитаты

^ Эйе и Чанг (2010). Курс абстрактной алгебры. п. 144.
^ Это сделал, например, Смит (2008). Введение в абстрактную алгебру. п. 253.
^ «Определение: Аксиомы правильных групповых действий» . Доказательство вики . Проверено 19 декабря 2021 г.
^ Терстон 1997, Определение 3.5.1(iv).
^ Капович 2009, с. 73.
^ Терстон 1980, с. 176.
^ Хэтчер 2002, с. 72.
^ Маскит 1988, II.A.1, II.A.2.
^ Том Дик 1987.
^ Процессези, Клаудио (2007). Группы Ли: подход через инварианты и представления. Springer Science & Business Media. п. 5. ISBN 9780387289298. Проверено 23 февраля 2017 г.
^ М. Артин, Алгебра , Предложение 6.4 на с. 179
^ Эйе и Чанг (2010). Курс абстрактной алгебры. п. 145.
^ Рид, Майлз (2005). Геометрия и топология . Кембридж, Великобритания, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 170. ИСБН 9780521613255.

Внешние ссылки

«Действие группы на многообразии», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Групповое действие». Математический мир .

Групповое действие

Определение

Левое групповое действие

Правильное групповое действие

Примечательные свойства действий

Свойства транзитивности

Примеры

Примитивные действия

Топологические свойства

Действия топологических групп

Линейные действия

Орбиты и стабилизаторы

Инвариантные подмножества

Неподвижные точки и подгруппы стабилизаторов

Теорема о стабилизаторе орбиты и лемма Бернсайда

Примеры

Групповые действия и группоиды

Морфизмы и изоморфизмы между G -множествами

Варианты и обобщения

Галерея

Смотрите также

Примечания

Цитаты

Рекомендации

Внешние ссылки