Диполь

Электромагнитное явление

Магнитное поле сферы с северным магнитным полюсом вверху и южным магнитным полюсом внизу. Для сравнения, Земля имеет южный магнитный полюс рядом с северным географическим полюсом и северный магнитный полюс рядом с южным полюсом.

В физике диполь (от греческого δίς (dis)  «дважды» и πόλος (polos)  «ось» ^{[1] [2]} [ ^3] ) — это электромагнитное явление, которое происходит двумя способами:

• Электрический диполь занимается разделением положительных и отрицательных электрических зарядов , присутствующих в любой электромагнитной системе. Простым примером этой системы является пара зарядов одинаковой величины, но противоположного знака, разделенных обычно небольшим расстоянием. (Постоянный электрический диполь называется электретом . )
• Магнитный диполь — это замкнутая циркуляция системы электрического тока . Простым примером является одиночная петля провода, через которую проходит постоянный ток. Стержневой магнит является примером магнита с постоянным магнитным дипольным моментом . ^{[4] [5]}

Диполи, электрические или магнитные, можно охарактеризовать своим дипольным моментом, векторной величиной. Для простого электрического диполя электрический дипольный момент направлен от отрицательного заряда к положительному заряду и имеет величину, равную силе каждого заряда, умноженной на расстояние между зарядами. (Если быть точным: для определения дипольного момента всегда следует рассматривать «дипольный предел», где, например, расстояние генерирующих зарядов должно сходиться к 0, в то время как одновременно сила заряда должна расходиться к бесконечности в таких таким образом, что произведение остается положительной константой.)

Для магнитной (дипольной) токовой петли магнитный дипольный момент проходит через петлю (в соответствии с правилом правой руки ) с величиной, равной току в петле, умноженному на площадь петли.

Подобно петлям магнитного тока, электронная частица и некоторые другие фундаментальные частицы имеют магнитные дипольные моменты, поскольку электрон генерирует магнитное поле, идентичное тому, которое создается очень маленькой токовой петлей. Однако магнитный дипольный момент электрона обусловлен не токовой петлей, а внутренним свойством электрона. ^[6] Электрон также может иметь электрический дипольный момент, хотя его еще предстоит наблюдать (см. Электрический дипольный момент электрона ).

Контурный график электростатического потенциала горизонтально ориентированного электрического диполя бесконечно малого размера. Яркие цвета обозначают самый высокий и самый низкий потенциал (где расположены противоположные заряды диполя).

Постоянный магнит, такой как стержневой магнит, обязан своим магнетизмом собственному магнитному дипольному моменту электрона. Два конца стержневого магнита называются полюсами (не путать с монополями , см. Классификацию ниже) и могут быть помечены «север» и «юг». С точки зрения магнитного поля Земли, это полюса, направленные на север и на юг: если бы магнит свободно подвешивался в магнитном поле Земли, полюс, ищущий север, указывал бы на север, а на юг — на север. ищущий полюс указывал бы на юг. Дипольный момент стержневого магнита направлен от его магнитного юга к его магнитному северному полюсу . В магнитном компасе северный полюс стержневого магнита указывает на север. Однако это означает, что геомагнитный северный полюс Земли является южным полюсом (полюсом, ищущим юг) ее дипольного момента, и наоборот.

Единственными известными механизмами создания магнитных диполей являются токовые петли или квантово-механический спин , поскольку существование магнитных монополей никогда не было экспериментально продемонстрировано.

Классификация

Линии электрического поля двух противоположных зарядов, разделенных конечным расстоянием.

Силовые линии магнитного поля кольцевого тока конечного диаметра.

Силовые линии точечного диполя любого типа: электрические, магнитные, акустические и т. д.

Физический диполь состоит из двух равных и противоположных точечных зарядов: в буквальном смысле двух полюсов. Его поле на больших расстояниях (т. е. больших по сравнению с расстоянием между полюсами) почти полностью зависит от дипольного момента, определенного выше. Точечный (электрический) диполь — это предел, полученный при стремлении разделения к 0 при сохранении фиксированного дипольного момента. Поле точечного диполя имеет особенно простой вид, и членом первого порядка в разложении по мультиполю является именно поле точечного диполя.

Хотя в природе не известны магнитные монополи , существуют магнитные диполи в форме квантовомеханического спина , связанные с такими частицами, как электроны (хотя точное описание таких эффектов выходит за рамки классического электромагнетизма). Теоретический магнитный точечный диполь имеет магнитное поле точно такой же формы, как электрическое поле электрического точечного диполя. Очень маленькая петля с током представляет собой примерно точечный магнитный диполь; магнитный дипольный момент такой петли представляет собой произведение тока, текущего в петле, на (векторную) площадь петли.

Любая конфигурация зарядов или токов имеет «дипольный момент», который описывает диполь, поле которого на больших расстояниях наилучшим образом приближается к полю данной конфигурации. Это просто один член мультипольного разложения, когда полный заряд («монопольный момент») равен 0 — как это всегда бывает в магнитном случае, поскольку магнитных монополей нет. Дипольный член является доминирующим на больших расстояниях: его поле спадает пропорционально1/р ³, по сравнению с1/р ⁴для следующего ( квадрупольного ) члена и высших степеней1/рна более высокие условия или1/р ²для монопольного члена.

Молекулярные диполи

Многие молекулы имеют такие дипольные моменты из-за неравномерного распределения положительных и отрицательных зарядов на различных атомах. Так обстоит дело с полярными соединениями, такими как фтороводород (HF), где электронная плотность распределяется между атомами неравномерно. Следовательно, диполь молекулы — это электрический диполь с собственным электрическим полем, который не следует путать с магнитным диполем , генерирующим магнитное поле.

Физический химик Питер Дж. Дебай был первым ученым, который широко изучал молекулярные диполи, и, как следствие, дипольные моменты измеряются в единицах, не относящихся к системе СИ , названных в его честь дебаем .

Для молекул существуют три типа диполей:

Постоянные диполи

Это происходит, когда два атома в молекуле имеют существенно разную электроотрицательность : один атом притягивает электроны больше, чем другой, становясь более отрицательным, в то время как другой атом становится более положительным. Молекула с постоянным дипольным моментом называется полярной молекулой. См. диполь-дипольное притяжение .

Мгновенные диполи

Это происходит случайно, когда электроны оказываются более сконцентрированными в одном месте молекулы , чем в другом , создавая временный диполь. Эти диполи меньше по величине, чем постоянные диполи, но все же играют большую роль в химии и биохимии из-за своей распространенности. См. мгновенный диполь .

Индуцированные диполи

Это может произойти, когда одна молекула с постоянным диполем отталкивает электроны другой молекулы, создавая дипольный момент в этой молекуле. Молекула поляризована , если она несет в себе индуцированный диполь. См. притяжение индуцированного диполя .

В более общем смысле, индуцированный диполь любого поляризуемого распределения заряда ρ (помните, что молекула имеет распределение заряда) вызван электрическим полем, внешним по отношению к ρ . Это поле может, например, исходить от иона или полярной молекулы вблизи ρ или может быть макроскопическим (например, молекула между обкладками заряженного конденсатора ). Величина индуцированного дипольного момента равна произведению напряженности внешнего поля и дипольной поляризуемости ρ .

Значения дипольного момента можно получить путем измерения диэлектрической проницаемости . Некоторые типичные значения газовой фазы в дебаевских единицах: ^[7]

• углекислый газ : 0
• окись углерода : 0,112 Д
• озон : 0,53 Д
• фосген : 1,17 Д
• NH 3 имеет дипольный момент 1,42 Д.
• водяной пар : 1,85 Д
• цианистый водород : 2,98 Д
• цианамид : 4,27 Д
• бромид калия : 10,41 Д

Линейная молекула CO ₂ имеет нулевой диполь, поскольку два диполя связи сокращаются.

Бромид калия (KBr) имеет один из самых высоких дипольных моментов, поскольку это ионное соединение , существующее в виде молекулы в газовой фазе.

Изогнутая молекула H ₂ O имеет чистый диполь. Два диполя связи не компенсируются.

Общий дипольный момент молекулы можно аппроксимировать как векторную сумму дипольных моментов связей . Как векторная сумма, он зависит от относительной ориентации связей, так что из дипольного момента можно вывести информацию о геометрии молекулы .

Например, нулевой диполь CO ₂ подразумевает, что два дипольных момента связи C=O сокращаются, поэтому молекула должна быть линейной. Для H ₂ O моменты связи O−H не сокращаются из-за изгиба молекулы. Для озона (O ₃ ), который также является изогнутой молекулой, дипольные моменты связи не равны нулю, хотя связи O-O существуют между одинаковыми атомами. Это согласуется со структурами Льюиса для резонансных форм озона, которые имеют положительный заряд на центральном атоме кислорода.

Резонансные структуры Льюиса молекулы озона

Примером в органической химии роли геометрии в определении дипольного момента являются цис- и транс- изомеры 1,2- дихлорэтена . В цис- изомере две полярные связи C-Cl находятся по одну сторону от двойной связи C=C, а молекулярный дипольный момент составляет 1,90 Д. В транс- изомере дипольный момент равен нулю, поскольку две связи C-Cl на противоположных сторонах C=C и сокращаются (и два момента связи для гораздо менее полярных связей C-H также сокращаются).

Другим примером роли молекулярной геометрии является трифторид бора , который имеет три полярные связи с разницей в электроотрицательности , превышающей традиционно упоминаемый порог 1,7 для ионной связи . Однако из-за равностороннего треугольного распределения ионов фторида с центром и в той же плоскости, что и катион бора, симметрия молекулы приводит к тому, что ее дипольный момент равен нулю.

Квантово-механический дипольный оператор

Рассмотрим набор из N частиц с зарядами q _i и векторами положения r _i . Например, эта совокупность может представлять собой молекулу, состоящую из электронов с зарядом −e и ядер с зарядом eZ _i , где Z i _— атомный номер i -  го ядра. Дипольная наблюдаемая (физическая величина) имеет квантовомеханический дипольный оператор : ^{[ нужна ссылка ]}

${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\mathbf {r} _{i}\,.}$

Обратите внимание, что это определение справедливо только для нейтральных атомов или молекул, т.е. суммарный заряд равен нулю. В ионизированном случае имеем

${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{c}),}$

где – центр масс молекулы/группы частиц. ^[8] ${\displaystyle \mathbf {r} _{c}}$

Атомные диполи

Невырожденный ( S -состояние) атом может иметь только нулевой постоянный диполь. Этот факт квантовомеханически следует из инверсионной симметрии атомов. Все три компонента дипольного оператора антисимметричны при инверсии относительно ядра:

${\displaystyle {\mathfrak {I}}\;{\mathfrak {p}}\;{\mathfrak {I}}^{-1}=-{\mathfrak {p}},}$

где – оператор диполя, – оператор инверсии. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$

Постоянный дипольный момент атома в невырожденном состоянии (см. вырожденный уровень энергии ) определяется как математическое ожидание (среднее) значения дипольного оператора:

${\displaystyle \left\langle {\mathfrak {p}}\right\rangle =\left\langle \,S\,|{\mathfrak {p}}|\,S\,\right\rangle ,}$

где – невырожденная волновая функция в S -состоянии, которая является симметричной или антисимметричной при инверсии: . Поскольку произведение волновой функции (в кете) и ее комплексно-сопряженной (в бюстгальтере) всегда симметрично относительно инверсии и обратной к ней, ${\displaystyle |\,S\,\rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}\,|\,S\,\rangle =\pm |\,S\,\rangle }$

${\displaystyle \left\langle {\mathfrak {p}}\right\rangle =\left\langle \,{\mathfrak {I}}^{-1}\,S\,|{\mathfrak {p}}|\,{\mathfrak {I}}^{-1}\,S\,\right\rangle =\left\langle \,S\,|{\mathfrak {I}}\,{\mathfrak {p}}\,{\mathfrak {I}}^{-1}|\,S\,\right\rangle =-\left\langle {\mathfrak {p}}\right\rangle }$

отсюда следует, что математическое ожидание меняет знак при инверсии. Мы использовали здесь тот факт, что , будучи оператором симметрии, является унитарным : и по определению эрмитово сопряженное может быть перенесено из bra в ket и тогда станет . Поскольку единственная величина, равная самому минусу, - это ноль, математическое ожидание обращается в нуль, ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}^{-1}={\mathfrak {I}}^{*}\,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}^{*}\,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}^{**}={\mathfrak {I}}\,}$

${\displaystyle \left\langle {\mathfrak {p}}\right\rangle =0.}$

В случае атомов с открытой оболочкой с вырожденными энергетическими уровнями дипольный момент можно определить с помощью эффекта Штарка первого порядка . Это дает неисчезающий диполь (по определению пропорциональный неисчезающему штарковскому сдвигу первого порядка) только в том случае, если некоторые из волновых функций, принадлежащих вырожденным энергиям, имеют противоположную четность ; т. е. имеют различное поведение при инверсии. Это редкое явление, но случается для возбужденного атома H, где состояния 2s и 2p «случайно» вырождены (причину этого вырождения см. в статье « Вектор Лапласа – Рунге – Ленца ») и имеют противоположную четность (2s четно и 2p — нечетно).

Поле статического магнитного диполя

Величина

Напряженность дипольного магнитного поля в дальнем поле B определяется выражением

${\displaystyle B(m,r,\lambda )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {m}{r^{3}}}{\sqrt {1+3\sin ^{2}(\lambda )}}\,,}$

где

B — напряженность поля, измеряемая в теслах .

r — расстояние от центра, измеряется в метрах

λ — магнитная широта (равная 90° —  θ ), где θ — магнитная широта, измеряемая в радианах или градусах от оси диполя ^{[примечание 1]}

m — дипольный момент, измеряемый в ампер -квадратных метрах или джоулях на тесла.

μ ₀ — проницаемость свободного пространства , измеряемая в генри на метр.

Преобразование в цилиндрические координаты достигается с помощью r ² = z ² + ρ ² и

${\displaystyle \lambda =\arcsin \left({\frac {z}{\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}}}\right)}$

где ρ — расстояние по перпендикуляру от оси z . Затем,

${\displaystyle B(\rho ,z)={\frac {\mu _{0}m}{4\pi \left(z^{2}+\rho ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}{\sqrt {1+{\frac {3z^{2}}{z^{2}+\rho ^{2}}}}}}$

Векторная форма

Само поле является векторной величиной:

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {m} ,\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\ {\frac {3(\mathbf {m} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {m} }{r^{3}}}}$

где

B — поле

r - вектор от положения диполя до места, где измеряется поле.

r — абсолютное значение r : расстояние от диполя.

р̂ =р/р— единичный вектор, параллельный r ;

m - (векторный) дипольный момент

µ ₀ — проницаемость свободного пространства

Это в точности поле точечного диполя, в точности дипольный член в мультипольном разложении произвольного поля и приблизительно поле любой дипольной конфигурации на больших расстояниях.

Магнитный векторный потенциал

Векторный потенциал A магнитного диполя равен

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {\mathbf {m} \times {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}}$

с теми же определениями, что и выше.

Поле электрического диполя

Электростатический потенциал в положении r , обусловленный электрическим диполем в начале координат, определяется выражением:

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\,{\frac {\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}}$

где p — (векторный) дипольный момент , а є ₀ — диэлектрическая проницаемость свободного пространства .

Этот член появляется как второй член в мультипольном разложении произвольного электростатического потенциала Φ( r ). Если источником Φ( r ) является диполь, как предполагается здесь, этот член является единственным ненулевым членом в мультипольном разложении Φ( r ). Электрическое поле диполя можно найти по градиенту этого потенциала:

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} }{r^{3}}}-\delta ^{3}(\mathbf {r} ){\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}.}$

Это тот же вид выражения для магнитного поля точечного магнитного диполя, без учета дельта-функции. Однако в реальном электрическом диполе заряды физически разделены, а электрическое поле расходится или сходится в точечных зарядах. Это отличается от магнитного поля реального магнитного диполя, которое непрерывно повсюду. Дельта-функция представляет собой сильное поле, направленное в противоположном направлении между точечными зарядами, которое часто опускается, поскольку поле в положении диполя редко интересует. Для дальнейшего обсуждения внутреннего поля диполей см. ^{[5] [9]} или Магнитный момент#Внутреннее магнитное поле диполя .

Крутящий момент на диполе

Поскольку направление электрического поля определяется как направление силы, действующей на положительный заряд, линии электрического поля направлены от положительного заряда к отрицательному заряду.

При помещении в однородное электрическое или магнитное поле на каждой стороне диполя возникают равные, но противоположные силы , создающие крутящий момент τ }:

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} }$

для электрического дипольного момента p (в кулон-метрах), или

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B} }$

для магнитного дипольного момента m (в ампер-квадратных метрах).

Результирующий крутящий момент будет стремиться выровнять диполь с приложенным полем, что в случае электрического диполя дает потенциальную энергию

${\displaystyle U=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} }$.

Энергия магнитного диполя аналогично

${\displaystyle U=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} }$.

Дипольное излучение

Модуль вектора Пойнтинга для колеблющегося электрического диполя (точное решение). Оба заряда показаны в виде двух маленьких черных точек.

Помимо диполей в электростатике также принято рассматривать электрический или магнитный диполь, колеблющийся во времени. Это расширение или более физический следующий шаг к излучению сферических волн .

В частности, рассмотрим гармонически колеблющийся электрический диполь с угловой частотой ω и дипольным моментом p ₀ вдоль направления ẑ вида

${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {p} (\mathbf {r} )e^{-i\omega t}=p_{0}{\hat {\mathbf {z} }}e^{-i\omega t}.}$

В вакууме точное поле, создаваемое этим колеблющимся диполем, можно определить, используя формулу запаздывающего потенциала как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left\{{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}r}}\left({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} \right)\times {\hat {\mathbf {r} }}+\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {i\omega }{cr^{2}}}\right)\left(3{\hat {\mathbf {r} }}\left[{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} \right]-\mathbf {p} \right)\right\}e^{\frac {i\omega r}{c}}e^{-i\omega t}\\\mathbf {B} &={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} )\left(1-{\frac {c}{i\omega r}}\right){\frac {e^{i\omega r/c}}{r}}e^{-i\omega t}.\end{aligned}}}$

Дляrω/с ≫ 1, дальнее поле принимает более простую форму излучающей «сферической» волны, но с угловой зависимостью, встроенной в векторное произведение: ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} &={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} ){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}={\frac {\omega ^{2}\mu _{0}p_{0}}{4\pi c}}({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {z} }}){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}=-{\frac {\omega ^{2}\mu _{0}p_{0}}{4\pi c}}\sin(\theta ){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}\mathbf {\hat {\phi }} \\\mathbf {E} &=c\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}=-{\frac {\omega ^{2}\mu _{0}p_{0}}{4\pi }}\sin(\theta )\left({\hat {\phi }}\times \mathbf {\hat {r}} \right){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}=-{\frac {\omega ^{2}\mu _{0}p_{0}}{4\pi }}\sin(\theta ){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}{\hat {\theta }}.\end{aligned}}}$

Усредненный по времени вектор Пойнтинга

${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle =\left({\frac {\mu _{0}p_{0}^{2}\omega ^{4}}{32\pi ^{2}c}}\right){\frac {\sin ^{2}(\theta )}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

не распределяется изотропно, а концентрируется вокруг направлений, перпендикулярных дипольному моменту, за счет несферических электрических и магнитных волн. Фактически сферическая гармоническая функция (sin θ ), ответственная за такое тороидальное угловое распределение, представляет собой именно волну l  = 1 «p».

Полную среднюю по времени мощность, излучаемую полем, можно затем получить из вектора Пойнтинга как

${\displaystyle P={\frac {\mu _{0}\omega ^{4}p_{0}^{2}}{12\pi c}}.}$

Обратите внимание, что зависимость мощности от четвертой степени частоты излучения соответствует рэлеевскому рассеянию и основным эффектам, почему небо состоит в основном из синего цвета.

Диполь с круговой поляризацией описывается как суперпозиция двух линейных диполей.

Смотрите также

• Плотность поляризации
• Модели магнитного диполя
• Дипольная модель магнитного поля Земли
• Электрет
• Диполь Индийского океана и субтропический диполь Индийского океана , два океанографических явления.
• Магнитное диполь-дипольное взаимодействие
• Спиновый магнитный момент
• Монополь
• Сплошные гармоники
• Осевые мультипольные моменты
• Цилиндрические мультипольные моменты
• Сферические мультипольные моменты
• Расширение Лапласа
• Молекулярное твердое вещество
• Магнитный момент # Внутреннее магнитное поле диполя

Примечания

1. Магнитная широта равна 0 вдоль оси диполя и 90 ° в плоскости, перпендикулярной его оси.

Рекомендации

1. δίς, Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее
2. πόλος, Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее
3. "диполь, н.". Оксфордский словарь английского языка (второе изд.). Издательство Оксфордского университета . 1989.
4. Брау, Чарльз А. (2004). Современные проблемы классической электродинамики . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-514665-4.
5. Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-Х.
6. Гриффитс, Дэвид Дж. (1994). Введение в квантовую механику . Прентис Холл. ISBN 978-0-13-124405-4.
7. Уэст, Роберт С. (1984). Справочник CRC по химии и физике (65-е изд.). ЦРК Пресс. ISBN 0-8493-0465-2.
8. «Вектор электрического дипольного момента - направление, величина, значение и так далее» .
9. Джексон, Джон Д. (1999). Классическая электродинамика, 3-е изд . Уайли. стр. 148–150. ISBN 978-0-471-30932-1.
10. Дэвид Дж. Гриффитс , Введение в электродинамику, Прентис Холл, 1999, стр. 447

Внешние ссылки

• Программа Геомагнетизма Геологической службы США
• Поля силы. Архивировано 14 декабря 2010 г. в Wayback Machine : глава из онлайн-учебника.
• Электрический дипольный потенциал Стивена Вольфрама и Плотность энергии магнитного диполя Франца Краффта. Демонстрационный проект Wolfram .