Триномиальное дерево

Модель, используемая в финансовой математике

Триномиальное дерево — это вычислительная модель на основе решетки, используемая в финансовой математике для оценки опционов . Она была разработана Фелимом Бойлом в 1986 году. Она является расширением биномиальной модели оценки опционов и концептуально похожа. Можно также показать, что этот подход эквивалентен явному методу конечных разностей для оценки опционов . ^[1] Для деривативов с фиксированным доходом и процентной ставкой см. Модель решетки (финансы)#Производные процентной ставки .

Формула

В рамках триномиального метода базовая цена акций моделируется как рекомбинирующее дерево, где в каждом узле цена имеет три возможных пути: вверх, вниз и стабильный или средний путь. ^[2] Эти значения находятся путем умножения значения в текущем узле на соответствующий коэффициент , или где ${\displaystyle u\,}$ ${\displaystyle d\,}$ ${\displaystyle m\,}$

${\displaystyle u=e^{\sigma {\sqrt {2\Delta t}}}}$

${\displaystyle d=e^{-\sigma {\sqrt {2\Delta t}}}={\frac {1}{u}}\,}$(структура рекомбинирует)

${\displaystyle m=1\,}$

и соответствующие вероятности:

${\displaystyle p_{u}=\left({\frac {e^{(r-q)\Delta t/2}-e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}}{e^{\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}-e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}}}\right)^{2}\,}$

${\displaystyle p_{d}=\left({\frac {e^{\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}-e^{(r-q)\Delta t/2}}{e^{\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}-e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}}}\right)^{2}\,}$

${\displaystyle p_{m}=1-(p_{u}+p_{d})\,}$.

В приведенных выше формулах: — это продолжительность времени на шаг в дереве, и это просто время до погашения, деленное на количество временных шагов; — это безрисковая процентная ставка по этому сроку погашения; — это соответствующая волатильность базового актива ; — это его соответствующая дивидендная доходность . ^[3] ${\displaystyle \Delta t\,}$ ${\displaystyle r\,}$ ${\displaystyle \sigma \,}$ ${\displaystyle q\,}$

Как и в случае с биномиальной моделью, эти факторы и вероятности указываются таким образом, чтобы гарантировать, что цена базового актива развивается как мартингал , в то время как моменты – с учетом расстояния между узлами и вероятностей – соответствуют моментам логнормального распределения ^[4] (и с возрастающей точностью для меньших временных шагов). Обратите внимание, что для , , и для того, чтобы находиться в интервале, должно быть выполнено следующее условие . ${\displaystyle p_{u}}$ ${\displaystyle p_{d}}$ ${\displaystyle p_{m}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t<2{\frac {\sigma ^{2}}{(r-q)^{2}}}}$

После того, как дерево цен было рассчитано, цена опциона находится в каждом узле в значительной степени так же, как и для биномиальной модели , путем работы в обратном направлении от конечных узлов к текущему узлу ( ). Разница в том, что стоимость опциона в каждом не конечном узле определяется на основе трех — а не двух  — более поздних узлов и их соответствующих вероятностей. ^[5] ${\displaystyle t_{0}}$

Если длина временных шагов рассматривается как экспоненциально распределенная случайная величина и интерпретируется как время ожидания между двумя движениями цены акций, то результирующий стохастический процесс является процессом рождения-смерти . Результирующая модель разрешима, и существуют аналитические формулы ценообразования и хеджирования для различных опционов. ${\displaystyle \Delta t}$

Приложение

Считается ^[6], что триномиальная модель дает более точные результаты, чем биномиальная модель, когда моделируется меньше временных шагов, и поэтому используется, когда скорость вычислений или ресурсы могут быть проблемой. Для ванильных опционов , по мере увеличения количества шагов, результаты быстро сходятся, и биномиальная модель затем становится предпочтительнее из-за ее более простой реализации. Для экзотических опционов триномиальная модель (или адаптации) иногда более стабильна и точна, независимо от размера шага.

Смотрите также

• Биномиальная модель ценообразования опционов
• Оценка опционов
• Вариант: Реализация модели
• Модель Корна–Креера–Ленсена
• Подразумеваемое триномиальное дерево

Ссылки

1. Марк Рубинштейн
2. Триномиальное дерево, геометрическое броуновское движение Архивировано 21 июля 2011 г. на Wayback Machine
3. Джон Халл представляет альтернативные формулы; см.: Халл, Джон К. (2002). Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты (5-е изд.). Prentice Hall . ISBN 978-0-13-009056-0..
4. Варианты ценообразования с использованием триномиальных деревьев
5. Биномиальные и триномиальные деревья против приближений Бьерксунда и Стенсланда для оценки американских опционов
6. Онлайн-калькуляторы ценообразования и вероятности опционов

Внешние ссылки

• Фелим Бойл , 1986. «Оценка опционов с использованием трехшагового процесса», International Options Journal 3, 7–12.
• Рубинштейн, М. (2000). «О связи между биномиальными и триномиальными моделями ценообразования опционов». Journal of Derivatives . 8 (2): 47–50. CiteSeerX  10.1.1.43.5394 . doi :10.3905/jod.2000.319149. Архивировано из оригинала 22 июня 2007 г.
• Пол Клиффорд и др. 2010. Варианты ценообразования с использованием триномиальных деревьев, Университет Уорика
• Теро Хаахтела, 2010. «Рекомбинация триномиального дерева для оценки реальных опционов с изменяющейся волатильностью», Университет Аалто , серия рабочих докладов.
• Ральф Корн, Маркус Креер и Марк Ленссен, 1998. «Ценообразование европейских опционов, когда базовая цена акций следует линейному процессу рождения-смерти», Стохастические модели, том 14(3), стр. 647–662
• Питер Хоадли. Калькулятор опционов триномиального дерева (визуализация дерева)