В геометрии группа точек в трех измерениях — это группа изометрий в трех измерениях, оставляющая начало координат фиксированным, или, соответственно, группа изометрий сферы . Это подгруппа ортогональной группы O(3), группы всех изометрий , оставляющих начало координат фиксированным, или, соответственно, группы ортогональных матриц . O(3) сама по себе является подгруппой евклидовой группы E(3) всех изометрий.
Группы симметрии геометрических объектов являются группами изометрии. Соответственно, анализ групп изометрий — это анализ возможных симметрий . Все изометрии ограниченного ( конечного) трехмерного объекта имеют одну или несколько общих неподвижных точек. Мы следуем обычному соглашению, выбирая начало координат в качестве одного из них.
Группу симметрии объекта иногда называют также его полной группой симметрии , в отличие от его собственной группы симметрии , пересечения его полной группы симметрии с Е + (3) , которая состоит из всех прямых изометрий , т. е. изометрий, сохраняющих ориентацию . Для ограниченного объекта собственная группа симметрии называется группой вращения . Это пересечение его полной группы симметрии с SO(3) , полной группой вращения трехмерного пространства. Группа вращения ограниченного объекта равна его полной группе симметрии тогда и только тогда, когда объект является киральным .
Точечные группы, которые порождены чисто конечным набором зеркальных плоскостей отражения, проходящих через одну и ту же точку, являются конечными группами Кокстера , представленными обозначением Кокстера .
Точечные группы в трех измерениях широко используются в химии , особенно для описания симметрии молекулы и молекулярных орбиталей , образующих ковалентные связи , и в этом контексте их также называют молекулярными точечными группами .
Операции группы симметрии ( операции симметрии ) — это изометрии трехмерного пространства R3 , которые оставляют начало координат фиксированным , образуя группу O(3). Эти операции можно разделить на:
Инверсия является частным случаем вращения-отражения (i = S 2 ), как и отражение (σ = S 1 ), поэтому эти операции часто считаются неправильными вращениями.
Иногда к символу добавляется циркумфлекс для обозначения оператора, как в Ĉ n и Ŝ n .
При сравнении типа симметрии двух объектов начало координат выбирается для каждого отдельно, т.е. они не обязательно должны иметь один и тот же центр. При этом два объекта считаются принадлежащими одному и тому же типу симметрии, если их группы симметрии являются сопряженными подгруппами группы O(3) (две подгруппы H 1 , H 2 группы G сопряжены , если существует g ∈ G такой, что H 1 знак равно г -1 ЧАС 2 г ).
Например, два 3D-объекта имеют одинаковый тип симметрии:
В случае нескольких зеркальных плоскостей и/или осей вращения две группы симметрии имеют один и тот же тип симметрии тогда и только тогда, когда существует вращение, отображающее всю структуру первой группы симметрии на структуру второй. (На самом деле таких вращений будет более одного, но не бесконечное число, как в случае, когда имеется только одно зеркало или ось.) Определение сопряжения также допускало бы зеркальное отображение структуры, но в этом нет необходимости, сама структура является ахиральным. Например, если группа симметрии содержит ось вращения третьего порядка, она содержит вращения в двух противоположных направлениях. (Структура хиральна для 11 пар пространственных групп с винтовой осью.)
Существует множество бесконечных групп изометрий ; например, « циклическая группа » (то есть она порождается одним элементом – не путать с торсионной группой ), порожденная вращением на иррациональное количество оборотов вокруг оси. Мы можем создать нециклические абелевы группы , добавив больше вращений вокруг одной оси. Набор точек на окружности с рациональными числами градусов вокруг круга иллюстрирует группу точек, требующую бесконечного числа образующих . Существуют также неабелевы группы, порожденные вращением вокруг разных осей. Обычно это (в целом) свободные группы . Они будут бесконечными, если вращения не будут выбраны специально.
Все упомянутые до сих пор бесконечные группы не являются замкнутыми как топологические подгруппы группы O(3). Обсудим теперь топологически замкнутые подгруппы группы O(3).
Весь O(3) представляет собой группу симметрии сферической симметрии ; SO(3) — соответствующая группа вращения. Другие бесконечные группы изометрии состоят из всех вращений вокруг оси, проходящей через начало координат, а также поворотов с дополнительным отражением в плоскостях, проходящих через ось, и/или отражением в плоскости, проходящей через начало координат, перпендикулярной оси. Группы с отражением в плоскостях, проходящих через ось, с отражением или без отражения в плоскости, проходящей через начало координат, перпендикулярное оси, являются группами симметрии для двух типов цилиндрической симметрии . Любая трехмерная форма (подмножество R 3 ), имеющая бесконечную вращательную симметрию, также должна иметь зеркальную симметрию для каждой плоскости, проходящей через ось. Физические объекты, обладающие бесконечной вращательной симметрией, также будут иметь симметрию зеркальных плоскостей относительно оси, но векторные поля могут не иметь симметрии, например, векторы скорости конуса, вращающегося вокруг своей оси, или магнитное поле, окружающее провод. [1]
Существует семь непрерывных групп, которые в некотором смысле являются пределами конечных групп изометрий. Эти так называемые предельные точечные группы или предельные группы Кюри названы в честь Пьера Кюри , который первым их исследовал. [1] [2] Семь бесконечных рядов осевых групп приводят к пяти предельным группам (две из них являются дубликатами), а семь оставшихся точечных групп образуют еще две непрерывные группы. В международных обозначениях это список ∞, ∞2, ∞/м, ∞мм, ∞/мм, ∞∞ и ∞∞м. [3] Не все из них возможны для физических объектов, например, объекты с симметрией ∞∞ также обладают симметрией ∞∞m. Другие обозначения и более подробную информацию см. ниже.
Симметрии в 3D, которые оставляют начало координат фиксированным, полностью характеризуются симметриями на сфере с центром в начале координат. Для конечных трехмерных точечных групп см. также сферические группы симметрии .
С точностью до сопряженности множество конечных трехмерных точечных групп состоит из:
Согласно кристаллографической теореме ограничения , только ограниченное число точечных групп совместимы с дискретной трансляционной симметрией : 27 из 7 бесконечных серий и 5 из 7 остальных. Вместе они составляют 32 так называемые кристаллографические точечные группы .
Бесконечный ряд осевых или призматических групп имеет индекс n , который может быть любым целым числом; в каждой серии n- я группа симметрии содержит n -кратную вращательную симметрию относительно оси, т.е. симметрию относительно поворота на угол 360°/ n . n =1 охватывает случаи отсутствия вращательной симметрии вообще. Существует четыре серии без других осей вращательной симметрии (см. циклические симметрии ) и три с дополнительными осями 2-кратной симметрии (см. двугранная симметрия ). Их можно понимать как группы точек в двух измерениях, протяженные с осевой координатой и отражениями в ней. Они относятся к группам фризов ; [4] их можно интерпретировать как узоры из групп фризов, повторяющиеся n раз вокруг цилиндра.
В следующей таблице перечислены несколько обозначений для точечных групп: обозначение Германа-Могена (используется в кристаллографии ), обозначение Шенфлиса (используется для описания молекулярной симметрии ), обозначение орбифолда и обозначение Кокстера . Последние три удобно связаны не только с ее свойствами, но и с порядком группы. Обозначение орбифолда — это унифицированное обозначение, также применимое для групп обоев и групп фризов . Кристаллографические группы имеют n , ограниченное 1, 2, 3, 4 и 6; удаление кристаллографического ограничения позволяет использовать любое положительное целое число. Серии:
Для нечетного n имеем Z 2 n = Z n × Z 2 и Dih 2 n = Dih n × Z 2 .
Группы Cn (включая тривиальную C1 ) и Dn киральны, остальные ахиральны .
Термины «горизонтальный» (h) и «вертикальный» (v) и соответствующие индексы относятся к дополнительной плоскости зеркала, которая может быть параллельна оси вращения (вертикальная) или перпендикулярна оси вращения (горизонтальная).
Простейшие нетривиальные аксиальные группы эквивалентны абстрактной группе Z2 :
Вторая из них — первая из одноосных групп ( циклических групп ) C n порядка n (также применима в 2D), которые генерируются одним поворотом на угол 360°/ n . В дополнение к этому можно добавить зеркальную плоскость, перпендикулярную оси, давая группу C n h порядка 2 n , или набор из n зеркальных плоскостей, содержащих ось, давая группу C n v также порядка 2 n. . Последняя является группой симметрии правильной n -сторонней пирамиды . Типичным объектом группы симметрии Cn или Dn является пропеллер .
Если добавить как горизонтальную, так и вертикальную плоскости отражения, их пересечения дают n осей вращения на 180°, поэтому группа больше не является одноосной. Эта новая группа порядка 4 n называется D n h . Его подгруппой вращений является группа диэдра D n порядка 2 n , которая все еще имеет оси вращения 2-го порядка, перпендикулярные главной оси вращения, но не имеет зеркальных плоскостей.
Примечание: в 2D D n включает в себя отражения, которые также можно рассматривать как переворачивание плоских объектов без различия лицевой и обратной сторон; но в 3D эти две операции различаются: D n содержит «переворачивание», а не отражения.
В этом семействе есть еще одна группа, называемая D n d (или D n v ), которая имеет вертикальные зеркальные плоскости, содержащие главную ось вращения, но вместо горизонтальной зеркальной плоскости имеет изометрию, сочетающую в себе отражение в горизонтальной плоскости и поворот на угол 180°/ n . D n h — группа симметрии «правильной» n -угольной призмы , а также «правильной» n -угольной бипирамиды . D n d — группа симметрии «правильного» n -угольного антипризмы , а также «правильного» n -угольного трапецоэдра . D n — группа симметрии частично повернутой («скрученной») призмы.
Группы D 2 и D 2h примечательны тем, что у них нет специальной оси вращения. Скорее, есть три перпендикулярные оси 2-го порядка. D 2 — подгруппа всех полиэдральных симметрий (см. ниже), а D 2h — подгруппа полиэдральных групп Th и Oh . D 2 встречается в таких молекулах, как твистан , и в гомотетрамерах , таких как конканавалин А. Элементы D 2 находятся в соответствии 1-2 с вращениями, заданными единичными липшицевыми кватернионами .
Группа S n создается комбинацией отражения в горизонтальной плоскости и поворота на угол 360°/n. Для нечетного n это равно группе, порожденной двумя отдельно, C n h порядка 2 n , и поэтому обозначение Sn не требуется; однако даже для n оно различно и имеет порядок n . Как и D n d , он содержит ряд неправильных вращений , но не содержит соответствующих вращений.
Все группы симметрии в 7 бесконечных сериях различны, за исключением следующих четырех пар взаимно равных:
S 2 — группа порядка 2 с одной инверсией ( C i ).
Под «равным» здесь понимается то же самое с точностью до сопряжения в пространстве. Это сильнее, чем «с точностью до алгебраического изоморфизма». Например, существует три разные группы второго порядка в первом смысле, но во втором смысле только одна. Аналогично, например, S 2 n алгебраически изоморфен Z 2 n .
Группы могут быть построены следующим образом:
Группы с непрерывным осевым вращением обозначаются знаком ∞ вместо n . Однако обратите внимание, что C ∞ здесь не то же самое, что бесконечная циклическая группа (также иногда обозначаемая C ∞ ), которая изоморфна целым числам. В следующей таблице представлены пять групп непрерывного осевого вращения. Они являются пределами конечных групп только в том смысле, что они возникают, когда основное вращение заменяется поворотом на произвольный угол, то есть не обязательно на рациональное число градусов, как в случае с конечными группами. Физические объекты могут иметь только симметрию C ∞v или D ∞h , а векторные поля — другие.
Говорят, что остальные точечные группы обладают очень высокой или многогранной симметрией, поскольку они имеют более одной оси вращения порядка больше 2. Здесь C n обозначает ось вращения на 360°/n, а S n обозначает ось несобственного вращения. вращение через то же самое. На последовательных строках расположены обозначения орбифолда , обозначения Кокстера и диаграмма Кокстера , а также обозначения Германа-Могена (полные и сокращенные, если они отличаются) и порядок (число элементов) группы симметрии. Группы:
Непрерывными группами, связанными с этими группами, являются:
Как отмечалось выше для бесконечных групп изометрий, любой физический объект, имеющий симметрию K, также будет иметь симметрию K h .
Группы отражающих точек в трех измерениях также называются группами Кокстера и могут быть заданы диаграммой Кокстера-Дынкина и представляют собой набор зеркал, которые пересекаются в одной центральной точке. Обозначение Коксетера предлагает обозначения в скобках, эквивалентные диаграмме Кокстера, с символами разметки для групп точек вращения и других субсимметрий. В обозначениях Шенфлиса отражающие точечные группы в 3D — это Cnv , Dnh и полные многогранные группы T , O и I.
Зеркальные плоскости ограничивают набор сферических треугольных областей на поверхности сферы. Группа Кокстера ранга n имеет n зеркальных плоскостей. Группы Кокстера, имеющие менее 3 генераторов, имеют вырожденные сферические треугольные домены, такие как луны или полушария . В обозначениях Кокстера эти группы имеют тетраэдрическую симметрию [3,3], октаэдрическую симметрию [4,3], икосаэдрическую симметрию [5,3] и диэдрическую симметрию [p,2]. Число зеркал для неприводимой группы равно nh/2 , где h — число Кокстера группы Кокстера , n — размерность (3). [5]
Группами вращения, т. е. конечными подгруппами SO(3), являются: циклические группы C n (группа вращения канонической пирамиды ), группы диэдра D n (группа вращения равномерной призмы или канонической бипирамиды ), и группы вращения T , O и I правильного тетраэдра , октаэдра / куба и икосаэдра / додекаэдра .
В частности, группы диэдра D 3 , D 4 и т. д. являются группами вращения плоских правильных многоугольников, вложенных в трехмерное пространство, и такую фигуру можно рассматривать как вырожденную правильную призму. Поэтому его еще называют диэдром (греч.: твердое тело с двумя гранями), что и объясняет название группы двугранников .
Группа вращения объекта равна его полной группе симметрии тогда и только тогда, когда объект является киральным . Другими словами, киральными объектами являются объекты, группа симметрии которых находится в списке групп вращения.
Подгруппы вращения, заданные в нотациях Шёнфлиса , нотациях Кокстера , ( орбифолдных обозначениях ):
Группа вращения SO(3) является подгруппой O(3), полной группы вращения точки трехмерного евклидова пространства. Соответственно, O(3) является прямым произведением SO(3) и группы инверсии C i (где инверсия обозначается ее матрицей − I ):
Таким образом, существует соответствие 1 к 1 между всеми прямыми изометриями и всеми косвенными изометриями посредством инверсии. Также существует соответствие 1-к-1 между всеми группами H прямых изометрий в SO(3) и всеми группами K изометрий в O(3), которые содержат инверсию:
где изометрия ( A , I ) отождествляется с A.
Для конечных групп соответствие следующее:
Если в группе прямых изометрий H есть подгруппа L индекса 2, то существует соответствующая группа, содержащая косвенные изометрии, но не имеющая инверсии :
Например, H = C 4 соответствует M = S 4 .
Таким образом , M получается из H путем обращения изометрий в H ∖ L . Эта группа M , если ее рассматривать как абстрактную группу , изоморфна H. И наоборот, для всех точечных групп M , которые содержат косвенные изометрии, но не имеют инверсии, мы можем получить группу вращения H путем инвертирования косвенных изометрий.
Для конечных групп соответствие следующее:
В 2D циклическая группа k -кратных вращений Ck является для каждого натурального числа k нормальной подгруппой O(2) и SO(2 ) . Соответственно, в 3D для каждой оси циклическая группа k -кратных вращений вокруг этой оси является нормальной подгруппой группы всех вращений вокруг этой оси. Поскольку любая подгруппа индекса два нормальна, группа вращений ( Cn ) нормальна как в группе ( Cnv ) , полученной добавлением к ( Cn ) плоскостей отражения через ее ось , так и в группе ( Cnh ) получается добавлением к ( C n ) плоскости отражения, перпендикулярной его оси.
Существуют две дискретные точечные группы, свойства которых заключаются в том, что ни одна дискретная точечная группа не имеет их в качестве собственной подгруппы : Oh и I h . Их самая большая общая подгруппа — T h . Две группы получаются из него путем замены 2-кратной вращательной симметрии на 4-кратную и добавления 5-кратной симметрии соответственно.
Существуют две кристаллографические точечные группы, свойство которых заключается в том, что ни одна кристаллографическая точечная группа не имеет их в качестве собственной подгруппы : Oh и D 6h . Их максимальные общие подгруппы в зависимости от ориентации — D 3d и D 2h .
Ниже группы, описанные выше, упорядочены по типу абстрактной группы.
Наименьшими абстрактными группами, которые не являются какой-либо группой симметрии в 3D, являются группа кватернионов (порядка 8), Z 3 × Z 3 (порядка 9), дициклическая группа Dic 3 (порядка 12) и 10 из 14 группы порядка 16.
В столбце «Количество элементов порядка 2» в следующих таблицах показано общее количество подгрупп изометрии типов C 2 , C i , C s . Это общее число является одной из характеристик, помогающих различать различные типы абстрактных групп, а их тип изометрии помогает различать различные группы изометрии одной и той же абстрактной группы.
В рамках возможностей групп изометрии в 3D существует бесконечно много типов абстрактных групп с 0, 1 и 3 элементами порядка 2, есть две с 4 n + 1 элементами порядка 2 и три с 4 n + 3 элементами. порядка 2 (для каждого n ≥ 8). Никогда не бывает положительного четного числа элементов второго порядка.
Группа симметрии n - кратной вращательной симметрии — Cn ; ее абстрактный тип группы — циклическая группа Zn , которая также обозначается Cn . Однако есть еще две бесконечные серии групп симметрии с этим абстрактным типом группы:
Таким образом, мы имеем (выделены жирным шрифтом 10 циклических кристаллографических точечных групп, к которым применяется кристаллографическое ограничение ):
и т. д.
В 2D- диэдральную группу D n входят отражения, которые также можно рассматривать как переворачивание плоских объектов без различия лицевой и обратной сторон.
Однако в 3D различаются две операции: группа симметрии, обозначаемая D n, содержит n осей 2-го порядка, перпендикулярных оси n -го порядка, а не отражения. D n — группа вращения n -сторонней призмы с правильным основанием и n -сторонней бипирамиды с правильным основанием, а также правильной n -сторонней антипризмы и правильного n -стороннего трапецоэдра . Группа также является полной группой симметрии таких объектов после того, как они стали хиральными , например, с помощью идентичной киральной маркировки на каждой грани или некоторой модификации формы.
Тип абстрактной группы — это диэдральная группа Dih n , которая также обозначается D n . Однако есть еще три бесконечные серии групп симметрии с этим абстрактным типом группы:
Обратите внимание на следующее свойство:
Таким образом, мы имеем, выделив 12 кристаллографических точечных групп жирным шрифтом и написав D 1d как эквивалент C 2h :
и т. д.
C 2 n ,h порядка 4 n имеет абстрактный групповой тип Z 2 n × Z 2 . Для n = 1 мы получаем Dih 2 , уже рассмотренный выше, поэтому n ≥ 2.
Таким образом, мы имеем, выделив жирным шрифтом две циклические кристаллографические точечные группы:
и т. д.
D n h порядка 4 n имеет абстрактный групповой тип Dih n × Z 2 . Для нечетного n это уже рассмотрено выше, поэтому здесь мы имеем D 2 n h порядка 8 n , который относится к типу абстрактной группы Dih 2 n × Z 2 ( n ≥1).
Таким образом, мы имеем, выделив жирным шрифтом 3 диэдральные кристаллографические точечные группы:
и т. д.
Остальные семь выделены жирным шрифтом 5 групп кристаллографических точек (см. Также выше):
Фундаментальной областью точечной группы является коническое тело . Объект с заданной симметрией в заданной ориентации характеризуется фундаментальной областью. Если объект является поверхностью, он характеризуется поверхностью в фундаментальной области, продолжающейся до ее радиальных бордальных граней или поверхности. Если копии поверхности не подходят, можно добавить радиальные грани или поверхности. Они подходят в любом случае, если фундаментальная область ограничена плоскостями отражения.
Для многогранника эта поверхность в фундаментальной области может быть частью произвольной плоскости. Например, в триаконтаэдре Дисдиакиса одна полная грань является фундаментальной областью икосаэдрической симметрии . Изменение ориентации плоскости дает различные возможности объединения двух или более соседних граней в одну, создавая различные другие многогранники с той же симметрией. Многогранник является выпуклым, если поверхность соответствует его копиям и радиальная линия, перпендикулярная плоскости, находится в фундаментальной области.
Также поверхность в фундаментальной области может состоять из нескольких граней.
Отображение Spin(3) → SO(3) представляет собой двойное покрытие группы вращения группой спинов в трех измерениях. (Это единственное связное покрытие SO(3), поскольку Spin(3) односвязно.) По теореме о решетке существует связь Галуа между подгруппами Spin(3) и подгруппами SO(3) (точка вращения группы): образ подгруппы Spin(3) является вращательной точечной группой, а прообраз точечной группы является подгруппой Spin(3). (Обратите внимание, что Spin(3) имеет альтернативные описания как специальную унитарную группу SU(2) и группу единичных кватернионов . Топологически эта группа Ли представляет собой трехмерную сферу S3 . )
Прообраз конечной точечной группы называется бинарной группой многогранников , представленной как ⟨l,n,m⟩, и называется тем же именем, что и ее точечная группа, с префиксом бинарный , с двойным порядком соответствующей группы многогранников. (л, м, н). Например, прообразом группы икосаэдра (2,3,5) является бинарная группа икосаэдра , ⟨2,3,5⟩.
Бинарными многогранными группами являются:
Они классифицируются по классификации ADE , а фактор C 2 по действию бинарной группы полиэдра является особенностью Дюваля . [6]
Для групп точек, которые меняют ориентацию, ситуация более сложная, поскольку существует две группы контактов , поэтому существует две возможные двоичные группы, соответствующие данной группе точек.
Обратите внимание, что это покрытие групп, а не покрытие пространств — сфера односвязна и, следовательно, не имеет накрывающих пространств . Таким образом, не существует понятия «бинарный многогранник», охватывающего трехмерный многогранник. Бинарные многогранные группы являются дискретными подгруппами спиновой группы и при представлении спиновой группы действуют в векторном пространстве и могут стабилизировать многогранник в этом представлении - при отображении Spin (3) → SO (3) они действуют на тот же многогранник, на который действует основная (небинарная) группа, в то время как под представлениями спина или другими представлениями они могут стабилизировать другие многогранники.
В этом отличие от проективных многогранников : сфера покрывает проективное пространство (а также пространство линз ), и, таким образом, мозаика проективного пространства или пространства линз дает четкое представление о многограннике.
