Групповая схема действий

В алгебраической геометрии действие групповой схемы является обобщением группового действия на групповую схему . Точнее, если задана групповая S -схема G , левое действие G на S -схеме X является S -морфизмом

${\displaystyle \sigma :G\times _{S}X\to X}$

такой что

• (ассоциативность) , где групповой закон, ${\displaystyle \sigma \circ (1_{G}\times \sigma )=\sigma \circ (m\times 1_{X})}$ ${\displaystyle m:G\times _{S}G\to G}$
• (единичность) , где — единичная секция G. ${\displaystyle \sigma \circ (e\times 1_{X})=1_{X}}$ ${\displaystyle e:S\to G}$

Аналогично определяется правое действие G на X. Схема , снабженная левым или правым действием групповой схемы G, называется G -схемой . Эквивариантный морфизм между G -схемами — это морфизм схем , который переплетает соответствующие G -действия.

В более общем смысле можно также рассмотреть (по крайней мере, некоторый частный случай) действие группового функтора : рассматривая G как функтор, действие задается как естественное преобразование, удовлетворяющее условиям, аналогичным приведенным выше. ^[1] В качестве альтернативы некоторые авторы изучают групповое действие на языке группоида ; тогда действие групповой схемы является примером схемы группоида .

Конструкции

Обычные конструкции для группового действия , такие как орбиты, обобщаются до группово-схемного действия. Пусть будет заданным группово-схемным действием, как указано выше. ${\displaystyle \sigma }$

• При наличии точки со значением T карта орбиты задается как . ${\displaystyle x:T\to X}$ ${\displaystyle \sigma _{x}:G\times _{S}T\to X\times _{S}T}$ ${\displaystyle (\sigma \circ (1_{G}\times x),p_{2})}$
• Орбита x является изображением карты орбит . ${\displaystyle \sigma _{x}}$
• Стабилизатор x — это волокно карты​​ ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle (x,1_{T}):T\to X\times _{S}T.}$

Задача построения частного

В отличие от теоретико-множественного группового действия, не существует простого способа построить фактор для группового схемного действия. Исключением является случай, когда действие свободно, случай главного расслоения волокон .

Существует несколько подходов к преодолению этой трудности:

• Уровневая структура — возможно, самый старый подход, который заменяет классифицируемый объект на объект вместе с уровневой структурой.
• Геометрическая инвариантная теория — отбрасываем плохие орбиты и затем берем фактор. Недостаток в том, что нет канонического способа ввести понятие «плохих орбит»; понятие зависит от выбора линеаризации . См. также: категориальное факторное , факторное GIT .
• Конструкция Бореля — это подход, по сути, из алгебраической топологии; этот подход требует работы с бесконечномерным пространством .
• Аналитический подход, теория пространства Тейхмюллера
• Стек фактора - в некотором смысле, это окончательный ответ на проблему. Грубо говоря, "предстек фактора" - это категория орбит и одна его stackify (т.е. введение понятия торсора) для получения стека фактора.

В зависимости от приложений, другой подход будет заключаться в смещении фокуса с пространства на вещи в пространстве; например, topos . Таким образом, проблема смещается с классификации орбит на классификацию эквивариантных объектов.

Смотрите также

• группоидная схема
• Теорема Сумихиро
• эквивариантный пучок
• Теорема Бореля о неподвижной точке

Ссылки

1. В деталях, заданное действие групповой схемы для каждого морфизма определяет групповое действие ; т. е. группа действует на множестве T -точек . Обратно, если для каждого существует групповое действие и если эти действия совместимы; т. е. они образуют естественное преобразование , то, по лемме Йонеды , они определяют групповое действие схемы . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle T\to S}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle G(T)\times X(T)\to X(T)}$ ${\displaystyle G(T)}$ ${\displaystyle X(T)}$ ${\displaystyle T\to S}$ ${\displaystyle \sigma _{T}:G(T)\times X(T)\to X(T)}$ ${\displaystyle \sigma :G\times _{S}X\to X}$

• Мамфорд, Дэвид ; Фогарти, Дж.; Кирван, Ф. (1994). Геометрическая теория инвариантов . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Результаты по математике и смежным областям (2)]. Том. 34 (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-56963-3. МР  1304906.