Дзета-функция Гурвица

Специальная функция в математике

В математике дзета -функция Гурвица является одной из многих дзета-функций . Формально он определяется для комплексных переменных s с Re( s ) > 1 и a ≠ 0, −1, −2, … формулой

${\displaystyle \zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}.}$

Этот ряд абсолютно сходится при заданных значениях s и a и может быть продолжен до мероморфной функции , определенной для всех s ≠ 1 . Дзета -функция Римана равна ζ( s ,1) . Дзета-функция Гурвица названа в честь Адольфа Гурвица , который представил ее в 1882 году. ^[1]

Дзета-функция Гурвица, соответствующая a = 1/3 . Он генерируется как график Matplotlib с использованием версии метода раскраски домена . ^[2]

Дзета-функция Гурвица, соответствующая a = 24/25 .

Дзета-функция Гурвица как функция a с s = 3 + 4 i .

Интегральное представление

Дзета-функция Гурвица имеет интегральное представление

${\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-ax}}{1-e^{-x}}}dx}$

для и (Этот интеграл можно рассматривать как преобразование Меллина .) Формулу можно получить, грубо говоря, записав ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (a)>0.}$

${\displaystyle \zeta (s,a)\Gamma (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-x}{\frac {dx}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }y^{s}e^{-(n+a)y}{\frac {dy}{y}}}$

а затем поменять местами сумму и интеграл. ^[3]

Интегральное представление, приведенное выше, можно преобразовать в контурное интегральное представление.

${\displaystyle \zeta (s,a)=-\Gamma (1-s){\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {(-z)^{s-1}e^{-az}}{1-e^{-z}}}dz}$

где — контур Ганкеля против часовой стрелки вокруг положительной действительной оси, а главная ветвь используется для комплексного возведения в степень . В отличие от предыдущего интеграла, этот интеграл действителен для всех s и действительно является целой функцией s . ^[4] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (-z)^{s-1}}$

Контурное интегральное представление обеспечивает аналитическое продолжение для всех . При имеет простой полюс с вычетом . ^[5] ${\displaystyle \zeta (s,a)}$ ${\displaystyle s\neq 1}$ ${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle 1}$

Формула Гурвица

Дзета-функция Гурвица удовлетворяет тождеству, которое обобщает функциональное уравнение дзета-функции Римана : ^[6]

${\displaystyle \zeta (1-s,a)={\frac {\Gamma (s)}{(2\pi )^{s}}}\left(e^{-\pi is/2}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{2\pi ina}}{n^{s}}}+e^{\pi is/2}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{-2\pi ina}}{n^{s}}}\right),}$

справедливо для Re( s ) > 1 и 0 < a ≤ 1. Дзета-функциональное уравнение Римана представляет собой частный случай a = 1: ^[7]

${\displaystyle \zeta (1-s)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi )^{s}}}\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\zeta (s)}$

Формулу Гурвица можно также выразить как ^[8]

${\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {2\Gamma (1-s)}{(2\pi )^{1-s}}}\left(\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(2\pi na)}{n^{1-s}}}+\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi na)}{n^{1-s}}}\right)}$

(для Re( s ) < 0 и 0 < a ≤ 1).

Формула Гурвица имеет множество различных доказательств. ^[9] Одно доказательство использует представление контурного интегрирования вместе с теоремой о вычетах . ^{[6] [8]} Второе доказательство использует тождество тэта-функции или, что то же самое, суммирование Пуассона . ^[10] Эти доказательства аналогичны двум доказательствам функционального уравнения для дзета-функции Римана в статье Римана 1859 года . Другое доказательство формулы Гурвица использует суммирование Эйлера – Маклорена для выражения дзета-функции Гурвица в виде интеграла.

${\displaystyle \zeta (s,a)=s\int _{-a}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor -x+{\frac {1}{2}}}{(x+a)^{s+1}}}dx}$

(−1 < Re( s ) < 0 и 0 < a ≤ 1), а затем разложив числитель в ряд Фурье . ^[11]

Функциональное уравнение для рационального a

Когда a является рациональным числом, формула Гурвица приводит к следующему функциональному уравнению : Для целых чисел ${\displaystyle 1\leq m\leq n}$

${\displaystyle \zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\left[\cos \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)\right]}$

справедливо для всех значений s . ^[12]

Это функциональное уравнение можно записать в другой эквивалентной форме:

${\displaystyle \zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\left[e^{\frac {\pi is}{2}}e^{-{\frac {2\pi ikm}{n}}}\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)+e^{-{\frac {\pi is}{2}}}e^{\frac {2\pi ikm}{n}}\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)\right]}$.

Некоторые конечные суммы

Тесно связаны с функциональным уравнением следующие конечные суммы, некоторые из которых можно вычислить в замкнутой форме:

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\zeta \left(s,{\frac {r}{m}}\right)\cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}={\frac {m\Gamma (1-s)}{(2\pi m)^{1-s}}}\sin {\frac {\pi s}{2}}\cdot \left\{\zeta \left(1-s,{\frac {k}{m}}\right)+\zeta \left(1-s,1-{\frac {k}{m}}\right)\right\}-\zeta (s)}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\zeta \left(s,{\frac {r}{m}}\right)\sin {\dfrac {2\pi rk}{m}}={\frac {m\Gamma (1-s)}{(2\pi m)^{1-s}}}\cos {\frac {\pi s}{2}}\cdot \left\{\zeta \left(1-s,{\frac {k}{m}}\right)-\zeta \left(1-s,1-{\frac {k}{m}}\right)\right\}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\zeta ^{2}\left(s,{\frac {r}{m}}\right)={\big (}m^{2s-1}-1{\big )}\zeta ^{2}(s)+{\frac {2m\Gamma ^{2}(1-s)}{(2\pi m)^{2-2s}}}\sum _{l=1}^{m-1}\left\{\zeta \left(1-s,{\frac {l}{m}}\right)-\cos \pi s\cdot \zeta \left(1-s,1-{\frac {l}{m}}\right)\right\}\zeta \left(1-s,{\frac {l}{m}}\right)}$

где m — целое положительное число, большее 2, а s — комплексное число, см., например, Приложение B в ^[13]

Представление серии

Представление сходящегося ряда Ньютона , определенное для (вещественного) a > 0 и любого комплекса s ≠ 1, было дано Гельмутом Хассе в 1930 году: ^[14]

${\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(a+k)^{1-s}.}$

Этот ряд сходится равномерно на компактных подмножествах s - плоскости к целой функции . Внутреннюю сумму можно понимать как n -ю прямую разность ; то есть, ${\displaystyle a^{1-s}}$

${\displaystyle \Delta ^{n}a^{1-s}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(a+k)^{1-s}}$

где ∆ — оператор прямой разности . Таким образом, можно написать:

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s,a)&={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\Delta ^{n}a^{1-s}\\&={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }a^{1-s}\end{aligned}}}$

Серия Тейлора

Частная производная дзета во втором аргументе представляет собой сдвиг :

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}\zeta (s,a)=-s\zeta (s+1,a).}$

Таким образом, ряд Тейлора можно записать как:

${\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).}$

Альтернативно,

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{q^{s}}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-q)^{n}{s+n-1 \choose n}\zeta (s+n),}$

с . ^[15] ${\displaystyle |q|<1}$

Тесно связана формула Штарка – Кейпера :

${\displaystyle \zeta (s,N)=\sum _{k=0}^{\infty }\left[N+{\frac {s-1}{k+1}}\right]{s+k-1 \choose s-1}(-1)^{k}\zeta (s+k,N)}$

что справедливо для целого N и произвольного s . См. также формулу Фаульхабера для аналогичного соотношения для конечных сумм степеней целых чисел.

Лоран серии

Разложение в ряд Лорана можно использовать для определения обобщенных констант Стилтьеса , входящих в ряд

${\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(a)(s-1)^{n}.}$

В частности, постоянный член определяется выражением

${\displaystyle \lim _{s\to 1}\left[\zeta (s,a)-{\frac {1}{s-1}}\right]={\frac {-\Gamma '(a)}{\Gamma (a)}}=-\psi (a)}$

где – гамма-функция и – дигамма-функция . В частном случае . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \psi =\Gamma '/\Gamma }$ ${\displaystyle \gamma _{0}(1)=-\psi (1)=\gamma _{0}=\gamma }$

Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье дзета-функции Гурвица относительно порядка s представляет собой хи-функцию Лежандра . ^[16]

Особые ценности

Отрицательные целые числа

Значения ζ ( s , a ) при s = 0, −1, −2, ... связаны с полиномами Бернулли : ^[17]

${\displaystyle \zeta (-n,a)=-{\frac {B_{n+1}(a)}{n+1}}.}$

Например, случай дает ^[18] ${\displaystyle n=0}$

${\displaystyle \zeta (0,a)={\frac {1}{2}}-a.}$

s -производная

Частная производная по s при s = 0 связана с гамма-функцией:

${\displaystyle \left.{\frac {\partial }{\partial s}}\zeta (s,a)\right|_{s=0}=\log \Gamma (a)-{\frac {1}{2}}\log(2\pi )}$

В частности, формула принадлежит Лерху . ^{[19] [20]} ${\textstyle \zeta '(0)=-{\frac {1}{2}}\log(2\pi ).}$

Связь с тета-функцией Якоби

Если – тэта-функция Якоби , то ${\displaystyle \vartheta (z,\tau )}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]}$

справедливо для и z комплексного, но не целого числа. Для z = n целого числа это упрощается до ${\displaystyle \Re s>0}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s).}$

где ζ здесь – дзета-функция Римана . Обратите внимание, что эта последняя форма представляет собой функциональное уравнение для дзета-функции Римана, первоначально заданное Риманом. Различие, основанное на том, что z является целым числом или нет, объясняет тот факт, что тета-функция Якоби сходится к периодической дельта-функции или гребенке Дирака по z как . ${\displaystyle t\rightarrow 0}$

Связь с L -функциями Дирихле.

При рациональных аргументах дзета-функция Гурвица может быть выражена как линейная комбинация L-функций Дирихле и наоборот: дзета-функция Гурвица совпадает с дзета-функцией Римана ζ( s ) при a  = 1, при a  = 1/2 она равна к (2 ^s −1)ζ( s ), ^[21] и если a  =  n / k с k  > 2, ( n , k ) > 1 и 0 <  n  <  k , то ^[22]

${\displaystyle \zeta (s,n/k)={\frac {k^{s}}{\varphi (k)}}\sum _{\chi }{\overline {\chi }}(n)L(s,\chi ),}$

сумма, пробегающая все символы Дирихле по модулю k . В противоположном направлении имеем линейную комбинацию ^[21]

${\displaystyle L(s,\chi )={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{n=1}^{k}\chi (n)\;\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right).}$

Еще есть теорема умножения

${\displaystyle k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right),}$

полезным обобщением которого является соотношение распределения ^[23]

${\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa).}$

(Эта последняя форма действительна, когда q — натуральное число, а 1 −  qa — нет.)

Нули

Если a = 1, дзета-функция Гурвица сводится к самой дзета-функции Римана ; если a = 1/2, оно сводится к дзета-функции Римана, умноженной на простую функцию комплексного аргумента s ( см. выше ), что в каждом случае приводит к сложному изучению нулей дзета-функции Римана. В частности, не будет нулей с вещественной частью, большей или равной 1. Однако если 0< a <1 и a ≠1/2, то нули дзета-функции Гурвица в полосе 1<Re( s ) есть. <1+ε для любого положительного действительного числа ε. Это было доказано Давенпортом и Хейльбронном для рационального или трансцендентно -иррационального a , ^[24] и Касселсом для алгебраического иррационального a . ^{[21] [25]}

Рациональные ценности

Дзета-функция Гурвица встречается в ряде ярких тождеств при рациональных значениях. ^[26] В частности, значения в терминах полиномов Эйлера : ${\displaystyle E_{n}(x)}$

${\displaystyle E_{2n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\cos {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}}$

и

${\displaystyle E_{2n}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n)!}{(2\pi q)^{2n+1}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\sin {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}}$

У одного также есть

${\displaystyle \zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{s-1}\sum _{k=1}^{q}\left[C_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\cos \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)+S_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\sin \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)\right]}$

что справедливо для . Здесь и определяются с помощью функции Лежандра хи как ${\displaystyle 1\leq p\leq q}$ ${\displaystyle C_{\nu }(x)}$ ${\displaystyle S_{\nu }(x)}$ ${\displaystyle \chi _{\nu }}$

${\displaystyle C_{\nu }(x)=\operatorname {Re} \,\chi _{\nu }(e^{ix})}$

и

${\displaystyle S_{\nu }(x)=\operatorname {Im} \,\chi _{\nu }(e^{ix}).}$

Для целых значений ν они могут быть выражены через полиномы Эйлера. Эти соотношения можно получить, используя функциональное уравнение вместе с формулой Гурвица, приведенной выше.

Приложения

Дзета-функция Гурвица встречается в различных дисциплинах. Чаще всего это происходит в теории чисел , где ее теория является наиболее глубокой и развитой. Однако это также происходит при изучении фракталов и динамических систем . В прикладной статистике это встречается в законе Ципфа и законе Ципфа-Мандельброта . В физике элементарных частиц это встречается в формуле Джулиана Швингера ^[27] , дающей точный результат для скорости образования пар электрона Дирака в однородном электрическом поле.

Особые случаи и обобщения

Дзета-функция Гурвица с целым положительным числом m связана с полигамма-функцией :

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)\ .}$

Дзета-функция Барнса обобщает дзета-функцию Гурвица.

Трансцендент Лерха обобщает дзету Гурвица:

${\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}$

и поэтому

${\displaystyle \zeta (s,a)=\Phi (1,s,a).\,}$

Гипергеометрическая функция

${\displaystyle \zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)}$где ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a{\text{ and }}a\notin \mathbb {N} {\text{ and }}s\in \mathbb {N} ^{+}.}$

G-функция Мейера

${\displaystyle \zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad \qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.}$

Примечания

1. Гурвиц, Адольф (1882). "Einige Eigenschaften der Dirichlet'schen Functionen F ( s ) знак равно ∑ ( D n ) ⋅ 1 п {\ textstyle F (s) = \ sum \ left ({\ frac {D}{n}} \ right) \ cdot { \frac {1}{n}}} , die bei der Bestimmung der Classenanzahlen binärer Quadratischer Formen auftreten". Zeitschrift für Mathematik und Physik (на немецком языке). 27 : 86–101.
2. "Программа просмотра блокнотов Jupyter" .
3. Апостол 1976, с. 251, Теорема 12.2.
4. Уиттакер и Уотсон 1927, с. 266, статья 13.13
5. Апостол 1976, с. 255, Теорема 12.4.
6. Апостол 1976, с. 257, Теорема 12.6.
7. Апостол 1976, с. 259, Теорема 12.7.
8. Whittaker & Watson 1927, стр. 268–269, раздел 13.15.
9. См. ссылки в разделе 4: Канемицу, С.; Танигава, Ю.; Цукада, Х.; Ёсимото, М. (2007). «Вклад в теорию дзета-функции Гурвица». Журнал Харди-Рамануджана . 30 :31–55. дои : 10.46298/hrj.2007.159 . Збл  1157.11036.
10. Файн, Нью-Джерси (июнь 1951 г.). «Заметка о дзета-функции Гурвица». Труды Американского математического общества . 2 (3): 361–364. дои : 10.2307/2031757 . JSTOR  2031757. Збл  0043.07802.
11. Берндт, Брюс К. (зима 1972 г.). «О дзета-функции Гурвица». Математический журнал Роки Маунтин . 2 (1): 151–158. дои : 10.1216/RMJ-1972-2-1-151 . Збл  0229.10023.
12. Апостол 1976, с. 261, Теорема 12.8.
13. Благоушин, IV (2014). «Теорема для оценки в замкнутой форме первой обобщенной константы Стилтьеса при рациональных аргументах и ​​некоторые связанные с ней суммирования». Журнал теории чисел . Эльзевир. 148 : 537–592. arXiv : 1401.3724 . дои : 10.1016/j.jnt.2014.08.009.
14. Хассе, Гельмут (1930), "Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe", Mathematische Zeitschrift , 32 (1): 458–464, doi : 10.1007/BF01194645, JFM  56.0894.03, S2CID  120392534
15. Вепстас, Линас (2007). «Эффективный алгоритм ускорения сходимости колебательных рядов, полезный для вычисления полилогарифмов и дзета-функций Гурвица». Численные алгоритмы . 47 (3): 211–252. arXiv : math/0702243 . Бибкод : 2008NuAlg..47..211В. дои : 10.1007/s11075-007-9153-8. S2CID  15131811.
16. Яцек Клиновски, Джурдже Цвийович (1999). «Значения хи Лежандра и дзета-функций Гурвица при рациональных аргументах». Математика вычислений . 68 (228): 1623–1631. Бибкод : 1999MaCom..68.1623C. дои : 10.1090/S0025-5718-99-01091-1 .
17. Апостол 1976, с. 264, Теорема 12.13.
18. Апостол 1976, с. 268
19. Берндт, Брюс К. (1985). «Гамма-функция и дзета-функция Гурвица». Американский математический ежемесячник . 92 (2): 126–130. дои : 10.2307/2322640. JSTOR  2322640.
20. Уиттакер и Уотсон 1927, с. 271, статья 13.21
21. Давенпорт (1967) стр.73
22. Лоури, Дэвид (8 февраля 2013 г.). «Дзета Гурвица представляет собой сумму L-функций Дирихле, и наоборот». смешанная математика . Проверено 8 февраля 2013 г.
23. Куберт, Дэниел С .; Ланг, Серж (1981). Модульные агрегаты . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Том. 244. Шпрингер-Верлаг . п. 13. ISBN 0-387-90517-0. Збл  0492.12002.
24. Давенпорт, Х. и Хейлбронн, Х. (1936), «О нулях некоторых рядов Дирихле», Журнал Лондонского математического общества , 11 (3): 181–185, doi : 10.1112/jlms/s1-11.3. 181, Збл  0014.21601
25. Касселс, JWS (1961), «Сноска к заметке Давенпорта и Хайльбронна», Журнал Лондонского математического общества , 36 (1): 177–184, doi : 10.1112/jlms/s1-36.1.177, Zbl  0097.03403
26. Дано Цвийович, Джурдье и Клиновски, Яцек (1999), «Значения хи-функций Лежандра и дзета-функций Гурвица при рациональных аргументах», Mathematics of Computation , 68 (228): 1623–1630, Бибкод : 1999MaCom..68.1623C, дои : 10.1090/S0025-5718-99-01091-1
27. Швингер, Дж. (1951), «О калибровочной инвариантности и поляризации вакуума», Physical Review , 82 (5): 664–679, Бибкод : 1951PhRv...82..664S, doi : 10.1103/PhysRev.82.664

Рекомендации

• Апостол, Т.М. (2010), «Дзета-функция Гурвица», Олвер, Фрэнк У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.
• См. главу 12 книги «Апостол», Том М. (1976), «Введение в аналитическую теорию чисел» , «Тексты для студентов по математике», Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90163-3, МР  0434929, Збл  0335.10001
• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стеган, Справочник по математическим функциям , (1964) Dover Publications, Нью-Йорк. ISBN 0-486-61272-4 . (См. параграф 6.4.10 относительно связи с полигамма-функцией.) 
• Давенпорт, Гарольд (1967). Мультипликативная теория чисел . Лекции по высшей математике. Том. 1. Чикаго: Маркхэм. Збл  0159.06303.
• Миллер, Джефф; Адамчик, Виктор С. (1998). «Производные дзета-функции Гурвица для рациональных аргументов». Журнал вычислительной и прикладной математики . 100 (2): 201–206. дои : 10.1016/S0377-0427(98)00193-9 .
• Мезё, Иштван; Дил, Айхан (2010). «Гипергармонический ряд с участием дзета-функции Гурвица». Журнал теории чисел . 130 (2): 360–369. дои : 10.1016/j.jnt.2009.08.005. HDL : 2437/90539 .
• Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж. Н. (1927). Курс современного анализа (4-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета .

Внешние ссылки

• Джонатан Сондоу и Эрик В. Вайсштейн. «Дзета-функция Гурвица». Математический мир .