Полутон

Музыкальный интервал

Незначительная секунда

Полутон , также называемый полутоном или полутоном , ^[3] — это наименьший музыкальный интервал, обычно используемый в западной тональной музыке, ^{[4] и он} считается самым диссонирующим ^[5] при гармоничном звучании. Он определяется как интервал между двумя соседними нотами в 12-тоновой гамме (или половина целого шага ), визуально воспринимаемый на клавиатуре как расстояние между двумя соседними друг с другом клавишами. Например, C соседствует с C ♯ ; интервал между ними – полутон. ^[6]

В 12-нотной гамме, разделенной примерно поровну, любой интервал может быть определен через соответствующее количество полутонов (например, целый тон или большая секунда имеет ширину 2 полутона, большая треть - 4 полутона, а идеальная квинта - 7 полутонов.

В теории музыки различают ^[7] диатонический полутон , или минорную секунду (интервал, охватывающий две разные позиции нотного стана , например, от C до D ♭ ) и хроматический полутон или расширенный унисон (интервал между двумя нотами в та же штатная должность, например, от C до C ♯ ). Они энгармонически эквивалентны тогда и только тогда, когда используется двенадцатитоновая равная темперация ; например, это не одно и то же в темперации медантона , где диатонический полутон отличается от хроматического полутона и больше его (расширенный унисон), или в пифагорейской настройке , где вместо этого диатонический полутон меньше. См. «Интервал (музыка) § Число» для получения более подробной информации об этой терминологии.

В двенадцатитоновой равнотемперации все полутона равны по размеру (100 центов). В других системах настройки «полутон» относится к семейству интервалов, которые могут различаться как по размеру, так и по названию. В пифагорейской настройке семь полутонов из двенадцати диатонические, с соотношением 256:243 или 90,2 цента (пифагорейская лимма), а остальные пять — хроматические, с соотношением 2187:2048 или 113,7 цента (пифагорейский апотом); они отличаются пифагорейской запятой в соотношении 531441:524288 или 23,5 цента. В четверти запятой имеется в виду один , семь из них диатонические, шириной 117,1 цента, а остальные пять - хроматические, шириной 76,0 цента; они отличаются меньшим диезисом с соотношением 128:125 или 41,1 цента. 12-тоновые гаммы, настроенные только по интонации, обычно определяют три или четыре вида полутонов. Например, асимметричная настройка с пятью пределами дает хроматические полутона с соотношением 25:24 (70,7 цента) и 135:128 (92,2 цента), а также диатонические полутона с соотношением 16:15 (111,7 цента) и 27:25 (133,2 цента). Более подробную информацию см. ниже.

Состояние наличия полутонов называется гемитонией; Отсутствие полутонов — это ангемитония . Музыкальная гамма или аккорд , содержащий полутона, называется гемитоникой; без полутонов – ангемитонический.

Незначительная секунда

Мелодическая минорная секунда является неотъемлемой частью большинства каденций периода общей практики .

Музыкальный интервал

Минорная секунда встречается в мажорной гамме между третьей и четвертой ступенями ( ми (ми) и фа (фа) в до мажор), а также между седьмой и восьмой ступенями ( ти (B) и до (до) в до мажор. главный). Его также называют диатоническим полутоном , потому что он возникает между ступенями диатонической гаммы . Меньшая секунда обозначается сокращенно m2 (или −2 ). Его инверсия — большая седьмая часть ( M7 или Ma7 ).

Послушайте второстепенную секунду в равном темпераменте ^ⓘ . Здесь за средним C следует D ♭ , который на 100 центов резче, чем C, а затем оба тона вместе.

В мелодическом плане этот интервал используется очень часто и имеет особое значение в каденциях . В совершенных и обманчивых каденциях он проявляется как разрешение ведущего тона в тонике . В плагальной каденции оно проявляется как падение субдоминанты на медиату . Это также происходит во многих формах несовершенной каденции , где тоника падает до ведущего тона.

Гармонически интервал обычно возникает как некоторая форма диссонанса или неаккордового тона , который не является частью функциональной гармонии . Он также может появиться в инверсиях мажорного септаккорда и во многих дополнительных тональных аккордах .

Гармоническая минорная секунда в Прелюдии до мажор И.С. Баха из ВТЦ , книга 1, мм. 7–9.Минорную секунду можно рассматривать как приостановку ноты B , переходящую в следующий септаккорд A минор .

Этюд «Неправильная нота» Фредерика Шопена

Этюд соч. 25, № 5

Марта Гольдштейн играет на Эрарде (1851)
Вступительные такты

---

Проблемы с воспроизведением этого файла? См. справку для СМИ .

В необычных ситуациях второстепенная секунда может придать музыке характер. Например, «Этюд » Фредерика Шопена Op. 25, № 5 открывается мелодией, сопровождаемой строкой, играющей мимолетные второстепенные секунды. Они создают юмористический и причудливый эффект, контрастирующий с более лирической средней частью. Этот эксцентричный диссонанс принес произведению прозвище: этюд с «неправильной нотой». Такое использование минорной секунды встречается во многих других произведениях романтического периода , таких как «Балет невылупившихся цыплят» Модеста Мусоргского . Совсем недавно музыка к фильму «Челюсти» является примером второстепенной секунды.

В других темпераментах

При простой интонации минорная секунда 16:15 возникает в гамме до мажор между B&C и E&F и представляет собой «самый резкий диссонанс , встречающийся в [мажорной] гамме ». ^[8] Воспроизвести B и C ^ⓘ

Расширенный унисон

Расширенный унисон на C

Расширенные унисоны часто появляются как следствие вторичных доминант , например, в голосе сопрано в этой последовательности из «Песни без слов» Феликса Мендельсона , соч. 102 №3, мм. 47–49.

Увеличенный унисон , интервал, возникающий в результате увеличения или расширения на полтона идеального унисона, ^[9] возникает не между шагами диатонической гаммы, а вместо этого между шагом гаммы и хроматическим изменением той же ступени. Его еще называют хроматическим полутоном . Расширенный унисон обозначается сокращенно A1 , или 1 августа . Его инверсия — уменьшенная октава ( d8 или dim 8 ). Увеличенный унисон также является инверсией увеличенной октавы , поскольку интервала уменьшенного унисона не существует. ^[10] Это связано с тем, что унисон всегда увеличивается, когда одна нота интервала изменяется случайно. ^{[11] [12]}

В мелодическом плане усиленный унисон очень часто возникает при переходе к хроматическому аккорду, такому как вторичная доминанта , уменьшенный септаккорд или увеличенный шестой аккорд . Его использование также часто является следствием мелодии, продолжающейся в полутонах, независимо от гармонической основы, например D , D ♯ , E , F , F ♯ . (Ограничивать обозначение только второстепенными секундами непрактично, поскольку в том же примере будет быстро возрастающее количество случайных чисел, энгармонически записываемых как D , E ♭ , F ♭ , G, А).

Второй Трансцендентальный этюд Ференца Листа , такт 63.

В гармоническом плане расширенные унисоны довольно редки в тональном репертуаре. В примере справа Лист написал E ♭ против E ♮ в басу. Здесь E ♭ было предпочтительнее D ♯ , чтобы прояснить функцию тона как часть доминирующего септаккорда F , а расширенный унисон является результатом наложения этой гармонии на точку педали E.

Помимо такого рода использования, гармонические дополненные унисоны часто встречаются в современных произведениях с участием тоновых кластеров , таких как «Эвриали » Янниса Ксенакиса для фортепиано соло.

История

Полутон появился в музыкальной теории греческой древности как часть диатонического или хроматического тетрахорда , и с тех пор он всегда занимал место в диатонических гаммах западной музыки. Все различные ладовые гаммы средневековой теории музыки были основаны на этой диатонической схеме тонов и полутонов.

Хотя позже это стало неотъемлемой частью музыкальной каденции , в ранней полифонии XI века этого не было. Гвидо из Ареццо вместо этого предложил в своем «Микрологе» другие альтернативы: либо переход целым тоном от мажорной секунды к унисону, либо возникновение двух нот в мажорной трети путем противоположного движения к унисону, причем каждая из них переместилась на целый тон.

«Еще в 13 веке полутон воспринимался как проблемный интервал, который нелегко понять, как иррациональный [ sic ] остаток между идеальной четвертью и дитоном ». В мелодическом полутоне не было замечено тенденции нижнего тона к верхнему или верхнего тона к нижнему. Второй тон не считался «целью» первого. Вместо этого полутона избегали. в клаузулах , потому что им не хватало ясности как интервалу». ^[13] ${\displaystyle \left({\begin{matrix}{\frac {4}{3}}\end{matrix}}/{{\begin{matrix}({\frac {9}{8}})\end{matrix}}^{2}}={\begin{matrix}{\frac {256}{243}}\end{matrix}}\right)}$

Драматическая хроматическая гамма во вступительных тактах « Solo e pensoso» Луки Маренцио , ок. 1580.

Однако, начиная с XIII века, каденции начинают требовать движения одного голоса на полшага, а другого на целый шаг в противоположном направлении. ^[13] Эти каденции стали фундаментальной частью музыкального языка, вплоть до того, что обычное случайное сопровождение второстепенной секунды в каденции часто опускалось из письменной партитуры (практика, известная как musica ficta ). К 16 веку полутон стал более универсальным интервалом, иногда даже проявляясь как расширенный унисон в очень хроматических отрывках. Семантически в 16 веке повторяющийся мелодический полутон стал ассоциироваться с плачем, см.: passus duriusculus , lament bass , pianto .

К эпохе барокко (1600–1750 гг.) тональная гармоническая основа была полностью сформирована и были четко поняты различные музыкальные функции полутона. Позже в этот период принятие хороших темпераментов для настройки инструмента и более частое использование энгармонических эквивалентов увеличили легкость применения полутона. Его функция оставалась аналогичной в классический период, и хотя он использовался чаще, поскольку язык тональностей становился более хроматическим в период романтизма , музыкальная функция полутона не изменилась.

Однако в 20 веке такие композиторы, как Арнольд Шенберг , Бела Барток и Игорь Стравинский , искали альтернативы или расширения тональной гармонии и нашли другое применение полутона. Часто полутон гармонично использовался как едкий диссонанс, не имеющий разрешения. Некоторые композиторы даже использовали большие коллекции гармонических полутонов ( группы тонов ) в качестве источника какофонии в своей музыке (например, ранние фортепианные произведения Генри Коуэлла ). К настоящему времени энгармоническая эквивалентность была обычным свойством равнотемперации , и инструментальное использование полутона вовсе не было проблематичным для исполнителя. Композитор волен был писать полутона где угодно.

Полутона в разных строях

Точный размер полутона зависит от используемой системы настройки . Среднетоновые темпераменты имеют два различных типа полутонов, но в исключительном случае одинаковой темпераментности существует только один. Неравномерно распределенные колодцы темпераментов содержат множество различных полутонов. Пифагорова настройка , как и настройка митонона, имеет две, но в других системах просто интонации возможностей гораздо больше.

Средний темперамент

В системах митонов есть два разных полутона. Это происходит из-за разрыва квинтового круга , возникающего в системе настройки: диатонические полутона возникают из цепочки из пяти квинт, которая не пересекает разрыв, а хроматические полутона - из той, которая пересекает разрыв.

Хроматический полутон обычно меньше диатонического. В обычном значении четверти запятой , настроенном как цикл умеренных квинт от E ♭ до G ♯ , хроматические и диатонические полутона имеют ширину 76,0 и 117,1 цента соответственно.

Расширенные средние тона темпераменты с более чем 12 нотами по-прежнему сохраняют те же размеры двух полутонов, но у музыканта есть больше гибкости в выборе того, использовать ли расширенный унисон или минорную секунду. 31-тоновая равная темперация является наиболее гибкой из них, образуя непрерывный круг из 31 квинты, что позволяет выбирать полутон для любой высоты звука.

Равный темперамент

12-тоновая равнотемперированная форма настройки средних тонов, в которой диатонические и хроматические полутона совершенно одинаковы, поскольку квинтовый круг не имеет разрыва. Каждый полутон равен одной двенадцатой октавы. Это соотношение 2 ^1/12 (приблизительно 1,05946), или 100 центов, и оно на 11,7 цента уже, чем соотношение 16:15 (его наиболее распространенная форма в простой интонации , обсуждаемая ниже).

Все диатонические интервалы можно выразить эквивалентным количеством полутонов. Например, целый тон равен двум полутонам.

Существует множество приближений, рациональных или нет, к равнотемперированному полутону. Вот некоторые из них:

• ${\displaystyle 18/17\approx 99.0{\text{ cents,}}}$
  предложен Винченцо Галилеем и использовался мастерами эпохи Возрождения .

• ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {2}{3-{\sqrt {2}}}}}\approx 100.4{\text{ cents,}}}$
  предложенный Марином Мерсенном как конструктивная и более точная альтернатива,

• ${\displaystyle (139/138)^{8}\approx 99.9995{\text{ cents,}}}$
  использовался Хулианом Каррильо как часть системы шестнадцатого тона.

Дополнительные примеры см. в разделах «Пифагорейская» и «Справедливая» системы настройки ниже.

Ну темперамент

Существует множество форм хорошего темперамента , но их всех объединяет то, что их полутона имеют неравномерный размер. Каждый полутон в хорошей темперации имеет свой интервал (обычно близкий к равнотемперированному варианту 100 центов), и в настройке нет четкого различия между диатоническим и хроматическим полутоном. Темперамент был построен таким образом, чтобы можно было предположить энгармоническую эквивалентность между всеми этими полутонами, и независимо от того, были ли они написаны как минорная секунда или увеличенный унисон, это не влияло на другое звучание. Вместо этого в этих системах каждая клавиша имела немного другой звуковой цвет или характер, выходящий за рамки традиционных обозначений.

Пифагорова настройка

Как и тональный темперамент, пифагорейский строй представляет собой разорванный круг квинт . Это создает два различных полутона, но поскольку пифагорова настройка также является формой 3-предельной интонации , эти полутона рациональны. Кроме того, в отличие от большинства средних темпераментов, хроматический полутон больше диатонического.

Пифагорейский диатонический полутон имеет соотношение 256/243 ( игра ^ⓘ ), и его часто называют пифагорейской лиммой . Его еще иногда называют пифагорейским минорным полутоном . Это около 90,2 цента.

${\displaystyle {\frac {256}{243}}={\frac {2^{8}}{3^{5}}}\approx 90.2{\text{ cents}}}$

Его можно рассматривать как разницу между тремя октавами и пятью квинтами , и он действует как диатонический полутон в пифагорейской настройке .

Пифагорейский хроматический полутон имеет соотношение 2187/2048 ( игра ^ⓘ ). Это около 113,7 центов . Его также можно назвать пифагорейским апотомом ^{[14] [15] [16]} или пифагорейским мажорным полутоном . ( См. интервал Пифагора .)

${\displaystyle {\frac {2187}{2048}}={\frac {3^{7}}{2^{11}}}\approx 113.7{\text{ cents}}}$

Его можно рассматривать как разницу между четырьмя совершенными октавами и семью квинтами , и он действует как хроматический полутон в пифагорейской настройке .

Пифагорейская лимма и пифагорейский апотом являются энгармоническими эквивалентами (хроматическими полутонами) и отделены друг от друга только пифагорейской запятой , в отличие от диатонических и хроматических полутонов в медантонном темпераменте и 5-предельной просто интонации .

Всего 5-лимитная интонация

16:15 диатонический полутон

16:15 диатонический полутон

«Большая» или мажорная лимма на C

Связь между 4 общими 5 предельными полутонами

Младшая секунда в простой интонации обычно соответствует соотношению высоты тона 16:15 ( игра ^ⓘ ) или 1,0666... ​​(приблизительно 111,7  цента ), называемому просто диатоническим полутоном . ^[17] На практике это всего лишь полутон, поскольку это интервал, который дважды встречается в диатонической гамме между ля:

мажорная треть (5:4) и чистая кварта (4:3) и ${\displaystyle \ \left(\ {\tfrac {4}{3}}\div {\tfrac {5}{4}}={\tfrac {16}{15}}\ \right)\ ,}$

мажорная седьмая (15:8) и идеальная октава (2:1) ${\displaystyle \ \left(\ {\tfrac {2}{1}}\div {\tfrac {15}{8}}={\tfrac {16}{15}}\ \right)~.}$

Меньшая секунда 16:15 возникает в гамме до мажор между B&C и E&F и представляет собой «самый резкий диссонанс в гамме». ^[8]

«Расширенный унисон» (диез) в простой интонации - это другой, меньший полутон, с соотношением частот 25:24 ( play ^ⓘ ) или 1,0416... (приблизительно 70,7 цента). Это интервал между большой терцией (5:4) и малой терцией (6:5). Фактически, это расстояние между минорной и мажорной терциями, шестыми и септимами (но не обязательно между мажорной и минорной секундами). Композитор Бен Джонстон использовал диез ( ♯ ), чтобы указать, что нота повышена на 70,7 цента, или бемоль ( ♭ ), чтобы указать, что нота понижена на 70,7 цента. ^[18] (Это стандартная практика только для интонации, но не для всех остальных микронастроек.)

Два других типа полутонов создаются с помощью настройки на 5 пределов. Хроматическая гамма определяет 12 полутонов как 12 интервалов между 13 соседними нотами, охватывающими полную октаву (например, от C ₄ до C ₅ ). 12 полутонов, получаемых с помощью широко используемой версии настройки с 5 лимитами, имеют четыре разных размера и могут быть классифицированы следующим образом:

Просто хроматический полутон

хроматический полутон , или меньший , или минорный хроматический полутон между гармонически связанными бемолями и диезами, например, между E ♭ и E (6:5 и 5:4):

${\displaystyle S_{1}={\tfrac {5}{4}}\div {\tfrac {6}{5}}={\tfrac {25}{24}}\approx 70.7\ {\hbox{cents}}}$

Больший хроматический полутон

или основной хроматический полутон , или большая лимма , или основная цветность , ^[18] например, между C и острым C ♯ (C ♯ , поднятым синтонической запятой ) (1:1 и 135:128):

${\displaystyle S_{2}={\tfrac {25}{24}}\times {\tfrac {81}{80}}={\tfrac {135}{128}}\approx 92.2\ {\hbox{cents}}}$

Просто диатонический полутон

или меньше , или минорный диатонический полутон , например, между E и F (от 5:4 до 4:3):

${\displaystyle S_{3}={\tfrac {4}{3}}\div {\tfrac {5}{4}}={\tfrac {16}{15}}\approx 111.7\ {\hbox{cents}}}$

Больший диатонический полутон

или больший или мажорный диатонический полутон , например, между A и B ♭ (от 5:3 до 9:5), или C и хроматическим D ♭ (27:25), или F ♯ и G (25:18 и 3:2):

${\displaystyle S_{4}={\tfrac {9}{5}}\div {\tfrac {5}{3}}={\tfrac {27}{25}}\approx 133.2\ {\hbox{cents}}}$

Наиболее часто встречающиеся полутона - это именно те ( S ₃ , 16:15 и S ₁ , 25:24): S ₃ встречается в 6 коротких интервалах из 12, S _{1 -} 3 раза, S _{2 -} дважды, S _{4 -} в 6 коротких интервалах из 12. только один интервал (если диатоническое D ♭ заменяет хроматическое D ♭ и не используются диезные ноты).

Меньшие хроматические и диатонические полутона отличаются от больших синтонической запятой (81:80 или 21,5 цента). Меньшие и большие хроматические полутона отличаются от соответствующих диатонических полутонов тем же диезисом 128:125, что и указанные выше полутона. Наконец, если внутренние полутона различаются диашизмой ( 2048:2025 или 19,6 цента), то внешние отличаются большим диезисом (648:625 или 62,6 цента).

Расширенные просто интонации

В настройке 7 пределов имеется септимальный диатонический полутон 15:14 ( игра ^ⓘ ), доступный между мажорной септимой 5 лимита (15:8) и минорной септимой 7 лимита / гармонической септимой (7:4). Существует также меньший септимальный хроматический полутон 21:20 ( игра ^ⓘ ) между септимальной минорной септимой и квинтой (21:8), а также октавой и мажорной третью (5:2). Оба используются реже, чем их 5-предельные соседи, хотя первый часто реализовывался теоретиком Коуэллом , тогда как Партч использовал второй как часть своей 43-тоновой шкалы .

При настройке предела 11 довольно распространена недесятичная нейтральная секунда (12:11) ( play ^ⓘ ), но она лежит на границе между минорной и мажорной секундой (150,6 цента). В простой интонации существует бесконечно много возможностей для интервалов, попадающих в диапазон полутона (например, упомянутые выше пифагорейские полутона), но большинство из них непрактичны.

В настройке предела 13 имеется трехдесятичная дробь.2/3тон (13:12 или 138,57 цента) и трехдесятичный1/3тон (27:26 или 65,34 цента).

В 17-й предельной только интонации главный диатонический полутон составляет 15:14 или 119,4 цента ( Play ^ⓘ ), а минорный диатонический полутон - 17:16 или 105,0 цента, ^[19] и семеричная лимма - 18:17 или 98,95 цента.

Хотя для этих интервалов часто используются названия диатонический и хроматический , их музыкальная функция отличается от означающих полутонов. Например, 15:14 обычно пишется как расширенный унисон, действуя как хроматический аналог диатонического 16:15 . Эти различия сильно зависят от музыкального контекста, и сама интонация не особенно хорошо подходит для хроматического использования (более распространена диатоническая функция полутона).

Другие равные темпераменты

19-тоновая равнотемперация различает хроматические и диатонические полутона; в этой настройке хроматический полутон составляет одну ступень гаммы ( игра 63,2 цента ^ⓘ ), а диатонический полутон - две ( игра 126,3 цента ^ⓘ ). 31-тоновая равнотемперация также различает эти два интервала, которые становятся 2-й и 3-й ступенями гаммы соответственно. 53-ET еще ближе соответствует двум полутонам с 3 и 5 ступенями своей шкалы, в то время как 72-ET использует 4 ( играйте 66,7 центов ^ⓘ ) и 7 ( играйте 116,7 центов ^ⓘ ) ступени своей шкалы.

В общем, поскольку меньший полутон можно рассматривать как разницу между минорной терцией и мажорной терцией, а больший — как разницу между мажорной терцией и идеальной четвертью, системы настройки, которые точно соответствуют этим справедливым интервалам (6/5, 5/4 и 4/3) также различает два типа полутонов и точно соответствует их интервалам (25/24 и 16/15).

Смотрите также

• Список средних интервалов
• Список музыкальных интервалов
• Список интервалов шага
• Подход к хорде
• Главный второй
• Нейтральная секунда
• Пифагоров интервал
• Обычный темперамент

Рекомендации

1. Даффин, Росс В. (2008). Как равный темперамент разрушил гармонию: (и почему вас это должно волновать) (Впервые опубликовано в мягкой обложке Norton. Под ред.). Нью-Йорк: WW Нортон. п. 163. ИСБН 978-0-393-33420-3. Проверено 28 июня 2017 г.
2. Халуска, Январь (2003). Математическая теория тональных систем , с. XXIV. ISBN 0-8247-4714-3 . Обертон-полутон. 
3. Полутон , полутон , полутон , полутон и полутон по-разному используются в источниках.[1][2][3][4][5]
   Аарон Копленд , Леонард Бернштейн и другие используют «полутона». [7][8][9]
   Один источник сообщает, что шаг — «в основном американский»,[10] а полутон — «в основном североамериканский».[11]
4. Миллер, Майкл. Полное руководство идиота по теории музыки, 2-е изд. [Индианаполис, Индиана]: Альфа, 2005. ISBN 1-59257-437-8 . п. 19. 
5. Кэпстик, Джон Уолтон (1913). Звук: Начальный учебник для школ и колледжей. Издательство Кембриджского университета.
6. "musictheory.net" . www.musictheory.net . Проверено 4 января 2024 г.
7. Варрам, Барбара (2010). Элементарные основы музыки (2-е изд.). Миссиссога, Онтарио: Музыка Фредерика Харриса. п. 17. ISBN 978-1-55440-283-0.
8. Пол, Оскар (1885). Пособие по гармонии для использования в музыкальных школах и семинариях и для самообучения , с. 165. Теодор Бейкер , пер. Г. Ширмер.
9. Бенвард и Сакер (2003). Музыка: В теории и практике, Том. я , с. 54. ISBN 978-0-07-294262-0 . Конкретный пример A1 не приведен, но описан общий пример идеальных интервалов. 
10. Костка и Пейн (2003). Тональная гармония , с. 21. ISBN 0-07-285260-7 . «Не существует такого понятия, как уменьшенный унисон». 
11. Дэй и Пилхофер (2007). Теория музыки для чайников , с. 113. ISBN 0-7645-7838-3 . «Не существует такого понятия, как уменьшенный унисон, потому что как бы вы ни меняли унисоны на акциденции, вы прибавляете полутона к общему интервалу». 
12. Сурмани, Эндрю ; Карен Фарнум Сурмани; Мортон Манус (2009). Основы теории музыки Альфреда: полный курс самообучения для всех музыкантов . Музыкальное издательство Альфреда. п. 135. ИСБН 978-0-7390-3635-8. Поскольку понижение любой ноты идеального унисона фактически увеличит его размер, идеальный унисон нельзя уменьшить, а только увеличить.
13. Дальхаус, Карл , пер. Гьердинген, Роберт О. Исследования происхождения гармонической тональности . Издательство Принстонского университета: Принстон, 1990. ISBN 0-691-09135-8 . 
14. Рашид, Рошди (редактор) (1996). Энциклопедия истории арабской науки, том 2 , стр. 588, 608. Рутледж. ISBN 0-415-12411-5 . 
15. Герман фон Гельмгольц (1885). Об ощущениях тона как физиологической основе теории музыки , с. 454.
16. Бенсон, Дэйв (2006). Музыка: математическое предложение , с. 369. ISBN 0-521-85387-7 . 
17. « [название не указано] ». Труды Лондонского королевского общества . Великобритания: Королевское общество. 30 : 531. 1880. Оцифровано 26 февраля 2008 г.; Гарвардский университет
18. Фонвилл, Дж. (лето 1991 г.). « Расширенная справедливая интонация Бена Джонстона – руководство для переводчиков». Перспективы новой музыки . 29 (2): 106–137. ...25/24соотношение - это соотношение диеза ( ♯ )... оно поднимает ноту примерно на 70,6 цента. ^{(стр. 109)}
19. Праут, Э. (2004). Гармония . п. 325. ИСБН 1-4102-1920-8.

дальнейшее чтение

• Граут, Дональд Джей и Клод В. Палиска . История западной музыки, 6-е изд . Нью-Йорк: Нортон, 2001. ISBN 0-393-97527-4 . 
• Хоппин, Ричард Х. Средневековая музыка . Нью-Йорк: WW Norton, 1978. ISBN 0-393-09090-6 .