Внешнее алгебраическое отображение, переводящее тензоры из p-форм в np-формы
В математике оператор звезды Ходжа или звезда Ходжа — это линейное отображение , определенное на внешней алгебре конечномерного ориентированного векторного пространства, наделенного невырожденной симметричной билинейной формой . Применение оператора к элементу алгебры дает двойственный элемент Ходжу. Эта карта была представлена WVD Hodge .
Например, в ориентированном трехмерном евклидовом пространстве ориентированная плоскость может быть представлена внешним произведением двух базисных векторов, а ее двойственный вектор Ходжа - это нормальный вектор, заданный их векторным произведением ; и наоборот, любой вектор двойственен перпендикулярной ему ориентированной плоскости, наделенной подходящим бивектором. Обобщая это на n -мерное векторное пространство, звезда Ходжа представляет собой взаимно однозначное отображение k -векторов в ( n – k ) -векторы; размерностями этих пространств являются биномиальные коэффициенты .![{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n}{nk}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Естественность звездного оператора означает, что он может играть роль в дифференциальной геометрии, когда применяется к кокасательному расслоению псевдориманова многообразия и, следовательно, к дифференциальным k -формам . Это позволяет определить кодифференциал как Ходж, сопряженный к внешней производной , что приводит к оператору Лапласа – де Рама . Это обобщает случай трехмерного евклидова пространства, в котором дивергенция векторного поля может быть реализована как кодифференциал, противоположный оператору градиента , а оператор Лапласа на функции - это дивергенция ее градиента. Важным применением является разложение Ходжа дифференциальных форм на замкнутом римановом многообразии.
Формальное определение k -векторов
Пусть V — n -мерное ориентированное векторное пространство с невырожденной симметричной билинейной формой , называемой здесь скалярным произведением. (В более общих контекстах, таких как псевдоримановы многообразия и пространство Минковского , билинейная форма может не быть положительной.) Это индуцирует скалярное произведение на k -векторах для , определяя его на разложимых k -векторах и равняясь определителю Грама [1] : 14
![{\textstyle \alpha,\beta \in \bigwedge ^{\!k}V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0\leq k\leq n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha =\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \beta =\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \langle \alpha,\beta \rangle =\det \left(\left\langle \alpha _{i},\beta _{j}\right\rangle _{i,j=1}^{k }\верно)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
расширено до линейности.![{\textstyle \bigwedge ^{\!k}V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Единичный n -вектор определяется в терминах ориентированного ортонормированного базиса V как :
![{\displaystyle \{e_{1},\ldots,e_{n}\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \omega:=e_{1}\wedge \cdots \wedge e_ {n}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(Примечание: в общем псевдоримановом случае ортонормальность означает для всех пар базисных векторов.) Звездный оператор Ходжа — это линейный оператор на внешней алгебре V , отображающий k -векторы в ( n – k )-векторы, для . Он обладает следующим свойством, которое полностью его определяет: [1] : 15 ![{\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle \in \{\delta _{ij},-\delta _{ij}\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0\leq k\leq n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
для всех k -векторов![{\displaystyle \alpha,\beta \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Двойственным образом в пространстве n -форм (чередующихся n -полилинейных функций по ) двойственной к является объемная форма , функция, значение которой на - определитель матрицы , собранной из вектор-столбцов в -координат . Применяя приведенное выше уравнение, мы получаем двойственное определение:![{\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}V^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \det }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \det }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
для всех k -векторов![{\displaystyle \alpha,\beta \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Эквивалентно, взяв , , и :![{\displaystyle \alpha =\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \beta =\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \star \beta =\beta _{1}^{\star }\wedge \cdots \wedge \beta _{nk}^{\star }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \det \left(\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k} \wedge \beta _{1}^{\star }\wedge \cdots \wedge \beta _{nk }^{\star }\right)\ =\ \det \left(\langle \alpha _{i},\beta _{j}\rangle \right).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это означает, что, записывая ортонормированный базис из k -векторов как и для всех подмножеств , двойственный Ходжу - это ( n – k )-вектор, соответствующий дополнительному множеству :![{\displaystyle e_{I}\ =\ e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I=\{i_{1}<\cdots <i_{k}\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [n]=\{1,\ldots,n\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\bar {I}}=[n]\setminus I=\left\{{\bar {i}}_{1}<\cdots <{\bar {i}}_{nk}\right \}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\star }e_{I}=s\cdot t\cdot e_ {\bar {I}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где – знак перестановки
, – произведение . В римановом случае .![{\displaystyle s\in \{1,-1\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i_{1}\cdots i_{k}{\bar {i}}_{1}\cdots {\bar {i}}_{nk}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle т\в \{1,-1\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \langle e_{i_{1}},e_{i_{1}} \rangle \cdots \langle e_{i_{k}},e_{i_{k}} \rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle т=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Поскольку звезда Ходжа переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис, это изометрия внешней алгебры .![{\textstyle \bigwedge V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Геометрическое объяснение
Звезда Ходжа мотивирована соответствием между подпространством W в V и его ортогональным подпространством (относительно скалярного произведения), где каждое пространство наделено ориентацией и числовым масштабным коэффициентом. В частности, ненулевой разложимый k -вектор соответствует вложению Плюкера подпространству с ориентированным базисом , наделенному масштабным коэффициентом, равным k -мерному объему параллелепипеда, натянутому на этот базис (равный Грамиану , определителю матрица внутренних продуктов ). Звезду Ходжа, действующую на разложимый вектор, можно записать как разложимый ( n − k )-вектор:![{\displaystyle w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\in \textstyle \bigwedge ^{\!k}V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle W}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle w_{1},\ldots,w_{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ langle w_ {i}, w_ {j} \ rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \star (w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k})\,=\,u_{1}\wedge \cdots \wedge u_{nk},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где образуют ориентированный базис ортогонального пространства . Более того, ( n − k )-объем -параллелепипеда должен равняться k -объему -параллелепипеда и должен образовывать ориентированный базис V .
![{\displaystyle U=W^{\perp }\!}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle u_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle w_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle w_{1},\ldots,w_{k},u_{1},\ldots,u_{nk}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Общий k -вектор представляет собой линейную комбинацию разложимых k -векторов, а определение звезды Ходжа распространяется на общие k -векторы, определяя ее как линейную.
Примеры
Два измерения
В двух измерениях с нормализованной евклидовой метрикой и ориентацией, заданной порядком ( x , y ) , звезда Ходжа на k -формах определяется выражением
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\,1&=dx\wedge dy\\{\star }\,dx&=dy\\{\star }\,dy&=-dx\\{\star } (dx\wedge dy)&=1.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
На комплексной плоскости, рассматриваемой как вещественное векторное пространство со стандартной полуторалинейной формой в качестве метрики, звезда Ходжа обладает замечательным свойством: она инвариантна относительно голоморфных изменений координат. Если z = x + iy — голоморфная функция от w = u + iv , то по уравнениям Коши–Римана имеем, что∂ х/∂ ты"="∂ у/∂ vи∂ у/∂ ты= −∂ х/∂ v. В новых координатах
![{\displaystyle \alpha \ =\ p\,dx+q\,dy\ =\ \left(p{\frac {\partial x}{\partial u}}+q{\frac {\partial y}{\ частичный u}}\right)\,du+\left(p{\frac {\partial x}{\partial v}}+q{\frac {\partial y}{\partial v}}\right)\,dv \ =\ p_{1}du+q_{1}\,dv,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\alpha &=-q_{1}\,du+p_{1}\,dv\\[4pt]&=-\left(p{\frac {\ частичный x}{\partial v}}+q{\frac {\partial y}{\partial v}}\right)du+\left(p{\frac {\partial x}{\partial u}}+q{ \frac {\partial y}{\partial u}}\right)dv\\[4pt]&=-q\left({\frac {\partial x}{\partial u}}du+{\frac {\partial x}{\partial v}}dv\right)+p\left({\frac {\partial y}{\partial u}}du+{\frac {\partial y}{\partial v}}dv\right) \\[4pt]&=-q\,dx+p\,dy,\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Три измерения
Типичным примером оператора звезды Ходжа является случай n = 3 , когда его можно рассматривать как соответствие между векторами и бивекторами. В частности, для евклидова R 3 с базисом одноформ, часто используемых в векторном исчислении , обнаруживается, что![{\displaystyle dx,dy,dz}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\,dx&=dy\wedge dz\\{\star }\,dy&=dz\wedge dx\\{\star }\,dz&=dx\wedge dy. \end{выровнено}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Звезда Ходжа связывает внешний вид и перекрестное произведение в трех измерениях: [2]
![{\displaystyle {\star }(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v}) = \mathbf {u} \times \mathbf {v} \qquad {\star }(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
междувекторамибивекторамиaA[2]![{\displaystyle \mathbf {A} = {\star }\mathbf {a}, \ \ \mathbf {a} = {\star }\mathbf {A} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Звезду Ходжа также можно интерпретировать как форму геометрического соответствия между осью вращения и бесконечно малым вращением (см. также: группа трехмерного вращения#Алгебра Лия ) вокруг оси со скоростью, равной длине оси вращения. Внутреннее произведение векторного пространства дает изоморфизм , отождествляющийся с двойственным ему пространством , а векторное пространство естественно изоморфно тензорному произведению . Таким образом , для звездное отображение переводит каждый вектор в бивектор , который соответствует линейному оператору . В частности, это кососимметричный оператор, который соответствует бесконечно малому вращению: то есть макроскопические вращения вокруг оси задаются матричной экспонентой . По отношению к базису тензор соответствует координатной матрице с 1 в строке, столбце и т. д., а клин — кососимметричной матрице и т. д. То есть мы можем интерпретировать оператор звезды как:
![{\displaystyle V\cong V^{*}\!}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V^{*}\!\!\otimes V\cong V\otimes V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \textstyle \star \ двоеточие V\to \bigwedge ^{\!2}\!V\subset V\otimes V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {v} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \star \mathbf {v} \in V\otimes V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle L _ {\ mathbf {v} } \ двоеточие от V \ до V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L_ {\mathbf {v} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \exp(tL_ {\mathbf {v}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle dx,dy,dz}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle dx\otimes dy}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle dx}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle dy}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle dx\wedge dy\, =\,dx\otimes dy-dy\otimes dx}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \scriptscriptstyle \left[{\begin{array}{rrr}\,0\!\!&\!\!1&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\ !\\[-.5em]\,\!-1\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\! \\[-.5em]\,0\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\end{array }}\!\!\!\верно]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {v} =a\,dx+b\,dy+c\,dz\quad \longrightarrow \quad \star {\mathbf {v}}\ \cong \ L_ {\mathbf {v}} \ =\left[{\begin{array}{rrr}0&-c&b\\c&0&-a\\-b&a&0\end{array}}\right].}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
скобке Ли![{\ displaystyle L_ {\ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} } = L _ {\ mathbf {u} } L _ {\ mathbf {v} } -L _ {\ mathbf {v} } L _ {\ mathbf {u } }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Четыре измерения
В случае звезда Ходжа действует как эндоморфизм второй внешней степени (т.е. отображает 2-формы в 2-формы, поскольку 4 − 2 = 2 ). Если сигнатура метрического тензора вся положительна, т. е. на римановом многообразии , то звезда Ходжа является инволюцией . Если сигнатура смешанная, т. е . псевдориманова , то двукратное применение оператора вернет аргумент до знака – см. § Двойственность ниже. Это особое свойство эндоморфизма 2-форм в четырех измерениях делает самодвойственные и антиавтодуальные две формы естественными геометрическими объектами для изучения. То есть можно описать пространство 2-форм в четырёх измерениях с базисом, который «диагонализирует» оператор звезды Ходжа собственными значениями (или , в зависимости от сигнатуры).![{\displaystyle n=4}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pm 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pm я}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Для конкретности мы обсудим звездный оператор Ходжа в пространстве-времени Минковского где с метрической сигнатурой (− + + +) и координатами . Форма тома ориентирована как . Для одной формы ,![{\displaystyle n=4}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (т, х, у, г)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon _{0123}=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\star dt&=-dx\wedge dy\wedge dz\,,\\\star dx&=-dt\wedge dy\wedge dz\,,\\\star dy&=dt\wedge dx\wedge dz\,,\\\star dz&=-dt\wedge dx\wedge dy\,,\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
2-форм![{\displaystyle {\begin{aligned}\star (dt\wedge dx)&=-dy\wedge dz\,,\\\star (dt\wedge dy)&=-dz\wedge dx\,,\\\ звезда (dt\wedge dz)&=-dx\wedge dy\,,\\\star (dx\wedge dz)&=dt\wedge dz\,,\\\star (dx\wedge dz)&=-dt \wedge dy\,,\\\star (dy\wedge dz)&=dt\wedge dx\,.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Они суммированы в индексных обозначениях как
![{\displaystyle {\begin{aligned}\star (dx^{\mu })&=\eta ^{\mu \lambda }\varepsilon _ {\lambda \nu \rho \sigma }{\frac {1} 3!}}dx^{\nu }\wedge dx^{\rho }\wedge dx^{\sigma }\,,\\\star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })& =\eta ^{\mu \kappa }\eta ^{\nu \lambda }\varepsilon _{\kappa \lambda \rho \sigma }{\frac {1}{2!}}dx^{\rho }\ клин dx^{\sigma }\,.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Дуальность Ходжа к трех- и четырехформам легко вывести из того факта, что в лоренцевой сигнатуре для форм нечетного ранга и для форм четного ранга. Простое правило, которое следует запомнить для этих операций Ходжа, состоит в том, что для заданной формы двойственная форма Ходжа может быть получена путем записи компонентов, не участвующих в, в таком порядке, что . [ необходима проверка ] Дополнительный знак минус будет введен только в том случае, если содержит . (Для (+ − − −) знак минус ставится только в том случае, если включает в себя нечетное число пространственно-ассоциированных форм и . )![{\displaystyle (\star)^{2}=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (\star)^{2}=-1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \альфа }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\star }\альфа }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \альфа }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha \wedge (\star \alpha) = dt\wedge dx\wedge dy\wedge dz}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \альфа }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle дт}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \альфа }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle dx}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle dy}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle дз}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обратите внимание, что комбинации
![{\displaystyle (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm }:= {\frac {1}{2}}{\big (}dx^{\mu }\wedge dx ^{\nu }\mp i\star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }){\big )}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pm я}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm } = \pm i(dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm },}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
математическойс физическойдвухспинорныйтвисторная теорияКонформная инвариантность
Звезда Ходжа конформно инвариантна относительно n форм в 2n-мерном векторном пространстве V, т.е. если – метрика на и , то индуцированные звезды Ходжа ![{\displaystyle г}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda >0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \star _{g},\star _{\lambda g}\двоеточие \Lambda ^{n}V\to \Lambda ^{n}V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Пример: Производные в трех измерениях
Комбинация оператора и внешней производной d порождает классические операторы grad , curl и div на векторных полях в трехмерном евклидовом пространстве. Это работает следующим образом: d переводит 0-форму (функцию) в 1-форму, 1-форму в 2-форму, 2-форму в 3-форму (и переводит 3-форму в 3-форму). нуль). Для 0-формы первый случай, записанный в компонентах, дает:
![{\ displaystyle f = f (x, y, z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}\,дз.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Внутренний продукт идентифицирует 1-формы с векторными полями как и т. д., так что становится .![{\displaystyle dx\mapsto (1,0,0)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle df}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \operatorname {grad} f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}, {\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f }{\partial z}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Во втором случае векторному полю соответствует 1-форма , имеющая внешнюю производную:![{\displaystyle \mathbf {F} =(A,B,C)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d\varphi =\left({\frac {\partial C}{\partial y}} - {\frac {\partial B}{\partial z}}\right)dy\wedge dz+\left({ \frac {\partial C}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial z}}\right)dx\wedge dz+\left({\partial B \over \partial x}-{ \frac {\partial A}{\partial y}}\right)dx\wedge dy.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Применение звезды Ходжа дает 1-форму:
![{\displaystyle \star d\varphi =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)\,dx-\left({\partial C \over \ частичный x}-{\partial A \over \partial z}\right)\,dy+\left({\partial B \over \partial x} - {\partial A \over \partial y}\right)\,dz ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \operatorname {curl} \mathbf {F} =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}},\,- {\frac {\partial C}{\partial x}}+{\frac {\partial A}{\partial z}},\,{\frac {\partial B}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В третьем случае снова соответствует . Применяем звезду Ходжа, внешнюю производную и еще раз звезду Ходжа:![{\displaystyle \mathbf {F} =(A,B,C)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\star \varphi &=A\,dy\wedge dz-B\,dx\wedge dz+C\,dx\wedge dy,\\d{\star \varphi }&= \left({\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}\right) dx\wedge dy\wedge dz,\\\star d{\star \varphi } &={\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}} +{\frac {\partial C}{\partial z}}=\operatorname {div} \mathbf {F} .\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Одним из преимуществ этого выражения является то, что тождество d 2 = 0 , которое верно во всех случаях, в качестве особых случаев имеет два других тождества: 1) curl grad f = 0 и 2) div cur F = 0 . В частности, уравнения Максвелла принимают особенно простую и элегантную форму, когда выражаются через внешнюю производную и звезду Ходжа. Выражение (умноженное на соответствующую степень -1) называется кодифференциалом ; он определен в полной общности, для любого измерения, далее в статье ниже.![{\displaystyle \star d\star}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Можно также получить лапласиан Δ f = div grad f с помощью вышеуказанных операций:
![{\displaystyle \Delta f=\star d{\star df}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Лапласиан также можно рассматривать как частный случай более общего оператора Лапласа – де Рама, где – кодифференциал для -форм. Любая функция является 0-формой, и поэтому она сводится к обычному лапласиану. Для 1-формы, приведенной выше, кодифференциал равен и после некоторых простых вычислений получается лапласиан, действующий на .![{\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \delta =(-1)^{k}\star d\star }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \delta f=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \delta =-\star d\star }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Двойственность
Двукратное применение звезды Ходжа оставляет k -вектор неизменным, за исключением, возможно, его знака: поскольку в n -мерном пространстве V имеем![{\displaystyle \eta \in {\textstyle \bigwedge }^{k}V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\star }{\star }\eta =(-1)^{k(nk)}s\eta,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где s — четность сигнатуры скалярного произведения на V , то есть знак определителя матрицы скалярного произведения по отношению к любому базису. Например, если n = 4 и сигнатура скалярного произведения равна (+ − − −) или (− + + +), то s = −1 . Для римановых многообразий (включая евклидовы пространства) всегда s = 1 .
Из приведенного выше тождества следует, что обратное значение может быть задано как![{\displaystyle \star }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\star }^{-1}:~{\textstyle \bigwedge }^{\!k}V&\to {\textstyle \bigwedge }^{\!nk}V\\ \eta &\mapsto (-1)^{k(nk)}\!s{\star }\eta \end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если n нечетно, то k ( n − k ) четно для любого k , тогда как если n четно, тогда k ( n − k ) имеет четность k . Поэтому:
![{\displaystyle {\star }^{-1}={\begin{cases}s{\star }&n{\text{нечетно}}\\(-1)^{k}s{\star }&n{ \text{ четно}}\end{cases}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где k — степень воздействующего элемента.
На коллекторах
Для n -мерного ориентированного псевдориманова многообразия M мы применяем приведенную выше конструкцию к каждому кокасательному пространству и его внешним степеням и, следовательно, к дифференциальным k -формам , глобальным сечениям расслоения . Риманова метрика индуцирует скалярное произведение в каждой точке . Мы определяем двойственную по Ходжу k - форму , определяя как единственную ( n – k )-форму, удовлетворяющую![{\displaystyle {\text{T}}_{p}^{*}M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}\!M\to M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \bigwedge ^{k}{\text{T}}_{p}^{*}M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \дзета }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\star }\zeta }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \eta \wedge {\star }\zeta \ =\ \langle \eta, \zeta \rangle \,\omega }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
kформа объемаинтегрируемым с квадратомскалярным произведением на k
-формах![{\displaystyle \эта }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ langle \ eta, \ zeta \ rangle}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ омега }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int _{M}\eta \wedge {\star }\zeta \ =\ \int _{M}\langle \eta, \zeta \rangle \ \omega.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В более общем смысле, если неориентируема, можно определить звезду Ходжа k -формы как ( n – k ) -псевдодифференциальную форму ; то есть дифференциальная форма со значениями в каноническом линейном расслоении .![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Вычисление в индексной записи
Мы вычисляем в терминах обозначения тензорного индекса относительно базиса (не обязательно ортонормированного) в касательном пространстве и его двойственного базиса в , имеющего метрическую матрицу и обратную матрицу . Двойственная по Ходжу разложимая k -форма:![{\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V=T_{p}M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{dx_{1},\ldots,dx_{n}\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V^{*}=T_{p}^{*}M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle (g_{ij})=\left(\left\langle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}, {\frac {\partial }{\partial x_{j}}} \right\rangle \right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (g^{ij})=(\langle dx^{i},dx^{j}\rangle)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \star \left(dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\right)\ =\ {\frac {\sqrt {\left|\det[g_ {ij}]\right|}}{(nk)!}}g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}\varepsilon _{j_{1} \dots j_{n}}dx^{j_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{j_{n}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Вот символ Леви-Чивита с , и мы неявно берем сумму по всем значениям повторяющихся индексов . Факториал учитывает двойной счет и отсутствует, если индексы суммирования ограничены так, что . Абсолютное значение определителя необходимо, поскольку оно может быть отрицательным, как и в касательных пространствах к лоренцевым многообразиям .![{\displaystyle \varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon _{1\dots n}=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle j_{1},\ldots,j_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (нк)!}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle j_{k+1}<\dots <j_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Произвольную дифференциальную форму можно записать следующим образом:
![{\displaystyle \alpha \ =\ {\frac {1}{k!}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\ =\ \sum _{i_{1}<\dots <i_{k}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{ 1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Факториал снова включается для учета двойного счета, когда мы допускаем невозрастающие индексы. Мы хотели бы определить двойственную компоненту так, чтобы двойственная по Ходжу форма имела вид![{\ displaystyle k!}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha _{i_{1},\dots,i_{k}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \star \alpha = {\frac {1}{(nk)!}}(\star \alpha)_{i_{k+1},\dots,i_{n}}dx^{i_{k +1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{n}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Используя приведенное выше выражение для двойственного к Ходжу , находим: [3]![{\displaystyle dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (\star \alpha)_{i_{k+1},\dots,i_{n}}={\frac {\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}} {k!}}\alpha ^{i_{1},\dots ,i_{k}}\,\,\varepsilon _{i_{1},\dots ,i_{n}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Хотя это выражение можно применить к любому тензору , результат будет антисимметричным, поскольку сжатие с полностью антисимметричным символом Леви-Чивита отменяет все, кроме полностью антисимметричной части тензора. Таким образом, это эквивалентно антисимметризации с последующим применением звезды Ходжа.![{\displaystyle \альфа }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Форма единичного объема определяется следующим образом:![{\textstyle \omega =\star 1\in \bigwedge ^{n}V^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \omega = {\sqrt {\left|\det[g_{ij}]\right|}}\;dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Кодифференциал
Наиболее важным применением звезды Ходжа на многообразиях является определение кодифференциала на k -формах . Позволять![{\displaystyle \delta }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \delta =(-1)^{n(k-1)+1}s\ {\star }d{\star } = (-1)^{k}\, {\star }^{- 1}д{\звезда }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
внешняя производная![{\displaystyle d}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d:\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \delta:\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k-1}(M).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Кодифференциал не является антидифференциалом внешней алгебры, в отличие от внешней производной.
Кодифференциал является сопряженным к внешней производной относительно интегрируемого с квадратом внутреннего продукта:
![{\ displaystyle \ langle \! \ langle \ eta, \ delta \ zeta \ rangle \! \ rangle \ = \ \ langle \! \ langle d \ eta, \ zeta \ rangle \! \ rangle,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
( k + 1)-![{\displaystyle \дзета }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \эта }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0\ =\ \int _{M}d(\eta \wedge {\star }\zeta)\ =\ \int _{M}\left(d\eta \wedge {\star }\zeta - \eta \wedge {\star }(-1)^{k+1}\,{\star }^{-1}d{\star }\zeta \right)\ =\ \langle \!\langle d\ эта ,\zeta \rangle \!\rangle -\langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Mтопологического векторного пространствапространство Соболева![{\displaystyle \эта }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \star \zeta }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \zeta _{i}\to \zeta }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle i \ to \ infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ langle \! \ langle \ eta, \ delta \ zeta _ {i} \ rangle \! \ rangle \ to \ langle \! \ langle \ eta, \ delta \ zeta \ rangle \! \ rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \эта }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Поскольку дифференциал удовлетворяет условию , кодифференциал обладает соответствующим свойством![{\displaystyle d^{2}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \delta ^{2}=s^{2}{\star }d{\star }{\star }d{\star }=(-1)^{k(nk)}s^{3} {\star }d^{2}{\star }=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Оператор Лапласа – деРема имеет вид
![{\displaystyle \Delta =(\delta +d)^{2}=\delta d+d\delta }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
теории Ходжа![{\displaystyle \langle \!\langle \Delta \zeta, \eta \rangle \!\rangle =\langle \!\langle \zeta, \Delta \eta \rangle \!\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \langle \!\langle \Delta \eta, \eta \rangle \!\rangle \geq 0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Звезда Ходжа посылает гармонические формы в гармонические формы. Как следствие теории Ходжа , когомологии де Рама естественно изоморфны пространству гармонических k -форм, и поэтому звезда Ходжа индуцирует изоморфизм групп когомологий.
![{\displaystyle {\star }:H_{\Delta }^{k}(M)\to H_{\Delta }^{nk}(M),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
что ,двойственность Пуанкаре( M ) сдвойственным пространствомВ координатах с указанными выше обозначениями кодифференциал формы можно записать как![{\displaystyle \альфа }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \delta \alpha =\ -{\frac {1}{k!}}g^{ml} \left({\frac {\partial }{\partial x_{l}}}\alpha _{m ,i_{1},\dots ,i_{k-1}}-\Gamma _{ml}^{j}\alpha _{j,i_{1},\dots ,i_{k-1}}\right )dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k-1}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Кристоффеля![{\displaystyle \Gamma _{ml}^{j}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Лемма Пуанкаре для кодифференциала
По аналогии с леммой Пуанкаре для внешней производной можно определить ее версию для кодифференциала, которая гласит [4]
Если для , где – звездная область на многообразии, то существует такое, что .
![{\displaystyle \omega =\delta \alpha }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Практический способ поиска — использовать когомотопический оператор , который является локальным обратным оператором . Необходимо определить гомотопический оператор [4]![{\displaystyle \альфа }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ч}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \delta }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где – линейная гомотопия между его центром и точкой , а вектор (Эйлера) для вставлен в форму . Тогда мы можем определить когомотопический оператор как [4]![{\displaystyle F(t,x)=x_{0}+t(x-x_{0})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x_{0}\in U}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\in U}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {K}}=\sum _{i=1}^{n}(xx_{0})^{i}\partial _{x^{i}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle n = \ dim (U)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \beta \in \Lambda ^{*}(U)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
,
где для .![{\displaystyle \eta \beta =(-1)^{k}\beta }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \beta \in \Lambda ^{k}(U)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Когомотопический оператор удовлетворяет формуле (ко)гомотопической инвариантности [4]
,
где и – откат по постоянному отображению .![{\displaystyle S_{x_{0}}=\star ^{-1}s_{x_{0}}^{*}\star }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s_{x_{0}}^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s_{x_{0}}:x\rightarrow x_{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Следовательно, если мы хотим решить уравнение , применяя формулу когомотопической инвариантности, мы получим![{\displaystyle \дельта \омега =0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где – искомая дифференциальная форма, а «константа интегрирования» исчезает, если она не является верхней формой.![{\displaystyle h\omega \in \Lambda ^{k+1}(U)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S_{x_{0}}\омега }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ омега }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Оператор когомотопии обладает следующими свойствами: [4] . Они позволяют использовать его для определения [4] антикоточных форм на , которые вместе с точными формами образуют разложение в прямую сумму [4]
![{\displaystyle U}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
Эта прямая сумма — еще один способ сказать, что формула когомотопической инвариантности представляет собой разложение единицы, а операторы проектирования слагаемых удовлетворяют формулам идемпотентности : [4] .![{\displaystyle (h\delta)^{2}=h\delta,\quad (\delta h)^{2}=\delta h}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Эти результаты являются расширением аналогичных результатов для внешней производной. [5]
Цитаты
- ^ ab Харли Фландерс (1963) Дифференциальные формы с применением к физическим наукам , Academic Press
- ^ аб Пертти Лунесто (2001). «§3.6 Двойник Ходжа». Алгебры и спиноры Клиффорда, том 286 серии лекций Лондонского математического общества(2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 39. ИСБН 0-521-00551-5.
- ^ Франкель, Т. (2012). Геометрия физики (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-60260-1.
- ^ abcdefgh Кыся, Радослав Антоний (29 июля 2022 г.). «Лемма Пуанкаре для кодифференциальных, антикоточных форм и приложений к физике». Результаты по математике . 77 (5): 182. arXiv : 2009.08542 . doi : 10.1007/s00025-022-01646-z. ISSN 1420-9012. S2CID 221802588.
- ^ Эделен, Доминик ГБ (2005). Прикладное внешнее исчисление (пересмотренная ред.). Минеола, ISBN штата Нью-Йорк 978-0-486-43871-9. OCLC 56347718.
{{cite book}}
: CS1 maint: location missing publisher (link)
Рекомендации